Спектральний аналіз сингулярно збурених диференціальних операторів другого порядку
Необхідні та достатні умови подібності до самоспряженого або нормального оператора для деяких модельних індефінітних операторів Штурма-Ліувілля з сингулярним потенціалом функції Дірака. Спектральні властивості мінімального симетричного оператора L0.
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 27.08.2014 |
| Размер файла | 95,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Дифференциальные операторы вида L= r(x) _1A, где r(x) -- индефинитная весовая функция, а A - самосопряженный неотрицательный дифференциальный оператор, возникает во многих задачах механики и физики. В работах Гильберта, Хольмгрена, Вейля, Гарбэ были исследованы спектр (распределение собственных значений, осциляционные свойства) и свойства разложимости по собственным функциям таких задач. Камкэ доказал полноту системы собственных и присоединенных функций в классах гладких функций. Первые результаты о базисности по Риссу для операторов с дискретным спектром появились в работах Билза, Капера, Лекеркеркера, Зеттла для конкретных дифференциальных операторов. Первые общие результаты были получены Р. Билзом в 1985 году. Основные результаты для случая 0ess(L) получены С.Г.Пятковым, Б.Чургусом, Г.Лангером, А. Фляйге, А.И. Парфеновым. Первые результаты для случая A ? 0, но 0c(L), были получены в 1995 году в работах Б.Чургуса, Б.Наймана, А.Фляйге с помощью спектральной теории неотрицательных операторов в пространствах Крейна. Позже, используя резольвентный критерий подобия самосопряженному оператору, И.М. Карабаш, М.М. Маламуд, М.М. Фаддеев и Р.Г. Штеренберг получили условия подобия самосопряженному для различных модельных классов операторов Штурма-Лиувилля.
Одна из главных целей диссертации _ исследование вопроса о подобии самосопряженному оператору в случае, когда 0ess(A) и индефинитный вес имеет простейший вид r(x)=sgn x. При этом в качестве A выбираются обыкновенные дифференциальные операторы второго порядка.
Главный объект второй главы диссертации - дифференциальный оператор Lw =(sgn x)w(x)-1d2/dx2, где w(x) - положительная весовая функция на числовой оси R. При естественных ограничениях на вес w(x) доказана дефинизируемость оператора Lw, а также вещественность спектра. Используя спектральную теорию дефинизируемых операторов в пространствах Крейна, а также резольвентный критерий подобия, получены новые достаточные условия подобия в терминах веса w(x). Также получено новое необходимое условие подобия в терминах m-функций Вейля-Титчмарша. При помощи этого условия доказано, что для веса w(x)=(3|x|+1)-4/3 оператор Lw не подобен самосопряженному в гильбертовом пространстве L2(R, w(x)dx). На языке дефинизируемых операторов этот факт означает следующее: построен пример J-неотрицательного оператора с сингулярной критической точкой нуль. Также приведен пример неотрицательного оператора Штурма-Лиувилля A= - d2/dx2 +q такого, что J-неотрица-тельный оператор L=(sgn x)(- d2/dx2+q) не подобен самосопряженному в L2(R).
Оператор Lw является несамосопряженным расширением симметрического оператора Lmin с вырожденными граничными условиями в нуле. Более того, оператор Lmin имеет конечные и равные индексы дефекта. В третьей главе изучен вопрос о том, как влияет изменение граничного условия в нуле на подобие самосопряженному, или нормульному оператору. Для квазиэрмитовых расширений симметрического оператора Lmin, задаваемого дифференциальным выражением , либо ( D=-id/dx), получен критерий подобия нормальному и самосопряженному операторам. Результаты продемонстрированы на примерах операторов с точечным взаимодействием в нуле .
Четвертая глава посвящена исследованию оператора неоднородной струны с трением на левом конце LS=codiag(id/dx; id/dM(x)), появившемуся в работах М.Г. Крейна и А.А. Нудельмана. Главным инструментом при исследовании спектральных свойств операторов, мало отличающихся от самосопряженных или унитарных, является характеристическая функция оператора, появившаяся в работах М.С.Лившица, Б.С.-Надя и Ч.Фояша. Характеристическая функция, а также связанные с ней объекты, отвечают несамосопряженной части резольвенты оператора. В четвертой главе изучается минимальный симметрический оператор L0, естественным образом связанный с оператором LS. Получено простое описание собственных расширений оператора L0, в частности описаны расширения, имеющие скалярную характеристическую функцию, а также указана простая чисто техническая процедура для их вычисления. Эти результаты применяются к исследованию оператора LS, который является максимальным аккумулятивным расширением оператора L0.
Ключевые слова: подобие, несамосопряженный оператор, J-самосопряженный оператор, дефинизируемый оператор, самосопряженный оператор, нормальный оператор, симетрический оператор, спектр, резольвента, характеристическая функция оператора, струна Крейна.
ABSTRACT
Kostenko A.S. Spectral analysis of singularly perturbed differential operators of the second order. _ Manuscript.
Thesis for candidate's degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - The Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2006.
Two classes of non-self-adjoint differential operators are considered. For singular differential operators with an indefinite weight function a question of similarity either to a self-adjoint or to a normal operator is studied. Let w(x) be a positive function (weight) on the real line R. In Chapter 2, necessary and sufficient conditions of similarity to a self-adjoint operator are obtained for the operator Lw =(sgn x)w(x)-1d2/dx2. An example of the operator Lw with the singular critical point zero is constructed. We also construct a nonnegative Sturm-Liouville operator - d2/dx2 +q such that the J-nonnegative operator (sgn x)(- d2/dx2+q) has a singular critical point zero and does not similar to a self-adjoint operator. In Chapter 3, the operators with the singular point interaction at zero are considered. A criterion of similarity to a self-adjoint (normal) operator in terms of coefficients c1,c2C has been obtained. In Chapter 4, the operator LS of the inhomogeneous string S with friction at the left end-point is studied in the framework of extension theory of symmetric operators. Using the concept of boundary triplets and the corresponding Weyl functions as a main tool, spectral properties of the symmetric operator L0 LS are investigated.
Key words: similarity, non-self-adjoint operator, J-self-adjoint operator, definitizable operator, self-adjoint operator, normal operator, symmetric operator, spectrum, resolvent, operator's characteristic function, the Krein string.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Зведення до канонічного вигляду кривих і поверхонь другого порядку методом ортогональних перетворень, побудова їх за заданими канонічними рівняннями. Визначення лінійних операторів та квадратичних форм. Власні вектори та значення лінійного оператора.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 13.11.2012Поняття лінійного оператора, алгебраїчні операції над ним та базові властивості. Лінійні перетворення (оператори) із простору V в W. Матриця лінійного оператора. Перетворення матриці оператора при заміні базису. власні значення і власні вектори.
курсовая работа [452,3 K], добавлен 25.03.2011Означення і найпростіші властивості лінійних операторів. Контрольний приклад отримання власних значень. Матриця лінійного оператора. Опис та текст програми. Власні вектори й значення лінійного оператора. Теорія лінійних просторів та її застосування.
курсовая работа [74,8 K], добавлен 28.03.2009Функція двох змінних, методика визначення її головних параметрів. Поняття екстремуму функцій двох змінних, необхідні та достатні умови її існування. Особливості визначення екстремуму функції за деяких умов, які обмежують область зміни аргументів.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 22.10.2014Аналіз рівняння еліпсоїда, властивостей кривих і поверхонь другого порядку. Канонічне рівняння гіперболи за допомогою перетворень паралельного переносу й повороту координатних осей. Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами.
курсовая работа [137,1 K], добавлен 27.12.2010Спектральний розклад кореляційної функції та представлення стаціонарних (в широкому сенсі) послідовностей. Екстраполяція, інтерполяція та фільтрація. Регулярні послідовності та напрямки їх аналізу. Перевірка гіпотези про двоїстість та ортогоналізацію.
контрольная работа [986,8 K], добавлен 20.06.2015Определение оператора в гильбертовом пространстве. Индексы дефекта симметрического оператора. Преобразование Кэли и формулы Неймана. Формула Крейна для резольвент самосопряженных расширений заданного симметрического оператора, доказательство теорем.
курсовая работа [190,6 K], добавлен 18.08.2011- Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора
История нестандартного анализа. Линейные операторы. Обратный оператор. Обратимость. Резольвента линейного оператора. Резольвентное множество. Спектр. Введение в нестандартный анализ. Пример неархимедовой числовой системы.
дипломная работа [256,2 K], добавлен 08.08.2007 Определение линейного оператора. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента. Операторы: умножения на непрерывную функцию; интегрирования; сдвиг
дипломная работа [267,4 K], добавлен 27.05.2008Важливість ролі власних векторів. Векторний простір і лінійний оператор в ортогональному проектуванні його на площину. Роль одновимірних інваріантних підпросторів. Вигляд матриці оператора в базисі, що складається з власних векторів цього оператора.
лекция [120,9 K], добавлен 19.06.2011Аксіоматика і основні метричні формули псевдоевклідової площини. Канонічні рівняння кривих другого порядку (параболи, еліпса, гіперболи). Елементи загальної теорії кривих другого порядку псевдоевклідової площини. Перетворення координат рівняння.
презентация [787,6 K], добавлен 17.01.2015Математична постановка задач пошуку умов повної керованості в лінійних стаціонарних динамічних системах керування. Представлення систем диференційних рівнянь управління в просторі станів. Достатні умови в критеріях повної керованості Е. Гільберта.
дипломная работа [2,0 M], добавлен 16.06.2013Розгляд крайової задачі для нелінійного рівняння другого порядку. Вивчення різницевого методу розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Метод прогонки - окремий випадок методу Гауса. Програма на алгоритмічній мові Turbo Pascal.
курсовая работа [49,7 K], добавлен 10.04.2011Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь у частинних похідних 2-го порядку, початкові і крайові умови. Метод сіток та представлення часткових похідних у скінчено-різницевому вигляді. Структура похибки розв'язку задачі, стійкість і коректність.
курсовая работа [986,6 K], добавлен 22.08.2010Рассмотрение понятия тождественного (единичного) оператора. Анализ методов решения линейных однородного и неоднородного уравнений. Ознакомление с определением эрмитовости оператора. Доказательство теоремы о свойствах ортогональности собственных функций.
реферат [19,6 K], добавлен 16.08.2010Умови та особливості використання модифікованого методу Ейлера для отримання другої похідної в кінцево-різницевій формі. Два обчислення функції за крок. Метод Ейлера-Коші як частковий випадок методу Рунге-Кутта. Метод четвертого порядку точності.
презентация [171,0 K], добавлен 06.02.2014Многочлены над числовыми полями. Теорема о делении с остатком. Основные алгебраические структуры. Понятие линейного пространства, его базис и изоморфизм. Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве. Ранг и дефект линейного оператора.
учебное пособие [342,8 K], добавлен 02.03.2009Динаміка розвитку поняття ймовірності й математичного очікування. Закон більших чисел, необхідні, достатні умови його застосування. Первісне осмислення статистичної закономірності. Поява теорем Бернуллі й Пуассона - найпростіших форм закону більших чисел.
дипломная работа [466,6 K], добавлен 11.02.2011Поняття диференційованості, похідної, диференціала. Теореми про диференційованість деяких відображень. Частинні похідні вищих порядків та матриця Якобі. Достатні умови диференційованості. Теореми про "скінченні прирости". Диференціали вищих порядків.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 08.10.2011Диференціальні операції другого порядку. Потік векторного поля. Формула Остроградського-Гаусса в векторній формі. Властивості соленоїдального поля. Інваріантне означення дивергенції. Формула Стокса у векторній формі. Властивості потенціального поля.
реферат [237,9 K], добавлен 15.03.2011
