Задачі мінімаксного спостереження для лінійних дескрипторних систем

Размещено на http://allbest.ru

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень

ЗАДАЧІ МІНІМАКСНОГО СПОСТЕРЕЖЕННЯ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ ДЕСКРИПТОРНИХ СИСТЕМ

Виконав Жук Сергій Миколайович

Київ-2006

АНОТАЦІЯ

Жук С.М. Задачі мінімаксного спостереження для лінійних дескрипторних систем. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень."-- Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

У дисертації вивчаються задачі мінімаксного спостереження для лінійних дескрипторних систем. В основу дослідження покладено ідеї теорії лінійних замкнених операторів та співвідношення двоїстості за Фенхелем для опуклих функціоналів спеціального вигляду. Запропоновано нові означення мінімаксних оцінок. Для широкого класу лінійних дескрипторних систем розроблено новий підхід до розв'язання задач гарантованого оцінювання. Одержано необхідні та достатні умови існування мінімаксних апріорних та апостеріорних оцінок, достатні умови дуальності задач мінімаксного спостереження та оптимального керування, представлення мінімаксних апріорних та апостеріорних оцінок скалярних добутків та лінійних функціоналів, заданих на множині розв'язків лінійного дескрипторного диференціального рівняння, для спеціальних обмежень на невідомі параметри. Описано зв'язки між програмними та позиційними мінімаксними оцінками.

Для квадратичних обмежень одержано представлення мінімаксних позиційних та програмних оцінок у вигляді розв'язків двоточкових крайових задач для дескрипторних систем, одержано достатні умови еквівалентності мінімаксних апріорної та апостеріорної оцінок, записано рівняння мінімаксної фільтрації (неперервний та дискретний час).

дескрипторний мінімаксний калман алгебраїчний

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дескрипторні системи є ефективним засобом проведення прикладних досліджень. У якості прикладу згадаємо хоча б об'єктно-орієнтоване середовище Modelica, де для математичного опису моделей складних фізичних систем використовуються лінійні та нелінійні дескрипторні рівняння, що можна пояснити особливостями їх внутрішньої структури, зокрема, наявністю алгебраїчної та диференціальної складових. Серед інших галузей застосування дескрипторних систем відмітимо математичну економіку, робототехніку, обробку зображень і теорію керування. Прикладна значущість дескрипторних систем (ДС) обумовлює актуальність вивчення цілої низки питань, серед яких умови існування та єдиності розв'язків відповідних рівнянь, чисельні методи, задачі спостереження та оптимального керування. З-поміж прикладних проблем системного аналізу важливий клас становлять так звані обернені задачі: за спостереженнями про стан системи потрібно відновити деякі її характеристики. Досить часто навіть в ідеалізованій ситуації досліджувана система перебуває під впливом зовнішніх сил, вичерпний опис яких відсутній. При цьому інформація про деякі параметри обраної математичної моделі, як правило, є неповною: відомості про невизначені величини (початкові умови, коефіцієнти відповідних рівнянь тощо) задаються шляхом опису множин обмежень, яким ці величини підпорядковані. Іншим джерелом невизначеностей є спостереження за станом системи: властивості похибок вимірювання або шумів (наприклад, стохастичні характеристики випадкових процесів, якими моделюється шум), необхідні для адекватного математичного опису процесу спостереження, частково невідомі, натомість задані лише відповідні множини обмежень. Описана ситуація вкладається у постановки обернених задач в умовах неповної інформації, відомих також як emphзадачі мінімаксного спостереження. Теорія гарантованого (мінімаксного) оцінювання, предмет якої становлять згадані задачі, була започаткована в роботах М.М. Красовського і розроблялася зусиллями О.Б. Куржанського, О.Г. Наконечного, Б.М. Бублика, Б.М. Пшеничного, М.Ф. Кириченка, Ю.К. Подлипенка, В.Н. Кунцевича, Г.М. Бакана та їхніх учнів. Переважна більшість одержаних ними результатів стосувалася однозначно розв'язних лінійних рівнянь. У тому випадку, коли стан системи описується лінійним неоднозначно розв'язним рівнянням, виникає додатковий ступінь невизначеності: розв'язки рівняння, які відповідають фіксованому допустимому збуренню, відрізняються між собою на довільний елемент деякоголінійного многовиду, що в свою чергу спричиняється до появи у лінійній моделі спостережень "невідомої" адитивної складової. Задачі мінімаксного оцінювання для таких систем були поставлені та розв'язані у роботах О.Г. Наконечного і Ю.К. Подлипенка. Що стосується ЛДС, то відомі дотепер інструменти теорії мінімаксного оцінювання (означення мінімаксних програмних та позиційних оцінок, методи їх відшукання) виявились малоефективними у застосуванні до цих систем через брак таких властивостей оператора системи як нетеровість та нормальна розв'язність. Це зумовило необхідність розробки нових методів гарантованого оцінювання з урахуванням специфіки ЛДС.

Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційного дослідження є розробка методів апріорного (програмного) та апостеріорного (позиційного) гарантованого оцінювання значень лінійних функціоналів на множині розв'язків лінійних дескрипторних рівнянь з дискретним і неперервним часом. Мета дисертаційного дослідження зумовила постановку і розв'язання наступних задач: запропонувати нові означення мінімаксних апріорних та апостеріорних оцінки і похибки, які б узгоджувались з відомими, враховували специфіку ЛДС і вказували шлях до розв'язання відповідних задач гарантованого оцінювання; дослідити необхідні та достатні умови скінченності мінімаксної похибки, існування та єдиність мінімаксної оцінки; описати клас функціоналів, для яких мінімаксна похибка скінченна; дослідити умови дуальності задач спостереження та керування для ЛДС; запропонувати способи представлення мінімаксних оцінок для випадку різних типів обмежень.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі запропоновано новий підхід до розв'язання задач гарантованого оцінювання для ЛДС, заснований на ідеях опуклого аналізу і теорії лінійних необмежених операторів у спеціальних гільбертових просторах. За допомогою розробленого у дисертації математичного апарату (теореми двоїстості для опуклих функціоналів спеціального вигляду, лема про опорний функціонал множини Лебега опуклого функціоналу) одержано необхідні і достатні умови скінченності мінімаксної похибки, достатні умови дуальності задач мінімаксного оцінювання і керування для ЛДС, необхідні і достатні умовиіснування і єдиності мінімаксної апостеріорної оцінки, достатні умови існування і єдиності мінімаксної апріорної середньоквадратичної оцінки. У випадку квадратичних обмежень на основі принципу дуальності запропоновано різні представлення мінімаксних оцінок, встановлено достатні умови представлення оцінок у вигляді розв'язків крайових задач типу Ейлера, за допомогою мінімаксного дескрипторного фільтру, одержано достатні умови еквівалентності програмних та позиційних оцінок Для систем з дискретним часом запропоновано процедуру рекурентного обчислення (аналог дискретного фільтру Калмана) мінімаксної апостеріорної оцінки.

Практичне значення одержаних результатів. Теоретичний підхід, запропонований у дисертації, може бути використаний під час досліджень, пов'язаних із гарантованим оцінюванням лінійних функціоналів на множині розв'язків широкого класу рівнянь з лінійним щільно визначеним замкненим оператором у гільбертовому просторі для спеціальних обмежень на невідомі параметри. Одержані результати можна застосувати у дослідженнях, пов'язаних з системами лінійних алгебраїчних рівнянь, права частина яких задана неточно або під час вивчення задач відновлення стану динамічних систем за результатами спостережень в умовах неповної інформації про параметри системи та шум у каналі спостереження. Такі задачі виникають наприклад у робототехніці, обробці зображень, матекономіці. Деякі з одержаних у дисертації результатів використовувались у програмах спецкурсів з методів гарантованого оцінювання та оптимізації, що читається студентам факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету, цілі, об'єкт, предмет та методи дослідження, викладено нові наукові положення, запропоновані у дисертації, і описано ступінь їхньої новизни. Перший розділ присвячено стислому огляду літератури, вибору напрямків та загальної методики проведення наукових досліджень. У другому розділі вивчаються задачі мінімаксного оцінювання лінійних функцій на множині розв'язків лінійних дескрипторних різницевих рівнянь у випадку опуклих компактних обмежень на невизначеності. Дослідження проводиться на основі методів гарантованого оцінювання, розроблених для лінійних алгебраїчних рівнянь.

Поставимо собі за ціль оцінити лінійну функцію на множині розв'язків за допомогою афінної функції від спостережень, яку ми будемо називати оцінкою. Кожній оцінці поставимо у відповідність гарантовану похибку оцінювання називається мінімаксною апріорною середньоквадратичною оцінкою. Число називається мінімаксною середньоквадратичною похибкою.

Розглянемо інший метод гарантованого оцінювання. Нехай задовольняє. Застосування теорем 1-2 продемонструємо на прикладі задачі мінімаксного апостеріорного оцінювання лінійних функцій на множині розв'язків дискретної ЛДС за спостереженнями для випадку квадратичних обмежень.

Якщо і матриця має лінійно незалежні стовпчики при , то для довільного мінімаксна апостеріорна оцінка скалярного добутку за спостереженнями до -моменту включно має вигляд де обчислюється за допомогою аналогу мінімаксного фільтру Калмана.

У третьому розділі вивчаються задачі мінімаксного спостереження для лінійних дескрипторних диференціальних рівнянь. У першому підрозділі дається операторна інтерпретація ЛДС та встановлюються деякі властивості відповідних операторів.

Припустимо, що динаміка досліджуваної системи на обмеженому сегменті описується лінійним диференціальним рівнянням єдиний розв'язок якого лежить у класі абсолютно неперервних вектор-функцій і майже скрізь задовольняє. З'ясуємо, що ми будемо розуміти під розв'язком у випадку довільної сталої прямокутної матриці . Для цього скористаємось методами теорії необмежених лінійних операторів. Введемо лінійний оператор.

Обговорення. Оператор означено подібно до того, як це було зроблено в роботах С.Г. Крейна у випадку крайових задач для лінійних диференціальних рівнянь -порядку. Як це випливає з структури введеного операторного рівняння вектор-функція з простору належить множині розв'язків при фіксованих початковій умові та правій частині , якщо вектор-функція абсолютно неперервна, має похідну класу, яка майже скрізь задовольняє, і виконано. Відмітимо, що запропоноване означення розв'язку дозволяє уникнути обмежень структури матриць та вимог достатньої гладкості правої частини у і, водночас, узгоджується з відповідними роботами Г.О. Куріної та О.І. Костюкової. Подальше вивчення задач мінімаксного спостереження для лінійних дескрипторних диференціальних рівнянь проводиться за допомогою встановлених у дисертації допоміжних фактів, серед яких замкненість оператора , формула інтегрування по частинах для вектор-функцій з просторів та , співвідношення двоїстості для образів та прообразів опуклих функціоналів відносно лінійного замкненого щільно визначеного оператора, формула опорного функціоналу лебегової множини опуклого функціоналу (випадок гільбертового простору). Нижче розглянуто постановки задач і методи мінімаксного оцінювання лінійних функціоналів на множині розв'язків ЛДС.

Ми будемо вважати, що інформація про вигляд початкової умови , правої частини та кореляційної функції випадкового процесу є неповною.

Поставимо собі за ціль наблизити значення лінійного функціоналу на множині розв'язків за допомогою значень афінного функціоналу. Функціонал з деякого допустимого класу ми будемо називати оцінкою. Зважаючи на невизначеності, спричинені відсутністю інформації про точний вигляд та неоднозначністю оператора , якість апроксимації функціоналу оцінкою ми будемо характеризувати за допомогою функціоналу

Оцінку , що є одним із розв'язків варіаційної нерівності називають апріорною мінімаксною середньоквадратичною оцінкою. Вираз називають мінімаксною середньоквадратичною похибкою.

Обговорення. Новизна запропонованого означення полягає у тому, що обчислення найбільшого відхилення оцінки від оцінюваного виразу проводиться на множині . Останнє вказує спосіб відшукання самої оцінки: застосування теорем двоїстості образів та прообразів опуклих функціоналів відносно лінійних необмежених операторів. При цьому збережено основну ідею програмного оцінювання, що полягає в обчисленні для заданої оцінки "гарантованого відхилення" (середньоквадратичної відстані при "найгірших" , ) і його мінімізації. Введене означення не використовує такі властивості оператора системи, як однозначність, нормальна розв'язність, -нормальність та -нормальність, відтак може застосовуватись під час вивчення широкого класу систем, стан яких описується лінійним рівнянням із замкненим щільно визначеним оператором. Розглянемо інший інструмент теорії мінімаксного спостереження - апостеріорне оцінювання. Нехай задовольняє і відома реалізація вектор-функції.

Множина називається апостеріорною множиною. Вираз, що задовольняє умову називають мінімаксною апостеріорною оцінкою. Число називають мінімаксною апостеріорною похибкою оцінювання.

Обговорення. Новизна запропонованого означення полягає у тому, що оцінка виразу шукається у вигляді . Тут множина являє собою альтернативний варіант апостеріорної множини і складається з усіх таких розв'язків, які тільки і можуть призвести до появи заданого вектора вигляду. Водночас у даному означенні збережено основну ідею позиційного оцінювання, що полягає в уточненні гарантованої похибки у відповідності до відомих результатів спостережень. Ця ідея відбилася у структурі множини.

Якщо - опуклі обмежені замкнені підмножини , відповідно, то де - найбільший лінійний багатовид, що міститься в опуклому конусі .

Вигляд лінійного многовиду визначає сукупність оцінюваних функціоналів та множину допустимих оцінок . Водночас, за структурою можна судити про можливість переходу від задачі оцінювання розв'язків прямої системи до спеціальної задачі оптимізації для спряженої системи. Для випадку нормально розв'язного оператора , зокрема у класичному випадку невиродженої матриці , такий перехід завжди можливий як це випливає з рівності. Але у загальному випадку для деякої прямокутної матриці знайдуться та опукла замкнена обмежена множина , для яких тобто вектор не зобов'язаний належати множині значень спряженого оператора, відтак дуальність задачі спостереження до задачі оптимізації спряженою системою у загальному випадку може порушуватись. У наступній теоремі виділено один клас множин , для елементів якого задача мінімаксного оцінювання еквівалентна задачі оптимізації спеціального вигляду для спряженої системи.

Якщо при , то крайова задача має розв'язок і для мінімаксних середньоквадратичних оцінки та похибки справедливе представлення.

Йдеться про наближене обчислення значення узагальненого псевдооберненого оператора на векторі . Для функціоналу запропоновано критерій приналежності проекції на до множини оцнюваних функціоналів : збіжність функціональної послідовності у відповідному гільбертовому просторі; разом із тим границя послідовності буде мінімаксною середньоквадратичною оцінкою . При цьому одержано достатню умову представлення мінімаксної середньоквадратичної оцінки за допомогою розв'язків крайової задачі (аналог системи Ейлера для лінійно-квадратичної задачі керування).

Якщо , то мінімаксна апостеріорна оцінка збігається з мінімаксною середньоквадратичною апріорною оцінкою. Тоді мінімаксна апостеріорна оцінка лінійного функціоналу має вигляд апостеріорноъ похибки.

Сформулюємо основні результати для випадку оцінювання лінійних функціоналів, що не можуть бути представлені у вигляді скалярного добутку простору. З цією метою введемо поняття квазімінімаксних оцінки та похибки. Сукупність усіх , для кожного з яких при фіксованих множина розв'язків ЛДС непорожня, позначимо через . Оцінку , що знаходиться згідно означення при назвемо квазімінімаксною.

Припустимо, що , матрична функція є розв'язком задачі Коші для дескрипторного матричного рівняння Ріккаті на , а задовольняє лінійне дескрипторне рівняння.

Тоді квазімінімаксні середньоквадратичні оцінка і похибка мають вигляд

Якщо, водночас, дескрипторне рівняння має розв'язки і - один з них.

ВИСНОВКИ

У дисертації проведено дослідження задач мінімаксного спостереження для лінійних дескрипторних систем на основі ідей теорії лінійних замкнених операторів та співвідношень двоїстості за Фенхелем для опуклих функціоналів спеціального вигляду. Серед основних результатів для неперервного випадку відмітимо наступні

- запропоновано новий підхід до розв'язання задач гарантованого оцінювання, розроблено необхідний математичний апарат;

- описано вигляд множини оцінюваних функціоналів;

- встановлено критерій скінченності мінімаксної похибки;

- одержано достатні умови застосовності принципу дуальності Калмана;

розповсюджено на ЛДС зв'язок між апріорними та апостеріорними мінімаксними оцінками;

знайдено достатні умови існування і представлення мінімаксних та квазімінімаксних оцінок у вигляді розв'язків двоточкових крайових задач, за допомогою неперервного мінімаксного фільтру.

Для ЛДС з дискретним часом запропоновано рекурентну процедуру обчислення мінімаксної апостеріорної оцінки при квадратичних обмеженнях. Це дозволяє за результатами спостережень, що надходять в реальному часі, перераховувати на ЕОМ мінімаксні оцінки розв'язків лінійних дескрипторних систем.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Жук С.М. Мінімаксні задачі спостереження для лінійних дескрипторних різницевих рівнянь // Тавр.вісн.інформ. і мат."-- 2005."-- 2."-- C.14-24.

2. Жук С.М. Мінімаксні задачі спостереження для лінійних дескрипторних диференціальних рівнянь // Ж. обч. прикл. мат."-- 2005."-- 2"-- C.39-46.

3. Жук С.М. Минимаксное оценивание решений систем линейных алгебраических уравнений с сингулярными матрицами // Пробл.упр.и информ."-- 2004."-- 3."-- C.121-130.

4. Жук С.М. Апостеріорні мінімаксні оцінки розв'язків систем лінійних алгебраїчних рівнянь з сингулярними матрицями // Вісник Київського університету. Cер.фіз.-мат.науки."-- 2004."-- 3."-- C. 211-214.

5. Жук С.М. Мінімаксні задачі спостереження для сингулярних лінійних різницевих рівнянь // Тавр.вісн.інформ. і мат."-- 2005."-- 1."-- C.16-24.

6. Жук С.М. Мінімаксне оцінювання розв'язків лінійних алгебраїчних рівнянь з сингулярними матрицями // Abstr. Int.Worksh. PDMU-2004."-- Тернопіль, 2004."-- C.126-128.

7. Жук С.М. Мінімаксні апостеріорні оцінки розв'язків сингулярних лінійних алгебраїчних рівнянь // у зб. "Суч.проблеми мат.моделювання, прогнозування та оптимізації."-- Кам'янець-Подільський, 2004."-- С.252-254.

8. Zhuk S. Multicriterion linear algebraic equations solutions estimation problem under uncertainty // Abs.I.Conf.PDMU-2003."-- Алушта."-- 2003."-- P.53-54.

9. Zhuk S. On minimax mean-square estimations for descriptor systems // Abs. Int. Conf. PDMU-2005."-- Berdyansk."-- 2005."-- P.76-77.

Размещено на Allbest.ru