Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

УДК 519.21; 519.812.3

01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступенюя

кандидата фізико-математичних наук

МЕТОД ПОСЛІДОВНИХ НАБЛИЖЕНЬ ДЛЯ РОЗВ'ЯЗАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ АКТУАРНОЇ МАТЕМАТИКИ

Норкін Богдан Володимирович

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Єрмольєв Юрій Михайлович, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, головний науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Єлейко Ярослав Іванович, Львівський національний університет імені Івана Франка, механіко-математичний факультет, завідувач кафедри теоретичної та прикладної статистики,

кандидат фізико-математичних наук Журбенко Микола Георгійович, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, старший науковий співробітник.

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет, факультет прикладної математики, кафедра методів оптимізації.

Захист відбудеться "28" квітня 2006 р. об 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП Київ -187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.

Автореферат розісланий "21" березня 2006 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради Синявський В.Ф.

Анотації

Норкін Б.В. Метод послідовних наближень для розв'язання інтегральних рівнянь актуарної математики. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики. - Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2006.

В дисертації одержано наступні основні результати. Розглянуто різні узагальнення класичного процесу ризику (модель Крамера-Лундберга), що описує стохастичну еволюцію капіталу страхової компанії. Зокрема, розглянуті процеси ризику з непостійними детермінованими преміями, з випадковими преміями, з непуассонівськими потоками премій і вимог, процеси ризику у випадковому марковському середовищі. Виведено інтегральні рівняння для ймовірності (не) розорення як функції початкового капіталу компанії для різних узагальнень класичного процесу ризику. Для процесу ризику у випадковому марковському середовищі одержані системи інтегральних рівнянь для набору ймовірності нерозорення з різних початкових станів середовища як функцій початкового капіталу компанії. Встановлені загальні необхідні і достатні, а також конкретні достатні умови існування та єдиності рішень розглянутих інтегральних рівнянь і систем рівнянь страхової математики. Теоретично і практично обґрунтований метод послідовних наближень для чисельного або аналітичного розв'язання розглянутих інтегральних рівнянь математики страховки, зокрема, доведена його рівномірна збіжність і одержані оцінки швидкості збіжності. Розроблена методика оцінки точності наближеного розв'язку інтегральних рівнянь математики страховки шляхом побудови наближень до точного розв'язку зверху та знизу. Запропонований метод послідовних наближень апробований на низці числових прикладів, проведено його порівняння з методом Монте-Карло, з відомими наближеними оцінками розв'язку. Розроблений метод послідовних наближень для розв'язання інтегральних рівнянь математики страховки дозволяє підвищити точність актуарних розрахунків, а саме - обчислити в рамках обраної моделі ймовірність розорення страхової компанії з будь-якою наперед заданою точністю, провести перевірку точності і застосовності різних відомих наближених формул для ймовірності розорення. За необхідності поліпшити точність емпіричних апроксимацій ітеративним шляхом, оцінити точність і скоректувати параметри Монте-Карло при обчисленні ймовірності розорення за допомогою імітаційного моделювання. капітал страховий стохастичний

Ключові слова: актуарна математика, страхова математика, процес ризику, ймовірність банкрутства, ймовірність розорення, інтегральні рівняння, існування та єдність розв'язків, метод послідовних наближень.

Норкин Б.В. Метод последовательных приближений для решения интегральных уравнений актуарной математики. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.01 - теоретические основы информатики и кибернетики. - Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2006.

В диссертации рассмотрены различные обобщения классического процесса риска (модель Крамера - Лундберга), описывающего стохастическую эволюцию капитала страховой компании. В частности, рассмотрены процессы риска с непостоянными детерминированными премиями (которые зависят от текущего капитала компании), процессы со случайными премиями (приходящими в случайные или детерминированные моменты времени), процессы с непуассоновскими моментами прихода премий и требований, процессы риска в случайной марковской среде.

Выведены интегральные уравнения для вероятности (не) разорения как функции начального капитала компании для различных обобщений классического процесса риска. В случае классического процесса риска соответствующее уравнение сводится к уравнению Вольтерра и известно много подходов к его решению. Этому случаю посвящено огромное число работ в страховой математике. Однако для рассмотренных обобщений классического процесса риска оказывается, что соответствующие актуарные интегральные уравнения не сводятся к уравнениям Вольтерра. Все эти уравнения имеют следующий общий вид, искомая функция равняется значению некоторого оператора от этой же функции. Это линейные однородные интегральные уравнения, не принадлежащие к известным типам интегральных уравнений. Они содержат интегралы по неограниченным областям. Операторы, входящие в уравнения, не являются сжимающими на своих областях определения. Данные уравнения имеют много решений, но ищется решение, удовлетворяющее граничному условию на бесконечности, а именно, решение, стремящееся к единице при росте капитала к бесконечности. Такое условие означает, что компания не разоряется из бесконечного начального капитала.

Для процесса риска в случайной Марковской среде получена система линейных интегральных уравнений для набора вероятностей неразорения как функций начального капитала компании при различных начальных состояниях среды. Математически задача состоит в том, чтобы найти решение уравнения или системы, удовлетворяющее указанному граничному условию на бесконечности. В диссертации установлены общие необходимые и достаточные, а также конкретные достаточные условия существования и единственности решений рассмотренных интегральных уравнений и систем интегральных уравнений страховой математики. Эти условия сводятся к существованию некоторой монотонной функции (обобщенной нижней границы Крамера - Лундберга) со значениями между нулем и единицей такой, что интегральные операторы уравнений переводят эту функцию в некоторую большую функцию.

Достаточные условия существования и единственности решения уравнений имеют форму положительной разрешимости некоторых нелинейных неравенств, которые заведомо имеют решение, если средние поступления средств в компанию больше средних выплат по требованиям.

В силу общности и сложности рассматриваемых интегральных уравнений страховой математики получить их точное аналитическое решение невозможно, за исключением очень редких специальных случаев. Поэтому в диссертации предложен, теоретически и практически обоснован метод последовательных приближений для численного или приближенного аналитического решения рассмотренных интегральных уравнений страховой математики, в частности, доказана его равномерная сходимость к решению и получены оценки скорости сходимости. Показано, что метод равномерно сходится в любую окрестность решения со скоростью геометрической прогрессии (знаменатель которой зависит от размера окрестности). Предложена методика оценки точности приближенных решений интегральных уравнений страховой математики путем организации приближений к точному решению сверху и снизу. Показано, что запущенный с единичного начального приближения метод порождает монотонно убывающую последовательность приближений, а запущенный с обобщенной нижней границы Крамера - Лундберга - монотонно возрастающую последовательность приближений, сходящуюся к решению. Все эти результаты справедливы и для решения систем интегральных уравнений, описывающих вероятности неразорения процесса риска в марковской случайной среде.

Предложенный метод последовательных приближений апробирован на ряде численных примеров, проведено его сравнение с методом Монте - Карло, с известными приближенными оценками вероятности разорения.

Разработанный метод последовательных приближений для решения интегральных уравнений страховой математики позволяет повысить точность актуарных расчетов, а именно, вычислить в рамках выбранной модели вероятность разорения страховой компании с любой наперед заданной точностью; провести проверку точности и применимости различных известных приближенных формул для вероятности разорения; при необходимости улучшить точность эмпирических аппроксимаций итеративным путем; оценить точность и скорректировать параметры общего метода Монте - Карло при вычислении вероятности разорения с помощью имитационного моделирования.

Ключевые слова: актуарная математика, страховая математика, процесс риска, вероятность банкротства, вероятность разорения, интегральные уравнения, существование и единственность решения, метод последовательных прибли-жений.

Norkin B.V. A successive approximation method for solution of actuarial integral equations. - Manuscript.

Dissertation for a scientific candidate degree of physical and mathematical sciences by speciality 01.05.01 - theoretical bases of computer science and cybernetics. - V.M. Glushkova Institute of Cybernetics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2006.

In the dissertation various generalizations of the classical risk process describing a stochastic evolution of the capital of an insurance company (Kramer - Lundberg model) are considered. In particular risk processes with variable deterministic premiums, with random premiums, with non Poisson flows of premiums and claims, risk processes in a stochastic markovian environment are studied. Integral equations for the probability of nonruin as a function of the initial capital of the company for various generalizations of the classical risk process are deduced. For a risk process in a stochastic markovian environment system of integral equations for a set of nonruin probabilities from various initial states of the process are obtained. A general necessary and sufficient, and also concrete sufficient conditions of the existence and uniqueness of solutions of the considered integral equations and systems of equations are established. A successive approximation method for a numerical or analytical solution of the considered integral equations of insurance mathematics is theoretically and practically validated, in particular its uniform convergence and rate of such convergence are established. A technique of estimation of the accuracy of approximate solutions of integral equations of insurance mathematics is developed by construction of approximations to the exact solution from above and from below. The suggested method of consecutive approximations was tested on a number of numerical examples, its comparison with Monte Carlo method, with known approximations of solutions was carried out.

The developed method of successive approximations for the solution of integral equations of insurance mathematics allows to increase accuracy of actuarial calculations, namely, to calculate within a chosen framework a probability of ruin of an insurance company with any prescribed accuracy, to check applicability and accuracy of various empirical approximate formulas for the probability of ruin, if necessary to improve accuracy of empirical approximations in an iterative way, to estimate accuracy and to correct parameters of Monte Carlo simulation method for calculation of the probability of ruin.

Keywords: actuarial mathematics, insurance mathematics, risk process, ruin probability, probability of bankruptcy, integral equations, existence and uniqueness of solutions, successive approximation method.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Наразі в Україні бурхливо розвивається страховий ринок. Страхування майна, життя, здоров'я, цивільної відповідальності автомобілістів посіли чільне місце у нашому бутті. Про медичне і пенсійне страхування варто згадати окремо - розвиток цих видів страхування складає зараз чи не найважливішу частину державної соціальної програми. Сфера бізнесу вимагає розвитку страхування інвестицій, кредитів, банківських вкладів, перевезень та інших видів страхування. Тому вдосконалення методів актуарних розрахунків, методик вибору параметрів управління страховою компанією, страхових тарифів, параметрів страхового договору, ціни перестраховки, більш точна оцінка ймовірності банкрутства компанії дозволило б підняти якість і здешевити послуги страхових компаній для бізнес-структур та населення.

Головною рисою страхової діяльності є те, що бізнес тут ґрунтується на випадковості, тому відповідні моделі є стохастичними. Діяльність страхової компанії спрямована на захист клієнта від ризику великих випадкових втрат за рахунок малих, але детермінованих втрат, які називаються страховими преміями або страховими внесками. Здатність страхової компанії вести такий бізнес, по суті, заснована на законі великих чисел: працюючи з великою кількістю незалежних страхових договорів компанія забезпечує майже передбачену динаміку її капіталу.

Математичні моделі страхової діяльності розвивалися в роботах зарубіжних учених Ф. Лундберга, Г. Крамера, О. Лундберга, К. Борха, С. Андерсена, С. Асмусена, Х.У. Гербера, Н. Прабху та ін., російських вчених А.Н. Ширяєва, І.В. Євстігнеєва, В.Е. Бенінга, В.В. Калашнікова, О.В. Мельникова, Г.І. Фаліна та ін., українських вчених Ю.М. Єрмольєва, І.М. Коваленка, В.С. Королюка, Б.В. Бондарєва, М.С. Братійчука, Д.В. Гусака, Я.І. Єлейко, Ю.С. Мішури, О.М. Наконечного, О.І. Ястремського та ін.

Сучасна теорія страхування побудована на теорії випадкових процесів. Найпершою класичною моделлю такого роду була модель Ф. Лундберга (1903 р.) (класичний процес ризику або складний пуассонівський процес ризику), яка з'явилася приблизно в той же час, що і стохастична модель зміни цін акцій Башельє (модель броунівського руху). На відміну від моделі, що трактує динаміку ціноутворення акцій як броунівський рух, модель Лундберга розглядає стрибкоподібний випадковий процес зміни капіталу: за відсутності страхових вимог капітал монотонно зростає, а в момент надходження вимоги він миттєво зменшується на випадкову величину. Інтервали часу між приходом вимог випадкові і розподілені згідно з експоненційним законом. Ці інтервали і величини вимог незалежні й однаково розподілені. Дану модель у подальшому розробляли Г. Крамер, В. Феллер, С. Андерсен, К. Борх, Х.У. Гербер та ін.

Математична теорія страхування включає такі розділи як моделювання розподілів вимог, принципи обчислення страхових премій, теорію перестраховки, оцінки ймовірності розорення, управління портфелем страхових договорів та інші.

Одним з важливих показників стабільності бізнесу є ймовірність неро-зорення страхової компанії, тому важливою компонентою цих досліджень було вивчення ймовірності (не) розорення страхової компанії як функції її початкового капіталу та інших параметрів. Це нетривіальна проблема, оскільки слід знайти ймовірність попадання реалізації випадкового процесу в негативну область на нескінченному інтервалі часу. Зазначену ймовірність можна обчислити загальним методом Монте-Карло шляхом прямого моделювання випадкового процесу. Складність полягає в тому, що за малої ймовірності розорення (а це, безумовно, найважливіший та найцікавіший випадок) загальний метод Монте-Карло стає неефективним, тобто він не дозволяє оцінити малу ймовірність з необхідною точністю за прийнятний час. Тому набули розвитку різні точні та наближені аналітичні методи, числові методи, практичні наближені оцінки ймовірності розорення. Вони побудовані на тому, що для класичного процесу ризику ймовірність розорення задовольняє інтегральному рівнянню типу Вольтерра. Виявляється, що для більш загальних моделей страхової діяльності ймовірність розорення як функція початкового капіталу також задовольняє деяким складнішим інтегральним рівнянням, для яких не відомі ні аналітичні, ні чисельні методи розв'язання. Дисертація продовжує і розвиває цю лінію досліджень: виводяться нові більш загальні інтегральні рівняння і системи рівнянь для ймовірності (не) розорення страхової компанії, що функціонує за різних умов, встановлюються умови існування і єдиності їх розв'язків, обґрунтовується загальний метод послідовних наближень для знаходження розв'язків.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася у відповідності з планами наукових досліджень відділу №130 Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України в рамках наступних науково-дослідних тем:

ВФК 130.09 "Розробка математичних методів та обчислювальних алгоритмів для аналізу, оптимізації та керування ризиком", виконувалася за постановою Президії НАН України, протокол бюро ВІ № 8 від 12.01.2002;

Мета і задачі дослідження. Основною метою роботи є розробка методів оцінки ризику банкрутства страхових компаній. Ця мета досягається шляхом побудови математичних моделей страхової діяльності у вигляді стохастичних процесів ризику, виведення інтегральних рівнянь (або систем інтегральних рівнянь) для ймовірності банкрутства як функції початкових умов процесу, дослідження властивостей цих рівнянь, розробки методів їх розв'язання.

Наукова новизна отриманих результатів. Отримані результати є новими і узагальнюють деякі результати, що відомі в літературі лише для класичного процесу ризику. А саме отримані наступні нові результати:

узагальнено інтегральні рівняння для ймовірності (не) розорення на нескінченному інтервалі часу як функції початкового капіталу компанії для розглянутих узагальнень класичного процесу ризику;

вперше виведено системи інтегральних рівнянь для ймовірностей нерозорення на нескінченному інтервалі часу для процесу ризику у випадковому марковському середовищі;

вперше встановлені необхідні і достатні умови існування та загальні достатні умови існування і єдності розв'язків інтегральних рівнянь страхової математики для розглянутих процесів ризику;

вперше теоретично і практично обґрунтовано метод послідовних наближень для чисельного вирішення загальних інтегральних рівнянь актуарної математики, який був застосовний раніше лише для класичного актуарного інтегрального рівняння типу Вольтерра;

вперше отримані умови рівномірної збіжності та оцінки швидкості такої збіжності запропонованого методу послідовних наближень при розв'язанні інтегральних рівнянь страхової математики;

вперше запропонована методика оцінки точності наближених розв'язків розглянутих рівнянь шляхом побудови наближень до розв'язку згори та знизу.

Практичне значення отриманих результатів. Метод послідовних наближень для розв'язання інтегральних рівнянь страхової математики, що розроблений в дисертації, дозволяє підвищити точність актуарних розрахунків для складних моделей страхової діяльності, зокрема, у рамках обраної моделі, дозволяє обчислити ймовірність банкрутства страхової компанії із будь-якою точністю.

Особистий внесок здобувача. Всі публікації за темою дисертації виконані без співавторів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень у рамках даної дисертації доповідалися на наукових семінарах в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Львівському національному університеті імені Івана Франка та на наступних конференціях:

В дисертації отримано наступні основні результати.

1. Виведені інтегральні рівняння для ймовірності (не) розорення різних узагальнень класичного процесу ризику, зокрема процесу з детермінованими преміями, залежними від поточного капіталу, з випадковими преміями, з непуассонівськими потоками премій і вимог та для процесу ризику у випадковому марковському середовищі.

2. Встановлені загальні необхідні та достатні, а також конкретні достатні умови існування і єдиності розв'язків розглянутих інтегральних рівнянь і систем рівнянь страхової математики.

3. Теоретично і практично обґрунтовано метод послідовних наближень для числового розв'язання розглянутих інтегральних рівнянь страхової математики.

4. Розроблена методика оцінки точності наближеного розв'язку інтегральних рівнянь страхової математики шляхом побудови наближень до точного розв'язку знизу і згори.

5. Запропонований метод послідовних наближень для розв'язання інтегральних рівнянь страхової математики апробовано на ряді числових прикладів, проведено його порівняння з методом Монте-Карло та з відомими наближеними оцінками ймовірності банкрутства.

Розроблений метод послідовних наближень для розв'язання інтегральних рівнянь страхової математики дозволяє:

· підвищити точність актуарних розрахунків;

· обчислити (у рамках обраної моделі) ймовірність розорення страхової компанії з будь-якою наперед заданою точністю;

· провести перевірку точності і застосовності різних відомих наближених формул для ймовірності розорення;

· за необхідності поліпшити точність емпіричних апроксимацій ітеративним шляхом;

· оцінити точність та скорегувати параметри загального Монте - Карло при обчисленні ймовірності розорення за допомогою імітаційного моделювання.

Основні результати дисертації опубліковано в таких працях

1. Норкин Б.В. Система интегро-дифференциальных уравнений для вероятности банкротства процесса риска в Марковской среде // Теорія оптимальних рішень. Вип.1. - К.: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2002. - С. 21-29.

2. Норкин Б.В. О методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска // Теорія оптимальних рішень. Вип.2 - К.: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2003. - С. 10-18.

3. Норкин Б.В. Метод последовательных приближений для решения интегральных уравнений теории процессов риска // Кибернетика и системный анализ. - 2004. - № 4. - С.10-18.

4. Норкин Б.В. Метод последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства процесса риска в марковской среде // Кибернетика и системний анализ - 2004. - №6. - C. 149-161.

5. Норкин Б.В. О вычислении вероятности банкротства непуассоновского процесса риска методом последовательных приближений // Проблемы управления и информатики. - 2005. - №2. - C. 133-144.

6. Норкін Б.В. Інтегральні рівняння для дивідендів і ймовірності банкрутства страхової компанії // Матеріали десятої міжнар. конф. ім. акад. М. Кравчука, 13-15 травня 2004 р., Київ. - К.: ТОВ "Задруга", 2004. - С. 193.

7. Норкин Б.В. Математическое моделирование выплат дивидендов и риска разорения страховой компании // Матеріали IV Всеукр. конф. молодих науковців "Інформаційні технології в освіті, науці і техніці (ІТОНТ 2004)", 28-30 квітня 2004 р. - Черкаси: Черкаський національний ун-т ім. Богдана Хмельницького, 2004. Ч. 1, - С. 194.

8. Norkin B.V. On calculation of ruin probability // Abstracts of intern. conf. "Problems of decision making under uncertainties (PDMU-2003), September 8-12, 2003, Alushta (Crimea). - Kyiv: Taras Shevchenko Kyiv National University, 2003. - P. 44-45.

9. Norkin B.V. Calculation of ruin probabilities for a risk process in Markovian environment // Abstracts of intern. workshop "Prediction and decision making under uncertainties" (PDMU-2004, 25-30 May 2004), Ternopil, Ukraine. - Kyiv: Taras Shevchenko Kyiv National University, 2004. -P. 42-43.

10. Norkin B.V. On solution of the basic actuarial integral equation // Abstracts of сonf. "Functional methods in approximation theory, operator theory, stochastic analysis and statistics II" dedicated to the memory of A. Ya. Dorogovtsev (1935-2004), October 1-5, 2004, Kiev, Ukraine. - Kyiv: Taras Shevchenko Kyiv National University, 2004. - P. 90.

11. Norkin B.V. A successive approximation method for solution of actuarial integral equations // Abstracts II of Intern. conf. "Modern problems and new trends in probability theory", June 19-26, 2005, Chernivtsi, Ukraine. - Kyiv: Institute of mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2005. - P. 51.

12. Norkin B.V. On the theory of actuarial integral equations // Abstracts of intern. workshop "Problems of decision making under uncertainties" (PDMU-2005, 12-17 October 2005), Berdyansk, Ukraine, 2005. - Kyiv: Taras Shevchenko Kyiv National University, 2005. - P. 40-42.

Размещено на Allbest.ru