Математичне моделювання первинних термоперетворювачів на основі балансного наближення чебишовськими нелінійними сплайнами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математичне моделювання первинних термоперетворювачів на основі балансного наближення чебишовськими нелінійними сплайнами

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Температура відіграє важливу роль при контролі, автоматизації та управлінні технологічними процесами. Точністю збереження температурного режиму часто визначається не тільки якість, але і принципові можливості застосування продукції у певних цілях, наприклад при вирощуванні напівпровідникових монокристалів. Тому актуальною залишається задача прецизійного моделювання первинних термоперетворювачів з метою підвищення точності вимірювання температури. Математичні моделі первинних перетворювачів фізичних величин за їх функціями перетворення розглянуто у працях C.C. Варшави, А.Ф. Верланя, В.Б. Дудикевича, Б.М. Малиновського, Г.Є. Пухова, В.А. Романова, В.Б. Смолова, Б.І. Стадника, В.Д. Циделка та ін.

У випадку таблично заданої функції перетворення для її апроксимаційного представлення переважно використовують інтерполяційні методи, частковим випадком яких є поліноміальна та раціональна інтерполяція. Інший варіант апроксимації - середньоквадратичне наближення, яке полягає у мінімізації квадратів відхилень від табличних даних. У випадку коли функція перетворення задана складним аналітичним виразом, для наближення застосовують розклад у ряд Тейлора або Фур'є. Найбільшою перевагою інтерполювання та середньоквадратичних наближень є порівняно невелика обчислювальна складність, що сприяє їх поширенню у багатьох застосуваннях. Однак досить часто при обробці результатів вимірювань фізичних величин виникає необхідність побудови рівномірних наближень, які гарантують відхилення від представленої аналітичним виразом чи за допомогою таблиці функції на величину, що не перевищує заданого наперед значення.

З усіх існуючих методів наближень найменшу похибку на заданому інтервалі апроксимації забезпечує найкраще чебишовське наближення, яке шукається як розв'язок оптимізаційної задачі. Апроксимуючу функцію доцільно при цьому вибирати виходячи з властивостей наближуваної функції. Тоді параметри апроксимуючого виразу обчислюють з умови мінімізації максимальної похибки на проміжку наближення.

Як правило, для наближень експериментальних залежностей використовують многочлени та раціональні многочлени. Цій тематиці присвячені роботи В.Б. Дудикевича, О.І. Лаушник, Я.Б. Попова. Однак, використання поліноміального опису в практиці ускладнюється його обчислювальною громіздкістю, зумовленою високим порядком поліному. Але відомі цілі класи первинних термоперетворювачів (зокрема, арсенід-галієві та германієві термометри опору), градуювальні характеристики яких є нелінійними, що зумовило застосування нелінійних чебишовських наближень, які розглядаються в роботах Р.А. Воробеля, В.Б. Дудикевича, П.С. Малачівського, Б.О. Попова. Отже, для зазначених первинних перетворювачів оптимальними є наближуючі вирази, нелінійні відносно параметрів.

Питанням розробки теорії і методів чисельного наближення функціональних залежностей многочленами, раціональними, нелінійними виразами та сплайн-функціями, а також застосуванню цих методів при розв'язуванні технічних задач, присвячена значна кількість наукових праць Ю.С. Зав'ялова, М.П. Корнійчука, А.О. Лигуна, В.Н. Малоземова, Г. Мейнардуса, Дж. Ватсона, Є.Я. Ремеза, Б.О. Попова, Дж.Р. Райса, Г.С. Теслера та ін.

Для зменшення похибки моделювання первинних перетворювачів температури недоцільно збільшувати кількість параметрів наближуючого виразу, оскільки це призводить до збільшення обчислювальної похибки та величини розрядної сітки при обчисленнях. Більш доцільно використовувати сплайн-наближення з нескладними наближуючими виразами на кожній ланці. Однак, при використанні нелінійних чебишовських наближень знаходження вузлів сплайну вимагає великої кількості обчислень, що значно ускладнює отримання результату. В такому випадку доцільно використати підхід, запропонований Б.О. Поповим, що базується на понятті ядра наближення, за допомогою якого можна оцінити похибку чебишовського наближення без обчислення його параметрів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась в рамках держбюджетних тем Національної академії наук України:

1. «Теоретичні основи створення алгоритмічних засобів і обчислювальних систем для підвищення інформативності даних» (1999-2001, Постанова Бюро відділення ФТПМ НАН України №10 від 08.06.1999, р.н. 0100U004857). Участь автора полягала у розробці методики застосування квадратурної формули чисельного інтегрування для підвищення точності та швидкості збіжності балансних чебишовських наближень, розробці апроксимаційних методів лінеаризації нелінійностей термоперетворювачів, програмних засобів для оптимальних за точністю і складністю чисельно-аналітичних методів апроксимації даних.

2. «Створення математичних моделей фізичних явищ на базі теорії апроксимації, покращання зображень та розпізнавання образів» (2002-2004, Постанова Бюро відділення ФТПМ НАН України №10 від 11.06.2002, р.н. 0102U002668). Участь автора полягала у розробці чисельно-аналітичних методів оптимального апроксимаційного представлення нелінійними чебишовськими балансними сплайнами одновимірних функціональних залежностей, розробці методів побудови таких наближень при описі виду ланок сплайну сумою многочлена та експоненти, многочлена та степеневої функції, функції від раціонального многочлена, їх застосуванні при моделюванні термоперетворювачів та лінеаризації нелінійностей елементів вимірювальних систем, розробці пакетів програм апроксимації в системі комп'ютерної алгебри Maple.

3. «Створення інтелектуальних інформаційних технологій розпізнавання дефектності об'єктів та аналізу їх геометричних параметрів при технічній діагностиці» (2005-2006, Постанова Бюро відділення ФТПМ НАН України №9 від 24.05.2005, р.н. 0105U004306). Участь автора полягала у розробці методів балансного наближення нелінійними чебишовськими сплайнами при наближенні однозначних функцій на нескінченних проміжках.

Об'єкт дослідження - первинні термоперетворювачі та їх градуювальні характеристики.

Предмет дослідження - математичні методи оптимального за точністю і складністю моделювання первинних термоперетворювачів та обчислювальні алгоритми для знаходження параметрів балансних наближень нелінійними чебишовськими сплайнами.

Методи досліджень. При виконанні досліджень використовувались методи теорії апроксимації, обчислювальної математики та чисельно-аналітичні методи.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка теоретичних основ побудови ефективних методів, алгоритмів та програм моделювання первинних термоперетворювачів на основі представлення їх градуювальних характеристик балансним наближенням чебишовськими нелінійними сплайнами для створення оптимальних за точністю і алгоритмічною складністю цифрових коригуючих пристроїв.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що для моделювання первинних термоперетворювачів за їх функціями перетворення розроблено апарат балансних наближень нелінійними чебишовськими сплайнами, який дозволяє оптимізувати наближення за точністю і складністю. При цьому отримано такі результати:

· розроблено загальну методику знаходження балансного наближення функціональних залежностей з заданою точністю чи кількістю ланок чебишовськими розривними сплайнами із ланками у вигляді ряду нелінійних виразів;

· розроблено алгоритм найкращого чебишовського наближення сумою полінома та нелінійної функції, у якому один з параметрів знаходиться як розв'язок трансцендентного рівняння, а інші обчислюються безпосередньо;

· доведено обмінну теорему для наближення монотонною функцією від раціонального многочлена, яка дозволяє отримувати розв'язок апроксимаційної задачі шляхом зведення до раціональної чебишовської апроксимації;

· запропоновано поліпшену ітераційну процедуру для знаходження границь ланок чебишовського сплайну, яка має вищий порядок збіжності ніж відомі, встановлено достатню умову збіжності цієї процедури;

· вперше розроблено методику знаходження балансного наближення функціональної залежності чебишовським розривним сплайном на безмежному проміжку, отримано оцінку точності такого наближення.

Практичне значення одержаних результатів. Запропонований у дисертаційній роботі підхід дозволив розв'язати складну задачу високоточного представлення градуювальних характеристик для більш ефективного їх використання при моделюванні та технічній реалізації лінеаризуючих пристроїв функціональних перетворювачів. Розроблені в системі комп'ютерної алгебри Maple пакети програм використовуються для апроксимаційного представлення функцій та градуювальних характеристик первинних термоперетворювачів на основі балансних наближень чебишовськими нелінійними сплайнами. Теоретичні і практичні результати, отримані в дисертаційній роботі, впроваджені в НВО «Термоприлад» при розробці термоперетворювачів опору, що дозволило спростити аналітичне представлення характеристики та побудувати більш прості лінеаризатори в порівнянні з існуючими при збереженні високої точності вимірювань у широкому діапазоні (від 3 K до 300 K). Наукові результати дисертації та програмне забезпечення успішно використовуються також і при проведенні досліджень у Фізико-механічному інституті ім. Г.В. Карпенка Національної академії наук України.

Публікації. Основний зміст дисертаційної роботи відображений у 16 друкованих працях, з яких 5 статей у фахових виданнях, що входять до Переліку, затвердженого ВАК України.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У публікаціях, написаних у співавторстві, автору належать: в [1,6,9] - побудова спрощеного алгоритму визначення параметрів найкращого чебишовського наближення сумою многочлена та нелінійної функції, в [3] - вдосконалення ітераційної процедури Мейнардуса для знаходження границь ланок сплайну та дослідження її збіжності, в [2,7] - формулювання та доведення обмінної теореми для найкращого чебишовського наближення функцією від раціонального многочлена, в [4,14,16] - аналіз апроксимаційних методів для оптимального представлення градуювальних характеристик термометрів опору, в [8, 11] - програмна реалізація нелінійної апроксимації чебишовськими сплайнами, в [12] - отримання ядер наближення нелінійними виразами.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на:

Шостій Всеукраїнській науковій конференції «Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях» (Львів, 1999 р.);

Міжнародній конференції з управління «Автоматика - 2000» (Львів, 2000 р.);

П'ятнадцятій, Сімнадцятій та Вісімнадцятій відкритих науково-технічних конференціях молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту імені Г.В. Карпенка НАН України (Львів, 2000, 2002, 2003 р.р.);

Central European IV conference «Numerical methods and computer systems in automatic control and electrical engineering» (Czenstochowa - Poraj, Poland, 2001 р.);

Міжнародній конференції «Температура - 2003» (Львів, 2003 р.);

31-й та 32-й Міжнародних конференціях «Питання оптимізації обчислень» (Кацивелі, 2003 р, 2005 р.).

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Робота викладена на 133 сторінках, з них 130 сторінок основного тексту. Список використаних джерел налічує 118 найменувань.

Основний зміст роботи

чебишовський ланка ітераційний математичний

У вступі обґрунтовано актуальність проблем, що досліджуються у роботі, сформульовано мету та задачі досліджень, визначено наукову новизну роботи і практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі дисертаційної роботи проведено огляд існуючих типів термоперетворювачів та методів їх моделювання шляхом апроксимації функції перетворення. Наведено існуючі методи апроксимаційного представлення однозначних функцій однієї змінної, проведено аналіз переваг та недоліків кожного з них. Обґрунтовано доцільність використання сплайн-наближень, які сприяють підвищенню точності при нескладних наближуючих виразах на кожній ланці. Показано, що з усіх існуючих методів наближень найменшу похибку на заданому інтервалі апроксимації забезпечує найкраще чебишовське наближення, яке шукається як розв'язок оптимізаційної задачі. Апроксимуючу функцію при цьому доцільно вибирати виходячи з властивостей наближуваної функції.

У другому розділі досліджено властивості та розроблено алгоритми знаходження параметрів та похибки балансного наближення із заданою точністю чебишовськими розривними сплайнами із ланками у вигляді суми многочлена та нелінійної функції вигляду

, (1)

де m, s та p цілі числа, A, v, a_i - параметри наближення; або у вигляді функції від раціонального многочлена

, (2)

де g(x)?0, ц(x) - монотонна на (a, b),

, k, l, p, s - цілі числа.

Теорема 1. Нехай ц (x, v)С^(m)[a, b]. Тоді достатньою умовою існування найкращого чебишовського наближення функції f(x) виразом

(3)

на множині X (X - відрізок або дискретна множина точок) є монотонність функції ц^(m)(ч₂, v)/ ц^(m)(ч₁, v) по v при v₁<v<v₂ для довільних ч₁, ч₂X, монотонність функцій ц⁽ⁱ⁾(x, v), i=1..m по x для довільних v₁<v<v₂, та виконання нерівності

,

де - довільні числа з множини X, z_i<z_i+1, i=0,…, m+1, f₁(z_i, z_i+2=f(z_i+2) - f(z_i)),

,

,

, k=l, l+1,…,

, i=1,2,…, N₁=min(r₁, r₂), N₂=max(r₁, r₂),

Наслідок 1. Функція ц (x, v)=e^xv при |v|<?,|x|<? задовольняє умовам теореми 1, оскільки вона монотонна разом з усіма похідними по x, та відношення похідних є монотонним по v. При цьому N₁=0, N₂=?.

Наслідок 2. Функція ц (x, v)=x^v при |v|<?,|x|<? задовольняє умовам теореми 1, оскільки вона монотонна разом з усіма похідними по x, та відношення похідних є монотонним по v. При цьому N₁=0, N₂=?.

Ці два часткові випадки мають велике практичне значення, оскільки існування для них найкращого чебишовського наближення вигляду (3) гарантоване для досить широкого класу функцій. Можна навести багато прикладів інших функцій, що задовольняють умовам теореми, однак накладають обмеження на наближувану функцію f(x).

Попри усі переваги наближення градуювальних характеристик сумою многочлена та нелінійної функції наближаючий вираз (1) є недостатньо загальний і дає найкращий результат тільки для певного класу функції f(x).

Розглянемо задачу найкращого чебишовського наближення функції f(x) з вагою w(x) на проміжку [a, b] нелінійним виразом вигляду

Ф_m(x, A)=g(x) ц (F(A, x)) (4)

де функція ц(x)С¹[a, b], ц(x) - монотонна на [a, b], g(x)С¹[a, b], g(x)?0, A=(a₀,…, a_m) - вектор параметрів. Припустимо, що алгоритм Ремеза для находження найкращого нелінійного наближення виразом (4) збігається для деякого початкового наближення до точок альтернансу. Запишемо систему рівнянь, яка виникає при черговій ітерації алгоритму Ремеза для знаходження найкращого чебишовського наближення виразом вигляду (4):

f(t_i) - g(x) ц (F(A, x)=(-1)ⁱ м w(t_i), i=0,…, m+1, (5)

де m=k+l, t_i - наближення до точок альтернансу. Перепишемо рівняння (5) у вигляді

, i=0,…, m+1,

де ц -¹ (u) - функція, обернена до ц(x).

Розкладаючи праву частину в ряд Тейлора в околі точки м =0 одержимо

F (A, t_i)= ц -¹(f(t_i)/g(t_i)) - (-1)ⁱ м w(t_i)/g(t_i) ц -^1'(f(t_i)/g(t_i))+ м ²M, (6)

де м ²M - залишок ряду Тейлора, починаючи з м ², i=0,…, m+1.

Нехтуючи величинами порядку O (м ²), з (6) отримуємо такі співвідношення:

ц -¹ (f(t_i)/g(t_i)) - F (A, t_i)=(-1)ⁱ м w(t_i)/g(t_i), i=0,…, m+1. (7)

Система (7) - це система, яка виникає при знаходженні найкращого чебишовського наближення виразом F (A, x) на проміжку [a, b] функції ц -¹ (f(x)/g(x)) з вагою w₁(x)=ц -^1' (f(x)/g(x)) w(x)/g(x).

Введемо позначення

r (x, A)=(f(x) - g(x) ц (F(A, x))/w(x),

с (x, A)=(ц -¹ (f(x)/g(x)) - F (A, x))/w₁(x).

Теорема 2 (узагальнена обмінна теорема). Нехай на проміжку [a, b] існує єдине найкраще чебишовське наближення функції f(x) з вагою w(x), w(x)?0, x[a, b] виразом Ф_m(x, A)=g(x) ц (F(A, x)), де ц(x)С¹[a, b], ц(x) - монотонна на [a, b], g(x)С¹[a, b], g(x)?0 на [a, b].

Тоді на проміжку [a, b] існує єдине найкраще чебишовське наближення функції ц -¹ (f(x)/g(x)) з вагою

w₁(x)=ц -^1' (f(x)/g(x)) w(x)/g(x).

функцією F (B, x).

Нехай - максимальна за модулем похибка наближення функції f(x) з вагою w(x) на проміжку [a, b] виразом Ф_m(x, B); - максимальна за модулем похибка наближення функції ц -¹ (f(x)/g(x) з вагою

w₁(x)=ц -^1' (f(x)/g(x)) w(x)/g(x).

функцією F (B, x), тоді

|м-з|?N з², де N>0 - стала.

Приклад 1. Знайти найкраще відносне чебишовське наближення функції Бесселя I₁(x) на проміжку [0,8] функцією

,

,

при k=2, l=2.

Виберемо функцію g(x) з умов

,.

Маємо

,

.

При s>0 та не залежать від параметрів, причому

g(0)=0, g?(0)=1/2, звідки виберемо g(x)=x/2.

Функція є непарною, тому для збереження непарності покладемо p=s=2.

При цьому максимальна відносна похибка м =0.00010876.

Найменша максимальна відносна похибка м_R чебишовського наближення раціональним многочленом з такою ж кількістю параметрів досягається при k=3, l=1, p=2, s=1: м_R=0.0002209.

Наближення виразом вигляду (2) зменшує похибку більш ніж у 20 разів у порівнянні з найкращим чебишовським наближенням раціональним многочленом.

У третьому розділі розроблено теоретичні основи побудови балансних наближень градуювальних характеристик нелінійними чебишовськими сплайнами з заданою кількістю ланок та заданою похибкою. Проаналізовано відомі підходи до знаходження ядер наближень, що дозволило знайти ядра наближення для більш загального вигляду найкращого зваженого чебишовського нелінійного сплайн-наближення.

Теорема 3. Нехай f(x)С^(m+1)[a, b]; ц(x)С¹⁾[a, b]; ц(x) - монотонна на [a, b]; g(x)С¹[a, b], g(x)?0 на [a, b].; m=k+l; найкраще чебишовське наближення функції f(x) виразом вигляду (2) існує та єдине. Нехай, крім того, існує єдине найкраще чебишовське наближення функції ц -¹ (f(x)/g(x)) з вагою

w₁(x)=ц -^1' (f(x)/g(x)) w(x)/g(x)

раціональним многочленом V_k,l(x).

Тоді ядро наближення виразом (2) набуває вигляду

.

Вдосконалено ітераційну процедуру Мейнардуса для визначення границь ланок сплайну шляхом використання для інтегрування квадратурної формули більш високого порядку і доведено теорему про область збіжності цієї ітераційної процедури, що дозволило підвищити точність наближень.

Ітераційна формула при цьому має наступний вигляд:

(8)

,

з (f(x), F (A, x)) - ядро наближення функції f(x) виразом F (A, x); w(x) - вага наближення.

Отримано достатню умову збіжності:

ц(x) ц? (x) <0 ( або ц(x) ц? (x) >6 ц?²(x) /5. (9)

Зауважимо, що умова (9) охоплює ширший клас випадків, ніж відома умова збіжності ітераційної формули Мейнардуса ц(x) ц? (x) > ц?²(x).

Під час дослідження та моделювання різних фізичних явищ інколи необхідно наближати функції на нескінченному проміжку. Для розв'язання цієї проблеми пропонується використовувати наближення сплайнами з ланками різного вигляду на ланках скінченної та нескінченної довжини.

Шукаємо наближення до функції f(x) сплайном вигляду

(10)

F (A, x)=F(a₀,…, a_m, x),

,

де g(x)?0 на [a, b], ц(x) монотонна на ,

, p, s - цілі числа.

Приклад 2. Знайти найкраще відносне чебишовське наближення функції Бесселя нульового порядку I₀(x) на проміжку (0,?) сплайном вигляду (10) з кількістю ланок r=3. Функцію F виберемо у вигляді раціонального многочлена . Виходячи з асимптотичного представлення функції Бесселя I₀(x) на нескінченості виберемо

При цьому отримуємо максимальну відносну похибку м=2.661*10^-5. Похибки на ланках сплайну при цьому рівні м₁=2.661*10^-5, м₂=2.6241*10^-5, м₃=2.6091*10^-5.

На основі запропонованих вище методів чебишовського наближення у четвертому розділі розглянуто задачу оптимальної реалізації блоку функціонального перетворення для лінеаризації градуювальних характеристик цифрових вимірювальних приладів, що використовують нелінійні первинні перетворювачі.

Найбільш економічним і раціональним є вибір для лінеаризації методу безпосереднього обчислення функцій, які є обернені до функції перетворення первинного вимірювального перетворювача. Запропоновані чисельно-аналітичні методи знаходження балансних наближень нелінійними виразами та сплайнами реалізовано у системі комп'ютерної алгебри Maple. Розроблені алгоритми найкращого чебишовського наближення нелінійними виразами та балансного наближення чебишовськими нелінійними сплайнами неперервно заданої функції доцільно застосовувати для моделювання градуювальних характеристик, що задані у вигляді складних виразів. Для реалізації даних алгоритмів створено пакет програм NLAPPROX. У випадку таблично заданої градуювальної характеристики слід застосовувати відповідні алгоритми для чебишовського наближення табличних даних. Ці алгоритми реалізовані у пакеті TABNLAPPROX.

Приклад 3. Градуювальна характеристика напівпровідникового кремнієвого терморезистора задана у вигляді таб. 1. Знайти аналітичне представлення градуювальної характеристики у вигляді сплайну з двох ланок вигляду у діапазоні температур 3-300 К:

Максимальна відносна похибка наближення при цьому є м=0.0044. Апроксимуючи цю ж характеристику поліноміальним сплайном з такою ж кількістю параметрів отримуємо максимальну відносну похибку м_r=.0482, тобто перевага по точності складає близько 11 разів.

Основні результати роботи та висновки

Для моделювання первинних перетворювачів фізичних величин за їх функціями перетворення розроблено апарат балансних наближень нелінійними чебишовськими сплайнами, який дозволяє оптимізувати наближення за точністю і складністю.

При цьому отримано такі результати:

1. Розроблено загальну методику знаходження балансного наближення функціональних залежностей з заданою точністю або кількістю ланок чебишовськими розривними сплайнами із ланками, що описуються нелінійними виразами різного виду, яка у випадку аналітично заданих функції перетворення не вимагає розв'язку чебишовської апроксимаційної задачі, а базується на використанні ядер наближень, чим підвищено ефективність обчислень.

2. Розроблено алгоритм найкращого чебишовського наближення сумою полінома та нелінійної функції, який дозволяє знаходити один з його параметрів через розв'язок трансцендентного рівняння, а інші обчислювати безпосередньо.

3. Доведено обмінну теорему для наближення монотонною функцією від раціонального многочлена, яка дозволяє звести задачу найкращого чебишовського нелінійного наближення до раціональної чебишовської апроксимації, що дозволило побудувати ряд алгоритмів безпосереднього знаходження параметрів нелінійних наближень однозначних функцій.

4. Запропоновано поліпшену ітераційну процедуру для знаходження границь ланок чебишовського сплайну, яку отримано з відомої ітераційної процедури Мейнардуса шляхом застосування для чисельного інтегрування квадратурної формули вищого порядку збіжності, та встановлено достатню умову її збіжності.

5. Вперше розроблено методику знаходження балансного наближення функціональної залежності чебишовським розривним сплайном на безмежному проміжку з використанням виразів різного вигляду на скінченних та нескінченних ланках сплайну, яка базується на використанні ядер наближень та дозволяє отримати оцінку точності такого наближення без чисельного розв'язування задачі найкращого чебишовського наближення на ланках сплайну.

6. Моделювання реальних градуювальних характеристик напівпровідникових первинних термоперетворювачів шляхом апроксимації їх оберненої функції перетворення підтверджує доцільність використання запропонованих апроксимаційних підходів для підвищення точності вимірювань при побудові цифрових лінеаризаторів через оптимальний вибір границь ланок сплайну.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Попов Б.О., Сущик К.В., Лаушник О. І. Наближення функції нелінійними сплайнами // Відбір і обробка інформації. - 1999. - №13 (89). - С. 168-172.

2. Попов Б.О., Сущик К.В. Точність наближення функцією від раціонального многочлена // Відбір і обробка інформації. - 2000. - №14 (90). - С. 137-141.

3. Попов Б.О., Сущик К.В. Дослідження збіжності ітераційної процедури для знаходження балансного наближення // Відбір і обробка інформації. - 2002. - №16 (92). - С. 137-141.

4. Воробель Р.А., Гук О.П., Сущик К.В. Балансні наближення в оптимальному представленні характеристик термометрів опору. // Вісник Національного університету «Львівська політехніка». Автоматика, вимірювання та керування. - 2004. - №500. - C. 41-43.

5. Сущик К.В. Балансні наближення чебишовськими сплайнами на безмежному інтервалі // Відбір і обробка інформації. - 2004. - №21. - С. 111-114.

6. Попов Б.О., Сущик К.В. Рівномірне наближення сплайнами з ланками у вигляді суми многочлена та степені // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. - 1999. - №1. - С. 196-199.

7. Попов Б.О., Сущик К.В. Обмінна теорема для найкращого чебишовського нелінійного наближення // Волинський математичний вісник. - 2000. - №7. - C. 127-131.

8. Попов Б.О., Лаушник О.І., Сущик К.В. Нелінійні апроксимаційні моделі // Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. - 2002. - №5. - C. 32-38.

9. Попов Б.О., Сущик К.В. Рівномірне наближення сплайнами з ланками у вигляді суми многочлена та нелінійної функції / Шоста Всеукраїнська наукова конференція «Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях»: тези доп. - Львів: ЛНУ ім. І. Франка, 1999. - С. 56.

10. Сущик К.В. Алгоритми наближення нелінійними сплайнами / XV відкрита науково-технічна конференція молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г.В. Карпенка НАН України: матеріали. - Львів: ФМІ, 2000. - С. 118-119.

11. Попов Б.О., Сущик К.В., Іскерка І. Використання комп'ютерної алгебри для дослідження та побудови нелінійних наближень / Міжнародна конференція з автоматичного управління «Автоматика - 2000»: Праці в 7-ми томах. - Т. 1. - Львів: ДНДІ ІІ, 2000. - С. 201-205.

12. Popov B.O., Sushchyk K.V., Laushnyk O.I. Optimal Non-linear Approximation Using Computer Algebra and Kernel Expressions / Central European IV Conference «Numerical Methods and Computer Systems in Automatic Control and Engineering» (IV MSKAE'2001): Papers. - Czкstochowa, Poland, 2001. - P. 34-36.

13. Сущик К.В. Пакет програм для нелінійної апроксимації чебишовськими сплайнами. / XVII відкрита науково-технічна конференція молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г.В. Карпенка НАН України: матеріали. - Львів: ФМІ, 2003. - С. 176-179.

14. Воробель Р.А., Гук О.П., Сущик К.В. Балансні наближення в оптималь-ному представленні характеристик термометрів опору / VIII Міжнародна конференція «Температура - 2003», Львів, 16-19 вересня 2003 р.: тези доп. Львів, 2003. - C. 87.

15. Сущик К.В. Застосування чебишовських сплайнів для представлення градуювальних характеристик термометрів опору / XVIII Відкрита науково-технічна конференція молодих науковців та спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України: матеріали. - Львів: ФМІ, 2003. - С. 206-209.

Размещено на Allbest.ru

...