Математичне моделювання та оптимізація руху антропоморфних крокуючих систем

Размещено на http://www.allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ІМ. Я. С. ПІДСТРИГАЧА

УДК 531.8+62-50

Математичне моделювання та оптимізація руху антропоморфних крокуючих систем

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико - математичних наук

Литвин Богдан Андрійович

Львів 2006

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України

Захист відбудеться “ 3 ” березня 2006 р. о 15 годині в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою: вул. Наукова 3б, м. Львів, 79060.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України (вул. Наукова 3б, м. Львів, 79060).

Автореферат розіслано “ 2 ” лютого 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор фізико-математичних наук Р. М. Мартиняк

Анотації

Литвин Б. А. Математичне моделювання та оптимізація руху антропоморфних крокуючих систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України. Львів, 2006.

У дисертаційній роботі розвинуто математичні моделі, розроблено числово-аналітичну методику та алгоритми розв'язання низки нових задач математичного моделювання та оптимізації руху антропоморфних крокуючих систем з активними і пасивними керуваннями та нестаціонарними дискретно-неперервними обмеженнями на фазові координати і керування. Запропонована методика ґрунтуються на використанні експериментальних даних біомеханічних досліджень ходи людини, параметризації незалежно варійованих функцій кубічними згладжувальними сплайнами та числових методах нелінійного математичного програмування. Досліджено низку нових задач комп'ютерного моделювання та оптимізації ходи людини як в нормі, так і з протезованою гомілкою на підставі даних експериментальних досліджень, задачу сукупної оптимізації режимів руху і конструктивних параметрів пасивних приводів двоногого крокуючого робота. Встановлено умови еквівалентності досліджуваних задач, що дозволило побудувати розв'язки за допомогою єдиної числово-аналітичної методики.

Ключові слова: математична модель, оптимальне керування, антропоморфна крокуюча система, параметрична оптимізація руху, протез гомілки, пасивний привід, числовий алгоритм, нелінійне програмування.

Литвин Б. А. Математическое моделирование и оптимизация движения антропоморфных шагающих систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и численные методы. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины. Львов, 2006.

В диссертационной работе исследуются антропоморфные шагающие системы (АШС) - нелинейные механические системы, моделирующие опорно-двигательный аппарат человека, биотехнические системы “человек-протез”, двуногие шагающие роботы с активными и пассивными приводами. Получили дальнейшее развитие математические модели АШС, разработаны численно-аналитическая методика и соответствующие алгоритмы решения ряда задач оптимального управления движением исследуемых систем с учетом нестационарных дискретно-непрерывных фазовых ограничений, построенных на основании экспериментальных данных биомеханических исследований ходьбы человека. Методика базируется на параметризации независимо варьируемых функций кубическими сглаживающими сплайнами, использовании концепции обратных задач механики и численных методов нелинейного математического программирования.

Решен ряд новых задач математического моделирования ходьбы человека с учетом экспериментальных биомеханических данных как в норме, так и с протезированной голенью. Решена задача оптимизации режимов движения и конструктивных параметров двуногого шагающего робота с кусочно-постоянными жесткостными характеристиками пассивных приводов в стопах ног. Установлены условия эквивалентности исследуемых задач, позволяющие построить их решения в рамках единого численно-аналитического алгоритма.

Численными экспериментами показано, что использование сглаживания при параметризации независимых варьируемых функций кубическими сплайнами в задачах оптимального управления движением АШС позволяет существенно повысить эффективность разработанных алгоритмов оптимизации и улучшить качественные характеристики полученных решений.

Разработано соответствующее программное обеспечение (на языке Object Pascal в интегрированной среде Delphi 5), позволяющее в интерактивном режиме осуществлять решение и анализ задач оптимизации АШС.

Совокупность полученных результатов позволяет решать практически важные задачи компьютерного моделирования ходьбы человека и двуногих шагающих роботов, рассчитывать динамические и энергетические характеристики ходьбы человека с учетом экспериментальных биомеханических данных и использовать их в реабилитационных технологиях нижних конечностей, робототехнике и спортивной биомеханике.

Ключевые слова: математическая модель, оптимальное управление, антропоморфная шагающая система, параметрическая оптимизация движения, протез голени, пассивный привод, численный алгоритм, нелинейное программирование.

Lytwyn B.A. Mathematical modelling and optimization of anthropomorphic locomotion systems' motion. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree in physics and mathematics by speciality: 01.05.02 - mathematical modelling and computational methods. - Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, L'viv, 2006.

The dissertation develops a numerical-analytical method and algorithms for solving new problems of mathematical modelling and optimization of anthropomorphic locomotion systems' motion with active and passive control and nonstationary discrete-continuous restriction on phase coordinates and control. This method is based on the experimental data of biomechanical studies of human gait, on the parameterization of independently variable functions by cubic smoothing splines and on numerical methods of nonlinear mathematical programming. The set of new computer modelling problems of human gait in normal and with below-knee prosthesis based on experimental data, new problems of optimization gait and passively controlled parameters of bipedal walking robot are studied. The equivalence conditions for considered problems enabling the development of solutions using a unique numerical-analytical method are established.

Keywords: mathematical model, optimal control, anthropomorphic locomotion systems, parametric motions optimization, below-knee prosthesis, passive device, numerical algorithm, nonlinear programming.

антропоморфний лагранж диференціальний

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Останнім часом широко досліджуються задачі моделювання процесу ходи антропоморфних крокуючих систем (АКС) - нелінійних механічних систем, якими моделюють опорно-руховий апарат (ОРА) людини, біотехнічні системи “людина-протез”, двоногі людиноподібні крокуючі роботи. Розробка крокуючих систем, покликаних замінити людину в шкідливих, небезпечних для її перебування умовах, вирішення проблем реабілітації інвалідів із втраченими руховими можливостями ОРА вимагає вдосконалення існуючих та розвитку нових підходів до моделювання та оптимізації керованих рухів АКС.

До цього часу недостатньо дослідженими є задачі оптимального керування АКС, в яких враховуються “природна” ритміка руху та обмеження на переміщення ніг, що ґрунтуються на експериментальних біомеханічних дослідженнях, асиметричність ходи, притаманна людині з протезованою гомілкою, динаміка пасивних приводів, зокрема, протезів гомілки, а також інші кінематичні і динамічні в'язі на фазовий стан та керування АКС.

Моделювання ходи АКС пов'язане з розв'язанням задач динаміки, керування та оптимізації для багатовимірних нелінійних систем деревовидної структури з нестаціонарними змішаними обмеженнями як на фазові координати, так і на керування. Ці обмеження суттєво ускладнюють процес розв'язування оптимізаційних задач. Можливість розв'язувати такі задачі появилась завдяки сучасному розвитку обчислювальної техніки.

Значний внесок у вивчення проблем кінематики, динаміки та керування рухом АКС належить, зокрема, Альошинському С. Ю., Бернштейну Н. А., Білецькому В. В., Бербюку В. Є., Ларіну В. Б., Морейнісу І. Ш., Формальському А. М., Hatze H., McGeer R., Morecky A., Pedotti A., Schiehlen W., Wucobratovich M., Winter D. A., Goswami A., Chessй S., Bessonnet G., Chevallereau C. та іншим вченим.

Розв'язування задач динаміки, оптимізації режимів руху та конструктивних параметрів нелінійних динамічних систем, до яких належать АКС, потребує розробки ефективних числових методів, алгоритмів та відповідного програмного забезпечення для математичного моделювання складних розгалужених динамічних систем з нестаціонарними, змінними за структурою обмеженнями на фазові координати і керування. У цьому напрямку можна відзначити роботи Алпатова А. П., Гаращенка Ф. Г., Кириченка М. Ф., Крака Ю. В., Скопецького В. В., Сопронюка Ф. О., Ambrosio J., D. van Campen, Maisser P., Schiehlen W., O. von Stryk, та інших авторів.

Науковим завданням дисертаційної роботи є формулювання задач моделювання і оптимізації керованих рухів АКС, розробка числово-аналітичних методик розв'язання відповідних задач оптимального керування для АКС з нестаціонарними змішаними обмеженнями на фазові координати та керування, створення відповідного програмного забезпечення.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано в рамках науково_дослідних тем ІППММ ім. Я. С. Підстригача НАН України “Розробка методів оптимізації нелінійних динамічних систем із змішаними обмеженнями на структуру керованих процесів та їх застосування в задачах робототехніки і біомеханіки” (1998-2002 рр., № держреєстрації 0198U002531), “Розробка методів оптимізації процесів керування та параметрів нелінійних механічних систем з активними та пасивними приводами і їх застосування в задачах робототехніки і біомеханіки” (2003-2006 рр., № держреєстрації 0103U00130), а також госпдоговірної теми “Математичне моделювання та біомеханічні дослідження стану опорно-рухового апарату пацієнтів і розробка комп'ютерної системи оцінки якості протезування” (1997-2002 рр.) на замовлення УкрНДІ протезування, протезобудування та відновлення працездатності (м. Харків).

Метою даної дисертаційної роботи є розвиток існуючих та побудова нових математичних моделей АКС, дослідження задач оптимізації ходи АКС з активними і пасивними приводами та з урахуванням нестаціонарних дискретно-неперервних обмежень на фазові координати і керування, побудованими за даними експериментальних біомеханічних досліджень, розробка числової методики та алгоритму сукупної оптимізації законів руху та конструктивних параметрів пасивних приводів двоногого крокуючого робота.

Досягнення поставленої мети передбачає розв'язання таких задач:

за допомогою диференціальних рівнянь Лагранжа другого роду описати динаміку руху АКС, на підставі експериментальних біомеханічних даних сформулювати ритмічні, кінематичні та динамічні обмеження антропоморфного руху АКС;

Розробити числово-аналітичну методику та алгоритми розв'язання задач оптимального керування рухом АКС з активними і пасивними керуваннями та нестаціонарними дискретно-неперервними обмеженнями на фазові координати і керування;

розробити методику обробки експериментальних біомеханічних даних (подографії і гоніометрії) та на їх основі розробити методику обчислення кінематичних, динамічних та енергетичних характеристик ходи людини як у нормі, так із протезованою гомілкою;

розв'язати задачу сукупної оптимізації режимів руху та конструктивних параметрів двоногого крокуючого робота з пасивними кусково-лінійними пружними приводами ступень ніг;

розробити програмне забезпечення для розв'язання сформульованих задач, візуалізації та аналізу ритмічних, кінематичних, динамічних, енергетичних характеристик результатів математичного моделювання руху АКС.

Об'єктом досліджень є антропоморфні крокуючі системи - нелінійні механічні системи, якими моделюють опорно-руховий апарат людини, біотехнічні системи “людина-протез”, двоногі крокуючі роботи з активними і пасивними керуваннями.

Предметом досліджень є задачі моделювання та оптимізації процесу ходи і конструктивних параметрів антропоморфних крокуючих систем.

Методи дослідження. Математичним апаратом для дослідження руху антропоморфних крокуючих систем вибрано процедуру рівняннь Лагранжа другого роду, методи оптимального керування нелінійними механічними системами, концепція обернених задач механіки, методи параметризації з використанням кубічних згладжувальних сплайнів та числові методи нелінійного математичного програмування.

Наукова новизна роботи полягає в наступному:

Запропоновано новий оптимізаційний підхід до математичного моделювання руху керованих АКС. Новизна підходу ґрунтується на розв'язанні задач енергетично оптимального керування рухом відповідної нелінійної механічної системи з урахуванням нестаціонарних дискретно-неперервних фазових обмежень, побудованих на основі експериментальних біомеханічних даних.

У рамках запропонованого підходу побудовано нові математичні моделі ходи людини як в нормі, так і на протезі гомілки із врахуванням експериментальних біомеханічних даних та модель ходи двоногого крокуючого робота з кусково-постійними пружними характеристиками пасивно-керованих приводів в ступнях ніг.

Вперше розроблено числово-аналітичну методику і відповідні алгоритми комп'ютерного моделювання та оптимізації ходи антропоморфних крокуючих систем в рамках побудованих математичних моделей. Доведено теореми, які встановлюють умови еквівалентності досліджуваних задач оптимального керування, що дозволяє розв'язувати дані задачі в рамках єдиного підходу.

Розв'язано низку нових задач моделювання ходи людини як в нормі, так і з протезованою гомілкою, із врахуванням експериментальних біомеханічних даних. Вперше розв'язано задачу математичного моделювання енергетично-оптимального руху двоногого крокуючого робота з кусково-сталими пружними характеристиками пасивно-керованих приводів в ступнях ніг.

Практичне значення отриманих результатів. Сукупність отриманих результатів дозволяє ставити та розв'язувати практично важливі задачі комп'ютерної імітації руху антропоморфних крокуючих систем (людини, як в нормі, так і з протезованою ногою, та двоногого крокуючого робота з пасивними приводами в ступнях ніг).

Розроблені числово-аналітична методика, алгоритми та програми дозволяють розраховувати динамічні і енергетичні характеристики ходи людини на основі даних експериментальних досліджень і використовувати їх в реабілітаційних технологіях, наприклад, в протезуванні ніг людини. Числово-аналітичні алгоритми розв'язання нелінійних задач оптимального керування із складними нестаціонарними обмеженнями на фазові координати і керування, які запропоновані в дисертації, можуть бути широко використані для вдосконалення існуючих та розробки нових ефективних систем керування для АКС різноманітного призначення.

Вірогідність отриманих наукових результатів забезпечується побудовою обґрунтованих математичних моделей; строгою математичною постановкою досліджуваних задач; використанням апробованих числових методів розв'язання задач математичного програмування; узгодженістю отриманих результатів математичного моделювання з відомими даними експериментальних досліджень та з результатами інших авторів.

Реалізація та впровадження результатів роботи. Розроблений в дисертації програмний модуль у вигляді бібліотеки DLL (Dynamic Link Library) включено у програмний комплекс “Аналіз ходи людини і оцінка якості протезування”, який впроваджено в УкрНДІ протезування, протезобудування та відновлення працездатності (м. Харків) в рамках робіт з госпдоговірної теми “Математичне моделювання та біомеханічні дослідження стану опорно-рухового апарату пацієнтів і розробка комп'ютерної системи оцінки якості протезування” (1997-2002 рр.).

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що увійшли до дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. У публікаціях, написаних у співавторстві, дисертантові належить побудована математична модель, числово-аналітична методика, розробка алгоритму та відповідних програм розв'язання задач параметричної оптимізації режимів руху АКС, числові експерименти і комп'ютерне моделювання енергетично-оптимальної ходи людини [1], побудовані математичні моделі, числово-аналітична методика, розробка алгоритму та програм, числові експерименти і комп'ютерне моделювання ходи людини за експериментальними даними [3], та з протезованою гомілкою [6], оптимізації ходи [7] і конструктивних характеристик пасивних приводів двоногого крокуючого робота [4, 8].

Апробація результатів. Матеріали дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998); 6-й Українській конференції з автоматичного керування “Автоматика - 99” (Харків, 1999); Міжнародній конференції “Advances in Computational Multibody Dynamics” (Лісабон, Португалія, 1999); 6-й Всеукраїнській науковій конференції “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях” (Львів, 1999); 7-й Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2000); Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (Київ, 2001); 5-у Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 2001); 8-й Міжнародній конференції “Стійкість, керування і динаміка твердих тіл” (Донецьк, 2002); Міжнародній конференції “Обчислювальна та прикладна математика” (Київ, 2002); Міжнародній конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 2003); Конференціях молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я. С. Підстригача (Львів, 2004, 2005); Міжнародній конференції “Multibody Dynamics” (Мадрид, Іспанія, 2005).

У цілому дисертаційна робота доповідалась на науковому семінарі Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України; на науковому семінарі кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету ім. Тараса Шевченка; на науковому семінарі кафедри прикладної математики факультету прикладної математики і інформатики Львівського національного університету ім. Івана Франка.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 24 друковані праці [1-24], з них 6 статей [1-6] у фахових виданнях, 3 статті у збірниках праць міжнародних наукових конференцій [7, 8, 10]. Основні результати дисертаційної роботи подано у статтях [1-6].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і додатку, що містять 126 ілюстрацій і 18 таблиць. Список використаної літератури охоплює 138 найменувань. Загальний обсяг дисертації - 109 сторінок.

2. Основний зміст роботи

У першому розділі наведено огляд математичних моделей, задач оптимізації руху, числових методів розв'язування задач оптимального керування стосовно АКС. Окреслено проблеми, які досліджуються в дисертаційній роботі.

У другому розділі описується плоска нелінійна дев'ятиланкова механічна модель АКС.

Опорно-руховий апарат людини моделюється плоскою системою з дев'яти твердих тіл, з'єднаних ідеальними циліндричними шарнірами (рис. 1). Система складається із вагомого інерційного корпусу (тіло NG) і двох чотириланкових ніг. Тіла, які моделюють стегна (NKi) і гомілки (KiAi), є вагомими та інерційними. Безінерційні тіла HiAiMi, MiSi моделюють ступню i-ї ноги. Керований рух системи відбувається внаслідок взаємодії сили тяжіння, керуючих моментів сил qi, ui, pi, wi, що діють відповідно у тазостегнових (ТШ), колінних (КШ), гомілковоступневих (ГШ), плесно-фалангових (ПШ) шарнірах, та сил реакції опорної поверхні.

,

,

; (1)

, при , i=1, 2,

,

при , i=1, 2, (2)

де M - маса системи, Kr = rm, Kai = mairai + ai(mbi + mfi), Kbi = mbirbi + bimfi, , ; ai, bi, r, rai, rbi, J, Jai, Jbi, m, mai, mfi- лінійні та масоінерційні параметри її ланок.

Хода людини в усталеному режимі є періодичним процесом з періодом, що дорівнює тривалості подвійного кроку. Для визначеності вважатимемо, що нога з індексом i=1 на початку подвійного кроку починає фазу опори. Вибрано таку послідовність фаз руху ступень: перекат через п'ятку, опора на всю ступню, плесно-фаланговий перекат, перекат через носок, перенесення ступні над поверхнею опори. Задаються часові параметри тривалості фаз руху ступні 1-ї ноги: t[0, h1) - перекат через п'ятку; t[h1, m1) - опора на всю ступню; t[m1, T1] - плесно-фаланговий перекат; t(T1, s1) - перекат через носок; t[s1, T) - перенесення ступні. Аналогічно визначаються фази руху ступні 2-ї ноги: t(, s2) - перекат через носок; t[s2, T1) - перенесення ступні; t[T1, h2) - перекат через п'ятку; t[h2, m2) - опора на всю ступню; t[m2, T] - плесно-фаланговий перекат. На введені часові параметри накладаються “природні” ритмічні умови

0<s2<m1<T1< s1<m2<T, (3)

де Ti - тривалість i-го одинарного кроку, T=T1+T2.

Вибрана послідовність ритмічних фаз характеризується кінематичними умовами антропоморфного руху ніг:

yhi(t)0, ysi>ymi>0, Mi(t)=0, t[i, hi),

yhi>0, ymi(t)ysi(t)0, t[mi, 1+i],

yhi(t) ymi(t)ysi(t)0, t[?hi, mi),

, , (4)

, , . (5)

, .

На закон руху досліджуваної механічної системи накладаються ряд обмежень динамічного характеру, які повинні враховуватиcь під час побудови антропоморфної ходи:

, ,

,

, , ,

, . (6)

Задаються умови періодичності руху механічної системи та кінематичні умови контактування ступень з поверхнею опори в початковий і кінцевий моменти часу:

,

(7)

де - вектор розмірності 11; Li - довжина i-го одинарного кроку, L=L1+L2; , ; .

Через ,, позначено міжланкові кути в шарнірах N, і відповідно:

i=1, 2.

Сформульовано таку задачу оптимального керування.

Задача 2.1. Нехай на основі експериментальних досліджень ходи людини задані довжини і тривалості одинарних кроків Li і Ti, i=1, 2, та області зміни міжланкових кутів ,, :

,

, , , (8)

де - функції, побудовані на основі експериментальних даних про ходу людини. Потрібно знайти для такий рух механічної системи і відповідні керування , i=1, 2, які з огляду на рівняння (1), (2) і обмеження (3)-(8) мінімізують функціонал

. (9)

Функціонал E1 оцінює питому (на одиницю довжини) механічну роботу моментів сил, що діють у шарнірах системи на проміжку подвійного кроку [0, T].

Алгоритм розв'язання задачі 2.1 ґрунтується на її зведенні до відповідної задачі нелінійного математичного програмування шляхом параметризації мінімально необхідної кількості незалежно варійованих функцій кубічними згладжувальними сплайнами.

Аналіз кінематичних умов (4) дозволяє вибрати таку множину незалежно варійованих функцій:

, , ,

, , , ,

, ,

, , (10)

де xg - абсциса центру маси корпуса.

Теорема 2.1. При виконанні обмежень (4), (7) для заданих незалежно варійованих функцій (10) вектор узагальнених координат системи разом із похідними визначається однозначно

Доведення теореми 2.1 здійснюється конструктивним шляхом і описує алгоритм визначення вектора узагальнених координат з похідними , . На основі концепції обернених задач механіки визначається керування системи.

Теорема 2.2. Нехай задано вектор-функцію таку, що задовольняє обмеження (4), (7). Тоді згідно з рівняннями (1), (2):

1. На одноопорних фазах руху, , керування qi, ui, pi, wi та реакції опори Rix, Riy, xRi, i=1, 2, визначаються однозначно.

2. На двоопорних фазах руху, , система, яка є статично невизначеною, довизначається за допомогою функцій xR1, xR2, і керування q1, q2, u1, u2, p1, p2, w1, w2 та реакції R1y, R2y, Rix, , i=1, 2, визначаються однозначно.

Доведення теореми 2.2 також здійснюється конструктивним шляхом і описує алгоритм розрахунку керуючих зусиль, прикладених до системи qi, ui, pi, wi, Rix, Riy, xRi, i=1, 2, для заданого вектора узагальнених координат ?? Функції xR1, xR2, довизначаються за допомогою лінійної інтерполяції за їх значеннями на суміжних одноопорних фазах руху.

Для параметризації незалежно варійованих функцій множин 1, 2, 3 використовуються кубічні згладжувальні сплайни. Відомо, що кубічний згладжувальний сплайн отримується внаслідок розв'язування задачі

(11)

і визначається значеннями та коефіцієнтами згладжування у точках розбиття , а також одним із таких типів граничних умов: періодичність першої та другої похідних

, (12)

задані значення першої похідної

. (13)

При цьому частину параметрів , , визначаємо із умов теореми 2.1. Алгоритм побудови функцій множин 1, 2, 3, що задовольняють умови теореми 2.1, буде такий. Спершу будуємо функції K1, K2, t[0, T], як розв'язок задач (11), (12). Використовуючи значення параметрів , , та знайдені раніше , i=1, 2, j=1,2,3, знаходимо , , , і аналогічно будуємо функції x, xg. Використовуючи значення , та параметрів оптимізації , знаходимо , , і будуємо функції , , , розв'язуючи задачу (11), (13). Коефіцієнти згладжування для вузлів , що співпадають з 1, 2, 3 для функцій x, xg, 2, 3, покладаємо рівними нулеві. Побудову функцій множин 4, 5 здійснюємо за допомогою лінійної інтерполяції з урахуванням обмежень (5), (8). Отже, задача 2.1 зводиться до задачі параметричної оптимізації вигляду

, , (14)

де функція Q0(C) розраховується на основі функціонала (9), вектор-функція обмежень Q(C) - на основі обмежень типу нерівностей із кінематичних та динамічних умов (4)-(6), (8). Одержану в результаті задачу параметричної оптимізації розв'язуємо числовим методом Розенброка у поєднанні з процедурою зовнішніх штрафних функцій.

Моделювалась симетрична хода людини в нормальному темпі для T1=T2=0.57 с, L1=L2=0.755 м. Оптимізація здійснювалась за 76 параметрами. Для розрахованого енергетично-субоптимального керованого процесу обчислені за функціоналом (9) питомі енерговитрати становлять 122 Дж/м. Кінематичні та динамічні характеристики знайденого розв'язку зображено на рис. 2-10 жирними лініями. Час t виражено у відсотках тривалості подвійного кроку. Тонкі лінії на рис. 2-4 відповідають обмеженням (8). Області зміни динамічних характеристик, які побудовані на підставі відомих даних експериментальних досліджень, наведено на рис. 5-9 тонкими лініями. На рис. 10 наведено графік зміни точки нуль-моменту.

Проведено числові дослідження впливу параметрів методу (коефіцієнтів згладжування кубічних сплайнів, послідовностей штрафних коефіцієнтів) на одержані субоптимальні кінематичні, динамічні та енергетичні характеристики керованих рухів досліджуваної системи. Числовими дослідженнями показано, що згладжування дозволяє суттєво підвищити ефективність розв'язання задачі нелінійного математичного програмування (14), уникнути неприродних осциляцій в керуваннях та реакціях опори.

На основі описаної методики запропоновано алгоритми розв'язання низки задач, які описані в наступних двох розділах.

У третьому розділі подано методику розрахунку кінематичних і динамічних характеристик ходи людини як в нормі, так і з протезом гомілки на підставі гоніометричних даних експериментальних досліджень кінематики руху людини та динамометричних вимірювань характеристик пружності вузлів протезного пристрою.

В підрозділі 3.1 наведено методику обробки експериментальних гоніометричних і подографічних даних біомеханічних досліджень ходи людини. Збурення в експериментальних даних усуваються методом медіанної цифрової фільтрації. На основі даних, що одержуються на послідовності близько 20-ти подвійних кроків, будуються середньоквадратичні області зміни кутів у ТШ, КШ, ГШ на проміжку одного подвійного кроку.

В підрозділі 3.2 розглянуто дві задачі моделювання ходи людини для заданих гоніометричних даних у 4-х (КШ і ГШ) та 6-ти (ТШ, КШ, ГШ) основних суглобах опорно-рухового апарату людини. В першій задачі припускаємо, що з експериментальних досліджень відомі значення кутів у колінних та гомілково-ступневих суглобах , , , з деякими похибками , :

, , . (15)

Задача 3.1. Нехай задано значення міжланкових кутів , з похибками , , а також довжини та тривалості одинарних кроків Li, Ti, i=1, 2. Потрібно знайти для такий рух механічної системи (t) і відповідні керування , i=1, 2, які з огляду на рівняння (1), (2) і обмеження (3)-(7), (15) мінімізують функціонал (9).

Встановлено умови еквівалентності задач 2.1 та 3.1.

Теорема 3.1. За умов , , , , задача 2.1 еквівалентна задачі 3.1.

Моделювалась симетрична хода людини в нормальному темпі для Li=0.755 м, Ti=0.57 c, i=1, 2. Оптимізація здійснювалась за 34 параметрами. Для розрахованого енергетично-субоптимального керованого процесу обчислені за функціоналом (9) питомі енерговитрати становлять 105 Дж/м. Одержаний керований процес задовольняє основні ритмічні, кінематичні і динамічні обмеження антропоморфного руху, які сформульовані в другому розділі, і узгоджується з відомими експериментальними даними.

У наступній задачі моделювання здійснюється із використанням експериментальних гоніометричних даних у 6-ти основних суглобах ОРА людини. Недостатня точність гоніометричних даних не завжди дозволяє обчислити (в рамках прийнятої механіко-математичної моделі ходи) сили, під дією яких відбувається рух. Для вирішення цієї проблеми запропоновано підхід, який полягає у формулюванні відповідної задачі оптимального керування. Розв'язок цієї задачі визначає такий рух механічної системи, який є близьким (в сенсі вибраного функціонала) до заданих експериментальних даних.

Задача 3.2. Нехай задано значення міжланкових кутів а також довжини та тривалості одинарних кроків Li, Ti, i=1, 2. Потрібно знайти для такий рух механічної системи ??(t) і відповідні керування , i=1, 2, які з огляду на рівняння (1), (2) і обмеження (3)-(7) мінімізують функціонал

(16)

де E1 розраховується згідно з (9),

- безрозмірна величина, яка характеризує відхилення міжланкових кутів від їх реальних значень,

, , .

Встановлено умови еквівалентності задач 2.1 та 3.2.

Теорема 3.2. За виконання умов: , , , , , , , , задачі 2.1 та 3.2 еквівалентні ( - коефіцієнти штрафів в задачі (14)).

Отже, із теорем 3.1 і 3.2 випливає, що для розв'язання задач 3.1 і 3.2 можна використати той самий алгоритм, яким розв'язувалась задача 2.1.

Моделювалась симетрична хода людини в нормальному темпі, T1=T2=0.57 c, L1=L2= =0.68 м. У побудованій числовій схемі оптимізація здійснювалась за 34 параметрами. У функціоналі (16) параметр k=103. Обчислені енерговитрати E1=115 Дж/м. Отримані числові результати свідчать про достовірність та ефективність розробленої методики.

В підрозділі 3.3 розглядається задача моделювання ходи людини з протезованою гомілкою на підставі експериментальних даних. Побудовано нову модель ОРА людини з протезованою гомілкою. У цій моделі припускаємо, що тіла K1A1, H1A1M1, M1S1 моделюють гомілку протезованої ноги і протез. Моменти p1 i w1 у шарнірах A1 i M1 є пасивними і генеруються силами в'язкості та пружності протеза гомілки. Рух системи описується диференціальними рівняннями (1), (2), які доповнюються обмеженнями на моменти у протезі

. (17)

На фазі перенесення протезованої кінцівки задаються кінематичні обмеження вигляду

. (18)

Задача 3.3. Нехай на основі експериментальних досліджень ходи людини згідно методики, описаної в підрозділі 3.1, задано області зміни міжланкових кутів (8) відповідно у шарнірах N, Ki, Ai, динамічні характеристики протеза гомілки, які описуються функціями , , а також довжини та тривалості одинарних кроків Li, Ti, i=1, 2. Потрібно знайти для такий рух механічної системи ??(t) і відповідні керування , i=1, 2, які з огляду на рівняння (1), (2) і обмеження (3)-(8), (17), (18), мінімізують функціонал

(19)

Функціонал (19) оцінює питому механічну роботу активних моментів у збережених суглобах ОРА.

Встановлено умови еквівалентності задач 2.1 та 3.1.

Теорема 3.3. За умов (17), (18) і задача 2.1 еквівалентна задачі 3.3.

На основі умов теореми 3.3 алгоритм розв'язання задачі 2.1 адаптовано до розв'язання задачі 3.3 так: обмеження (17) враховано за допомогою штрафних функцій, умови (18) визначають функції множини 4.

Здійснювалось моделювання ходи людини з ампутованою гомілкою (на рівні середньої третини), масою 71 кг і зростом 1.80 м. Згідно з експериментальними дослідженнями T=1.08 c, 1=0.48T, L1=0.543 м, L2=0.555 м. При числовому моделюванні асиметричної ходи оптимізація здійснювалась за 133 параметрами. Час обчислень на комп'ютері типу Athlon 1700 становив близько 15 хв. Для розрахованого енергетично-субоптимального керованого процесу обчислені за функціоналом (19) питомі енерговитрати становлять 155.7 Дж/м. Відносна середньоквадратична похибка відхилення від експериментальних даних не перевищує 5 %. На рис. 11, 12 тонкими лініями наведено моменти p1, w1, розраховані згідно з рівняннями (1), (2), жирними - згідно з (17). Горизонтальна і вертикальна складові сил реакції опорної поверхні наведені на рис. 13-16 жирними лініями, тонкими лініями показані області, побудовані за даними експериментальних досліджень ходи людини в нормі.

У четвертому розділі формулюється задача сукупної оптимізації законів руху і конструктивних параметрів двоногого крокуючого робота (рис. 17) з пасивними приводами у ступнях ніг. Пасивні приводи у шарнірах системи моделюються набором пружин з кусково-сталою загальною жорсткістю (рис. 18). Конструктивними параметрами, що оптимізуються, вибрано значення коефіцієнтів кутової жорсткості та значення міжланкових кутів у відповідних шарнірах, у яких ці коефіцієнти змінюються. Динаміка пасивного приводу описується такими співвідношеннями:

(20)

(21)

де , - вектори конструктивних параметрів приводів.

За наявності пасивних приводів на кінематику руху ступень робота накладаються обмеження вигляду

, (22)

які описують нейтральне (ненавантажене) положення ступні робота під час її перенесення. Обмеження антропоморфності руху ніг робота (8) записано у вигляді

,

. (23)

В обмеженнях (23) функції Ni, Ni,Ki, Ki, Ai, Ai будуються на основі даних експериментальних досліджень ходи людини. При цьому обмеження на кути в КШ і ГШ робота накладаються лише на фазі опори.

Задача 4.1. Для заданих і знайти такі параметри p, w і такий рух робота та відповідні моменти сил , які за умов (3)-(7), (22), (23) задовольняють рівняння (1), (2), (20), (21) і мінімізують функціонал

, (24)

де L - довжина одинарного кроку, p, w - області зміни конструктивних параметрів . Функціонал (24) оцінює роботу активних приводів робота.

Встановлено умови еквівалентності задач 2.1 та 4.1.

Теорема 4.1. За умов (20)-(22) і , , , , , задача 2.1 еквівалентна задачі 4.1.

Згідно з умовами теореми 4.1 алгоритм розв'язання задачі 2.1 адаптовано до розв'язання задачі 4.1 так: умови (20), (21) враховано за допомогою штрафних функцій, параметри , включено у вектор параметрів оптимізації задачі 2.2. Обмеження (22) враховано під час побудови функцій множин 4, 5.

Моделювалась симетрична хода робота для T=1.14 с, L=0.755 м. Одержаний оптимальний закон руху робота характеризується енерговитратами E=102 Дж/м. На рис. 19, 20 жирними лініями наведено керуючі моменти, які генеруються у пасивних приводах. Ті ж моменти, обчислені згідно з рівняннями (1), (2), наведено тонкими лініями. Відносна середньоквадратична похибка порушення обмежень (20), (21) не перевищує 5%. Активні моменти у шарнірах та реакції опори наведено на рис. 21-24 жирними лініями. Тонкими лініями наведено відповідні характеристики, побудовані на підставі експериментальних досліджень ходи людини.

Загальна кількість параметрів оптимізації складала 62. Час розв'язання задачі на комп'ютері PIII-650 МГц не перевищував 30 хв., що свідчить про ефективність запропонованого підходу. Аналіз отриманих числових результатів розв'язання задачі 4.1 показує, що для локомоційного робота з пасивними приводами в ступнях можна побудувати закон руху, близький до ходи людини за кінематичними характеристиками.

В додатку А описується розроблене програмне забезпечення (на мові OBJECT PASCAL в програмному середовищі Delphi 5), за допомогою якого розв'язувались описані в дисертації задачі оптимізації АКС.

Основні результати і висновки

Дисертаційна робота присвячена розвитку математичних моделей, розробці нових числових методик, алгоритмів, засобів комп'ютерного моделювання ходи АКС з активними та пасивними приводами з урахуванням нестаціонарних дискретно-неперервних обмежень на фазові координати та керування, що ґрунтуються на даних експериментальних досліджень ходи людини. У роботі отримано такі основні наукові результати:

Уточнено модель АКС, яка враховує природну ритміку руху ніг, кінематичні та динамічні обмеження, побудовані на підставі експериментальних біомеханічних досліджень ходи людини. Побудовано дві нові моделі АКС - опорно-рухового апарату людини з протезованою гомілкою та двоногого крокуючого робота з пасивними приводами в ступнях ніг.

У рамках побудованих моделей розв'язано низку задач енергетично оптимального керування рухом АКС з урахуванням нестаціонарних дискретно-неперервних фазових обмежень (задачі моделювання ходи людини як у нормі, так і з протезованою гомілкою на основі експериментальних даних). Вперше розв'язано задачу сукупної оптимізації режимів руху та конструктивних параметрів двоногого крокуючого робота з кусково-сталими пружними характеристиками пасивно-керованих приводів у ступнях ніг.

Розроблено числово-аналітичну методику та алгоритми комп'ютерного моделювання та оптимізації ходи АКС, яка ґрунтується на параметризації узагальнених координат механічної системи кубічними згладжувальними сплайнами та зведенні задачі оптимального керування до відповідної задачі нелінійного математичного програмування.

Встановлено умови еквівалентності досліджених задач оптимального керування, що дозволяє будувати їх числові розв'язки за допомогою єдиної числово-аналітичної методики.

Числовими експериментами показано, що застосування згладжування під час параметризації незалежно-варійованих функцій кубічними сплайнами в задачах оптимального керування АКС дозволяє суттєво підвищити ефективність алгоритму оптимізації та покращити якісні характеристики розв'язків. Також встановлено доцільність використання у задачах моделювання руху та оптимізації АКС незалежних послідовностей штрафних коефіцієнтів для урахування обмежень.

Публікації за темою дисертаційної роботи

1. Бербюк В. Є., Литвин Б. А. Математичне моделювання ходи людини на основі оптимізації керованих процесів біодинамічних систем // Мат. методи та фіз.-мех. поля.- 1998. - Т. 41, №3. - С. 153-161.

2. Литвин Б. А. Використання кубічних згладжувальних сплайнів у задачі оптимального керування рухом двоногого крокуючого робота // Вісник Львів. ун-ту. Сер. Прикладна математика та інформатика. - 1999. - Вип. 1. - С. 156-160.

3. Бербюк В. Є., Демидюк М. В., Литвин Б. А. Математичне моделювання ходи людини на підставі експериментальних даних // Вісник Львів. ун-ту. Сер. Прикладна математика та інформатика. - 2000. - Вип. 3. - С. 88-93.

4. Бербюк В. Є., Демидюк М. В., Литвин Б. А. Параметрична оптимізація ходи та пружних характеристик пасивних приводів двоногого крокуючого робота // Вісник Київ. ун-ту. Сер. Кібернетика. - 2002. - № 3. - С. 17-20.

5. Литвин Б. А. Застосування нелінійної цифрової фільтрації в автоматизованій обробці експериментальних біомеханічних даних ходи людини // Відбір і обробка інформ. - 2005. - Вип. 22 (98). - С. 52-55.

6. Бербюк В. Е., Демыдюк М. В., Литвин Б. А. Математическое моделирование и оптимизация ходьбы человека с протезированной голенью // Проблемы управления и информатики. - 2005 . - № 3. - С. 128-144.

7. Berbyuk V., Bostrm A., Lytwyn B., Peterson Bo. Optimization of Control Laws of the Bipedal Locomotion Systems // Advances in Computational Multibody Dynamics / J.Ambrosio, W. Schiehlen (eds.), IDMEC/IST. - Lisbon (Portugal), 1999. - P. 713-728.

8. Berbyuk V., Bostrm A., Peterson Bo, Demydyuk M., Lytwyn B. Modelling of Controlled Motion of Semi-Passivelly Actuated Bipedal Robot // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: В 2 т. - Львів, 2000. - Т. 2. - С. 275-278.

9. Berbyuk V., Bostrцm A., Lytwyn B., Peterson Bo. Energy-Optimal Control of Bipedal Locomotion Systems // J. Stability and Control: Theory and Application (SACTA).-2002.-Vol.4, № 2.-P.74-89.

10. Viktor Berbyuk, Bogdan Lytwyn, and Myroslav Demydyuk. Energy-optimal control of underactuated bipedal locomotion systems // Proc. Multibody Dynamics 2005: ECCOMAS Thematic Conference. - Madrid (Spain), 2005. - P. 1-15.

11. Berbyuk V., Lytwyn B. The mathematical modelling of the human motions based on the optimization of the biodynamical systems' controlled processes // Сучасні проблеми механіки і математики: Матеріали Міжнар. наук. конф. - Львів, 1998. - С. 111.

12. Литвин Б. А. Використання кубічних згладжувальних сплайнів у задачі оптимального управління рухом двоногого крокуючого робота // Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях: 6-а Всеукраїнська наукова конференція: Тези доповідей. - Львів, 1999. - С. 65-66.

13. Бербюк В. Є., Демидюк М. В., Литвин Б. А. Динамічний аналіз ходи людини на підставі експериментальних кінематичних даних // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: 7-ма Всеукраїнська наукова конференція: Тези доповідей. - Львів, 2000. - С. 9.

14. Бербюк В. Є., Демидюк М. В., Литвин Б. А. Оптимізація параметрів пасивних приводів і законів руху двоногого локомоційного робота // Моделювання та оптимізація складних систем : Міжнародна конференція. - Том 2. - Київ, 2001. - С. 73-74.

15. Бербюк В. Є., Демидюк М. В., Литвин Б. А. Задачі оптимізації законів руху та параметрів пасивних приводів двоногих крокуючих роботів // 5-й Міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові. - 2001. - С. 10.

16. Berbyuk V. E., Demydyuk M. V., Lytwyn B. A. The parametric optimization in human locomotion modeling problems // Proc. 8th International Conference “Stability, Control and Rigid Bodies Dynamics”. - Donetsk (Ukraine), 2002. - P. 7.

17. Бербюк В. Е., Демыдюк М. В., Литвин Б. А. Математическое моделирование ходьбы человека с протезированной голенью // Міжнародна конференція “Обчислювальна та прикладна математика”. - Київ, 2002. - С. 15.

18. Бербюк В., Демидюк М., Литвин Б. Сплайн-апроксимація в задачах оптимізації процесів керування антропоморфних локомоційних систем // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. - Львів, 2003. - С. 413-415.

19. Бербюк В. Є., Демидюк М. В., Литвин Б. А. Параметрична оптимізація законів руху антропоморфних локомоційних систем // Dynamic system modelling and stability investigation: Thesis of Conference reports. - Kyiv, 2003. - P. 277.

20. Демидюк М. В., Литвин Б. А. Обробка експериментальних біомеханічних даних та їх використання в задачах динаміки антропоморфних локомоційних систем // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я. С. Підстригача: Тези доповідей. - Львів, 2004. - С. 67-68.

21. Бербюк В. Є., Демидюк М. В., Литвин Б. А. Параметрична оптимізація в задачах динаміки антропоморфних локомоційних систем // 60-та наукова конференція професорсько-викладацького складу Національного транспортного університету: Тези доповідей. - Київ: НТУ, 2004. - С. 109.

22. Демидюк М., Литвин Б. Методи сплайн-апроксимації в задачах оптимального керування нелінійною динамічною системою з негладким функціоналом // Міжнародна математична конференція ім. В. Я. Скоробогатька: Тези доповідей. - Львів, 2004. - С. 69.

23. Демидюк М., Литвин Б., Ніщенко Н. Параметрична оптимізація в задачах керування антропоморфними локомоційними системами та маніпуляційними системами замкнутого типу // 7 Міжнародний симпозіум інженерів-механіків у Львові: Тези доповідей. -Львів: КІНПАТРІ ЛТД, 2005. - С. 68-69.

24. Литвин Б. А. Автоматизація обчислень та аналізу числових результатів у задачах оптимізації антропоморфних крокуючих систем // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я. С. Підстригача: Тези доповідей. - Львів, 2005. - C. 134-135.

Размещено на Allbest.ru

...