Актуальність проблеми. На сьогоднішній день в інженерних додатках одне із провідних місць займають дослідження, які виконуються із застосуванням машинного моделювання різноманітних реальних процесів. Одна з основних причин цього полягає в тому, що комп'ютерне моделювання за своїми витратами в багато разів економічно вигідніше натурних експериментів, а у деяких випадках, побудова фізичної моделі адекватна по своїм експлуатаційним характеристикам справжньому інженерному проекту, а іноді навіть неможлива. Необхідно також звернути уваги на той факт, що сучасні проекти мають все більш складний характер, це пов'язано, насамперед, з виникненням потреби в закладанні нових можливостей у конструкції, що проектуються. Зрозуміло й те, що модель, яка складається з досить великої кількості компонентів, має і велику кількість зв'язків. Часом не тільки неможливо відстежити якісний зв'язок між складовими частинами конструкції, але й навіть виявити весь їх набір.

Математичне моделювання процесів у таких конструкціях має певні труднощі, пов'язані зі складністю геометричної форми відповідних областей. Тому однією з найважливіших проблем, що виникає у багатьох інженерних додатках, є автоматизація побудови геометричних моделей складних інженерних конструкцій. Існуючі підходи, як правило, базуються на конструюванні геометричної моделі об'єкта з набору відповідних типових форм. Такий підхід не завжди дозволяє будувати адекватні геометричні моделі для конструкцій некласичної форми.

Одним із можливих засобів подолання цієї проблеми є застосування методу R-функцій, що дає можливість формально описувати геометричні області довільної форми. Розвитку теорій і методів застосування R-функцій були присвячені роботи В.Л. Рвачова, А.П. Слісаренка, Т.І. Шейко та інших дослідників.

На практиці при розробці різноманітних систем комп'ютерної графіки, або виконанні чисельних розрахунків часто виникає потреба не тільки будувати геометричну модель об'єкта, але й створювати на її базі дискретні моделі, наприклад скінченно-елементні. Розвитку теорій і методів автоматичної дискретизації геометричних об'єктів складної форми присвячені роботи Дж. Рапперта, С. Лавсона, Дж. Шевчука, А.В. Толока, С.І. Гоменюка та інших дослідників. Таким чином, подальший розвиток конструктивних засобів методу R-функцій для геометричного моделювання та дискретизації плоских та просторових геометричних областей некласичної форми є актуальною науковою задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи та отримані результати відповідають основним напрямам наукових досліджень, що виконуються в Запорізькому національному університеті. Дисертаційну роботу виконано в рамках держбюджетних тем № 0102U005339 "Розробка методів і моделювання процесів інформаційної взаємодії в складних розподілених системах з автономними активними компонентами" і № 0103U000721 "Розробка чисельних методів і інструментальних засобів для математичного моделювання статичних і динамічних процесів у складних механічних системах".

Мета й задачі дослідження. Метою дослідження дисертаційної роботи є розробка принципів формалізації опису та дискретизації геометричних моделей складних об'єктів на основі теорії R-функції.

Для досягнення поставленої мети у дисертаційній роботі необхідно розв'язати наступні задачі:

- провести системний аналіз існуючих методів і підходів до процесу геометричного моделювання складних інженерних конструкцій;

- розробити принцип аналітичного конструювання складних каркасних геометричних моделей із простих каркасних геометричних моделей на базі теорії R-Функцій;

- привести до формальної відповідності прості каркасні геометричні моделі й предикати теорії R-функцій;

- розробити апарат аналітичного конструювання складних каркасних геометричних моделей із моделей-предикатів на основі алгоритмів формального опису;

- розробити технологію аналітичного конструювання геометричних моделей складних інженерних конструкцій для розрахунків із застосуванням методу скінченних елементів;

- розробити і виконати апробацію програмного інструментарію для автоматизації геометричного моделювання складних інженерних конструкцій на базі теорії R-функцій.

Об'єктом дослідження є складні інженерні конструкції.

Предметом дослідження є методи одержання дискретного виду поверхні функції, заданої аналітичним і кусочно-аналітичним способом, та методи побудови скінченно-елементних моделей геометричних областей, що описані із застосуванням R-функцій.

Методи дослідження: в процесі розв'язання поставлених задач використовувався математичний апарат теорії R-функцій для побудови геометричних моделей об'єктів складної форми; методи й принципи системного й об'єктно-орієнтованого аналізу, які дозволили виконати дослідження предметної області та її декомпозицію на складові об'єкти й зв'язки між ними, а також запропонувати їх формальний опис і об'єктно-орієнтовану модель; методи прикладного й системного програмування, які дозволили програмно реалізувати систему автоматизації побудови геометричних і дискретних моделей інженерних конструкцій; методи експериментальних досліджень.

Наукова новизна результатів дисертаційної роботи полягає у вирішенні актуальної науково-технічної проблеми розробки конструктивних засобів методу R-функцій для геометричного моделювання та дискретизації плоских та просторових геометричних областей складної форми.

1. Набув подальшого розвитку метод опису геометричних областей складної форми із застосуванням апарату R-функцій. Це спрощує побудову і візуалізацію дискретних моделей для геометричних об'єктів некласичної форми.

2. Вперше запропонований клас простих каркасних геометричних моделей, що поєднується двома основними ознаками: єдиний формальний опис і автоматична дискретизація. Це дозволяє використовувати R-функції як основу в аналітичному конструюванні складних геометричних об'єктів каркасного типу із простих каркасних моделей даного класу, визначених у роботі як предикатні форми.

3. Вперше розроблений принцип використання предикатних форм для застосування алгебри логіки в каркасних моделях на основі теорії R-функції.

4. Вперше запропоновано метод використання теорії R-Функції для побудови складних геометричних об'єктів із предикатних форм, представлених каркасом.

5. Розроблено нову програмну систему аналітичного конструювання складних геометричних дискретних моделей, представлених каркасом на базі теорії R-функції для застосування в інженерних розрахунках.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблені в дисертаційній роботі методи і принципи застосування апарату R-функцій для побудови границь геометричних об'єктів і дискретизації їх на скінченні елементи дозволяють не тільки якісно підвищити результати моделювання, але й застосовувати їх при проектуванні та аналізі складних інженерних конструкцій. Це дозволило створити програмну систему автоматизації геометричного моделювання складних об'єктів, що забезпечує їх ефективну дискретизацію на скінчені елементи у формі трикутників і тетраедрів. Система реалізована у вигляді закінченого програмного продукту, що працює в середовищі операційних систем Windows 95-XP і автоматизує всі основні етапи конструювання дискретних геометричних моделей та їх візуалізацію.

Результати дисертаційної роботи були впроваджені в навчальний процес у Запорізькому національному університеті та в Запорізькому інституті імені гетьмана Петра Сагайдачного Міжрегіональної Академії управління персоналом, що підтверджено відповідними актами.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати, які виносяться на захист, одержані автором самостійно. У роботах, виконаних у співавторстві й опублікованих спільно у спеціалізованих виданнях, що входять до переліку ВАК України, здобувачу належать: [1] - розробка об'єктно-орієнтованої моделі двовимірного геометричного об'єкту; [2] - розробка методів візуалізації чисельних результатів у тривимірному випадку; [3] - розробка концепції візуалізації чисельних результатів у системі FORTU-FEM; [4] - розробка модифікованого методу дискретизації двовимірних об'єктів на скінченні елементи заданої форми; [5] - розробка методу застосування R-функцій для геометричного моделювання та дискретизації геометричних областей складної форми; [6] - побудова моделі представлення даних в препроцесорі інструментальної системи FORTU-FEM.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися на таких науково-технічних конференціях, симпозіумах, форумах і семінарах:

- на міжнародних наукових конференціях "Інформаційні технології в науці, освіті, телекомунікації й бізнесі" (м. Ялта-Гурзуф, 1999-2002 рр.);

- міжнародна конференція з математичного моделювання, присвячена століттю з дня народження Дж. Фон Неймана (ХДТУ, м. Херсон, 2003 р.);

- міжнародна конференція з математичного моделювання (ХДТУ, м. Херсон, 2005 р.);

- на щорічних звітних наукових конференціях викладачів та студентів Запорізького державного університету (1999-2003 рр.);

- на семінарах кафедри прикладної геометрії інженерної і комп'ютерної графіки Київського національного університету будівництва і архітектури (КНУБА, м. Київ 2005 р.);

- кримська науково-практична конференція "Геометричне і комп'ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн" (2004-2005).

- на наукових семінарах кафедр математичного моделювання, інформаційних технологій і прикладної математики Запорізького національного університету.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у 9 друкованих виданнях, у тому числі, 7 у виданнях, що входять до переліків спеціалізованих видань ВАК України.

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів із висновками, загального висновку, списку джерел з 145 найменувань (12 сторінок) та 3 додатків (6 сторінок). Загальний обсяг роботи складає 142 сторінок, у тому числі 103 сторінок основного тексту, ілюстрованого 87 малюнками й 2 таблицями.

Основний зміст роботи

У вступі стисло розглянуто стан досліджень в області геометричного моделювання складних інженерних об'єктів, обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано цілі й задачі дисертації, окреслена сукупність наукових результатів, що виносяться на захист, їх наукова новизна й практична цінність; особистий внесок автора в друковані праці, виконані в співавторстві, а, також, наведено відомості про апробацію результатів дисертації.

Перший розділ містить огляд літератури й аналіз стану проблеми наукових досліджень за темою дисертаційної роботи. Розглянуто основні етапи формування структури геометричного об'єкту, що проектується, та його інформаційної моделі. В результаті виконаного аналізу відзначаються недоліки і проблеми існуючих методів, обґрунтовується необхідність нових ефективних засобів математичного апарату R-функцій для машинного геометричного моделювання і дискретизації на скінченні елементи складних інженерних конструкцій.

У другому розділі наведено огляд існуючих методів опису та побудови геометричних моделей складних інженерних конструкцій, а також методів і алгоритмів автоматичної дискретизації інженерних конструкцій на скінченні елементи. Обґрунтовується, що підсистема побудови дискретних геометричних моделей є однією з найважливіших складових частин будь-якого програмного комплексу моделювання та дослідження широких класів інженерних задач. Від якості побудованих геометричних та дискретних моделей конструкцій, що проектуються, цілком залежить успіх проектування в цілому.

У наш час існують різноманітні засоби опису геометричних моделей. Одним із найбільш поширених - є використання спеціальних CAD-систем, що дозволяють побудувати необхідну модель, як деяку сукупність базових геометричних примітивів. Такий підхід застосовується, наприклад, у САПР ANSYS, COSMOS, COSAR та ін. У цих системах існують бібліотеки базових геометричних примітивів (точка, лінія, сплайн, ламана, куля, конус, куб і т. ін.), над якими визначені базові Ейлерові операції, що дозволяють визначити майже довільну область. Відомі способи пошуку перетинань геометричних об'єктів засновані на визначенні взаємного просторового положення ребер і граней двох і більше розглянутих фігур. При цьому аналізується знак значення детермінанту. Такі алгоритми вимагають чіткого опису напрямку обходу кожної грані (грань представляється трьома крапками) і перебору всіх граней об'єкта, що перетинається, стосовно кожної розглянутої крапки каркаса об'єкта, що перетинає. Це одна із причин формування бібліотек примітивів, описаних за необхідними законами. Неправильний опис топології об'єкта неминуче приводить до помилок алгоритму. До того ж, тривалість алгоритмів перебору завжди проблематична.

Альтернативним є підхід, що полягає в параметричному описі геометричної області за допомогою деякої формальної мови, наприклад, CSG (Constructive Solid Geometry) або STL, що дозволяє описувати топологію невеликих і середніх тривимірних областей. В CSG у текстовому форматі ASCII можна описувати довільну просторову область як логічну комбінацію обмеженого набору базових геометричних примітивів, таких, як площина, циліндр, сфера та інші. Головним недоліком таких підходів є саме обмеженість набору базових геометричних елементів, з яких будується геометрична модель конструкції. Це робить неможливим побудову моделей для областей нетипової конфігурації.

Також у другому розділі розглянуто основні методи і алгоритми дискретизації плоских та просторових геометричних областей, а також виконано їх аналіз. Найпоширеніші методи дискретизації включають два етапи:

1) побудову первинної дискретизації, що є найбільш складною частиною методу, і 2) оптимізація отриманої сітки.

У третьому розділі дисертаційної роботи узагальнені принципи застосування апарату R-функцій для геометричного моделювання та дискретизації областей складної топології. Моделювання триангульованого каркасу геометричних фігур нестандартної форми для застосування в інженерних розрахунках на сучасному етапі є складною геометричною задачею. На сьогоднішній день розроблено велику кількість алгоритмів автоматичної генерації скінченно-елементних сіток. Але принципово складною проблемою є попереднє визначення точок, що належать поверхні вихідної геометричної фігури. Мова йде про поверхні фігур, отриманих шляхом базових логічних операцій (перетинання, об'єднання, віднімання) над простими геометричними фігурами. Тобто, складна геометрична фігура представляє собою композицію базових геометричних примітивів.

В основі теорії R-функцій лежить ідея алгебри предикатів, яка представлена співвідношеннями: , де - деяке чисельне значення, що якісно характеризує предикат по шкалі значень. Де умовно приймається за поверхню геометричного об'єкта, а негативні й позитивні області поділяють внутрішню й зовнішню його частину відповідно. Очевидно, що при рівному деякому іншому значенню закон алгебри логіки зберігається, але змінюються умови визначення зовнішніх і внутрішніх областей геометричного об'єкта.

У роботі виконана спроба виділити з множини простих геометричних фігур ті, які можна віднести до предикатів для використання в теорії R-функцій. Щоб уникнути непорозуміння з подальшою термінологією замість терміну "фігура" було введено поняття - "форма". Це дозволило розширити клас форм, додавши туди лінії, площини й поверхні.

В якості простих геометричних форм у просторі прийнято вважати тільки такі форми, які піддаються єдиному аналітичному опису вигляду , а так само параметричному поданню, що виражається через кут повороту. Таким чином, такі традиційно прийняті фігури, як квадрат, куб або призма не підходять під це визначення по першій ознаці. Вони утворяться перетинанням прямих ліній або площин, які тепер представлені простими геометричними формами. Окружність, сфера, тор та інші фігури обертання, утворені кривими або поверхнями другого й вище порядків, підпадають під це визначення, оскільки можуть бути представлені одним або декількома функціями виду й піддаються параметричному опису.

Оскільки такі фігури тепер мають не зовсім традиційний склад, надалі запропоновано визначити їх у термінології теорії -функцій як предикатні форми. Таким чином, з безлічі простих геометричних фігур було виділено клас форм, який можна віднести до предикатів.

Задача пошуку точок на границі складного геометричного об'єкта вирішується наступним чином. Запропонований підхід дозволяє використовувати R-функції для перевірки приналежності точок вихідному геометричному об'єкту. Точки визначаються на рівні опису предикатних форм. Наприклад, предикатне подання сфери: , а її параметричне вираження через кути повороту має вигляд:

Так можна представити визначення каркаса предикатної форми "сфера" радіусом . Очевидно, що кожна предикатна форма представляється своїм параметричним описом каркаса залежно від того, до яких класів простих геометричних фігур вона ставиться. Вихідні дані для визначення точок каркаса складаються із трьох параметрів , і , де . більша горизонтальна окружність визначає положення центрів окружностей, що утворюють тор, радіус цієї окружності дорівнює . Параметр визначає рівновіддалені вершини на цій окружності, що є центрами маленьких вертикально розташованих окружностей радіуса . Параметричне подання великої окружності описується формулами:

де й - обумовлений кут повороту навколо центрів окружностей радіусом і відповідно.

Предикатний вид тора можна представити єдиною формулою:

Перевагою запропонованого підходу є свобода опису елементарних функцій, що дозволяє деформувати прості функції в різних видах.

У розділі також описуються алгоритми побудови каркасного виду геометричних об'єктів, топологія яких описана за допомогою апарату R-функцій. У роботі використовується проблемно-орієнтована мова FORTU-3, яка є вхідною мовою універсальної САПР у машинобудуванні і будівництві FORTU-FEM.

Наприклад, геометрична область, що описується R-функцією має вигляд:

,

на мові FORTU-3 може бути описана таким чином:

! Описание окружности с круговым вырезом

OBJECT forma

BEGIN

CONSTANT R = 0.4, R1 = 0.35, r = 0.5

PARAMETR X, Y

VARIABLE W, W1, W2

! Описание предикатных форм

W1 = - (R1 * R1 - (X - r) * (X - r) - Y * Y),

W2 = - (R * R - X * X - Y * Y),

! Описание фигуры пересечения предикатных форм

W = W1 - W2 - SQRT (W1 * W1 + W2 * W2);

RETURN W

Побудована каркасна модель для цієї геометричної фігури, її границя та дискретна модель мають вигляд.

Також, у третьому розділі наведено об'єктно-орієнтовану модель і програмно реалізовані алгоритми побудови каркасної та дискретної моделі геометричних об'єктів складної форми із застосуванням R-функцій. Наведено приклади роботи цих алгоритмів. Реалізовані алгоритми дозволяють виконувати дискретизацію плоских і просторових об'єктів на скінчені елементи у формі трикутників та трикутних пірамід (тетраедрів).

Четвертий розділ дисертаційної роботи присвячено розробці методів і алгоритмів машинної візуалізації інженерних конструкцій складної форми, геометричні моделі яких побудовані за допомогою апарату R-функцій.

Проблема візуалізації тривимірних областей, заданих за допомогою довільних множин R-функцій, є дуже складною, так як вона потребує визначення множини точок, для яких виконується співвідношення . Існуючі системи візуалізації геометричних об'єктів, заданих за допомогою апарату R-функцій, такі, наприклад, як ПОЛЕ і РАНОК, мають певні обмеження по часу прорисовки або типу R-функцій. Для подолання цих недоліків у дисертаційній роботі пропонується інший підхід. Суть його полягає в попередній тріангуляції поверхні тривимірного геометричного об'єкту, візуалізація якої, потім не представляє істотних труднощів. Для підвищення якості візуалізації та її наочності пропонується застосування освітлення об'єкту. У розділі наводяться алгоритми побудови нормалей до сегментів тривимірної поверхні та методи видалення невидимих ліній для підвищення продуктивності візуалізації. Для реалізації освітлення поверхні скінченно-елементного об'єкта необхідно побудувати нормалі до всіх граней, що утворять зовнішню границю геометричної області. Алгоритм побудови нормалей для трикутної грані, який був реалізований у дисертаційній роботі.

У даному розділі також наводиться об'єктно-орієнтована модель програмної реалізації методів машинної візуалізації плоских і тривимірних об'єктів, що описуються за допомогою R-функцій.

геометрична модель інженерна конструкція

Основні результати та висновки

У дисертаційній роботі отримані результати, які відповідно до мети дослідження в сукупності є вирішенням проблеми розробки засобів формального опису геометричних моделей складних інженерних конструкції та їх дискретизації на скінченні елементи. Для розв'язку цієї проблеми був розроблений новий підхід до побудови складних каркасних моделей на основі теорії R-функцій.

Основні результати, отримані в даній дисертаційній роботі, зводяться до наступного:

1. Проведено системний аналіз існуючих методів і підходів до процесу геометричного моделювання складних інженерних конструкцій;

2. Розроблено принцип аналітичного конструювання складних каркасних геометричних моделей із простих каркасних геометричних моделей на базі теорії R-функцій;

3. Приведені до формальної відповідності прості каркасні геометричні моделі й предикати теорії R-функцій;

4. Розроблено апарат аналітичного конструювання складних каркасних геометричних моделей з моделей-предикатів на основі алгоритмів формального опису;

5. Розроблено технологію аналітичного конструювання геометричних моделей складної проектованої конструкції;

6. Створено й апробовано програмний інструментарій для автоматизації геометричного моделювання складних інженерних конструкцій на базі теорії R-функцій.

7. Результати дисертаційних досліджень впроваджено в учбовому процесі Запорізького національного університету і Запорізькому інституті імені гетьмана Петра Сагайдачного Міжрегіональної Академії управління персоналом.

Результати представлені у візуальних прикладах, що підтверджує можливості розробленого апарата. Достовірність отриманих результатів підтверджується їхнім порівняльним аналізом з наявними моделями інших систем.

Список опублікованих робіт за темою дисертації

Морозов Д.Н. Геометрическое моделирование и дискретизация плоских и пространственных объектов сложной формы с использованием R-функций. - Рукопись

Morozov D. N. Geometric modeling and discretization 2D and 3D objects of the complex form with use R-function. - Manuscript.