Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Існування, характеристика та єдність елементів найкращого наближення з обмеженнями

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У математиці важливими є задачі, пов'язані з необхідністю замінити один об'єкт іншим, близьким в тому чи іншому розумінні першому, але більш простим та зручним для вивчення. Для розв'язання таких задач часто використовуються методи та результати теорії наближення, засновниками якої є К. Вейєрштрасс та П.Л. Чебишов.

Проблемам наближення функції дійсної та комплексної змінної, функції багатьох змінних, наближення в просторах, відмінних від та , теорії інтерполяції, теорії сплайнів, задачам про поперечники присвячено монографії Н.І. Ахієзера, С.Н. Бернштейна, В.К. Дзядика, М.П. Корнєйчука, Дж. Лоренца, С.М. Нікольського, О.І. Степанця, С.Б. Стєчкіна та Ю.М. Субботіна, В.М. Тихомирова, Е. Чіні, І.О. Шевчука та багато інших.

У цих монографіях увага приділена переважно наближенню без обмежень. У той же час, останні 40 років інтенсивно вивчаються задачі наближення з обмеженнями. Покладено початок цій проблематиці ще відомими роботами П.Л. Чебишова про монотонні на відрізку многочлени, що найменше відхиляються від нуля.

До числа задач із цього класу відноситься задача про рівномірне наближення дійсних неперервних функцій в обмеженому діапазоні. Вона вперше була сформульована Г. Тейлором у такому вигляді. Нехай задані скінченновимірний підпростір і функції такі, що для всіх . Покладемо

.

Для заданої функції розглянемо поліном , для якого

Тейлором було досліджене питання існування, характеризації, єдиності та строгої єдиності такого елемента

Г.С. Смірнов і Р.Г. Смірнов розвили аналогічну теорію для випадку рівномірного наближення комплекснозначних функцій (тут компактна множина). У цьому випадку система обмежень для апроксимуючих елементів це деяка система опуклих множин комплексної площини, які неперервно змінюються в смислі гаусдорфової метрики.

Також значна кількість робіт присвячена проблемі інтерполяції наближуваної функції, а також задачам про рівномірне наближення дійсних функцій у випадку, коли на похідні апроксимант накладено певні обмеження (Р. Лоренц, С. Пашковський, Г. Тейлор, О. Шиша та ін.).

Однак, до останнього часу аналогічної теорії для випадку рівномірного наближення векторнозначних функцій в обмеженому діапазоні, заданих на компактному метричному просторі, не існувало. Набула актуальності проблема найкращого наближення вектор-функцій узагальненими поліномами, які лежать в обмеженому діапазоні, інтерполюють функцію в фіксованих точках, а також наближення функцій багатьох змінних поліномами, похідні яких лежать в обмеженому діапазоні. Виникло питання про властивості мінімальної допустимої пари множин, яка є аналогом мінімальної множини найкращого наближення класичної теорії апроксимації, а також про оцінку величини найкращого наближення в обмеженому діапазоні через величину найкращого наближення без обмежень. Розв'язанню цих проблем присвячена запропонована дисертація.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі математичного аналізу механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка в рамках держбюджетної дослідницької теми №01бф038-05 «Побудова та дослідження математичних моделей взаємодії суцільних середовищ при наявності поверхонь розриву» (номер державної реєстрації №0101U002482).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії найкращого рівномірного наближення з різними системами обмежень. В роботі вивчаються такі задачі:

- дослідження питань існування, характеризації, єдиності та строгої єдиності елемента найкращого рівномірного наближення в обмеженому діапазоні векторнозначних функцій, заданих на компакті, узагальненими поліномами;

- розв'язання аналогічних задач для випадку, коли поліноми інтерполюють наближувану функцію в фіксованих точках і лежать в обмеженому діапазоні;

- дослідження питань існування та характеризації елемента найкращого рівномірного наближення для випадку, коли похідні поліномів лежать в обмеженому діапазоні;

- вивчення властивостей мінімальних допустимих пар множин;

- оцінка величини найкращого наближення в обмеженому діапазоні через величину найкращого наближення без обмежень.

Об'єктом дослідження є елемент найкращого наближення вектор-функції узагальненими поліномами з різними обмеженнями.

Предметом дослідження є задачі найкращого рівномірного наближення неперервних функцій з обмеженнями на діапазон, інтерполяційними та на похідні апроксимант.

Методи дослідження. Для дослідження питань існування, характеризації, єдиності, мінімальних пар множин та оцінок величини найкращого наближення з обмеженнями використовуються методи математичного та функціонального аналізу та результати праць Г.С. Смірнова та Р.Г. Смірнова.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну, є такі:

· доведено теореми існування, характеризації, єдиності та строгої єдиності полінома найкращого рівномірного наближення для вектор-функції, заданої на компакті, з обмеженнями, які визначаються системою строго опуклих множин в , що мають непорожню внутрішність і гладку межу й неперервно змінюються в сенсі метрики Гаусдорфа;

· аналогічні теореми доведено також для випадку, коли поліноми інтерполюють функцію в фіксованих точках;

· досліджено питання існування та характеризації елемента найкращого рівномірного наближення функції багатьох змінних узагальненими поліномами з обмеженнями на частинні похідні;

· описано властивості мінімальних допустимих пар множин;

· отримано оцінки величини найкращого наближення в обмеженому діапазоні через величину найкращого наближення без обмежень.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації можуть бути використані в подальших дослідженнях цього напрямку, а також у прикладних задачах, пов'язаних з апроксимацією функцій.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно.

Апробація результатів. Результати роботи доповідалися та обговорювалися на наступних міжнародних конференціях:

· десятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2004);

· Міжнародній конференції пам'яті В.Я. Буняковського (Київ, 2004);

· конференції «Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці ІІ», присвяченій пам'яті А.Я. Дороговцева (Київ, 2004);

· одинадцятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2006),

та на наукових семінарах з теорії наближень та теорії функцій при механіко-математичному факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка (березень 2004), Інституту математики НАН України (березень 2006), механіко-математичному факультеті Дніпропетровського національного університету (квітень 2006).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано чотири статті в фахових виданнях [1-4] та тези доповідей чотирьох конференцій [5-8].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг роботи становить 127 сторінок, з них 115 сторінок основного тексту та 12 сторінок займає список використаних джерел, що включає в себе 102 назви.

Подяки. Висловлюю глибоку вдячність своєму першому вчителю з теорії наближення Георгію Серапіоновичу Смірнову. Ще коли я була студенткою, він зацікавив мене задачами наближення з обмеженнями і цим визначив напрямок моїх досліджень, завжди підтримував та допомагав у роботі.

Я також щиро вдячна своєму науковому керівнику Ігорю Олександровичу Шевчуку за постановку задач, цінні поради та зауваження, повсякчасну увагу й підтримку.

Основний зміст роботи

множина обмеження пара

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, висвітлено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою роботи та спорідненими питаннями, окреслено основні етапи розвитку теорії наближення з обмеженнями.

Другий розділ присвячений вивченню наближення в обмеженому діапазоні неперервних вектор-функцій, заданих на компакті.

Нехай - компактний метричний простір. Позначимо через простір неперервних на вектор-функцій з нормою

Позначимо через множину впорядкованих пар множин та. Будемо казати, що, якщо. При цьому включення називається строгим, якщо хоча б одне з включень і є строгим.

Означення 2.2. Поліном, що задовольняє рівність називається поліномом найкращого наближення в обмеженому діапазоні для на множиною .

Теорема 2.1. Для кожної пари і для кожної вектор-функції існує поліном найкращого наближення в обмеженому діапазоні на множиною.

Далі, в підрозділах 2.3, 2.4, 3.2 та 3.3 область значень відображення є - підклас, для кожного елемента з якого виконується умова: для будь-якої двовимірної площини , такої, що перетин не порожній і не складається з одної точки,

У підрозділі 2.3 розглядається питання характеризації полінома найкращого наближення в обмеженому діапазоні.

Означення 3.1. Поліном, що задовольняє рівність називається поліномом найкращого наближення в обмеженому діапазоні для на множиною.

Теорема 3.1. Для кожної пари і для кожної функції існує поліном найкращого наближення в обмеженому діапазоні на множиною.

Означення 3.2. Пара називається допустимою парою (а.р.) для функції відносно, якщо

Означення 3.3. Пара називається мінімальною допустимою парою (m.a.p.) для функції відносно, якщо зі строгого включення випливає строга нерівність

Далі, як і в другому розділі розглядаються властивості допустимих пар множин для деякої функції відносно

Теорема 3.2. Нехай - мінімальна допустима пара для функції по відношенню до і - поліном найкращого наближення для з. Тоді мають місце включення:

Введемо в розгляд матрицю

Нехай - її ранг (), - це максимальна кількість точок з множини, зі значень в яких хоча б по одній координаті вектор-функцій можна скласти ненульовий мінор порядку матриці . Зафіксуємо такий набір точок.

Теорема 3.3. Для кожної функції існує щонайменше одна мінімальна допустима пара по відношенню до така, що

Нехай кратне . Позначимо.

Теорема 3.4. Нехай - простір з властивістю (*), така, що. Тоді для кожної допустимої пари функції відносно виконується нерівність

У підрозділі 3.2 доведено теорему про характеризацію елемента найкращого наближення неперервної вектор-функції множиною.

Припустимо, що ранг. Нехай

де - поліном найкращого наближення фіксованої функції множиною, - базис для.

Теорема 3.5. Наступні твердження рівносильні:

(а) поліном є поліномом найкращого наближення в обмеженому діапазоні функції множиною;

(б) для кожного виконується нерівність

(г) існують множини (,) і два набори додатних чисел, такі, що для кожного полінома , який задовольняє умову, виконується

У наступному підрозділі припускається, що кратне .

Теорема 3.6. Якщо має властивість (*), то множина є множиною єдиності відносно.

Теорема 3.7. Нехай для функції , полінома і деякої сталої для усіх і виконується умова

Тоді знайдеться число таке, що для кожного полінома виконується нерівність строгої єдиності

Введемо оператор найкращого наближення, визначений на множині, який кожній функції ставить у відповідність її елемент найкращого наближення множиною.

Теорема 3.8. Нехай для функції, полінома і деякого числа для усіх і виконується умова

Тоді існує стала така, що для усіх функцій таких, що, виконується нерівність

Задамо на неперервну функцію і поліном. Для кожної точки означимо, як і в підрозділі 2.5,

Теорема 3.9. Нехай містить підпростір розмірності, що має властивість (*). Тоді існує число, таке, що для кожної функції такої, що для всіх виконується нерівність

Оцінку величини найкращого наближення теж було знайдено за припущення, що кратне .

У четвертому розділі розв'язано деякі задачі наближення неперервних функцій змінних елементами з множини

Означення 4.1. Поліном, що задовольняє рівність називається поліномом найкращого наближення для множиною .

Теорема 4.1. Для кожної функції існує елемент найкращого наближення множиною .

У другому підрозділі четвертого розділу розв'язана задача характеризації полінома найкращого наближення для функції множиною .

Для фіксованих вводяться такі позначення:

Нехай, тоді означимо

Означення 4.2. Впорядкована пара множин, і, називається допустимою парою для функції відносно .

Теорема 4.2. Припустимо, що є поліномом найкращого наближення функції елементами з. Тоді пара множин є допустимою парою для відносно.

Висновки

У дисертаційній роботі:

- досліджено питання рівномірного наближення неперервних векторнозначних функцій, заданих на компактній множині елементами з де - множина узагальнених поліномів. Тут кожна з множин є опуклою і має непорожню внутрішність та гладку межу, а відображення - неперервне в сенсі гаусдорфової метрики. Зокрема, доведено теореми про існування та характеризацію елемента найкращого наближення;

- введено поняття допустимих пар множин і досліджено їх властивості;

- знайдено умови, за яких елемент найкращого наближення єдиний;

- доведено теореми про строгу єдиність та неперервність оператора найкращого наближення;

- для частинних випадків знайдено константу , для якої при усіх таких, що виконується нерівність , де () - величина найкращого наближення функції елементами з .

Усі згадані задачі розв'язано також для випадку наближення векторнозначних неперервних функцій узагальненими поліномами, що лежать в обмеженому діапазоні та інтерполюють наближувану функцію в фіксованих точках. Система обмежень задана аналогічно.

Також у роботі розглянуто випадок наближення дійсних неперервних функцій багатьох змінних, заданих на компакті, з обмеженнями на частинні похідні поліномів, а саме:

- доведено теореми про існування та характеризацію елемента найкращого наближення;

- введено поняття допустимої пари множин для такого випадку обмежень і наведено приклад такої пари.

Основні результати дисертаційної роботи можуть застосовуватись у прикладних задачах, пов'язаних із наближенням неперервних вектор-функцій в обмеженому діапазоні, з інтерполяційними обмеженнями, а також неперервних дійсних функцій багатьох змінних з обмеженнями на частинні похідні.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Коцюбинська Т.В. Характеризація елемента найкращого наближення з обмеженнями // Вісник КУ. Серія: Математика. Механіка. - 2003. - Вип. №10. - С. 106-113.

2. Коцюбинська Т.В. Оцінки величин найкращого наближення в обмеженому діапазоні векторнозначних функцій // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання. Збірник праць Інституту математики Національної академії наук України. - 2004. - Т.1, №1. - С. 207-215.

3. Коцюбинська Т.В. Єдиність елемента найкращого наближення з обмеженнями // Вісник КУ. Серія: Математика. Механіка. - 2004. - Вип. №11. - С. 9-12.

4. Коцюбинська Т.В. Мінімальні допустимі пари множин та їх властивості // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання. Збірник праць Інституту математики Національної академії наук України. - 2005. - Т. 2, №2. - С. 135-148.

5. Коцюбинська Т.В. Допустимі пари множин // Матеріали X міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - Київ, 2004. - С. 420.

6. Коцюбинська Т.В. Єдиність елемента найкращого наближення з обмеженнями // Міжнародна конференція пам'яті В.Я. Буняковського. Тези доповідей. - Київ, 2004. - С. 83-84.

7. Коцюбинська Т.В. Оцінки величини найкращого наближення з обмеженнями // Конференція «Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці ІІ», присвячена пам'яті А.Я. Дороговцева. Тези доповідей. - Київ, 2004. - С. 69.

8. Манжос Т.В. Характеризація полінома найкращого наближення з обмеженнями на похідні // Матеріали XІ міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - Київ, 2006. - С. 507.

Размещено на Allbest.ru