Властивості розв’язків вироджених диференціальних рівнянь вищих порядків з обмеженнями на резольвенту поліноміального жмутка операторів

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ В.Н. КАРАЗІНА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ВЛАСТИВОСТІ РОЗВ'ЯЗКІВ ВИРОДЖЕНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ З ОБМЕЖЕННЯМИ НА РЕЗОЛЬВЕНТУ ПОЛІНОМІАЛЬНОГО ЖМУТКА ОПЕРАТОРІВ

Півень Олексій Леонідович

Харків-2006

АНОТАЦІЯ

Півень О.Л. Властивості розв'язків вироджених диференціальних рівнянь вищих порядків з обмеженнями на резольвенту поліноміального жмутка операторів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2006.

Розглядається задача Коші для неявного диференціального рівняння вищого порядку з лінійними замкненими операторними коефіцієнтами, що діють у комплексних банахових просторах. Оператор при старшій похідній може мати нетривіальне ядро.

При степеневих обмеженнях на зростання резольвенти поліноміального характеристичного жмутка рівняння у деякій правій півплощині описано підпростір розв'язків задачі Коші. При тих самих обмеженнях на резольвенту встановлено умови нетривіальності початкового многовиду цієї задачі.

Для неявного диференціального рівняння порядку досліджено неперервну залежність розв'язку та його похідних до порядку від початкових даних (повнократну коректність), а також неперервну залежність частин похідних до порядку (часткову - кратну коректність). Встановлено зв'язок між різними типами часткової й повнократної коректності. Доведено ознаки повнократної й часткової коректності для явних і вироджених рівнянь у термінах обмежень на резольвенту характеристичного жмутка. У випадку гільбертового простору одержано умови коректності у термінах обмежень на операторні коефіцієнти рівняння.

Одержано ознаки повноти й базисності елементарних розв'язків неявного рівняння порядку у класі всіх розв'язків та в класі нормальних розв'язків з обмеженнями на показник експоненціального зростання. Обмеження формулюються в термінах поведінки резольвенти в усій комплексній площині та деякій лівій півплощині.

Абстрактні результати застосовуються до диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Ключові слова: вироджене диференціальне рівняння, поліноміальний жмуток операторів, резольвента, підпростір розв'язків, кратна коректність, власне число, власні та приєднані вектори, нормальний розв'язок, показник експоненціального зростання.

АННОТАЦИЯ

Пивень А.Л. Свойства решений вырожденных дифференциальных уравнений высоких порядков при ограничениях на резольвенту полиномиального пучка операторов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2006.

Рассматривается задача Коши для неявного операторно-дифференциального уравнения порядка с линейными замкнутыми операторными коэффициентами, действующими в комплексных банаховых пространствах. Оператор при старшей производной может иметь нетривиальное ядро, и в этом случае уравнение является вырожденным.

При условии, что резольвента характеристического полиномиального пучка, отвечающего неявному уравнению, удовлетворяет степенным ограничениям в некоторой правой полуплоскости, получено полное описание подпространства решений задачи Коши и замыканий начальных производных порядка для всех решений уравнения. Конструкции подпространства решений и замыканий начальных производных упрощены в случае неполного уравнения высокого порядка. При степенных ограничениях на резольвенту в некоторой правой полуплоскости или на прямой, параллельной мнимой оси, получены условия нетривиальности начального многообразия задачи Коши.

Исследованы - кратная корректность, -кратная равномерная корректность и -кратная экспоненциальная корректность в основе которых лежит непрерывная зависимость решений и их производных до порядка включительно. При условии, что резольвента удовлетворяет экспоненциальным оценкам в угле раствора больше , содержащем некоторую правую полуплоскость, установлена - кратная корректность задачи Коши. Если же экспоненциальные оценки выполнены в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, то имеет место - кратная экспоненциальная корректность этой задачи. При различных степенных ограничениях в угле на рост резольвенты характеристического полиномиального пучка операторов либо на резольвенту линейного пучка операторов при производных порядков установлена - кратная экспоненциальная корректность и полнократная корректность задачи Коши, а при ограничениях аналогичного типа в некоторой правой полуплоскости - только -кратная экспоненциальная корректность. Показатели степени в этих ограничениях зависят от . Также получены признаки кратной корректности задачи Коши в терминах ограничений на операторные коэффициенты в гильбертовом пространстве.

Получены признаки полноты элементарных решений, т.е. равномерной аппроксимации решений неявного уравнения порядка и их производных до порядка включительно линейными комбинациями элементарных решений. Установлена новая оценка начального момента аппроксимации решений линейными комбинациями элементарных решений в случае, когда резольвента характеристического пучка является мероморфной оператор - функцией конечной степени. Еще один признак полноты получен в случае, когда резольвента может иметь бесконечную степень. Установлены также условия аппроксимации решений уравнения линейными комбинациями элементарных решений в классе нормальных решений с ограничениями на показатель экспоненциального роста. Доказана теорема о разложении решений в ряд по канонической системе элементарных решений, в которой налагаются ограничения экспоненциального типа на рост резольвенты характеристического пучка уравнения на последовательности прямых и в симметричных углах комплексной плоскости, содержащих бесконечные лучи мнимой оси. Получены также теоремы о базисности элементарных решений в классе нормальных решений с ограничениями на показатели экспоненциального роста. В этих теоремах накладываются ограничения на рост резольвенты в некоторой левой полуплоскости.

Абстрактные результаты применяются к исследованию начально-краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. При краевых условиях Дирихле на гладкой границе ограниченной области эти задачи с неизвестной функцией в пространстве допускают абстрактное представление в виде задачи Коши для неявного уравнения высокого порядка по переменной . Операторные коэффициенты этого уравнения представляют собой дифференциальные операторы с частными производными в с переменными коэффициентами, а оператор при старшей производной может быть вырожденным. Получены признаки корректности начально-краевых задач в терминах ограничений на коэффициенты и порядки дифференциальных операторов. При этом оператор при производной порядка является сильно эллиптическим в области . Приведен пример - кратно экспоненциально корректной начально-краевой задачи, для которой соответствующая резольвента имеет экспоненциальный рост в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, и, вообще говоря, не имеет степенного роста ни на одном луче комплексной плоскости.

Получены признаки полноты и базисности элементарных решений начально-краевых задач. Эти признаки сформулированы в терминах ограничений на коэффициенты и порядки дифференциальных операторов. При этом сильно эллиптическим в области является оператор при неизвестной функции, его область определения содержится в областях определения остальных операторов.

Ключевые слова: вырожденное дифференциальное уравнение, полиномиальный пучок операторов, резольвента, подпространство решений, кратная корректность, собственное число, собственные и присоединенные векторы, нормальное решение, показатель экспоненциального роста.

ABSTRACT

задача коректність лінійний апроксимація

Piven A.L. Properties of solutions of higher orders degenerate differential equations with restrictions on resolvent of polynomial operator pencil. - Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2006.

The Cauchy problem for the higher order implicit differential equation with closed linear operators in complex Banach spaces is considered. The operator under higher order may have a non-trivial kernel.

Under a power growth on resolvent of polynomial characteristic sheaf in some right half-plane subspace of solutions for Cauchy problem is described. The conditions of non-triviality of initial manifold are established under same restrictions on resolvent.

The continuous dependence on initial data of solutions and its derivatives to the order (complete correctness) is investigated and the continuous dependence of solution and part of derivatives to the order (-multiple partial correctness) is investigated. Connections between difference types of partial and complete correctness are established. Conditions of complete and partial correctness for implicit and degenerated equations are proved in terms of restrictions for resolvent of characteristic sheaf. The conditions of correctness in Hilbert space are obtained in the term of restrictions for operator coefficients of equation.

The completeness and basisness conditions of elementary solutions of degenerate equation of order in the class of all solutions and in the class of normal solutions with restrictions on its index of exponential growth are obtained. The restrictions are formulate in the term of behavior of resolvent for operator characteristic sheaf in the complex plane and in some left half-plane.

Abstract results are applied to partial differential equations.

Key words: degenerate differential equation, polynomial operator sheaf, resolvent, subspace of solutions, multiple correctness, eigenvalue, eigen and associated vectors, normal solution, index of exponential growth.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У дисертаційній роботі досліджується однорідне операторно-диференціальне рівняння вищого порядку, яке не розв'язне відносно старшої похідної. Коефіцієнти цього рівняння є лінійними замкненими операторами, що діють з одного комплексного банахового простору в іншій. Якщо оператор при старшій похідній є одиничним, то рівняння явне, і неявне - у протилежному випадку. Якщо оператор при старшій похідній є виродженим, то рівняння називають виродженим.

Відомо, що початковий многовид задачі Коші для явного й неявного рівняння може бути тривіальним. Ю.І. Любіч отримав умови нетривіальності початкового многовиду для явного рівняння першого порядку. Л.А. Власенко розширила ці результати на випадок виродженого рівняння, а також одержала опис підпростору розв'язків задачі Коші для виродженого рівняння першого порядку. Умови нетривіальності початкового многовиду й опис підпростору розв'язків не було одержано для рівнянь вищого порядку. Метод стандартного зниження порядку приводить до рівняння першого порядку, взагалі кажучи, з незамкненими операторами, до якого неможливо застосувати відомі результати.

Явні рівняння вищого порядку досліджувались у роботах М.Л. Горбачука, В.І. Горбачук, М.Г. Гасимова, І.Ц. Гохберга, М.Г. Крейна, Н.Д. Копачевського, С.Г. Крейна, Нго Зуй Кана, П. Ланкастера, А.А. Шкалікова, І.В. Мельнікової, О.І. Філінкова, О.І. Мілославського, Е. Хілє, Р. Філіпса, С.Я. Якубова, H.O. Fattorini, F. Neubrander, E. Obrecht, M. Sova, Xiao Ti Jun, Liang Jin, Y. Yamamoto та інших. Неявні та вироджені рівняння вищого порядку досліджувались у працях Л.А. Власенко, А.Г. Руткаса, Ю.А. Дубінського, М.В. Кєлдиша, М.Д. Копачевського, С.Г. Крейна, Нго Зуй Кана, А.А. Шкалікова, P. Colli, A. Favini, R. Showalter.

Коректність задачі Коші для явних операторно-диференціальних рівнянь досліджувалась у працях Е. Хіле, Р. Філіпcа, H.O. Fattorini, С.Г. Крейна, Ю.І. Любіча, Дж. Голдстейна, F. Neubrander, М.Л. Горбачука, І.В. Мельникової, О.І. Філінкова, Xiao Ti Jun, Liang Jin, для вироджених рівнянь - у роботах Л.А. Власенко, А.Г. Руткаса, Н.І. Радбель. Але для вироджених рівнянь порядку вище другого коректність не досліджувалась, не вивчалась неперервна залежність розв'язку та частин його похідних від початкових даних.

Повнота та базисність елементарних розв'язків невироджених рівнянь вищого порядку, кратна повнота системи власних і приєднаних векторів відповідних цим рівнянням поліноміальних жмутків операторів досліджувались у роботах М.В. Кєлдиша, S. Agmon, L. Nirenberg, В.Б. Лідського, Ю.І. Любіча, В.О. Ткаченка, О.С. Маркуса, І.Ц. Гохберга, М.Г. Крейна, М.Г. Гасимова, В.І. Мацаєва, А.А. Шкалікова, М.Д. Копачевського, М.Л. Горбачука та інших. Кратна повнота досліджувалась у всьому просторі. Для виродженого рівняння у працях Л.А. Власенко і А.Г. Руткаса кратна повнота встановлювалась у підпросторі розв'язків задачі Коші, де лежить початковий многовид цієї задачі. Підпростір розв'язків у загальному випадку не співпадає з усім простором. А.Г. Руткасом і Л.А. Власенко одержана ознака повноти елементарних розв'язків неявного й виродженого рівняння вищого порядку за умови скінченності степеню резольвенти характеристичного жмутка. Виникає необхідність подальшого дослідження умов повноти елементарних розв'язків для неявного рівняння вищого порядку й умов базисності елементарних розв'язків.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у межах наступних тем кафедри математичного моделювання та забезпечення ЕОМ Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна: „Несамоспряжені операторні жмутки та вироджені диференціальні рівняння” (№ ДР 0194U012831), „Спектральний і еволюційний аналіз вироджених систем та його застосування” (№ДР 0197U015782), „Спектральні властивості та розв'язність вироджених систем” (№ ДР 0100U003365), „Властивості еволюційних задач з неявними диференціальними рівняннями та їх застосування”(№ ДР 0301U004227).

Мета та задачі дослідження. Опис підпростору розв'язків задачі Коші для неявного й виродженого рівняння вищого порядку, знаходження ознаків коректності, ознаків повноти й базисності елементарних розв'язків у класі всіх розв'язків і у класі експоненціально обмежених розв'язків.

Об'єктом дослідження є неявне однорідне лінійне операторно-диференціальне рівняння вищого порядку.

Предмет дослідження - початковий многовид і підпростір розв'язків задачі Коші для цього рівняння, неперервна залежність розв'язків рівняння від початкових даних, повнота й базисність елементарних розв'язків.

Методи дослідження. У роботі використані методи спектральної теорії операторів й операторних жмутків, теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, метод перетворення Лапласа і контурного інтегрування, теорія ідеалів компактних операторів.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Описано підпростір розв'язків задачі Коші для виродженого диференціального рівняння вищого порядку, встановлено умови нетривіальності її початкового многовиду.

2. Для неявного диференціального рівняння порядку досліджено повнократну коректність (неперервну залежність розв'язку та похідних до порядку від початкових даних), а також часткову -кратну коректність (неперервну залежність частин похідних до порядку ). Встановлено зв'язок між різними типами часткової й повнократної коректності. Доведено ознаки повнократної й часткової коректності для явних і вироджених рівнянь у термінах обмежень на резольвенту характеристичного жмутка. У випадку гільбертового простору одержано умови коректності в термінах обмежень на операторні коефіцієнти рівняння.

3. Одержано нові оцінки початкового моменту апроксимації розв'язків неявного рівняння вищого порядку лінійними комбінаціями елементарних розв'язків. Одержано нову ознаку повноти елементарних розв'язків у класі всіх розв'язків у випадку, коли резольвента може мати нескінченний степінь. Отримано ознаки повноти елементарних розв'язків у класі експоненціально оцінених (нормальних) розв'язків.

4. При експоненціальних обмеженнях на зростання резольвенти у деяких кутах і послідовності прямих у комплексній площині одержано ознаки базисності канонічної системи елементарних розв'язків у класі всіх розв'язків і у класі нормальних розв'язків з обмеженнями на показник експоненціального зростання. Отримано умови, за яких ряд за канонічною системою елементарних розв'язків є асимптотичним зображенням при відповідного нормального розв'язку неявного рівняння вищого порядку.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Практичне значення одержаних результатів складається в можливості застосування абстрактних теорем для дослідження диференціальних рівнянь з частинними похідними. Результати дисертації можуть бути використані при дослідженні диференціальних рівнянь з частинними похідними, що виникають у різних задачах електродинаміки, теорії пружності, гідродинаміки.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації, що винесено на захист, одержані автором самостійно. В [1] здобувачем одержано теорему про базисність елементарних розв'язків абстрактного виродженого рівняння вищого порядку. У [4] здобувачеві належать лема про інтегральне перетворення розв'язку через початкові дані, теореми 2 - 4 й наслідки 1,2. У [5] здобувачеві належить зауваження 1, лема 1, теореми 2- 5.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались на п'ятій міжнародній конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 1996), на шостій міжнародній конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 1997), на міжнародній конференції з функціонального аналізу (Український математичний конгрес, Київ, 2001), на першій областній конференції молодих науковців "Тобі, Харківщино,- пошук молодих" (Харків, 2002), на міжнародній науковій конференції "Шості Боголюбовські читання" (Чернівці, 2003), на семінарі кафедри математичного аналізу Донецького національного університету під керівництвом доцента М.М. Маламуда (Донецьк, 2005), на Київському міському семінарі з функціонального аналізу (Київ, листопад, 2005), на семінарі Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна з математичної фізики під керівництвом академіка Є.Я. Хруслова (Харків, листопад, 2005).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 6 статтях у наукових фахових виданнях та 4-х тезах доповідей на міжнародних конференціях. Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел з 83 найменувань на 8 сторінках. Загальний обсяг дисертації складає 139 сторінок.

задача коректность лінійний апроксимація

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подається загальна характеристика роботи, сформульовано її мету та наукову новизну. Нумерація тверджень у дисертації та авторефераті є спільною.

Розглядається задача Коші

, де лінійні замкнені оператори, що діють з комплексного банахового простору у комплексний банахів простір з областями визначення відповідно. Рівняння з оператором , який має нетривіальне ядро, називається виродженим. Якщо та ( - одиничний оператор), то рівняння має вигляд



і називається явним, а в протилежному випадку - неявним.

Означення (А.Г. Руткаc, Л.А. Власенко, 1996 р.). Вектор-функція називається розв'язком рівняння , якщо вона при кожному задовольняє рівняння і має наступні властивості гладкості:

;

,.

Розв'язком задачі Коші , називається розв'язок рівняння , для якого виконані початкові умови . Для задачі Коші , - кратним початковим многовидом називається множина всіх векторів , для яких задача , має розв'язок. Підпростором розв'язків задачі Коші , називається замикання в множини .

Рівнянню відповідає характеристичний жмуток , який визначено на. На множині регулярних точок жмутка визначено резольвенту . Тут і надалі через позначається множина всіх лінійних обмежених операторів, що відображають простір у простір . Простір є банаховим з нормою . На множині регулярних точок жмутка резольвента є голоморфною оператор-функцією зі значеннями в , одночасно. Доповнення множини до всієї комплексної площини називається спектром жмутка .

У першому розділі проведено огляд літератури за темою дисертації.

У другому розділі досліджується підпростір розв'язків задачі Коші - та наводяться нові ознаки різних типів її коректності. У підрозділі 2.1 при степеневих обмеженнях на норму резольвенти наведено опис підпростору розв'язків задачі - і вказано умови нетривіальності її початкового многовиду . Описано множини - замикання (в ) векторів для всіх розв'язків рівняння . Підпростори у загальному випадку не співпадають. У скінченно вимірному випадку ця розбіжність може бути лише у випадку виродженості матриці . Проте завжди мають місце включення Достатньою умовою збіжності підпросторів є

Твердження 2.1. Якщо , то

Для опису підпросторів , використовуються наступні голоморфні на множині оператор-функції

із значеннями в . За допомогою цих функцій визначається блочна оператор-функція зі значеннями в та блок-рядки зі значеннями в . Функції також голоморфні на множині .

Теорема 2.2. Нехай півплощину складено з регулярних точок жмутка і для деякого цілого і деякої сталої у цій півплощині виконана оцінка

Тоді для будь-яких і мають місце наступні рівності

;

.

Відомо, що для явного й неявного рівнянь першого порядку початковий многовид відповідної задачі Коші може бути і тривіальним. Це питання є актуальним і для рівнянь вищих порядків. Умови нетривіальності початкового многовиду було одержано Ю.І. Любічем та Л.А. Власенко відповідно для явного й неявного рівняння першого порядку. Безпосередньо з теореми 2.2 випливає ознака нетривіальності початкового многовиду задачі Коші -, яка у випадку неявного рівняння першого порядку одержана раніше Л.А. Власенко.

Наслідок 2.2. Нехай виконано умови теореми 2.2. Початковий многовид задачі Коші - нетривіальний тоді і тільки тоді, коли всі похідні зі значеннями в не дорівнюють тотожно на нулеві.

Одержано ще одну ознаку нетривіальності початкового многовиду задачі -.

Теорема 2.3. Нехай спектр жмутка не порожній, півплощину складено з регулярних точок цього жмутка та на прямій виконана оцінка . Тоді початковий многовид задачі Коші - нетривіальний. У пункті 2.1.3 (теорема 2.4) показано, що при виконанні умов теореми 2.2 у частковому випадку неповного рівняння вищого порядку



співвідношення , спростовуються та мають вигляд

.

При цьому початковий многовид задачі , нетривіальний тоді і тільки тоді, коли резольвента не є нільпотентним оператором у жодній точці .

У підрозділі 2.2 дисертації досліджуються різні типи коректності задачі - й одержані достатні умови коректності. У роботах С.Г. Крейна, Дж. Голдстейна, І.В. Мельнікової, H.O. Fattorini, F. Neubrander та інших авторів під коректністю задачі - розумілась або неперервна залежність розв'язку задачі від усіх початкових даних , або неперервна залежність розв'язку та його похідних до порядку включно від тих самих початкових даних. Можна побудувати приклади рівнянь , розв'язки яких та їх похідні до деякого порядку включно неперервно залежать від початкових даних , а інші похідні - ні. Ці приклади вказують на те, що має сенс розглядати неперервну залежність розв'язку рівняння та частини його похідних до порядку включно від початкових даних .

Означення 2.1. Задача Коші - називається детермінованою, якщо вона при має єдиний розв'язок .

Означення 2.2. Детермінована задача Коші - називається -кратно коректною , якщо значення будь-якого її розв'язку та його похідних у кожній фіксованій точці неперервно залежать від усіх початкових даних .

Еквівалентне означення -кратної коректності задачі - дає

Твердження 2.2. Задача Коші - -кратно коректна тоді і тільки тоді, якщо для будь-якого її розв'язку виконані оцінки

з деякою невід'ємною функцією .

Означення 2.3. Задача - називається -кратно рівномірно коректною, якщо виконано з локально обмеженою на функцією , -кратно експоненціально коректною, якщо .

Означення 2.4. Задача - називається повнократно коректною (рівномірно, експоненціально), якщо вона -кратно коректна (рівномірно, експоненціально) при , і частково коректною (рівномірно, експоненціально), якщо .

У пункті 2.2.2 одержано ознаки різних типів коректності задачі Коші -. У комплексній площині розглядається кут

.

Межовий контур кута зорієнтовано так, що при його обході область залишається зліва. У лемі 2.5 встановлено інтегральне зображення розв'язку та його похідних поза деяким околом нуля за умови експоненціальної оцінки функцій у куті .

Лема 2.5. Нехай кут складено із регулярних точок жмутка та при деяких справедливі оцінки

Якщо - розв'язок задачі Коші -, то при він виявляється нескінченно диференційовним і разом із похідними допускає інтегральне зображення через початкові дані:

Інтегральне зображення дозволяє одержати наступні ознаки повнократної коректності та повнократної експоненціальної коректності задачі -.

Теорема 2.7. Припустимо, що для будь-якого у куті резольвента задовольняє оцінки

Тоді задача Коші - повнократно коректна.

Теорема 2.8. Припустимо, що резольвента визначена і задовольняє оцінки на множині для кожного . Тоді задача Коші - повнократно експоненціально коректна.

Обмеження на резольвенту у куті ще не забезпечують навіть однократну рівномірну коректність задачі Коші -. Проте при досить сильних степеневих обмеженнях на резольвенту в куті можна одержати рівномірну й експоненціальну коректність цієї задачі, взагалі кажучи, часткову. Власне, є справедливою

Теорема 2.9. Нехай кут складено із регулярних точок жмутка та при деяких у цьому куті виконані оцінки



Тоді задача Коші - повнократно коректна і -кратно експоненціально коректна.

Якщо оцінки виконуються при , то теорема 2.9 забезпечує, взагалі кажучи, часткову рівномірну та часткову експоненціальну коректність. А саме, в умовах цієї теореми - кратна рівномірна коректність, взагалі кажучи, вже не має місце.

Одним із методів дослідження явних рівнянь вищого порядку є виділення лідируючого оператору та підпорядкування йому інших операторів . Для виродженого рівняння лідируючими є оператори і . Позначимо через жмуток операторів , а через - його резольвенту. Справедливий наступний наслідок з теореми 2.9.

Наслідок 2.4. Нехай , лінеал щільний у , число належить множині , числа і у деякому куті резольвента задовольняє оцінки

Тоді задача Коші - повнократно коректна і-кратно експоненціально коректна.

У пункті 2.2.3 встановлюються ознаки кратної коректності задачі - з операторними коефіцієнтами, що мають щільні області визначення в гільбертовому просторі . На оператори і на спряжені оператори накладаються обмеження, що забезпечують виконання умов теорем пункту 2.2.2.

У пункті 2.2.4 наведено застосування абстрактних результатів по коректності до диференціальних рівнянь з частинними похідними. Нехай -обмежена область простору з досить гладкою межею . Розглядається наступна мішана задача :

Через позначається мультиіндекс, , символ позначає похідну за зовнішньою нормаллю до . Припускається, що , , причому та при деякому справедливі нерівності . Мішана задача - записується в вигляді абстрактної задачі Коші - у просторі , де оператор може бути виродженим. Доведено, що задача - повнократно коректна й - кратно експоненціально коректна. Також показано, що початковий многовид задачі - нетривіальний, підпростір розв'язків цієї задачі описується формулою , а підпростори - за формулами .

Нехай - натуральне число, а . Розглядається наступна мішана задача:

.

Припускається, що У просторі задача - записується в абстрактному вигляді -, де оператор може бути виродженим. Перевіряється, що для цієї задачі виконані умови теореми 2.8. Отже, задача - повнократно експоненціально коректна. Резольвента характеристичного жмутка цієї задачі, взагалі кажучи, не володіє степеневим зростанням у жодній півплощині .

У третьому розділі дисертації досліджуються питання апроксимації розв'язків рівняння лінійними комбінаціями елементарних розв'язків, наводяться ознаки повноти системи власних і приєднаних векторів (ВПВ) жмутка й вказуються умови, за якими розв'язки розкладаються в ряди за елементарними розв'язками. У підрозділі 3.1 встановлюються умови апроксимації довільного розв'язка рівняння лінійними комбінаціями елементарних розв'язків. Припускається, що резольвента є мероморфною в усій комплексній площині оператор-функцією зі значеннями в . Розглянемо наступні характеристики зростання резольвенти у куті :

,

Величина називається степенем резольвенти у куті

Л.А. Власенко і А.Г. Руткасом доведено, що при виконанні умови апроксимація довільного розв'язку рівняння лінійними комбінаціями елементарних розв'язків починається з моменту Але ця апроксимація може починатися з моменту часу, який менше . У теоремі 3.1 покращується початковий момент апроксимації розв'язків рівняння лінійними комбінаціями елементарних розв'язків при скінченому степені резольвенти.

Теорема 3.1. Нехай резольвента є мероморфною оператор-функцією зі значеннями в скінченого степеня

.

Тоді на будь-якому сегменті кожний розв'язок рівняння апроксимується лінійними комбінаціями елементарних розв'язків у нормі простору . Якщо , то система ВПВ жмутка є - кратно повною в підпросторі розв'язків .

Ще одну ознаку повноти елементарних розв'язків рівняння одержано в припущенні, що при деякому виконано більш загальну умову, ніж скінченність степеня резольвенти :



Це обмеження має сенс розглядати у випадку , оскільки при виконуються умови попередньої теореми 3.1. Для забезпечення апроксимації необхідно накладати додаткові обмеження. У наступній теоремі 3.2 таким обмеженням є існування скінченого набору променів

,

причому ці промені розбивають усю комплексну площину на кути розчину менше . При деякі промені системи асимптотично лежать у півплощині , кількість таких променів позначається через .

Теорема 3.2. Нехай резольвента є мероморфною оператор-функцією зі значеннями в , та при деякому виконується умова . Припустимо, що існує скінчений набір променів , на яких резольвента задовольняє умову . Нехай ці промені розбивають усю комплексну площину на кути розчину менше та . Тоді довільний розв'язок рівняння апроксимується лінійними комбінаціями елементарних розв'язків у нормі простору . Якщо при деякому , то система ВПВ жмутка є - кратно повною в підпросторі розв'язків .

У підрозділі 3.2 подаються теореми про апроксимацію нормальних розв'язків рівняння лінійними комбінаціями елементарних розв'язків. Розв'язок рівняння називається нормальним розв'язком, якщо функції мають скінчений експоненціальний тип. Величина називається показником експоненціального зростання нормального розв'язку . Множина всіх розв'язків із показником експоненціального зростання позначається через . Для дослідження питань апроксимації розв'язків класу лінійними комбінаціями елементарних розв'язків використовується метод класичного перетворення Лапласа. Одержано теореми 3.3, 3.4, що є аналогами теорем 3.1, 3.2 відповідно. Обмеження теорем 3.1, 3.2 на резольвенту у всій комплексній площині замінюються аналогічними обмеженнями на цю резольвенту в лівій півплощині і не вимагається навіть мероморфність резольвенти у півплощині .

У підрозділі 3.3 встановлено умови, за якими розв'язки рівняння розкладаються в ряди за елементарними розв'язками. Нехай оператори цілком неперервні, для деяких сталих множину складено з регулярних точок жмутка . Власні значення жмутка перелічимо так, що , Для кожного власного числа розглянемо канонічну (за М.В. Кєлдишем) систему ВПВ: Позначимо через елементарні розв'язки рівняння , які побудовані за цією канонічною системою

Нехай розв'язок рівняння . Доведено існування комплексних коефіцієнтів , при яких виконується наступна рівність

Розв'язку рівняння зіставляється ряд Фур'є

В теоремі 3.8 вказуються умови збіжності цього ряду до розв'язку .

Теорема 3.8. Нехай оператори цілком неперервні, при деяких сталих множину складено з регулярних точок жмутка і на цієї множині справедлива оцінка

Припустимо, що оцінку виконано також на прямих . Тоді ряд після, можливо, належного розташування дужок збігається до розв'язку при всіх .

Через позначається клас цілком неперервних операторів у гільбертовому просторі, для яких збігається ряд , де - власні числа оператора . У випадку гільбертових просторів одержана наступна ознака базисності елементарних розв'язків рівняння , яка є наслідком попередньої теореми.

Наслідок 3.1. Нехай - гільбертові простори і при деяких сталих множину складено з регулярних точок жмутка . Припустимо, що Тоді ряд після, можливо, належного розташування дужок збігається до розв'язку при всіх .

Також у підрозділі 3.3 одержано умови розкладу розв'язків у ряд Фур'є за канонічною системою елементарних розв'язків, що також належать . При цьому обмеження теореми 3.8 і наслідку 3.1 послабляються за рахунок заміни множини множиною . Крім того, оцінку достатньо вимагати лише на послідовності прямих . Якщо не припускається оцінка на цієї послідовності прямих, то доведено, що ряд Фур'є є асимптотичним зображенням розв'язку при . Це означає, що для будь-яких і існує таке, що справедлива оцінка де - часткова сума ряду Фур'є розв'язку , в яку включено всі елементарні розв'язки вигляду , що відповідають власним числам жмутка зі смуги

Підрозділ 3.4 присвячений застосуванню одержаних у підрозділах 3.1 - 3.3 абстрактних результатів до диференціальних рівнянь з частинними похідними. Як і раніше, позначає обмежену область простору з досить гладкою межею .

Розглядається мішана задача

;

,

де Припускається, що , а коефіцієнти Також припускається, що в області диференціальний вираз є сильно еліптичним за М.І. Вішіком. У просторі задача - записується в абстрактному вигляді -, де оператор може бути виродженим. Показано, що при достатньо великій величині резольвента жмутка є мероморфною оператор-функцією нульового степеня В силу теореми 3.1 на будь-якому сегменті кожний розв'язок задачі - апроксимується лінійними комбінаціями елементарних розв'язків у нормі простору , причому система ВПВ жмутка є - кратно повною в підпросторі розв'язків цієї задачі. Для задачі

, ;

…

перевіряються умови базисності елементарних розв'язків. Тут - мультиіндекси. Припускається, що коефіцієнти , причому , існує таке, що при всіх і . Також припускається, що У просторі задача - записується у вигляді причому оператор може бути виродженим. Характеристичний жмуток цього рівняння задовольняє вимогам наслідку 3.1. Тому будь-який розв'язок задачі - при всіх розкладується в ряд за елементарними розв'язками. У частковому випадку умови базисності елементарних розв'язків задачі , одержано науковим керівником Л.А. Власенко й надруковано у сумісній роботі [1].

ВИСНОВКИ

1. Описано підпростір розв'язків задачі Коші для виродженого диференціального рівняння вищого порядку при степеневих обмеженнях на норму резольвенти відповідного характеристичного операторного жмутка цього рівняння у деякій правій півплощині. При степеневих обмеженнях на норму резольвенти у деякій правій півплощині або на прямій, паралельній мнимій осі, одержано умови нетривіальності початкового многовиду цієї задачі.

2. Досліджено - кратну коректність, - кратну рівномірну коректність й - кратну експоненціальну коректність задачі Коші для виродженого рівняння порядку , де Одержано інтегральне зображення розв'язку цієї задачі та його похідних через початкові дані при експоненціальних оцінках на норму резольвенти характеристичного жмутка рівняння. За допомогою цього зображення встановлено ознаки - кратної коректності й - кратної експоненціальної коректності задачі Коші в термінах обмежень на зростання резольвенти у деякому куті комплексної площини або правій півплощині. У випадку гільбертового простору одержано умови коректності в термінах обмежень на операторні коефіцієнти рівняння.

3. Встановлено умови, за якими розв'язки неявного операторно-диференціального рівняння вищого порядку та їх похідні до порядку включно апроксимуються лінійними комбінаціями елементарних розв'язків. Одержано нову оцінку початкового моменту апроксимації розв'язків неявного рівняння вищого порядку лінійними комбінаціями елементарних розв'язків за умови, що резольвента характеристичного жмутка цього рівняння є мероморфною оператор-функцією скінченого степеня. Доведено нову ознаку повноти елементарних розв'язків у класі всіх розв'язків у випадку, коли резольвента може мати нескінченну степінь. Одержано ознаки повноти елементарних розв'язків у класі експоненціально оцінених (нормальних) розв'язків. При експоненціальних обмеженнях на зростання резольвенти у деяких кутах й послідовності прямих у комплексної площині доведено ознаки базисності канонічної системи елементарних розв'язків у класі всіх розв'язків і у класі нормальних розв'язків з обмеженнями на показник експоненціального зростання. Встановлено умови, за яких ряд за канонічною системою елементарних розв'язків служить асимптотичним зображенням при відповідного нормального розв'язку неявного рівняння вищого порядку.

4. Наведено застосування абстрактних результатів до диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Публікації здобувача за темою дисертації

1. Власенко Л.А., Пивень А.Л. О базисности элементарных решений вырожденных линейных дифференциальных уравнений // Вiсник Харкiвського унiверситету, Серiя "Математика, прикладна математика i механіка ". - 1999. - № 444. - С.94 - 100.

2. Пивень А.Л. Разрешимость задачи Коши и оценки начального многообразия для одного неявного операторно-дифференциального уравнения // Вiсник Харкiвського унiверситету, Серiя "Математика, прикладна математика i механiка". - 1999.- № 458. - С. 101 - 108.

3. Пивень А.Л. Об асимптотическом поведении решений вырожденных линейных дифференциальных уравнений // Вiсник Харкiвського університету. Серія “ Математика, прикладна математика i механiка ”.-2000.- № 475. - С. 334 - 340.

4. Пивень А.Л., Руткас А.Г. О корректности задачи Коши для операторно-дифференциальных уравнений высокого порядка // Доповiдi НАН України.-2003.- № 5.-C. 32-37.

5. Власенко Л.А., Пивень А.Л., Руткас А.Г. Признаки корректности задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка // Укр. мат. журнал.-2004.-Т.56, № 11. - С.1484-1500.

6. Пивень А.Л. Признаки полноты элементарных решений вырожденных операторно - дифференциальных уравнений высокого порядка // Мат. физика, анализ, геометрия. - 2005. - Т.12, №1. - С. 86 - 102.

7. Власенко Л.А., Півень О.Л. Про єдиність і апроксимацію для однієї задачі Коші // П'ята міжнародна конференція ім. академіка М. Кравчука. Тези доповідей. - К.: НТУУ (КПІ). - 1996. - С. 70.

8. Власенко Л.А., Півень О.Л. Повнота елементарних розв'язків однієї мішаної задачі // Шоста міжнародна конференція ім. академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - К.: НТУУ(КПІ).-1997. - С. 82.

9. Rutkas A.G.,Piven A.L. Correctness conditions for a degenerate abstract Cauchy problem // Мiжнародна конференцiя з функцiонального аналiзу. Тези доповiдей. - К.: Ін-т математики НАН України. - 2001. - Р. 86.

10. Пивень А.Л. Непрерывная зависимость решений одной смешанной задачи от начальных данных // Мiжнародна наукова конференцiя "Шостi Боголюбовськi читання". Тези доповідей. - К.: Ін-т математики НАН України. - 2003. - С.176.

Размещено на Allbest.ru

...