Теорія інтерполяційних задач у класі Cтільтьєса та суміжні питання аналізу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР ім. Б.І. ВЄРКІНА

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

ТЕОРІЯ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИХ ЗАДАЧ У КЛАСІ СТІЛЬТЬЄСА ТА СУМІЖНІ ПИТАННЯ АНАЛІЗУ

Дисципліна - математичний аналіз

ДЮКАРЕВ Юрій Михайлович

Харків - 2006



Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна

Міністерства освіти України

Науковий доктор фізико-математичних наук, професор

консультант: Золотарьов Володимир Олексійович,

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна,

завідувач кафедри вищої математики і інформатики

механіко-математичного факультету

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Деркач Володимир Олександрович,

Донецький національний університет,

завідувач кафедри математичного аналізу і теорії функцій

математичного факультету

доктор фізико-математичних наук, професор

Михайлець Володимир Андрійович,

Інститут математики НАН України, м. Київ,

провідний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, професор

Рофе-Бекетов Федір Семенович,

Фізико-технічний інститут низьких температур

ім. Б. І. Вєркіна НАН України, м. Харків,

головний науковий співробітник

Провідна установа: Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова

Міністерства освіти України,

Інститут механіки, економіки та математики, м. Одеса

Захист відбудеться “ 27 ” грудня 2006 р. о 14-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна 47.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна 47.

Автореферат розісланий “ 13 “ листопада 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.О. Горькавий



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У теорії інтерполяційних задач можна виділити два напрямки: задачі для стільтьєсівських та для неванліннівських функцій. До інтерполяційних задач для стільтьєсівських функцій належить проблема моментів Стільтьєса, а для неванліннівських - проблема моментів Гамбургера. Ці два напрямки в теорії інтерполяції активно розвивалися в 20-му столітті. Але теорія інтерполяційних задач для неванліннівських функцій, на відміну від теорії інтерполяційних задач для стільтьєсівських функцій, виявилась більш розвиненою і набула завершеної форми. Інтерполяційні задачі для стільтьєсівських функцій виявилися більш складними, ніж аналогічні задачі для неванліннівських функцій. Саме тому теорія інтерполяційних задач у класі стільтьєсівських функцій розвивалася значно повільніше теорії інтерполяційних задач у класі неванліннівських функцій. Оскільки клас неванліннівських функцій містить клас стільтьєсівських функцій, то деякі результати з інтерполяції в класі неванліннівських функцій безпосередньо переносяться на стільтьєсівський випадок. Однак цей шлях не дозволяє повною мірою враховувати специфіку стільтьєсівського випадку та одержати найбільш змістовні результати, які не мають аналогів у неванліннівському класі функцій. Детальне дослідження інтерполяційних задач у класі стільтьєсівських функцій вимагає розробки нових ідей і методів.

У роботах А.А. Нудельмана, Л.А. Сахновича, Т.С. Іванченко, В.Э. Кацнельсона, О.Я. Хейфеца та П.М. Юдицького, що з'явилися до 1990-х років, були запропоновані загальні підходи до вирішення інтерполяційних задач для неванліннівських функцій. Ці автори використовували і розвивали ідеї та методи В.П. Потапова. Втім для стільтьєсівських функцій аналогічних побудов виконано не було. Таким чином, виникла математична проблема побудови теорії інтерполяції в класі Стільтьєса. Важливо зазначити, що до 1990-х років не тільки не існувало теорії інтерполяційних задач у класі Стільтьєса, але також не було знайдено відповідей на цілий ряд конкретних питань стільтьєсівської інтерполяції.

У роботах І.В. Ковалішиної та В.П. Потапова було узагальнено класичний критерій Данжуа невизначеності інтерполяційних задач на випадок матричної задачі Неванлінни-Піка та матричної проблеми моментів Гамбургера. Проте фундаментальна роль критерію Данжуа невизначеності інтерполяційних задач для неванліннівських функцій залишилась нез'ясованою. Це зумовлено тим, що не були визначені впорядковані сімейства узагальнених інтерполяційних задач для неванліннівських функцій та граничні інтерполяційні задачі. Однак саме в цих термінах можна одержати узагальнений аналог класичного критерію Данжуа.

Для розв'язання виродженої задачі Шура В.К. Дубовий впровадив підпростори типу . Метод підпросторів типу одержав подальший розвиток і був застосований для вирішення інших вироджених інтерполяційних задач у роботах В. Болотнікова, H. Dym та Л.А. Сахновича. Слід зазначити, що застосування методу підпросторів типу містило й рішення допоміжної виродженої інтерполяційної задачі та процедуру квазіобернення вироджених операторів. Тому задача побудови нового підходу до розв'язання вироджених інтерполяційних задач, у якому допоміжна інтерполяційна задача була б цілком невизначеною та виключалися процедури квазіобернення вироджених операторів, стала актуальною.

Симетричні оператори, які породжені блочними матрицями Якобі, були досліджені М.Г. Крейном. Було встановлено, що дефектні числа таких операторів не перевищують розміру блоків відповідної матриці Якобі. Як довів В.І. Коган, максимального значення дефектні числа досягають одночасно. Достатні умови максимальності дефектних чисел у термінах елементів матриці Якобі знайшли А.Г. Костюченко та К.А. Мірзоев. Втім питання про можливі значення дефектних чисел у випадку, коли вони не максимальні, не було з'ясовано.

Досліджуючи скалярну проблему моментів на компактному інтервалі, М.Г. Крейн впровадив класи аналітичних функцій та . Однак результати М.Г. Крейна з проблеми моментів на компактному інтервалі не поширювались на випадок матричної проблеми моментів і на інші інтерполяційні задачі в класах та .

Таким чином, побудова теорії інтерполяційних задач у класі Стільтьєса та розв'язання на цій основі конкретних інтерполяційних задач є актуальною математичною проблемою. Вирішенню цієї проблеми й присвячена дана дисертація.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Основні наукові результати, викладені в дисертації, отримано в ході виконання НІР "Спектральна теорія несамоспряжених і неунітарних операторів та її використання в теорії випадкових функцій і лінійних систем" (номер держ. реєстрації 0186.0136256) і "Квантові ефекти в наноструктурах" (номер держ. реєстрації 0100U003279), що виконувалися відповідно до планів роботи Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є розв'язання актуальної математичної проблеми побудови теорії інтерполяційних задач у класі Стільтьєса та вирішення на цій основі конкретних інтерполяційних задач.

Для досягнення поставленої мети було необхідно вирішити такі проблеми:

1. Побудувати теорію інтерполяційних задач для стільтьєсівських матриць-функцій (МФ) і вирішити ряд конкретних задач стільтьєсівської інтерполяції.

2. Доповнити теорію інтерполяції в класі неванліннівських МФ поняттям граничної інтерполяційної задачі. Одержати узагальнений критерій Данжуа повної невизначеності граничної задачі. Запропонувати новий підхід до рішення вироджених узагальнених інтерполяційних задач для неванліннівських функцій, у якому вироджена задача зводиться до повністю невизначеної.

3. Дати повний опис можливих значень дефектних чисел симетричних операторів, породжених блочними матрицями Якобі.

4. Дослідити матричну проблему моментів на компактному інтервалі та інші інтерполяційні задачі в класах та .

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є інтерполяційні задачі в класах стільтьєсівських МФ, неванліннівських МФ і в матричних класах М. Г. Крейна та , а також симетричні оператори та їх дефектні числа.

Предмет дослідження.

- Теорія інтерполяційних задач у класі стільтьєсівських МФ.

Узагальнений критерій Данжуа повної невизначеності граничної інтерполяційної задачі неванліннівського типу.

Вироджені інтерполяційні задачі.

Симетричні оператори та матричні многочлени, асоційовані із блочними матрицями Якобі. Дефектні числа симетричних операторів, асоційованих із блочними матрицями Якобі.

Матрична проблема моментів на компактному інтервалі та інші інтерполяційні задачі в матричних класах та .

Методи дослідження. У дисертації використано методи теорії симетричних операторів, теорії цілих функцій, теорії матричнозначних мір, теорії ортогональних матричних многочленів і ортогональних раціональних МФ, факторизації аналітичних - розтягуючих МФ, теорії нескінченних матричних добутків, теорії інтегральних зображень деяких класів аналітичних МФ. математичний число задача стільтьєс

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше для стільтьєсівських МФ поставлено і вирішено узагальнену інтерполяційну задачу, що містить основні приклади інтерполяційних задач у класі Стільтьєса.

2. Вперше визначено -екстремальні та канонічні розв'язки 1 і 2_го роду узагальненої інтерполяційної задачі для стільтьєсівських МФ. Доведено збіг множини -екстремальних розв'язків 1 і 2-го роду з множиною канонічних розв'язків 1 і 2-го роду. Цей результат є новим зокрема і для класичної проблеми моментів Стільтьєса.

3. Запропоновано новий підхід до рішення вироджених узагальнених інтерполяційних задач стільтьєсівського типу. Цей підхід заснований на певним чином погоджених підпросторах типу та зведенні вироджених задач до повністю невизначених. Раніше замість повністю невизначених задач розглядались вироджені задачі.

4. Вперше впроваджено сімейства узагальнених інтерполяційних задач стільтьєсівського типу та граничні інтерполяційні задачі. У термінах ортогональних МФ отримано критерій повної невизначеності граничної інтерполяційної задачі. Цей критерій є новим також і для задачі Неванлінни-Піка в класі Стільтьєса та для проблеми моментів Стільтьєса.

5. Вперше доведено теорему про факторизацію резольвентних матриць упорядкованих сімейств узагальнених інтерполяційних задач стільтьєсівського типу. Ця теорема істотно відрізняється від аналогічної теореми про факторизацію резольвентних матриць узагальнених інтерполяційних задач неванліннівського типу.

6. Вперше доведено узагальнений критерій Стільтьєса повної невизначеності для граничної інтерполяційної задачі стільтьєсівського типу, що узагальнює критерій Стільтьєса невизначеності класичної проблеми моментів. Критерій формулюється в термінах параметрів Стільтьєса. Для цих параметрів отримано явні формули, які є новими навіть для скалярної задачі Неванлінни-Піка в класі Стільтьєса.

7. Знайдено принципово новий критерій невизначеності задачі Неванлінни-Піка та вперше узагальнено на матричний випадок класичний критерій Стільтьєса повної невизначеності проблеми моментів. Критерій Стільтьєса у випадку проблеми моментів є досить простим порівняно з отриманими в дисертації критеріями стільтьєсівського типу для інших інтерполяційних задач.

8. Вперше для матричного випадку доведено, що резольвентна матриця повністю невизначеної проблеми моментів Стільтьєса є цілою МФ не вище першого порядку мінімального експонентного типу, що істотно доповнило раніше відомий результат для скалярної проблеми моментів Стільтьєса.

9. Вперше впроваджено впорядковані сімейства узагальнених інтерполяційних задач неванліннівського типу та граничні інтерполяційні задачі. Вперше отримано узагальнений критерій Данжуа повної невизначеності граничної інтерполяційної задачі. Запропоновано новий підхід до рішення вироджених задач неванліннівського типу, що ґрунтується на зведенні вироджених задач до повністю невизначених.

10. Вперше доведено, що для будь-яких цілих чисел та , що задовольняють нерівностям та , існує така симетрична матриця Якобі з розмірами блоків , що та є дефектними числами відповідного асоційованого оператора. Раніше М.Г. Крейн довів, що дефектні числа та симетричного оператора асоційованого з блочною матрицею Якобі, задовольняють нерівностям та (тут - розмір блоку в матриці Якобі). В.І. Коган довів, що максимального значення дефектні числа досягають одночасно.

11. Вперше знайдено явну формулу для резольвентної матриці проблеми моментів на компактному інтервалі, що є новою також і для скалярного випадку.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані в подальших дослідженнях проблеми моментів, інтерполяційних задач Неванлінни-Піка, Каратеодорі та інших у класі неванліннівських і стільтьєсівських МФ, а також у класах та . Розвинені у ході дослідження методи можна використовувати для аналізу дефектних чисел симетричних операторів. Вирішені в дисертації задачі можуть бути включені в спеціальні курси з теорії інтерполяційних задач, проблеми моментів, теорії операторів, теорії ортогональних сімейств матричних поліномів і раціональних МФ. Певна частина наукових результатів дисертації набула подальшого розвитку і застосовувалась у роботах D. Alpay, J. Ball, I. Gohberg, L. Rodman, В. Болотнікова, Л.А. Сахновича, G._N. Chen, Y.-J. Hu, Ф.С. Рофе-Бекетова, А.М. Холькіна.

Особистий внесок автора. Основні результати, що винесено на захист, отримано здобувачем особисто. У статті [2] здобувачу належить теорема 6.1. У публікаціях [11, 13, 15, 17, 23, 36] здобувачу належать: формування напрямків досліджень, постановка задач, участь у доведенні основних результатів і явні формули для резольвентних матриць інтерполяційних проблем у класах та .

Апробація результатів дисертації. Результати роботи обговорювались на 15 міжнародних математичних конференціях: Recent Developments in Schur Analysis. A Seminar in Honour of the 80th Birthday of V.P. Potapov, University of Leipzig, Mathematical Institute, (1994, Лейпциг, Німеччина); Шоста мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М.Кравчука (15-17 травня 1997 р., Київ); The Second Palestinian International Conference on Mathematics, (Birzeit University, West Bank, Palestine, 19-23 August 1998); Сьома мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М.Кравчука (14-16 травня 1998 р., Київ); Tag der Funktionentheorie 2000-Leipzig, (16.06-17.06.2000, Лейпциг, Німеччина); Восьма мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М.Кравчука (11-14 травня 2000 р., Київ); Мiжнародна конференцiя "Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння" (12-14 вересня 2000 р., Одеса); Международная конференция "Теория функций и математическая физика", посвященная 100-летию Н.И. Ахиезера (13-17 августа 2001 г., Харьков); IX Мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М.Кравчука (16-19 травня 2002 р., Київ); Международная конференция "Обратные задачи и нелинейные уравнения" (12-16 августа 2002 г., Харьков); Second International Conference "Mathematical Analysis and Economics", (Sumy, April 1-4, 2003); International Conference "Kolmogorov and Contemporary Mathematics", (Moscow State University, June 16-21, 2003); International Workshop on Potential Theory and Free Boundary Flows, (19-27 August 2003, Kiev); X Мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М.Кравчука (13-15 травня 2004 р., Київ); International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis, (25-30 September 2005, Kiev).

Результати дисертації обговорювались на семінарах: із математичної фізики, керівник - акад. НАН України Є.Я. Хруслов (Харків); із теорії операторів та її застосування, керівник - проф. В.О. Золотарьов (Харків); із теорії функцій, керівник - проф. А.П. Гришин (Харків); із диференціальних рівнянь та теорії керування, керівник - проф. В.І. Коробов (Харків); із теорії операторів та інтерполяційних задач аналізу, керівник - проф. Д.З. Аров (Одеса); із функціонального аналізу та теорії функцій, керівник - проф. В.О. Деркач (Донецьк); із інтерполяційних задач аналізу, керівники - проф. Б. Кирстайн та проф. Б. Фрітцше (ФРН, Лейпциг); із функціонального аналізу, керівник - проф. Х. Берг (Данія, Копенгаген).

Публікації. Основні результати опубліковано в 24 статтях у фахових вітчизняних і зарубіжних журналах [1] - [24] та в 12 матеріалах і тезах міжнародних математичних конференцій [25] - [36].

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, семи розділів і висновків, викладених на 310 сторінках основного тексту, списку з 214 цитованих джерел тадодатку. Номера теорем, означень і формул в дисертації та в авторефераті збігаються.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі описано стан проблеми, обґрунтовано актуальність роботи, визначено її мету, методи, задачі, предмет та об'єкт дослідження. Висвітлено наукову новизну і теоретичне значення результатів. Подано відомості про апробацію результатів дослідження та публікації автора за темою дисертації.

Розділ 1. У підрозділі 1.1 наведено огляд літератури за темою дисертації. У підрозділі 1.2 обґрунтовано обрані напрямки дослідження. У підрозділі 1.3 сформульовано основні результати дисертації.

Розділ 2. У підрозділі 2.1 введено основні позначення та наведені необхідні для подальшого результати про класи голоморфних оператор-функцій (ОФ). Нехай - сепарабельні та - скінченномірний гільбертіві простори.



ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі побудовано теорію інтерполяційних задач у класі стільтьєсівських матриць-функцій (МФ). Застосування цієї теорії дозволило дістати певний ряд нових результатів для конкретних інтерполяційних задач. А саме:

1. Для стільтьєсівських МФ вперше поставлено і вирішено узагальнену інтерполяційну задачу, що містить у собі основні інтерполяційні задачі в класі Стільтьєса.

3.. Доведено критерій повної невизначеності граничної інтерполяційної задачі в термінах збіжності двох рядів за спеціальними системами МФ, які в основних прикладах інтерполяційних задач є ортогональними.

4. Доведено теорему про факторизацію резольвентних матриць узагальнених інтерполяційних задач у класі Стільтьєса. Досліджено мультиплікативну структуру резольвентних матриць впорядкованих сімейств повністю невизначених інтерполяційних задач.

5. Теорію інтерполяційних задач для неванліннівських функцій доповнено означенням граничної інтерполяційної задачі та її повної невизначеності. Доведено узагальнений критерій Данжуа повної невизначеності граничної інтерполяційної задачі..

6. Запропоновано новий підхід до вирішення вироджених інтерполяційних задач неванліннівського типу, в якому вироджена задача зводиться до повністю невизначеної.

7. Нехай зафіксовано натуральне число та довільні цілі числа , які задовольняють нерівностям . Тоді існує ермітова матриця Якобі із блоками розміру така, що та є дефектними числами відповідного асоційованого оператора.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Дюкарев Ю.М. Мультипликативные и аддитивные классы Стилтьеса аналитических матриц-функций и связанные с ними интерполяционные задачи. II // Теория функций, функцион. анализ и их прил.-1982.-Вып.38.-С.40-48.

2. Дюкарев Ю.М., Кацнельсон В.Э. Мультипликативные и аддитивныеклассы Стилтьеса аналитических матриц-функций и связанные с ними интерполяционные задачи. 3 // Теория функций, функцион. анализ и их прил.-1984.-Вып.41.-С.64-70.

3. Dyukarev Yu. M. Integral representations of a pair of nonnegative operators and interpolations problems on the Stieltjes class // Operator Theory: Advances and Applications.-1997.-Vol. 95.-P. 165-184.

4. Дюкарев Ю.М. Общая схема решения интерполяционных задач в классе Стилтьеса, основанная на согласованных интегральных представлениях пар неотрицательных операторов. 1 // Математическая физика, анализ, геометрия.-1999.-Т. 6.-N 1/2.-С. 30-54.

5. Дюкарев Ю.М. Пространства де Бранжа и интерполяционные задачи в классе Стилтьеса // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-1999.-N 444.-С. 101-110.

6. Дюкарев Ю.М. Мультипликативная структура резольвентных матриц интерполяционных задач в классе Стилтьеса // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-1999.-N 458.-С. 143-153.

7. Dyukarev Yu.M. The Stieltjes matrix moment problem and de Branges spaces associated with them.- Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Sci. Publishing, 2000.-P. 79-88.

8. Dyukarev Yu.M. Extremal Solutions of the Generalized Nevanlinna-Pick Problem // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-2000.-N 475.-С. 218-229.

9. Дюкарев Ю.М. Факторизация оператор-функций мультипликативного класса Стилтьеса // Доп. НАН України. -2000.- N9.-С. 23-26.

10. Дюкарев Ю.М. Континуальная интерполяционная задача в классе Стилтьеса // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-2001.-N 514.-С. 34 -40.

11. Дюкарев Ю.М., Чоке Риверо А.Е. Степенная проблема моментов на компактном интервале // Математические заметки.- 2001.- T.69.-Вып.2.- С. 200-213. English transl. Mathematical Notes.-2001.- Vol. 69.-N 2.-P.176-187. Yu. M. Dyukarev, A.E. Choque Rivero. Power Moment Problem on Compact Intervals // Mathematical Notes.-2001.-Vol. 69.-N2.-P.176-187.

12. Дюкарев Ю.М. Принцип максимума для стилтьесовских пар аналитических матриц-функций // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-2002.-N 542.-С. 35 -41.

13. Дюкарев Ю.М., Чоке Риверо А.Е. Задача Неванлинны-Пика в классе S[a,b] // Известия высших учебных заведений. Серия "Математика".-2003.-N 2(489).-C. 36 - 45. English transl. Russian Mathematics.-2003.-Vol. 47.-N 2.-P.34-43.

14. Дюкарев Ю.М. Канонические, N-экстремальные и главные решения обобщенной интерполяционной задачи для стилтьесовских функций // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-2003.-N 582.-С. 62 - 70.

15. Дюкарев Ю.М., Чоке Риверо А.Е. Интерполяционная задача в классе R[a,b] // Укр. мат. журн.-2003.-Т. 55.-N 8.-С. 1044-1057. English transl. Ukrainian Mathematical Journal.-2003.-Vol. 55.-N 8.-P.1265- 1282.

16. Дюкарев Ю.М. Описание решений интерполяционных задач в классе Стилтьеса с помощью дробно-линейных преобразований // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-2004.-N 645.-С. 12 -21.

17. Dyukarev Yu.M., Serikova I.Yu. Friedrichs and Krein solutions of the Nevanlinna-Pick interpolation problem in the class S[a,b] // Збiрник праць Iнституту математики НАН України.-2004.- Том 1.-N3.-С. 55-66.

18. Дюкарев Ю.М. О неопределенности интерполяционных задач для неванлинновских функций // Известия высших учебных заведений. Серия "Математика".-2004.-N 8(507).-C. 26 - 38.

19. Дюкарев Ю.М. Задача Неванлинны-Пика для стилтьесовских матриц- функций // Укр. мат. журн.-2004.-Т.56.-N2.-С. 366-380.

20. Дюкарев Ю.М. О критериях неопределенности матричной проблемы моментов Стилтьеса // Математические заметки.-2004.-Т.75.- Вып. 1.-C. 71-88. English transl. Mathematical Notes.-2004.-Vol. 75.-N 1.-P.66-82.

21. Дюкарев Ю.М. О неопределенности интерполяционных задач в классе Стилтьеса // Математический сборник.-2005.-T.196.-N3.-С. 61-88. English transl. Sbornik: Mathematics.-Vol. 196.-N3.-P.367-393.

22. Дюкарев Ю.М. Вырожденная задача Неванлинны-Пика //Укр. мат. журн.-2005.-Т.57.-N10.-С. 1334-1343.

23. Choque Rivero A.E., Dyukarev Yu.M., Fritzsche B., Kirstein B. A truncated matricial moment problem on a finite interval // Operator Theory: Advances and Applications.-2005.-Vol. 165.-P. 121-173.

24. Дюкарев Ю.М. О рангах радиусов предельных кругов Вейля, ассоциированных с проблемой моментов Гамбургера // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя: "Математика, прикладна математика i механiка".-2005.-N 711.-С. 132 - 155.

25. Дюкарев Ю.М. Пространства де Бранжа и связанные с ними интерполяционные задачи в классе Стилтьеса // Матерiали 6 Мiжн. конф. iм. академiка М. Кравчука.-К.-1997.-С. 157.

26. Дюкарев Ю.М. Континуальный аналог интерполяционных задач в классе Стилтьеса // Матерiали 7 Мiжн. конф. iм. академiка М. Кравчука.-К.-1998.-С. 159.

27. Дюкарев Ю.М. О предельных кругах, лунках и интервалах Вейля для одного класса систем дифференциальных уравнений //Тезисы докладов на Межд. конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения". -Одесса.-2000.-С. 92-93.

28. Дюкарев Ю.М. Отщепление простейших сомножителей от оператор-функций стилтьесовского типа // Матерiали 8 Мiжн. конф. iм. академiка М. Кравчука.-К.-2000.-С. 277.

29. Дюкарев Ю.М. Пошаговое решение интерполяционных задач в классе Стилтьеса // Тезисы докладов Межд. конф. "Теория функций и математический анализ", посвященной 100-летию Н.И. Ахиезера.-Харьков.-2001.-С. 18-19.

30. Дюкарев Ю.М. Канонические и N-экстремальные решения интерполяционных задач в классе Стилтьеса // Тезисы докладов Межд. конф. "Обратные задачи и нелинейные уравнения".-Харьков.-2002.-С. 22-23.

31. Дюкарев Ю.М. Экстремальные свойства стилтьесовских пар // Матерiали 9 Мiжн. конф. iм. академiка М. Кравчука.-К.-2002.-С. 275.

32. Dyukarev Yu. M. The Nevanlinna-Pick problem for the Stieltjes matrix functions // Second International Conference "Mathematical Analysis and Economics".-Sumy.-2003.- P. 13.

33. Дюкарев Ю.М. О произведениях Бляшке-Потапова для стилтьесовских оператор-функций // Тезисы докладов Межд. конф. "Колмогоров и современная математика".-Москва.-2003.-С. 299-300.

34. Dyukarev Yu. M. The generalized interpolation problem in the Stieltjes class // International Workshop on Potential Theory and Free Boundary Flows.-K.-2003.-P. 12-13.

35. Дюкарев Ю.М. Критерий полной неопределенности матричнойпроблемы моментов Стилтьеса // Матерiали 10 Мiжн. конф. iм. академiка М. Кравчука.-К.-2004.-С. 277.

36. Dyukarev Yu. M., Serikova I.Yu. On the uniqueness for the Nevanlinna-Pick interpolation problem in the class // International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis.-K.-2005.-P. 12-13.

АНОТАЦІЯ

Дюкарев Ю. М. Теорія інтерполяційних задач у класі Стільтьєса і суміжні питання аналізу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2006.

Для стільтьєсівських матриць-функцій (МФ) поставлено та вирішено узагальнену інтерполяційну задачу. Доведено збіг множини канонічних і множини N _ екстремальних рішень 1 та 2-го роду. Доведено критерій повної невизначеності граничної інтерполяційної задачі в термінах збіжності двох рядів, елементи яких є ортогональними системами МФ. Узагальнено класичний критерій Стільтьєса невизначеності проблеми моментів у термінах збіжності двох рядів з додатними членами. Узагальнено на матричний випадок теорему про експоненціальний тип резольвентної матриці проблеми моментів Стільтьєса. Таким чином, створено теорію інтерполяційних задач у класі Стільтьєса. Для неванліннівських МФ доведено узагальнений критерій Данжуа повної невизначеності граничної інтерполяційної задачі. Запропоновано метод зведення вироджених задач до повністю невизначених. Дано повний опис можливих значень дефектних чисел симетричних операторів, породжених блочними матрицями Якобі. Узагальнено на матричний випадок результати М.Г. Крейна з проблеми моментів на компактному інтервалі.

Ключові слова: інтерполяція, стільтьєсівські функції, неванліннівські функції, проблема моментів, повна невизначеність інтерполяційних задач, критерій Стільтьєса, критерій Данжуа, блочні матриці Якобі, дефектні числа симетричних операторів.

The generalized interpolation problem has been formulated and solved for Stieltjes matrix functions (MF). Matching of the canonical set of solutions and N-extremal ones has been proved. Moreover the criterion of complete indetermination for the limit interpolation problem in terms of convergence of two series, where the elements are orthogonal systems of MF has been proved. Then the generalized Stieltjes criterion in terms of two series convergence, where the elements are Stieltjes parameters, has been also proved. The theorem for the exponential type of resolvent matrix is generalized for the Stieltjes moment problem in matrix case. Furthermore a generalized Denjoy criterion of complete indetermination for the limit interpolation problem has been proven for Nevanlinna MF. A new method is developed for the reduction of the degenerate problems to the indeterminate ones. A complete description of defective numbers for symmetrical operators, generated by Jacobi block matrix has been obtained. Finally, the results for the moment problem on the compact interval are generalized for the matrix case.

Key words: interpolation, Stieltjes functions, Nevanlinna functions, moment problem, complete indeterminate of interpolation problems, Stieltjes criterion, Denjoy criterion, Jacobi block matrix, defective numbers of symmetrical operators.

Размещено на Allbest.ru

...