Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Витебский государственный университет им. П.М. Машерова

Кафедра математического анализа и аналитической геометрии

Реферат

по «Аналитической геометрии»

на тему: «Коэффициент зацепления»

Исполнитель: студентка3 курса

физического ф-та группы 3И3

Самохвалова Д.С.

Руководитель: Подоксенов М.Н.

Витебск, 2003

Введение

Топология -- сравнительно молодой и очень важный раздел математики. Известный французский математик Андре Вейль сказал, что за душу каждого математика борются ангел топологии и дьявол абстрактной алгебры, выразив этим, во-первых, необычайное изящество и красоту топологии и, во-вторых, то, что вся современная математика представляет собой причудливое переплетение идей топологии и алгебры. А за последнее время топология все более проникает в физику, химию. Однако проникновение в волшебный мир топологии затруднительно. Подобно тому, как строительные леса, окружающие недостроенное здание, мешают охватить взглядом красоту архитектурного замысла, так многочисленные и утомительные детали построения, заполняющие книги по топологии, затрудняют охватить мысленным взором красивое здание этой математической науки. Даже специалисты-математики нередко отступают перед трудностями на пути овладения топологией (особенно алгебраической топологией).

1. Гомеоморфизм

Отображение f: А В называется взаимно однозначным, если в каждую точку множества В отображается точно одна точка множества А. Это означает, что, во-первых, никакие две различные точки множества А не переходят в одну и ту же точку множества В (не «склеиваются» при отображении f) и, во-вторых, каждая точка множества В поставлена в соответствие некоторой точке множества А (т. е. А отображается на всё множество В, а не на его часть). Для взаимно однозначного отображения f: A В можно определить обратное отображение f--1: В А (которое каждой точке у 5 В cтавит в соответствие точку множества А, переходящую в у при отображении f).

Отображение f: А В называется гомеоморфным отображением (или гомеоморфизмом), если оно, во-первых, взаимно однозначно и, во-вторых, взаимно непрерывно, т. е. не только само отображение f непрерывно, но и обратное отображение f--1 также непрерывно.

Наглядно гомеоморфизм можно представлять себе как такое отображение одного множества на другое, которое происходит и без разрывов, и без склеивания. Например, будем считать, что фигуры А, В «изготовлены» из очень прочного и эластичного материала, и будем допускать любые растяжения и искривления этого материала без разрывов и без образования складок и склеек; если мы сможем при этих условиях «наложить» фигуру А на В, то они гомеоморфны. Так, контур треугольника (или, вообще, любого многоугольника) гомеоморфен окружности.

Пример 1. Поверхность шара, поверхность куба, цилиндра -- все гомеоморфны между собой. Однако эти поверхности не гомеоморфны тору (который можно наглядно Представить себе как поверхность баранки или автомобильной камеры, рис. 1). Поверхность гири (рис. 2) гомеоморфна тору.

Рис. 1.

Рис. 2.

Поучительно сравнить понятие гомеоморфизма и понятие конгруэнтности фигур. В геометрии рассматриваются отображения, сохраняющие расстояния между точками. Они называются движениями (или перемещениями). В результате движения каждая фигура перекладывается на новое место как твердое целое, без изменения расстояний. Две фигуры, которые переводятся одна в другую («совмещаются») с помощью движения, называются конгруэнтными и рассматриваются как одинаковые, как не отличающиеся (с геометрической точки зрения) друг от друга. В топологии рассматриваются отображения, более общие, чем движения, а именно гомеоморфные отображения. Две гомеоморфные между собой фигуры рас-сматриваются (с топологической точки зрения) как одинаковые, не отличающиеся друг от друга. Те свойства фигур, которые не изменяются при гомеоморфных отображениях, называются топологическими свойствами фигур, или топологическими инвариантами (от латинского слова invariant -- неизменный). Изучением топологических свойств фигур и занимается топология.

2. Коэффициент зацепления

Для двух не пересекающихся друг с другом ориентированных контуров x, у в пространстве (х -- первый контур, у -- второй) можно следующим образом определить некоторое целое число, называемое коэффициентом зацепления этих контуров. Рассмотрим нормальную проекцию переплетения х U у на некоторую («горизонтальную») плоскость и пусть a -- двойная точка на этой проекции, в которой контур х идет ниже, чем у. Если, двигаясь вблизи а по направлению контура х, мы увидим (в проекции), что, у пересекает его слева направо (рис. 1, а), то точке a припишем число +1, а если справа налево (рис. 1, б), то -1. В остальных

Рис. 3.

случаях (т. е. если пересекаются два участка одного и того же контура или если контур х проходит выше, чем у) двойной точке а припишем число 0. Сумма этих чисел по всем двойным точкам на проекции называется коэффициентом зацепления и обозначается черезм (х, у).

Пример 1. Для двух соседних звеньев обычной металлической цепи (рис. 2, а) коэффициент зацепления равен ±1 (рис. 2,б). Для контуров, изображенных на рис. 3, имеем м (х, у) = 3.

Рис. 4.

Как мы увидим дальше, коэффициент зацепления м (x,y) зависит лишь от расположения самих контуров ж, у, а не от способа проектирования. Далее, если контуры х, у непрерывно

деформируются в пространстве (например, движутся, как шарнирные ломаные), оставаясь в каждый момент не пересекающимися, то их коэффициент зацепления м (x, у) не меняется. Наконец, отметим, что коэффициент зацепления м (х, у) является (с точностью до знака) изотопическим инвариантом. Иначе говоря, если f -- гомеоморфное отображение трехмерного пространства на себя, то при этом отображения х, у переходят в такие контуры f (х), f (у), что м (f (х), f (y)) = ± м (х, у).

Пример 2 . Дважды перекрученная лента гомеоморфна неперекрученной (.рис. 4) эти фигуры не изотопны друг другу в пространстве. Теперь мы можем это доказать. В самом деле, коэффициент зацепления краев ленты равен в случае дважды перекрученной ленты ±1 (в зависимости от того, в какую сторону перекручена лента), а в случае неперекрученной ленты -- нулю (рис. 5). Поэтому при гомеоморфном отображении пространства на себя дважды перекрученная лента не может перейти в не перекрученную. Дважды перекрученная лента не может быть превращена в неперекрученную, как бы мы ни деформировали ее (оставляя гомеоморфной себе); ведь при такой деформации края ленты перемещаются, не пересекаясь друг с другом, и потому коэффициент зацепления измениться не может. гомеоморфизм конгруэнтность фигура топологический

Пример 3. Постоянный ток I, протекающий по бесконечному прямолинейному проводу Р, создает магнитное поле, напряженность которого на расстоянии r от провода имеет величину

Рис. 5.

равный единице, в заданную точку поля. В рассматриваемом случае потенциал W магнитного поля многозначен. Действительно, если из точки х0 перемещать магнитный полюс в точку а по двум путям, показанным на рис. 6, а, б.

Рис. 6.

то первое перемещение требует дополнительной работы против силы -- на пути 2рr, т. е. дополнительной работы, численно равной 4рI. Мы видим, что один обход вокруг провода (не обязательно по окружности -- можно идти по любому пути) меняет магнитный потенциал W (а) на величину 4 рI. Вообще, после n обходов вокруг провода, где n -- целое число (положительное, отрицательное или нуль), потенциал изменится на 4 рI n. То же выражение для изменения потенциала справедливо в случав любого (не обязательно прямолинейного) провода, Число обходов («витков») пути г вокруг проводника Р равно взятому со знаком минус коэффициенту зацепления проводника Р с путем z , т. е. при обходе вокруг проводника Р по замкнутому пути z магнитный потенциал меняется на величину 4л Im, где т =- м (Р, r). Величину In иногда называют «числом ампервитков» (если ток I измеряется в амперах).

Теперь дадим другое (эквивалентное) определение коэффициента зацепления. Будем представлять себе контуры ж, у лежащими «почти целиком» в плоскости нормальной проекции, так что лишь вблизи двойных точек один из них проходит чуть ниже другого. Далее, рассмотрим ориентированную пленку Q, натянутую на контур у (контур у виден целиком, если смотреть на пленку Q сверху), причем будем считать, что эта пленка «провисает», располагаясь вблизи своего края почти вертикально (рис. 9). Тогда в тех двойных точках, в которых контур х идет выше у, он проходит и выше пленки Q, т. е. не пересекает ее. В тех же точках, где контур у проходит ниже у, он пересекает пленку Q; при этом рассматриваемый участок контура х имеет с пленкой Q индекс пересечения +1, если, глядя по направлению линии х, мы видим, что линия у пересекает ее cлева направо (рис. 10, а) и -1, если пересечение происходит справа налево (рис. 10, б). Из этого следует (если сравнить определение коэффициента зацепления и индекса пересечения), что справедливо равенство

м (x, у) = J(x, Q),

где Q -- двумерная ориентируемая пленка, натянутая на контур у и согласованно с ним ориентированная.

Рис. 6.

Как известно, потенциалом магнитного поля называется работа, которую надо затратить, чтобы из некоторой фиксированной точки х0 (точки нулевого потенциала) переместить магнитный полюс,

Равенство (1) останется справедливым, если взять любую пленку Q. В самом деле, пусть имеются две различные ориентируемые пленки Q, Q', натянутые на контур у и ориентированные согласованно с ним. Рассмотрим разность пленок Q и Q' , т. е. объединение пленки Q с имеющейся на ней ориентацией и пленки Q' с противоположной ориентацией. Эта разность является двумерным целочисленным циклом (даже если Q и Q' пересекаются). Так как индекс пересечения целочисленного цикла ж с этим двумерным циклом равен нулю, то J(x,Q) = J (х, Q').Из равенства (1) следует, что коэффициент зацепления (первоначально определенный с помощью нормальной проекции) н е зависит от выбора плоскости проекции. Из (1) вытекают также и другие упоминавшиеся выше свойства коэффициента зацепления.

Литература

1. В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович. Наглядная топология. - Библиотечка «квант». -М., Наука. 1982.

Размещено на Allbest.ru