Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Київський національний університет будівництва і архітектури

УДК 514.18

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Геометричне моделювання багатократних відбиттів світлових і теплових променів в еліптичних областях

Спеціальність 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка

Білецький Сергій Володимирович

Київ 2006

Загальна характеристика роботи

світловий промінь еліптична область

Актуальність теми. Складовими елементами сучасних приладів і споруд є різноманітні відбивачі, що призначені для концентрування в заданих точках простору відбитих від них променів. В процесі конструювання цих пристроїв необхідно мати картину перебігу променів (світлових або теплових) в порожнині відбивача. Для практики інтерес викликають і багатократні відбиття променів - другі та треті. Їх доцільно вивчати на основі математичної теорії більярдів, яка являє один з розділів теорії динамічних систем. Об'єктом дослідження в математичних більярдах є траєкторія точки, тобто слід рухомої частки. В даній роботі для визначеності областю більярда обрано еліпс. Крім використання в чисто математичних дослідженнях, більярди цікаві тим, що вони моделюють складні фізичні процеси в радіотехніці (при конструюванні відкритих резонаторів і хвилеводів), в оптиці (при розрахунку дзеркальних відбиттів, розв'язання завдань про освітлення, моделювання фокусування променів у лазерах), в акустиці (побудова “галерей, що шепочуть”). Ці впровадження базуються на фундаментальному принципі фізики, відповідно до якого промені світла й звукових хвиль підкоряються пружним (дзеркальним) відбиттям від непроникних поверхонь. До більярдів можуть бути зведені деякі моделі класичної механіки й гідродинаміки - оскільки гази й рідини можна вважати як множину молекул, що пружно зіштовхуються одна з одною і зі стінками посудини (так звані системи твердих куль). Звідси стає зрозумілою актуальність обраного напрямку досліджень, що полягає в розробці теоретичної бази геометричного моделювання більярдних траєкторій та їх катакаустик (як приклад, в еліпсі) з метою виявлення заданих траєкторій.

Математичні більярди розглядалися у роботах Я.Г.Сіная, В.В.Козлова, А.А.Панова, Г.А.Гальперіна, М.І.Чернова, Г.С.Мельнікова, Д.В.Трещова, В.Ф.Лазуткіна та ін. Геометричне моделювання складних за формою об'єктів та процесів належить до головних напрямків розвитку прикладної геометрії та інженерної графіки. Однак проведені дослідження не дозволили створити інформаційне забезпечення геометричного моделювання перебігу променів у порожнині еліптичного відбивача. Причина цього полягає у відсутності формалізованих геометричних та математичних моделей, які б дозволили описати процес трасування, та у відсутності математичних процесорів, які б дозволили здійснювати їх геометричне моделювання на графічному рівні. У роботах Л.М.Куценка та його учнів (О.Д.Мазуренко, Н.І.Середи, Г.В.Реви, С.В.Росохи) увагу приділено аналітичним методам геометричного моделювання відбитих променів. При цьому ще не дослідженим виявилось питання розробки ефективних алгоритмів трасування відбитих променів, здатних виявити особливості багатократних відбиттів, у тому числі і для еліпса. Тому темою даної роботи обрано створення теоретичної бази для алгоритмів геометричного моделювання трасування більярдів у еліптичних областях.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано на кафедрі нарисної геометрії і графіки Національного технічного університету „Харківський політехнічний інститут” за замовленням Харківського державного університету харчування та торгівлі в рамках науково - дослідної роботи “Моделювання теплообміну випромінюванням в апаратах ІЧ -обробки харчових продуктів”, реєстраційний номер 0104U002588.

Формулювання наукової задачі, нове вирішення якої отримано в дисертації. Визначити більярдні траєкторії та їх катакаустик в еліпсі з метою виявлення характерних та наперед заданих траєкторій.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є створення теоретичної бази для алгоритмів геометричного моделювання більярдних траєкторій та їх катакаустик в еліпсі для виявлення характерних та заданих траєкторій.

Об'єктом дослідження є траєкторії рухомої точки математичного більярда.

Предметом дослідження є спосіб складання алгоритмів геометричного моделювання траєкторії точки математичного більярда.

Методи дослідження: елементи диференціальних рівнянь, теорії променевої теплопередачі, лазерної техніки, а також елементи комп'ютерної графіки у середовищі математичного процесора Марle. Застосовуються положення прикладної геометрії та методи обчислювальної математики.

Для досягнення цієї мети у дисертації поставлено такі основні задачі:

1. Здійснити огляд алгоритмів трасування математичних більярдів в еліпсі.

2. Розробити математичне забезпечення різновидів версій алгоритмів трасування математичних більярдів в еліпсі.

3. Формалізувати та алгоритмічно реалізувати трасування математичних більярдів на основі функції відбиття.

4. Розробити математичне забезпечення опису катакаустик N-тих відбиттів більярдних променів.

5. Виявити зв'язок між двома різновидами кривих - „оптичною” катакаустикою N-тих відбиттів та „механічною” епітрохоїдою.

6. Скласти алгоритми побудови траєкторій математичних більярдів у силових полях та комбінованих областях, а також траєкторій просторових математичних більярдів для області еліпсоїда.

7. Результати впровадити в Харківському державному університеті харчування та торгівлі при проектуванні жарочної шафи, та у навчальний процес кафедри механіки і графіки ХДУХТ.

Наукову новизну роботи має метод унаочнення та виявлення характерних ознак траєкторій точки математичних більярдів в області еліпса, складовими якого є нові способи:

- визначення функції відбиття, яка дозволяє спростити побудову;

- реалізації фазових портретів еліптичних більярдів;

- визначення катакаустик N-тих відбиттів більярдних променів;

- трасування променів у силових полях та комбінованих областях.

Вірогідність та обґрунтованість результатів підтверджується доведенням тверджень, аналітичними перетвореннями за допомогою процесора Марle та побудованими за допомогою комп'ютера зображеннями результатів трасування, а також розрахунками у процесі впровадження.

Практичне значення одержаних результатів дисертації полягає у спроможності на її теоретичній базі розраховувати реальні фокусуючі пристрої для геліоустановок, дзеркала в оптичному приладобудуванні, склепіння в архітектурній акустиці, рефлектори в променевих паяльниках і інших нагрівальних приладах спрямованої дії, антенні конструкції в радіотелескопах, тощо. Реалізація роботи виконана в Харківському державному університеті харчування та торгівлі при проектуванні варіанту жарочної шафи, та у навчальному процесі кафедри механіки і графіки ХДУХТ, що підтверджується довідками про використання запропонованої методики.

Особистий внесок здобувача. Особисто автор виконав теоретичні дослідження по складанню алгоритмів трасування, розробив для математичного процесора Марle версії реальних програм.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися та обговорювались на:

· науковому семінарі кафедри нарисної геометрії та графіки НТУ під керівництвом к.т.н., проф. А.М.Краснокутського (м. Харків, 2005 - 2006 рр.);

· міській секції графіки під керівництвом д.т.н., проф. Ю.М.Тормосова (м. Харків, 2006 р);

· науковому семінарі кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки ТДАТА під керівництвом д.т.н., проф. В.М.Найдиша (м. Мелітополь, 2005 р.);

· науковому семінарі кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки НТУУ „КПІ” під керівництвом д.т.н., проф. В.В.Ваніна (м. Київ, 2006 р.);

· другій науково-практичній конференції „Геометричне і комп'ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн” (м.Сімферополь, 2005 р.);

· україно - російській науково - практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Харків, 2005 р.);

· науково - практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Дніпропетровськ, 2006 р.).

Публікації. За результатами досліджень опубліковано 7 робіт (з них 3 одноосібно, 6 у виданнях, які рекомендовано ВАК України).

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаних джерел із 122 найменувань та додатків. Робота містить 155 сторінок машинописного тексту та 45 рисунків.

Зміст роботи

Вступ містить загальну характеристику роботи. Обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та задачі досліджень. Показано наукову новизну і практичну цінність отриманих розв'язків.

У першому розділі наведено огляд методів побудови більярдних траєкторій (у тому числі і періодичних) в колі та еліпсі. Наведено Maple-програми як приклади її реалізації. Розглянуто формули для побудови траєкторій більярда в еліпсі. В основу їхнього виводу покладено оптичний закон “кут падіння дорівнює куту відбиття” (рис. 1).

У прямокутній системі координат xOy маємо рівняння ланки AM траєкторії

(1)

Ланку MB знаходимо за умови симетрії АМ відносно нормалі MN. Кут =AMN падіння променя AM на еліпс обчислюється за формулою

, (2)

, , , .

Вершина В другої ланки має координати В(acos, bsin), де кут визначається як корінь рівняння

. (3)

Після обчислення значення кута маємо рівняння гілки траси МВ

.

Недоліком такого підходу до розв'язання зазначеної задачі є необхідність розв'язувати відносно кута складне трансцендентне рівняння (3). Також наведено приклади знаходження періодичних траєкторій в еліпсі.

У другому розділі розглянуто метод побудови траєкторій математичних більярдів за допомогою “функції відбиття”. Для цього було розглянуто векторні співвідношення, що характеризують основний закон відбиття “кут падіння дорівнює куту відбиття”. Для кривої r = r(t) через {r₁ , r₂} і {r₂ , r₃} позначимо координати початку і кінця променів падіння і відбиття, а через n₂ - вектор нормалі в точці відбиття (рис. 3). Тоді кут падіння обчислюється за формулою

а кут відбиття - за формуло

де через () і [] позначено скалярний і векторний добуток векторів. З використанням цих позначень умова відбиття математичного більярда для плоскої фігури виглядає як

На основі цього співвідношення було побудовано “функцію відбиття”.

Твердження 1. У координатах

r = (x(t), y(t)), n = {n_x, n_y}

(де u і v - параметри початку і кінця променя падіння) функцією відбиття є

, (4)

.

За змістом функція відбиття являє собою аналітичний вираз, що дозволяє обчислити результуюче положення відбитого променя, залежно від положення променя падіння й нормального вектора кривої у точці падіння.

Використання “функції відбиття” дозволяє складати простіші алгоритми трасування більярдів, у якому будуть відсутні перевірки кутів падіння й відбиття (рис. 4). Все це “враховано” у функції функція відбиття f(p, q).

Наведена конкретна функції відбиття для еліпса й приклади її використання для оцінки циклічності траєкторій й ознак проходження відбитого променя в околиці наперед заданої точки.

Твердження 2. Нехай полярні кути для початку і кінця променя падіння дорівнюють u і v. Тоді маємо кут кінця відбитого променя

, (5)

, .

Твердження 3. Ознакою циклічності траєкторій математичного більярду з початком у точці з координатами x₀ = cos(u₀); y₀ = sin(u₀) є виконання тотожності u₀ = f(u, v).

Твердження 4. Ознакою того, що траєкторія математичного більярду пройде у -околі точки з координатами (p, q) є задовольняння умові

Ці твердження покладено в основу дослідження питань, пов'язаних з оцінками кількості напрямів рухів з точки А, після яких промінь має пройти через точку В за умови певної кількості відбиттів від кола. На рис. 5 наведено кутові параметри відбиття у колі, обчислити які можна за формулами:

;

; . (6)

На колі координати точки N - того відбиття можна обчислити за формулами

; . (7)

В роботі також розглядається питання трасування математичних більярдів у фізичних силових полях (центральному й гравітаційному). В цьому випадку передбачається, що на “заряджену” більярдну частку впливатиме силове поле іншої “зарядженої” частки. В роботі фрагменти траєкторій було одержано шляхом розв'язання системи диференціальних рівнянь

;

, (8)

де q₁ і q₂ - характеристики сил магнітів, m - маса кожної з кульок.

Інтегрування системи здійснювалося з початкової умови:

; ; ;

де Vx і Vy - координати вектора швидкості, які необхідно нормувати:

dxt := Vx/sqrt(Vx^2 + Vy^2); dyt := Vy/sqrt(Vx^2 + Vy^2).

Було складено Maple - програму, яка дозволяє будувати траєкторії, як у випадку однойменних зарядів, так і різнойменних зарядів.

У третьому розділі засобами комп'ютерної графіки проілюстровано поняття фазового портрета еліптичного більярда. Наведені основні співвідношення, за допомогою яких можна описати динаміку руху більярдної точки в області еліпса.

З теорії відомо основне співвідношення, що представляє закон збереження руху точки. Нехай (x_n, y_n) є координатами послідовних зіткнень точки Т з еліпсом

тобто має місце тотожність

Зіткнення є пружними, тому вектор швидкості V = (u_n, v_n) рухомої точки Т має постійну величину; вважатимемо, що V = 1, тобто .

В цьому випадку закон збереження руху точки Т має вигляд

. (9)

Введемо кутові координати t і , - t , < , поклавши x = a cos t, y = b sin t і u = cos , v = sin . Тоді вираз (9) набуде вигляду

, (10)

де С - постійна, своя для кожної траєкторії.

Якщо спеціальним образом вибрати кутові координати, то на основі формули (10) можна скласти функцію

. (11)

Лінії рівня функції (11) дозволяють характеризувати поводження більярдної системи. Наприклад, можна упевнитися в тім, що траєкторії уздовж малого діаметра еліпса є стійкими, а уздовж великого діаметра (що проходять через фокуси еліпса) - нестійкі. На площині з координатами (t, ) точка (t_n, _n) відповідає точці відбиття (x_n, y_n) і швидкості (x_n, y_n) і рухається по лініях рівня функції (11). На рис. 11 наведено лінії рівня функції F(t, ), в залежності від параметрів еліпса a і b. Овали навколо точок (/2, /2) являють траєкторії, які перетинають відрізок між фокусами. Крива (сепаратриса), що проходить через точку (0;0), відповідає траєкторії, яка проходить через фокуси.

Твердження 6. Якщо полярний кут для початку променя падіння дорівнює u, то для проходження променя через фокус полярний кут кінця променя падіння необхідно обрати за формулою

. (12)

Було проілюстровано випадок нестійкості обчислювального алгоритму трасування більярдів, коли відбиті промені проходять через фокуси еліпса.

В роботі також було розглянуто більярди Біркгофа. Вони будуються в два етапи. Спочатку в прямокутній системі координат Oxyz обирається різноосний еліпсоїд

і на ньому визначається геодезична крива, яка проходить через задану точку А. Потім виконується ортогональне проеціювання геодезичної кривої вздовж осі еліпса на координатну площину (для визначеності вважатимемо - вздовж осі с на координатну площину Oxy). Більярд Біркгофа у еліпсі

одержується у випадку с 0.

З метою опису геодезичної кривої на поверхні еліпсоїда в роботі розв'язувалося диференціальне рівняння

(13)

Для цього було складено maple-програму, фрагмент якої має вигляд:

a = 3: b := 2: c := 1:

initial := y(2) = b*sqrt(1-(2/a)^2)-0.01, D(y)(0) = 0.5:

dsol := dsolve({ODE, initial}, numeric, output=listprocedure);

soly := subs(dsol, y(x)):

dsoly:=subs(dsol,diff(y(x),x)):

unassign('x'):x:

geod := plot(soly(x), x=-a..a, color=black, numpoints=500):

display(geod, implicitplot((x/a)^2+(y/b)^2=1,

x=-a..a, y=-b..b),

labels=[x,y], thickness=3, axesfont=[TIMES,ITALIC,18],

labelfont=[TIMES,ITALIC,18], scaling=CONSTRAINED);

У четвертому розділі розглянуто питання побудови обвідних відбитих променів (тобто катакаустик) N-кратних відбиттів математичних більярдів, залежно від початкового положення точки. А саме, коли початкова точка S розташована на цьому колі, а також, коли початкова точка є невласною.

Твердження 7. Рівняння відбитого променя, що проходить через точки N і N+1, має вигляд:

, (14)

де координати N - тої точки відбиття у випадку джерела променів на колі (рис. 14) можна обчислити за формулами

; ,

а у випадку невласного джерела променів - за формулами

;

.

Твердження 7. Опис катакаустики можна одержати в результаті розв'язання відносно х і у системи двох рівнянь: рівняння (14) і рівняння

Наприклад, у випадку джерела променів на колі рівняння обвідної сім'ї відбитих променів має вигляд:

;

. (15)

Встановлені зв'язки між катакаустиками за допомогою епітрохоїд. Для цього наведені загальні формули опису епітрохоїд залежно від номера М катакаустики.

Твердження 8. Катакаустика при М-кратному відбитті буде збігатися з епітрохоїдою, рівняння якої має вигляд

; (16)

,

де М - номер катакаустики, пов'язаного з кількістю відбиттів K, тобто з цілим числом, яке не перевершує значення

(M+1)/2; R = 2(M+1)

Було показано, що при непарних М приходимо до опису катакаустик для випадку невласного джерела, а при парних М - до опису катакаустик для випадку джерела на колі.

Також було розглянуте узагальнення побудови ката каустик, залежно від розташування джерела. Запропоновано параметричний опис катакаустики кривої за допомогою її рівняння й координат джерела S.

Твердження 9. Нехай крива задана рівняннями x = x(t) і y = y(t), де t - параметр, а джерело променів розташовано в точці S(x_S, y_S).

Тоді параметричні рівняння катакаустики мають вигляд

;

Досліджено катакаустики на прикладі еліпса для різних S.

Особливо звертається увага на приклад кола, коли відстань між S і точкою центра кола одиничного радіуса дорівнює 0,7. На базі цього прикладу було запропоновано реальну реалізацію й впровадження одержаних результатів. Також одержано аналогічні результати для еліпса.

Впровадження одержаних результатів виконано на прикладі розрахунку грилю як теплотехнічного приладу для харчової промисловості.

Розглянуто циліндричний відбивач одиничного радіуса із двома трубчастими ТЕНами. В нормальному перетині вони позначені номерами 1 і 3. В роботі визначено таке розташування ТЕНів, яке забезпечує найбільш економічний режим роботи цієї жарочної шафи. Під час проведення комп'ютерних експериментів було встановлено, що при q = 0,7 точки повернення катакаустики для ТЕНа № 1 збігаються з положенням циліндричних об'єктів № 2 й № 4. Це стосується і для ТЕНа № 3. В точках № 2 й № 4 слід помістити металеві циліндри, на яких мають зібратися “розпорошені” теплові промені, і без яких вони були б втрачені. Отже, в циліндрі радіуса 1 ТЕНи доцільно розташувати на координатних осях на відстані q = 0,7 од.

Висновки

Дисертацію присвячено новому розв'язанню задачі геометричного моделювання більярдних траєкторій та їх катакаустик в еліптичних областях з метою виявлення характерних та наперед заданих траєкторій. Запропоновано метод унаочнення траєкторій математичних більярдів, складовими якого є нові способи: визначення функції відбиття, що дозволяє істотно спростити побудови траєкторій; реалізації фазових портретів еліптичних більярдів; реалізації катакаустик N-тих відбиттів більярдних променів; а також трасування більярдних променів у силових полях і комбінованих областях.

Значення для науки роботи полягає у подальшому розвитку способів дослідження більярдних траєкторій.

Значення для практики досліджень полягає в скорочення термінів та підвищенні точності моделювання, створення моделей, що задовольняють множині заданих вимог і прискорюють одержання бажаного результату.

При цьому отримані результати, що мають науково - практичну цінність.

1. Здійснено огляд алгоритмів трасування більярдів в еліпсі, з кого випливає необхідність створення комплексного підходу до розрахунку математичних більярдів.

2. Розроблено математичне забезпечення різновидів версій алгоритмів трасування математичних більярдів в еліпсі, що дозволило прискорити виявлення характерних та наперед заданих траєкторій.

3. Розроблено алгоритмічну реалізацію наступних ознак: а) циклічності траєкторій, що проходять через задану точку; б) кількості початкових напрямів руху точки для досягнення заданого положення за умови заданої кількості відбиттів; в) степеню „щільності” заповнення еліпса траєкторіями; г) нібито парадоксу при проходженні траєкторії через фокуси, що дозволило наочно продемонструвати феномен нестійкості обчислювального процесу.

4. Виявлено зв'язок між кривими - „оптичною” катакаустикою N-тих відбиттів і „механічною” епітрохоїдою, що дозволило розширити клас ліній, для яких визначаються відбивальні системи.

5. Розроблено математичне забезпечення опису катакаустик N-тих відбиттів більярдних променів, що дозволило здійснити прив'язку математичних більярдів до параметрів конкретної кривої.

6. Для процесора Maple було складено програми побудови траєкторій математичних більярдів у силових полях та комбінованих областях, а також алгоритми побудови траєкторій просторових математичних більярдів для порожнини еліпсоїда.

7. Результати впроваджено в Харківському державному університеті харчування та торгівлі при проектуванні варіанту жарочної шафи, та у навчальному процесі кафедри механіки і графіки ХДУХТ.

Результати дисертаційної роботи викладені у таких працях

1. Білецький С.В. Пояснення ефекту галереї, яка шепоче, засобами теорії математичних більярдів // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2005. Вип. 4. - Т. 29. - С. 88 - 93

2. Білецький С.В. Математичні більярди в прямокутнику та їх зв'язок з фігурами Ліссажу // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Харків: ХДУХТ, 2005. Вип. 7. - С. 135-139

3. Білецький С.В. Геометричне моделювання циклічних траєкторій математичного більярда в колі // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Харків: ХДУХТ, 2005. Вип. 9. - С. 142-149

4. Сухобоков А.Ф., Білецький С.В. Про траєкторії променя в еліпсі, коли кут відбиття не дорівнює куту падіння // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Харків: ХДУХТ, 2005. Вип. 13. - С. 166-172

Особисто здобувач розробив для математичного процесора Maple версії програм трасування більярдних променів у еліпсі, коли не виконується умова Декарта-Снеліуса.

5. Куценко Л.М., Білецький С.В. Інтерпретація одного поверхневого ефекту засобами математичних більярдів // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Харків: ХДУХТ, 2006. Вип. 14. - С. 8-15

Особисто здобувач виконав огляд літературних джерел, де пояснюється ефект галереї, яка шепоче, засобами теорії математичних більярдів.

6. Билецкий С.В., Ситабдиев Б.Б. Моделирование эффекта “теплового резонанса” при конструировании жарочных шкафов // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. - Вип. 2(43), Дніпропетровськ, 2006 - С. 29 - 33

Особисто здобувач розробив для математичного процесора Maple версії програм визначення умови існування ефекту “теплового резонансу”.

7. Білецький С.В., Сітабдієв Б.Б. Трасування кульки математичного більярда в трикутному перерізі піраміди // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2006. Вип. 4. - Т.31.-С.153 - 159

Анотація

Білецький С.В. Геометричне моделювання багатократних відбиттів світлових і теплових променів в еліптичних областях. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Київський національний університет будівництва і архітектури, Київ, Україна, 2006.

Дисертацію присвячено новому розв'язанню задачі геометричного моделювання більярдних траєкторій та їх катакаустик в еліптичних областях з метою виявлення характерних та наперед заданих траєкторій. До головних результатів роботи слід віднести метод унаочнення траєкторій математичних більярдів, складовими якого є нові способи: визначення функції відбиття, що дозволяє істотно спростити побудови траєкторій; реалізації фазових портретів еліптичних більярдів; реалізації катакаустик N-тих відбиттів більярдних променів; а також трасування більярдних променів у силових полях і комбінованих областях. Розроблено алгоритмічну реалізацію наступних ознак: а) циклічності траєкторій, що проходять через задану точку; б) кількості початкових напрямів руху точки для досягнення заданого положення за умови заданої кількості відбиттів; в) степеню „щільності” заповнення еліпса траєкторіями; г) нібито парадоксу при проходженні траєкторії через фокуси, що дозволило наочно продемонструвати феномен нестійкості обчислювального процесу. Виявлено зв'язок між кривими - „оптичною” катакаустикою N-тих відбиттів і „механічною” епітрохоїдою, що дозволило розширити клас ліній, для яких визначаються відбивальні системи. Результати впроваджено в Харківському державному університеті харчування та торгівлі при проектуванні варіанту жарочної шафи, та у навчальному процесі кафедри механіки і графіки ХДУХТ.

Ключові слова: математичний більярд, траєкторія точки, катакаустика.

Аннотация

Билецкий С.В. Геометрическое моделирование многократных отражений световых и тепловых лучей в эллиптических областях.. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - Прикладная геометрия, инженерная графика. - Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, Украина, 2006.

Диссертация посвящена новому решению задачи геометрического моделирования бильярдных траекторий и их катакаустик в эллиптических областях с целью выявления характерных и наперед заданных траекторий.

Математические бильярды интересны тем, что они моделируют сложные физические процессы в радиотехнике (при конструировании открытых резонаторов и волноводов), в оптике (при расчете зеркальных отражений, решении задач об освещении, моделировании фокусирования лучей в лазерах), в акустике (построение “галерей, которые шепчут”). Эти внедрения базируются на фундаментальном принципе физики, согласно которому лучи света и звуковых волн подчиняются упругим (зеркальным) отражениям от непроницаемых поверхностей. К бильярдам могут быть сведены некоторые модели классической механики и гидродинамики - поскольку газы и жидкости можно считать как множество молекул, которые упруго сталкиваются одна из одной и со стенками сосуда (так называемые системы твердых шаров). Отсюда становится понятной актуальность избранного направления исследований, который заключается в разработке теоретической базы геометрического моделирования бильярдных траекторий и их катакаустик (в качестве примера, в эллипсе) с целью выявления заданных траекторий.

Геометрическое моделирование сложных по форме объектов и процессов принадлежит к главным направлениям развития прикладной геометрии и инженерной графики. Однако проведенные исследования не разрешили создать информационное обеспечение геометрического моделирования хода лучей в пустоте эллиптического отражателя. Причина этого состоит в отсутствии формализованных геометрических и математических моделей, которые бы разрешили описать процесс трассирования, и в отсутствии математических процессоров, которые бы разрешили осуществлять их геометрическое моделирование на графическом уровне. При этом еще не исследованным оказался вопрос разработки эффективных алгоритмов трассирования отраженных лучей, способных проявить особенности многократных отражений, в том числе и для эллипса. Поэтому темой данная работа избрана создание теоретической базы для алгоритмов геометрического моделирования трассирования бильярдов в эллиптических областях.

Научную новизну работы имеет метод визуализации и выявления характерных признаков траекторий точки математических бильярдов в области эллипса, составляющими частями которого есть новые способы: определения функции отражения, позволяющей упростить построение; реализации фазовых портретов эллиптических бильярдов; определения катакаустик N-тых отражений бильярдных лучей, а также трассирование лучей в силовых полях и комбинированных областях. Практическое значение полученных результатов диссертации состоит в способности на ее теоретической базе рассчитывать реальные фокусирующие устройства для гелиоустановок, зеркала в оптическом приборостроении, своды потолков в архитектурной акустике, рефлекторы в лучевых паяльниках и других нагревательных приборах направленного действия, антенные конструкции в радиотелескопах, и т.п..

В работе рассмотрена алгоритмическая реализация следующих признаков эллиптического бильярда: а) цикличности траекторий, которые проходят через заданную точку; б) количества начальных направлений движения точки для достижения заданного положения при условии заданного количества отражений; в) степени „плотности” заполнение эллипса траекториями; г) якобы парадокса при прохождении траектории через фокусы, что позволило наглядно продемонстрировать феномен неустойчивости вычислительного процесса. Выявлена связь между кривыми - „оптической” катакаустикой N-тых отражений и „механичной” эпитрохоидой, что позволило расширить класс линий, для которых определяются отражательные системы. Результаты внедрены в Харьковском государственном университете питания и торговли при проектировании варианту жарочного шкафа, и в учебном процессе кафедры механики и графики ХДУХТ.

Ключевые слова: математический бильярд, траектория точки, катакаустика.

Summary

Biletskiy S.V. Geometrical modeling of multiple reflections of light and thermal rays in elliptic areas. - The Manuscript.

Thesis on competition of a scientific degree of the candidate of engineering science on a specialty 05.01.01 - Applied geometry, engineering graph. - Kiev national university of construction and architecture, Kiev, Ukraine, 2006.

The thesis is devoted to the new solution of a problem of geometrical modeling of billiard paths and them caustics in elliptic areas with the purpose of detection characteristic and beforehand prescribed trajectories. To principal outcomes of work it is necessary to refer a method of visualization of paths of mathematical billiards which constituents are new modes: definition of function of the reflection, allowing scientifically to simplify constructions of paths; implementation of phase portraits of elliptic billiards; implementation caustics N-axis reflections of billiard rays; and also laying-out of billiard rays in fields of forces and the combined areas. Algorithmic implementation of following indications is developed: cyclicity of paths which pass through the set point; amounts of initial traffic routes of a point for reaching the set rule under condition of the set amount of reflections; extents of "denseness" filling of an ellipse with paths; Ostensibly paradox at transiting a path through focal points which has allowed to show a phenomenon of unstable stability of computing process obviously. Connection between curves - "optical" caustics N-axis reflections and a "automatic" epitrochoid that has allowed to expand the class-room of lines for which reflective systems are defined is revealed. Outcomes are introduced at the Kharkov state university of a feed and trade at projection to alternative the cabinet, and in educational process of faculty of mechanics and graphs.

Keywords: mathematical billiards, a path of a point, caustics.

Размещено на Allbest.ru

...