Парасуперсиметрія та тензор-біспінорні рівняння для частинок з вищими напівцілими спінами

Размещено на http://allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.03 - математична фізика

ПАРАСУПЕРСИМЕТРІЯ ТА ТЕНЗОР-БІСПІНОРНІ РІВНЯННЯ ДЛЯ ЧАСТИНОК З ВИЩИМИ НАПІВЦІЛИМИ СПІНАМИ

Виконав Галкін Олександр Володимирович

Київ - 2006

АНОТАЦІЯ

ГАЛКІН О.В. Парасуперсиметрія та тензор-біспінорні рівняння для частинок з вищими напівцілими спінами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук зі спеціальності 01.01.03 - математична фізика. - Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

В дисертації описано незвідні зображення розширеної парасупералгебри Пуанкаре з нетривіальними центральними зарядами та алгебри внутрішніх симетрій. Запропоновано процедуру побудови лінійних моделей, інваріантних відносно парасупералгебри Пуанкаре для довільного цілого значення параметра параквантовості . Узагальнено відому модель Весса-Зуміно на випадок парасупералгебри Пуанкаре.

Побудовано тензор-біспінорні рівняння для частинок з вищими напівцілими спінами, що описують аномальну взаємодію як лінійну, так і аномальну по електромагнітному полю. Використовуючи модель, що базується на цьому рівнянні, описано рух частинки у постійному магнітному полі та показано, що запропоноване рівняння є парасуперсиметричним.

За допомогою моделі на основі тензор-біспінорних рівнянь досліджено рух частинки зі спіном у схрещених електричному та магнітному полях.

пуанкаре спін парасупералгебра біспінорний

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Суперсиметрія, перетворення якої змішують між собою бозонні та ферміонні поля, відкрила нові шляхи для побудови квантової теорії поля та квантової гравітації.

Значні успіхи калібровочної перенормованої теорії Вайнберга-Салама-Глешоу, що поєднує слабку та електромагнітну взаємодію і базується на групі , дали поштовх до подальшого розвитку єдиної теорії всіх взаємодій, включаючи гравітацію. Узагальненням моделі Вайнберга-Салама-Глешоу в області надвисоких енергій є теорія Великого об'єднання (найпростіша така теорія ґрунтується на групі ), що містить згадану вище групу як підгрупу. Незважаючи на те, що за допомогою теорії Великого об'єднання отримано ряд цікавих результатів, вона має серйозні недоліки. Найбільш істотним з них є нехтування гравітацією. Природний шлях об'єднання гравітації з полями менших спінів пропонує теорія супергравітації. Моделі зі спонтанно порушеної -супергравітацією стали основою для феноменологічного опису фізики частинок.

Стрімкий розвиток теорії суперсиметрії та супергравітації привів до необхідності пошуку можливих узагальнень супергрупи Пуанкаре і відповідних фізичних моделей. Одне з таких узагальнень запропоновано Джавірсом в 1978 р., воно потім отримало назву парасуперсиметрія. Подальший розвиток парасуперсиметрії пов'язаний з роботами Бекерса, Деберг і Нікітіна. У цих роботах розглянуто незвідні зображення парасупералгебри Пуанкаре

та групи внутрішніх симетрій, проте, без врахування центральних зарядів, які виявилися важливими в теорії супергравітації. У роботі Бекерса та Деберг знайдено найпростіше узагальнення суперсиметричної моделі Весса-Зуміно для випадку та , де - кількість парасуперзарядів і - порядок параквантовості. Тому становить інтерес побудова незвідних зображень парасупералгебри Пуанкаре з урахуванням центральних зарядів, а також побудова парасуперсиметричних моделей, інваріантних відносно парасупералгебри Пуанкаре з нетривіальними центральними зарядами.

Більшість суперсиметричних та парасуперсиметричних моделей включають мультиплети, які містять в собі поля зі спіном . Тому виникає проблема побудови ``хороших'' рівнянь для частинок зі спіном . Більше того, існує низка експериментальних фактів, які свідчать про існування частинок з вищими спінами.

Побудові таких рівнянь присвячено значну кількість робіт Баба, Дірака, Раріти, Швінгера, Хагена, Харли, Фущича, Нікітіна та ін. Проте і до цього часу задовільних рівнянь для частинок з вищими спінами не побудовано. Основні недоліки відомих рівнянь - наявність розв'язків, які описують розповсюдження хвиль з надсвітловою швидкістю, розбіжність теоретичного значення гіромагнітного співвідношення з експериментальним , несамоспряженість гамільтонових частинок, що рухаються в постійному магнітному полі та ін. Отже, побудова таких рівнянь залишається актуальною проблемою сучасної теоретичної і математичної фізики.

Дисертацію присвячено побудові незвідних зображень парасупералгебри Пуанкаре із центральними зарядами, знаходженню фізичних моделей, інваріантних відносно парасупералгебри Пуанкаре, побудові тензор-біспінорних рівняннь для частинок зі спіном , які є причинними та мають довільне значення гіромагнітного співвідношення.

Мета і завдання дослідження. Метою даної роботи є побудова незвідних зображень парасупералгебри Пуанкаре з центральними зарядами та алгебри внутрішніх симетрій. Знаходження фізичних моделей, інваріантних відносно парасупералгебри Пуанкаре. Побудова тензор-біспінорних рівнянь для частинок з вищими спінами та узагальнення цих рівнянь на випадок аномальної взаємодії з електромагнітним полем.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, такі:

- Одержано незвідні зображення парасупералгебри Пуанкаре з центральними зарядами та алгебри внутрішніх симетрій.

- Побудовано коваріантні зображення парасупералгебри Пуанкаре з центральними зарядами в термінах параграсманових змінних.

- Знайдено лінійні фізичні моделі, інваріантні відносно парасупералгебри Пуанкаре, та нелінійне узагальнення відомих суперсиметричних моделей Весса-Зуміно, включаючи моделі з нетривіальними центральними зарядами.

- Досліджені рівняння для тензор-біспінорного поля з аномальною взаємодією з електромагнітним полем та показано, що такі рівняння є причинними та передбачають коректне значення гіромагнітного співвідношення .

- Побудовано хвильове рівняння, що враховує квадратичну взаємодію з електромагнітним полем та досліджено низку задач про рух зарядженої частинки у зовнішньому електромагнітному полі.

- Знайдено парасуперсиметрію рівнянь для частинок з вищими напівцілими спінами, які рухаються в постійному магнітному полі.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати є новими і можуть бути використані для опису руху частинок з вищими спінами у зовнішньому електромагнітному полі, а також в квантовій теорії поля та теорії гравітації.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального напрямку досліджень та постановка задач належать науковому керівнику - А.Г. Нікітіну. Всі результати дисертації отримано автором особисто. В роботах, які опубліковано зі співавторами, особистий внесок дисертанта такий. У роботах та А.Г. Нікітіну належить постановка задач, розробка методів дослідження, дисертанту - отримання незвідних зображень парасупералгебри Пуанкаре та рівнянь, інваріантних відносно парасупералгебри Пуанкаре.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наведено загальну характеристику та цілі роботи, обгрунтовано її актуальність і наукову новизну.

У першому розділі дисертації подано огляд літератури, що стосується супералгебри Пуанкаре, парасупералгебри Пуанкаре, фізичних моделей, які інваріантні відносно супералгебри Пуанкаре та рівнянь для частинок з вищими спінами.

У другому розділі розглядаються незвідні зображення парасупералгебри Пуанкаре з нетривіальними центральними зарядами та фізичні моделі, які інваріантні відносно парасупералгебри Пуанкаре.

У підрозділі 2.1 формулюється постановка задачі. Об'єктом досліджень є парасупералгебра Пуанкаре, яка містить 10 парних генераторів , (), що задовольняють комутаційні співвідношення звичайної алгебри Пуанкаре:

(1)

та парасуперзарядів , (), що задовольняють наступні комутаційні співвідношення

Тут і нижче прийнято позначення , , , якщо , ; , , - матриці Паулі.

Співвідношення (2) включають оператори , які називають центральними зарядами.



(2)

Як і у випадку супералгебри Пуанкаре, центральні заряди задовольняють співвідношення і та комутують з усіма генераторами парасупералгебри Пуанкаре. Парасуперзаряди і є вейлівськими спінорами, а отже, задовольняють комутаційні співвідношення:

(3)

Парасупералгебру Пуанкаре можна розширити, додаючи до неї генератори групи внутрішніх симетрій, що задовольняють такі комутаційні співвідношення

(4)

де - структурні константи групи внутрішніх симетрій.

В дисертації, використовуючи метод індукованих зображень, знайдено незвідні зображення парасупералгебри Пуанкаре, яка визначається співвідношеннями, та алгебри внутрішніх симетрій, яка визначається комутаційними співвідношеннями (4).

У підрозділі 2.2 наводяться оператори Казіміра парасупералгебри Пуанкаре (1-3) та будується мала парасупералгебра Вігнера. Парасупералгебра Пуанкаре має два основних оператора Казіміра



- вектор Паулі-Любанського

де - повністю антисиметричний тензор, а виражаються через такі білінійні комбінації парасуперзарядів:

Відповідно до значень оператора Казіміра розрізняють три основних класи зображень парасупералгебри Пуанкаре:

У випадках I та II існує додатковий оператор Казіміра

,

власними значеннями якого є . Найбільш важливими у фізиці є зображення, які відповідають класу I, тому у дисертації розглядаються зображення, які відповідають власним значенням операторів Казимира та . Клас таких зображень будемо позначати символом I. У цьому випадку, використовуючи перетворення Лоренца, можна перейти в систему спокою, у якій , тоді 3-вектор

комутує з парасуперзарядами , та задовольняє комутаційні співвідношення, що характеризують алгебру

(5)

У загальному випадку ненульових центральних зарядів, використовуючи унітарне перетворення

можна привести антисиметричну матрицю до квазідіагонального вигляду, при цьому ненульові елементи будуть мати вигляд

(6)

де , , - дійсні додатні значення - ціла частина .

Неважко показати, позначаючи та переходячи до нового базису:



що співвідношення (2) у системі спокою мають вигляд:

(7)

Інші подвійні комутаційні співвідношення або дорівнюють 0, або можуть бути приведені до ((7) чи (8).

Таким чином, опис незвідних зображень розширеної парасупералгебри Пуанкаре, які належать до класу зводиться до опису незвідних зображень ``малої парасупералгебри Вігнера'' (МПВ), яка визначається співвідношеннями (8), (7).

У підрозділі 2.3 зроблена класифікація незвідних зображень малої парасупералгебри Вігнера. Усі незвідні зображення МПВ можна умовно розділити на 5 типів відповідно до значень центральних зарядів

1. Центральні заряди тривіальні, тобто , .

2. Центральні заряди відмінні від 0 та менші ніж , тобто , .

3. Центральні заряди дорівнюють (, ).

4. Центральні заряди перевищують (, ).

5. Центральні заряди мають мішаний тип, тобто



Опис незвідних зображень МПВ базується на такому твердженні.

Теорема 1 Нехай парасупералгебра Пуанкаре включає центральних зарядів , що задовольняють умову , центральних зарядів , що задовольняють умову , центральних зарядів , що задовольняють умову та центральних зарядів , що задовольняють умову . Тоді існує взаємно однозначна відповідність між зображеннями МПВ класу та зображеннями прямої суми алгебр і , причому базисні елементи МПВ є лінійними комбінаціями базисних елементів алгебри .

У підрозділі 2.4 було розглянуто розширення парасупералгебри Пуанкаре, яке включає алгебру внутрішніх симетрій (4), та побудовано явний вигляд генераторів цієї алгебри. Опис алгебри внутрішніх симетрій подано у такій теоремі.

Теорема 2 Нехай парасупералгебра Пуанкаре включає центральних зарядів , що задовольняють умову , центральних зарядів , що задовольняють умову , центральних зарядів , що задовольняють умову та центральних зарядів , що задовольняють умову . Тоді максимальною алгеброю внутрішніх симетрій парасупералгебри Пуанкаре є .

У підрозділі 2.5 виконано реалізацію парасупералгебри Пуанкаре у термінах параграсманових змінних. Знайдено явний вигляд відповідних генераторів парасупералгебри Пуанкаре з нетривіальними центральними зарядами та довільним числом парасуперзарядів:

де - матриця з матричними елементами (6), - генератори групи Лоренца , а мають вигляд

Параграсманові змінні визначаються за допомогою анзацу Гріна

де - параметр параквантовості, а та задовольняють такі комутаційні та антікомутаційні співвідношення

У підрозділі 2.6 було запропоновано метод побудови лінійних моделей, які інваріантні відносно парасупералгебри Пуанкаре, наведено приклади таких моделей та побудовано нелінійну парасуперсиметричну модель Весса-Зуміно-Вайнберга. Наприклад, у випадку парасупермультиплету, який буде містити в собі нетривіальний вектор-спінор , , вектор , вейлівський спінор , скаляр , а також ще одне векторне поле, три спінорних поля та п'ять скалярних полів, що тотожно дорівнюють 0, відповідна лінійна система рівнянь матиме вигляд

де - спінові матриці для , - одинична матриця, матриці мають вигляд

Нелінійна модель, побудована в дисертації, є узагальненням суперсиметричної моделі Весса-Зуміно-Вайнберга для довільного значення

(8)

де та - константи взаємодії, - коваріантні похідні, які визначаються за допомогою формули



Тут - кіральний парасупермультиплет, який визначається з умови

- скалярний парасупермультиплет.

У розділі 3 побудовано тензор-біспінорні рівняння для частинок з напівцілим спіном. Дані рівняння було узагальнено на випадок мінімальної взаємодії з електромагнітним полем, а також і на випадок аномальної взаємодії як лінійної, так і квадратичної щодо електромагнітного поля. Введення аномальної взаємодії, лінійної по електромагнітному полю, дає можливість одержати гіромагнітне співвідношення для спінів , що погоджується з експериментальним значенням, а квадратичне аномальна взаємодія приводить до зникнення комплексних енергій для частинки зі спіном у постійному магнітному полі при .

У підрозділі 3.1 розглянуто модель, що описує вільні частинки з довільним напівцілим спіном у термінах незвідних тензор-біспінорів рангу , які є антисиметричними відносно перестановки індексів у квадратних дужках і симетричні відносно перестановки пар індексів



незвідність означає, що виконуються такі умови:

де та - повністю антисиметричні тензори та , .

Тензор-біспінор повинен також задовольняти умову

(9)

Більше того, задовольняє рівняння Дірака

(10)

.

Крім того, маємо таку теорему відносно інтерпретації рівняння ((10)) з додатковою умовою (9).

Теорема 3 Рівняння (10) з додатковою умовою (9) є інваріантним відносно групи Пуанкаре і описує частинки з масою , спіном та парністю .

Для узагальнення рівняння (10) з додатковою умовою (9) на випадок електромагнітної взаємодії, систему (9)-(10) представлено у вигляді єдиного рівняння. Наприклад, у випадку спіна таке рівняння буде мати вигляд

(11)

У підрозділі 3.2 рівняння (11) узагальнено на випадок мінімальної взаємодії з електромагнітним полем.

У підрозділі 3.3 рівняння (11) було узагальнено на випадок аномальної взаємодії, лінійної по електромагнітному полю

(12)

, а

лінійно залежить від тензора електромагнітного поля . Для збереження гіперболічності рівняння (12) досить вимагати виконання такої умови: . При використанні цієї умови було також показано, що рівняння (12) може бути записано у вигляді двох рівнянь, які описують рух двох частинок зі спіном , але протилежної парності

(13)

(14)

, та

Основний результат підрозділу 3.3 можна сформулювати у вигляді такої теореми.

Теорема 4 Система рівнянь (13) та (14) є гіперболічною, інваріантною відносно групи Пуанкаре і причинною, тобто її хвильові розв'язки розповсюджуються зі швидкістю, меншою ніж швидкість світла.

У підрозділі 3.4 рівняння (12) було узагальнено на випадок аномальної взаємодії, квадратичної по електромагнітному полю, яке в цьому випадку набуває вигляду:

Таким чином, на відміну від рівнянь з аномальною взаємодією, лінійною по електромагнітному полю, у випадку рівнянь з аномальною взаємодією, квадратичною по електромагнітному полю, існує додаткова константа взаємодії , яку можна використовувати для запобігання виникнення комплексних значень енергій, що виникають при розгляді руху частинки зі спіном у постійному магнітному полі, якщо не дорівнює , а також руху частинки у схрещених електричному та магнітному полях.

У підрозділі 3.5 розв'язана задача про рух частинки зі спіном у постійному магнітному полі, при цьому врахована аномальна взаємодія з електромагнітним полем.

У підрозділі 3.6 досліджено симетрію рівняння для зарядженої частинки зі спіном у постійному магнітному полі відносно градуйованих алгебр і показано, що воно є інваріантним відносно парасупералгебри, що включає два твірних елемента.

У підрозділі 3.7 розв'язано задачу про рух зарядженної частинки зі спіном у схрещених постійних електричному та магнітному полях.



ВИСНОВКИ

Знайдено незвідні зображення класу розширеної парасупералгебри, що включає 10 базисних елементів звичайної алгебри Пуанкаре, парасуперзарядів та центральних зарядів ().

Описано структуру алгебри внутрішніх симетрій і доведено, що ця алгебра ізоморфна алгебрі .

Побудовано зображення розширеної парасупералгебри Пуанкаре в термінах операторів народження та знищення параферміонів.

Знайдено коваріантні зображення парасупералгебри Пуанкаре в термінах параграссманових змінних.

Побудовано лінійні фізичні моделі, інваріантні відносно парасупералгебри Пуанкаре. Знайдено парасуперсимметричне узагальнення нелінійних суперсимметричних моделей Весса-Зуміно та Весса-Зуміно-Вайнберга.

Побудовано тензор-біспінорні рівняння, інваріантні відносно перетворень з групи Пуанкаре, які описують частинку з довільним напівцілим спином.

Знайдено загальну форму тензор-біспінорних рівнянь, що описують аномальну взаємодію зарядженої частинки з лінійним електромагнітним полем (яке описується тензором поля ), та показано, що ці тензор-біспінорні рівняння залишаються причинними.

Побудовано самоузгоджену модель аномальної взаємодії зарядженої частинки, квадратичну по електромагнітному полю .

Досліджено модель на основі тензор-біспінорних рівнянь руху частинки зі спіном в постійному магнітному полі та в схрещених магнітному та електричному полях з урахуванням аномальної взаємодії та показано, що в такій моделі відсутні критичні значення напруженості полів, при яких виникають комплексні значення енергії.

Встановлено парасуперсиметрію тензор-біспінорних рівнянь для частинки, яка рухається у постійному магнітному полі.



ПУБЛІКАЦІЇ

1. Галкін О.В. Парасупералгебра Пуанкаре і парасуперсимметрична теорія поля // Праці Ін-ту математики НАН України. - 1998. - Т. 19. - С. 73-79.

2. Galkin A. Poincare parasuperalgebra with central charges // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2000. - 30, Part 2. - P. 333-340.

3. Galkin A. Tensor-bispinor equation for doublets // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2001. - 36. - P. 67-77.

4. Galkin A. Equation for spin 3/2 with anomalous interaction // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2002. - 43, Part 2. - P.616-622.

5. Galkin A. Equations for doublets of particles with half-integer spin and parasupersymmetry // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2003. - 50. - P. 752-759.

6. Nikitin A., Galkin А. Extended Poincare parasuperalgebra with central charges and invariant wave equation // J. Phys. A: Math. Gen. - 2000. - 33, N 12. - P. 8525-8547.

7. Nikitin A., Galkin A. Extended Poincare parasuperalgebra with central charges and Wess-Zumino-Weinberg Model // Nucl. Phys. B. - 2001. - 102-103. - P. 323-327.

Размещено на Allbest.ru

...