Функції на одновимірних многовидах

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. В теорії функцій важливим напрямком є проблема дослідження умов топологічної еквівалентності функцій. Цією проблемою займалися М. Морс, В. Каплан, С. Стоілов, В.І. Арнольд, А.Т. Фоменко, В.В. Шарко, О.В. Болсінов, С.І. Максименко, А.А. Ошемков, О.О. Пришляк. Якщо обмежитись розглядом класу СM, m (N) гладких функцій Морса загального положення, заданих на відрізку, то, як встановив В.І. Арнольд, задача про топологічну класифікацію та підрахунок числа нееквівалентних таких функцій зводиться до деякої комбінаторної задачі . В дисертації ця задача вирішується для неперервних функцій зі скінченним числом екстремальних точок, заданих на відрізку і на колі.

Останнім часом увагу дослідників привертають так звані функції висоти. Це, з одного боку, досить широкий клас функцій, а з іншого -- він зручний для побудови прикладів. Якщо розглянути проекції кола, розташованого в евклідовому просторі, на координатні осі, то ми одержимо функції, задані на колі, які називаються функціями висоти. В дисертації розв'язано проблему, коли задана на колі неперервна (або гладка) функція зі скінченним числом екстремальних точок є функцією висоти. Цей клас функцій виявився дуже зручним для гладкого продовження вказаних функцій всередину кола без критичних точок.

Для функцій, заданих в крузі або на двовимірних поверхнях, для встановлення топологічної еквівалентності потрібні нові, на відміну від одновимірного випадку, інваріанти, а саме: графи з додатковою структурою. Наприклад, в роботі В.В. Шарка було досліджено клас гладких функцій на поверхнях з краєм , всі критичні точки яких є ізольованими і лежать у внутрішності N на одній лінії рівня. Він встановив критерій топологічної еквівалентності функцій зі вказаного класу та показав, що існує скінченне число таких топологічно нееквівалентних функцій із заданим сингулярним типом. В останній час ця проблема привертає особливу увагу, оскільки з'ясувалися її тісні зв'язки з теорією динамічних систем. В дисертації проблема топологічної еквівалентності розглядається для функцій, заданих в одиничному крузі; вони диференційовні, мають скінченне число сідлових критичних точок всередині круга і є неперервними зі скінченним числом локальних екстремумів для звуження на границю круга. Разом з тим питання про критерій та підрахунок числа топологічно нееквівалентних функцій з фіксованим сингулярним типом, заданих в крузі, виявилося складною задачею, яка поки що не розв'язана.

Інша проблема - дослідження зв'язку поведінки функцій двох змінних на границі і всередині області, вже багато років привертає увагу дослідників, серед яких слід назвати Б. Рімана, С. Пуассона, А. Пуанкаре, М. Морса, І.І. Прівалова. Вона представляє собою важливу задачу, розв'язання якої має важливе значення, оскільки ряд задач з інших розділів математики зводиться до неї. Серед великого числа публікацій на цю тему виділимо монографію М. Морса, в якій багато уваги приділяється співвідношенню між числом критичних точок функції на границі і всередині області. Разом з тим питання про те, які умови потрібно накласти на неперервну функцію, яка задана на колі, щоб її гармонічне продовження всередину круга мало фіксовану сингулярну (наприклад пусту) множину є відкритим. В дисертації знайдено достатні умови розв'язання цієї проблеми з точністю до неперервної заміни змінних.

Метою дисертації є: встановлення умов топологічної еквівалентності функцій, заданих на одновимірних многовидах та на одиничному крузі, а також дослідження властивостей функцій, що гарантують продовження функцій з кола всередину диску з фіксованими особливостями.

Об'єктом і предметом дослідження є:

- неперервні, гладкі та псевдогармонічні функції;

- топологічна еквівалентність неперервних функцій зі скінченною кількістю екстремумів на відрізку і колі;

- поведінка продовження неперервних функцій, заданих на колі, зі скінченною кількістю екстремумів всередину кола;

Для досягнення зазначених цілей в роботі розв'язано такі задачі:

1.1. Знайдено умови, коли дві неперервні функції f і g зі скінченною кількістю екстремумів, які задані на відрізку [a,b] або на колі , будуть топологічно еквівалентними, а також встановлено скільки є різних типів таких топологічно еквівалентних функцій, у яких однакова кількість екстремумів.

1.2. Розв'язано проблему реалізації неперервних та гладких функцій з довільною кількістю локальних максимумів та мінімумів на колі за допомогою функцій висоти для деяких вкладень у ;

1.3. Вказано умови, за яких неперервній функції на колі можна поставити у відповідність граф, який характеризує її з точністю до топологічної еквівалентності (граф Кронрода - Ріба).

2.1. Побудовано інваріант (комбінаторна діаграма), який описує з точністю до топологічної еквівалентності гладкі функції в крузі зі скінченим числом сідел.

2.2. Встановлено достатні умови для того, щоб неперервну функцію на колі можна було продовжити всередину круга без критичних точок.

1. Основні відомості з теорії функцій та топології

Цей розділ носить допоміжний та систематизуючий характер і містить основні означення понять та деякі твердження, які використовуються в дисертаційній роботі.

2. Знаходження умов для того, щоб дві неперервні функції f і g зі скінченною кількістю екстремумів, які задані на відрізку [a,b] або на колі , були топологічно еквівалентними

А також встановлення того, скільки є різних типів таких топологічно еквівалентних функцій, у яких однакова кількість екстремумів.

Нехай f і g - дві неперервні функції, які задані на відрізку [a,b].

Точкою локального максимуму (мінімуму) функції f будемо називати точку, для якої існує окіл (-,) (a,b) точки такий, що для всіх точок y з інтервалів,справедлива нерівність (.

Точками локального екстремуму функції f будемо називати всі точки локальних максимумів (мінімумів) функції f.

Функція f топологічно еквівалентна функції g, якщо існує гомеоморфізм (h(a)=a, h(b)=b) та гомеоморфізм , які зберігають орієнтацію і такі, що sf=gh.

Безпосередньо з визначення топологічної еквівалентності для неперервних функцій зі скінченною кількістю екстремумів випливає, що в кожному класі еквівалентності присутня невід'ємна функція, яка приймає в точках екстремумів всі цілочислові значення з множини 0,1,2,...,l.

Разом з тим, іноді (для функцій на колі) доцільно буде розглядати в класі еквівалентності такі функції, які приймають в точках екстремумів цілочислові значення з множини 0,1,2,...,l, але, можливо, з пропусками.

Всі такі функції будемо називати відміченими.

Альтернуючою послідовністю A(k,l).

1. типу: <> називається послідовність (0?i?k), побудована з чисел 0,1,...,l, для якої справедлива умова: , де l?k-1.

2. типу: << - послідовність , для якої справедлива умова: .

3. типу: >> - послідовність , для якої справедлива умова: .

4. типу: >< - послідовність , для якої справедлива умова: .

В послідовностях всіх типів можливі випадки, коли не всі числа 1,2,...,l присутні. Якщо в альтернуючій послідовності A(k,l) присутні всі числа 1,2,...,l, то будемо говорити, що альтернуюча послідовність відповідного типу є повною.

Для довільного класу еквівалентності неперервної функції y==f(x) зі скінченною кількістю локальних екстремумів, яка задана на відрізку [a,b], в цьому розділі дисертаційної роботи однозначно будується альтернуюча послідовність.

Нехай задана повна альтернуюча послідовність A(k,l). Тоді послідовності A(k,l) ставиться у відповідність кусково-лінійна крива L(A(k,l)). Кусково-лінійну криву L(A(k,l)) можна трактувати як графік неперервної функції L(A(k,l)) з k+1 локальним екстремумом та l значеннями в них і яка задана на відрізку [a,b]. Внутрішні екстремальні точки вибираються неоднозначно, але їх порядок розташування на відрізку [a,b] завжди один і той же.

Означення 2.6. Для повної альтернуючої послідовності A(k,l) кусково-лінійну функцію L(A(k,l)) будемо називати PL - реалізацією послідовності A(k,l).

Всі PL - реалізації послідовності A(k,l) будуть топологічно еквівалентними.

Лема 2.1. Нехай на відрізку [a,b] задана неперервна функція f зі скінченною кількістю екстремальних точок. Поставимо їй у відповідність її повну альтернуючу послідовність . Тоді функції f і будуть топологічно еквівалентними.

Іншими словами, кожна неперервна функція f зі скінченною кількістю екстремальних точок топологічно еквівалентна PL - реалізації своєї повної альтернуючої послідовності .

Теорема 2.1. Дві неперервні функції y=f(x) і y=g(x) на відрізку [a,b] зі скінченною кількістю локальних екстремумів будуть топологічно еквівалентними тоді і тільки тоді, коли співпадають їх повні альтернуючі послідовності і .

Для довільної повної альтернуючої послідовності A(k,l) можна побудувати неперервну на відрізку [a,b] функцію y=f(x) зі скінченною кількістю локальних екстремумів таку, що її повна альтернуюча послідовність є A(k,l).

Означення 2.7. Періодичною альтернуючою послідовністю A(2k,l) називається послідовність , 0?i?2k, побудована точно з чисел 0,1,...,l, і для якої справедлива умова: , де l?2k-1.

Означення 2.8. Неперервну невід'ємну функцію y=f(x), яка задана на відрізку [a,b] та задовольняє умови:

1. f(a)=f(b)=0;

2. На відрізку [a,b] функція f має точно 2k+1 локальний екстремум;

3. На множині локальних екстремумів функція f приймає всі невід'ємні цілі значення з проміжку [0,l], l 2k-1, будемо називати спеціальною функцією.

Неперервній функції f зі скінченною кількістю локальних екстремумів і такій, що f(a)=f(b) f(x),(x (a,b)), однозначно можна поставити у відповідність періодичну альтернуючу послідовність в залежності від кількості екстремумів функції f і значень, які функція f набуває в екстремальних точках.

Нехай задана періодична альтернуюча послідовність A(2k,l). Тоді послідовності A(2k,l) можна поставити у відповідність кусково-лінійну криву L(A(2k,l)), яку можна трактувати як графік неперервної функції L(A(2k,l)) з 2k+1 локальними екстремумами та l значеннями в них, яка задана на відрізку [a,b]. Внутрішні екстремальні точки вибираються неоднозначно, але їх порядок розташування на відрізку [a,b] завжди один і той же.

Означення 2.9. Для повної альтернуючої послідовності A(2k,l) кусково-лінійну функцію L(A(2k,l)) будемо називати періодичною PL - реалізацією послідовності A(2k,l).

Всі періодичні PL - реалізації послідовності A(2k,l) будуть топологічно еквівалентними.

Лема 2.2. Нехай на відрізку [a,b] задана неперервна функція f зі скінченною кількістю екстремальних точок. Поставимо їй у відповідність її періодичну альтернуючу послідовність. Тоді функції f і L(A(2k,l)) будуть топологічно еквівалентними.

Теорема 2.2. Дві неперервні функції f і g на відрізку [a,b] зі скінченною кількістю локальних екстремумів і такі, що f(a)=f(b) f(x),x (a,b), g(a)=g(b) g(x),x (a,b), будуть топологічно еквівалентними тоді і тільки тоді, коли співпадають їх періодичні альтернуючі послідовності і .

Для довільної періодичної альтернуючої послідовності A(2k,l) можна побудувати неперервну на відрізку [a,b] функцію f зі скінченною кількістю локальних екстремумів таку, що f(a)=f(b) f(x),x (a,b) і таку, що її періодична альтернуюча послідовність є .

Означення 2.11. Розглянемо на колі неперервну функцію f зі скінченною кількістю екстремумів. Нехай точки A і B на колі не є точками екстремуму функції f. Будемо говорити, що функція f задовольняє умову (*), якщо:

1. Існує розбиття кола точками A і B на дві дуги і такі, що ;

2. Всі глобальні максимуми (мінімуми) функції f належать дузі ( дузі ).

Означення 2.12. Нехай f і g - дві неперервні функції, задані на колі . Скажемо, що функція f топологічно еквівалентна функції g, якщо існує зберігаючий орієнтацію гомеоморфізм кола та зберігаючий орієнтацію гомеоморфізм такий, що s f==g h.

Теорема 2.3. Дві неперервні функції f і g на колі зі скінченною кількістю екстремумів і одним глобальним мінімумом будуть топологічно еквівалентними тоді і тільки тоді, коли співпадають їх періодичні альтернуючі послідовності і .

Для довільної періодичної альтернуючої послідовності A(2k,l) можна побудувати неперервну на колі функцію f зі скінченною кількістю екстремумів і з одним глобальним мінімумом і таку, що її періодична альтернуюча послідовність є A(2k,l).

Твердження 2.1. Дві неперервні функції f і g на колі зі скінченною кількістю екстремумів і такі, що задовольняють умову (*), будуть топологічно еквівалентними тоді і тільки тоді, коли співпадають їх пари періодичних альтернуючих послідовностей , і , . Для довільної пари періодичних альтернуючих послідовностей , можна побудувати неперервну на колі функцію f зі скінченною кількістю локальних екстремумів таку, що задовольняє умову (*) і таку, що її пара періодичних змій і є відповідно і .

Означення 2.13. Повним комбінаторним інваріантом.

)

неперервної функції f зі скінченною кількістю екстремумів, заданої на колі, є набір періодичних альтернуючих послідовностей , упорядкованих в циклічному порядку. Те, що періодичні альтернуючі послідовності повинні задовольняти умову циклічної впорядкованості, позначається через .

Теорема 2.4. Дві неперервні функції f і g на колі зі скінченною кількістю екстремумів будуть топологічно еквівалентними тоді і тільки тоді, коли співпадають їхні повні комбінаторні інваріанти ) і ).

Для довільного набору періодичних альтернуючих послідовностей та їх фіксованого циклічного порядку можна побудувати неперервну на колі функцію f зі скінченною кількістю екстремумів таку, що її повний комбінаторний інваріант ) співпадає з та зафіксованим циклічним порядком.

3. Реалізація диференційовних та неперервних функцій на колі функціями висоти

Означення 3.1. Під колом ми будемо розуміти диференційовний многовид розмірності 1, який можна задати, наприклад, як множину комплексних чисел z таких, що |z|=1.

Означення 3.2. Нехай -- гладке вкладення кола в n-вимірний евклідів простір . Диференційовна функція називається функцією висоти, якщо існує канонічна проекція , .

Позначимо через множину гладких функцій на колі, які задовольняють умову: кожна функція з множини має скінченну кількість критичних точок на .

В цьому розділі ми наводимо критерій (умова (*)), коли функція з класу є функцією висоти для гладкого вкладення в .

Припустимо, що у функції f з класу є n локальних екстремумів на колі (очевидно, що n -- додатне парне число і у f є n/2 локальних мінімумів (максимумів)). Зафіксуємо орієнтацію на та позначимо через , i=1,...,n/2, локальні максимуми, а через , j=1,...,n/2 -- локальні мінімуми функції f.

Рухаючись по колу вздовж напрямку орієнтації та нумеруючи окремо мінімуми та максимуми, отримаємо одну з двох можливих послідовностей, які утворюють критичні точки: або.

Основні теореми розділу -- це такі теореми.

Теорема 3.1. Нехай диференційовна функція належить класу . Для того, щоб f була функцією висоти для гладкого вкладення необхідно та достатньо, щоб функція f задовольняла умову (*).

З цієї теореми випливає, що не всяка функція з класу є функцією висоти. Наступна теорема показує, що гладких функцій, які задовольняють умову (*) є дуже багато.

Теорема 3.2. Нехай , k=1,2 -- множина функцій, що задовольняють умову (*). Задамо на -топологію Уітні. Тоді X є відкритою і всюди щільною підмножиною в . Відповідно, (тобто множина функцій, що не задовольняють умову (*)) є замкненою і ніде не щільною підмножиною в .

Наведемо приклад функції з класу , яка не є функцією висоти.

Для неперервного випадку має місце така теорема.

Теорема 3.3. Нехай -- неперервна функція. Для того, щоб f була функцією висоти для неперервного вкладення , необхідно та достатньо, щоб функція f задовольняла умову (*).

Теорема буде справедливою і в тому випадку, коли функція на колі буде мати нескінченну кількість глобальних максимумів та мінімумів (і також -- найбільших та найменших значень відповідно), але повинна існувати скінченна кількість околів, в яких містилися б всі найменші та найбільші значення даної функції і в яких не було б жодного іншого значення цієї функції.

Теорема 3.6. Нехай -- неперервна функція. Для того, щоб f була функцією висоти для неперевного вкладення , необхідно та достатньо, щоб функція f задовольняла умову (*).

Наслідок 3.1. Нехай -- множина неперервних функцій, що задовольняють умову (*). Задамо на компактну відкриту топологію. Тоді X є всюди щільною підмножиною в .

4. Неперервні функції, які задані на одиничному диску і задовольняють умови

1. Всередині одиничного диску ці функції є гладкими і мають скінченну множину (можливо пусту) критичних точок. Всі критичні точки є сідлами (локальне представлення функції з точністю до неперевної заміни координат в околі сідла const).

2. Всередині одиничного диску ці функції приймають не більше ніж одне критичне значення.

3. Звуження цих функцій на границю одиничного диску є неперервні функції зі скінченним числом локальних максимумів та локальних мінімумів.

Позначимо цей клас функцій через .

Ми доводимо критерій топологічної еквівалентності функцій з класу в термінах їх комбінаторних діаграм. Побудова комбінаторних діаграм функцій з класу виконується в такий спосіб.

Спочатку розглядаємо звуження функцій на границю одиничного диску, тобто на одиничне коло. Кожній такій функції буде поставлено у відповідність її граф Кронрода - Ріба. З топологічної точки зору цей граф Кронрода - Ріба є коло. Встановлюються необхідні і достатні умови, коли ізоморфним графам Кронрода - Ріба відповідають топологічно еквівалентні функції на колі. Крім того, знайдено умови, коли графу Кронрода - Ріба можна поставити однозначно (з точністю до топологічної еквівалентності) у відповідність функцію на колі зі скінченною кількістю екстремальних точок.

Ми будемо розглядати неперервні функції на колі, у яких скінченна кількість локальних максимумів і мінімумів. Кожній такій функції поставимо у відповідність деякий граф, який пізніше доповнимо до діаграми функції, яка вже задана на одиничному диску.

Далі, використовуючи певні компоненти зв'язності критичного рівня функції f, а також деяке скінченне число компонент зв'язності інших (квазірегулярних) рівнів функції f з класу , доповнюємо її граф Кронрода - Ріба до комбінаторної діаграми функції, яку далі будемо позначати через P(f). Ця побудова дає можливість встановити основний результат цього розділу: дві функції f і g з класу топологічно еквівалентні тоді і тільки тоді, коли їх комбінаторні діаграми P(f) і P(g) є ізоморфними.

Означення 4.1. Граф Кронрода - Ріба функції f, яка задана на колі , - це граф, який гомеоморфний колу так, що кожна точка цього кола відповідає компоненті зв'язності для деякого значення a, яке належить . Цей граф має скінченну кількість вершин, так що кожній вершині відповідає локальний максимум або мінімум функції f. На графі Кронрода - Ріба вводиться орієнтація (тобто розстановка стрілок на ребрах) таким чином, що в кожну вершину або тільки входять стрілки або тільки виходять. Вершини, в які стрілки входять, відповідають локальним максимумам, а вершини, з яких стрілки виходять, відповідають локальним мінімумам функції f.

Нехай G(f) -- граф Кронрода - Ріба функції f, зі скінченною кількістю екстремальних точок, яка задана на колі. Кожній вершині графа Кронрода - Ріба G(f) відповідає значення функції f в цій вершині. Це дає можливість ввести часткову впорядкованість на вершинах графа Кронрода - Ріба G(f) наступним чином.

Розглядаємо множину всіх вершин, які відповідають локальними максимумам або мінімумам функції f. Вершини, в яких функція приймає однакові значення, називаємо непорівнюваними. Всі інші вершини порівнюємо так: вершина називається більшим (меншим) локальним екстремумом, якщо їй відповідає більше (менше) значення функції f.

Нехай функція має на колі скінченну кількість локальних екстремумів. На доповненні до екстремумів функція f є строго монотонною функцією.

Теорема 4.1. Довільний скінченний граф G може служити графом Кронрода - Ріба функції f зі скінченною кількістю локальних екстремумів, яка задана на колі, тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:

1. Граф G має парну кількість вершин.

2. Всі вершини графа G мають порядок 2.

3. Орієнтоване одне ребро графа G.

Теорема 4.2. Нехай задано дві неперервні функції на одиничному колі і зі скінченною кількістю локальних екстремумів. Задамо орієнтацію та часткову впорядкованість на їх графах Кронрода - Ріба G(f) і G(g). Функції f і g топологічно еквівалентні тоді і лише тоді, коли існує ізоморфізм , який зберігає орієнтацію та часткову впорядкованість, задану на графах G(f) і G(g).

Далі досліджуємо, коли дві функції f і g з класу будуть топологічно еквівалентними. Для цього спочатку доводимо кілька тверджень, які дають опис будови компонент зв'язності множини рівня функції f з класу .

Наступна теорема описує структуру множини рівня критичного значення функції з класу . Множина рівня функції f називається критичною, якщо до неї належать критичні точки функції f.

Теорема 4.3. Нехай задана функція f з класу . Тоді множина , де a -- критичне значення функції f, гомеоморфна скінченному дереву (взагалі кажучи, незв'язному).

Наслідок 4.1. Нехай задана функція f з класу . Тоді множина , де c -- не є критичним значення функції f, гомеоморфна скінченному дереву (взагалі кажучи, незв'язному), всі вершини якого лежать на граничному колі.

Означення 4.2. Нехай f -- функція з класу . Припустимо, що c не є критичним значення функції f. Скажемо, що значення c є регулярним значення функції f, якщо всі компоненти зв'язності множини рівня гомеоморфні відрізкам. Значення c є квазірегулярним значенням функції f, якщо серед компонент зв'язності множини рівня присутні точки або дерева, які не є гомеоморфні відрізкам.

Лема 4.1. Функція з класу приймає скінченне число квазірегулярних значень.

Лема 4.2. Нехай f -- функція з класу . Нехай -- множина її критичного та квазірегулярних значень. Позначимо через множину \. Множина є незв'язним об'єднанням скінченної кількості підмножин . Замикання кожної з підмножин гомеоморфне замкненому диску.

На наступному кроці будуємо для функції f з класу її комбінаторну діаграму:

1. Додамо до графу Кронрода - Ріба всі компоненти зв'язності множини , де a - критичне значення функції f, а - множина її всіх квазірегулярних значень.

2. Користуючись орієнтацією диску, де задана функція f, для кожної вершини валентності 3 та більше комбінаторної діаграми введемо циклічну впорядкованість (рух за годинниковою стрілкою) на множині ребер, які в неї входять.

Теорема 4.4. Дві функції f і g з класу будуть топологічно еквівалентними тоді і лише тоді, коли існує ізоморфізм між їх комбінаторними діаграмами , який зберігає орієнтацію, часткову впорядкованість вершин та циклічну впорядкованість ребер в околі вершин, які задані на комбінаторних діаграмах P(f) і P(g).

5. Підхід до проблеми побудови гармонічних функцій з фіксованою кількістю критичних точок

Ця задача пов'язана з проблемою продовження неперервної функції зі скінченною кількістю екстремумів, яка задана на колі, до гармонічної всередину круга з заданою кількістю критичних точок. Основним результатом цього розділу є отримання достатніх умов, при яких неперервна функція зі скінченною кількістю екстремумів, яка задана на колі, може бути продовжена у внутрішність круга до псевдогармонічної функції F, у якої відсутні критичні точки.

Нехай функція -- гладка, D -- однозв'язна область в комплексній площині C. Нагадаємо, що функція f, яка задана в одиничному крузі, називається псевдогармонічною, якщо у кожної точки всередині круга знайдеться окіл, в якому за допомогою неперервної заміни координат функція f стає гармонічною.

Очевидно, що за своїм означенням всі функції з класу є псевдогармонічними.

Розглядаємо на одиничному колі неперервну функцію f зі скінченною кількістю екстремумів. Припустимо, що ми хочемо продовжити її до функції F, яка задана на одиничному диску і належить до класу . Наступна лема гарантує, що для функції f існує її продовження, яке належить до класу .

Лема 5.1. Нехай f -- неперервна функція зі скінченною кількістю екстремумів, задана на одиничному колі . Тоді існує її продовження до такої функції F, яка задана на одиничному диску і яка належить до класу .

Теорема 5.1. Нехай f -- неперервна функція зі скінченною кількістю екстремумів, яка задана на одиничному колі . Припустимо, що для функції f виконується умова (*). Тоді існує гомеоморфізм такий, що функція fh може бути продовжена у внутрішність до гармонічної функції F, у якої відсутні критичні точки.

Теорема 5.2. Нехай f -- неперервна функція, задана на одиничному колі , яка має скінченне число максимумів та мінімумів. Припустимо, що функція f може бути продовжена до такої функції F з класу , що у неї тільки одне критичне значення. Тоді функція f може бути продовжена до функції з класу , що у неї відсутні критичні точки.

Очевидно, що за своїм означенням всі функції з класу є псевдогармонічними.

Висновки

неперервний інваріант еквівалентний максимум

-- В дисертаційній роботі отримано низку результатів, присвячених встановленню умов топологічної еквівалентності функцій, заданих на одновимірних многовидах та на одиничному крузі, а також дослідженню властивостей функцій, що гарантують продовження функцій з кола всередину диску з фіксованими особливостями.

-- Для неперервних функцій зі скінченною кількістю ектремумів, заданих на відрізку та колі, побудовано інваріанти, які описують їх з точністю до топологічної еквівалентності.

--Встановлено необхідну та достатню умову (умова (*)) реалізації неперервних (гладких) функцій з довільною кількістю локальних максимумів та мінімумів на колі за допомогою функцій висоти для деяких неперервних (гладких) вкладень в ;

--Для гладкої функції в крузі зі скінченним числом сідел побудовано комбінаторну діаграму, яка дає її опис з точністю до топологічної еквівалентності.

-- Знайдено достатні умови, які гарантують гладке продовження без критичних точок всередину круга заданої на колі неперервної функції зі скінченною кількістю ектремумів.

Література

1. Андріюк О. Реалізація неперервних функцій на колі функціями висоти // Вісник Київського національного університету ім. Тараса Шевченка. Серія: математика, механіка. - 2003. - Вип. 9-10. - С. 5-8.

2. Андриюк Е. О продолжении непрерывных функций, заданных на окружности // Український математичний журнал. - 2004. - Т. 56, № 8. - С.1011-1017.

3. Андріюк О. Реалізація гладких функцій гармонічними функціями// Вісник Київського національного університету ім. Тараса Шевченка. Серія: математика, механіка. - 2004. - Вип. 11-12. - С.59.

4. Андріюк О. Реалізація неперервних функцій графами Кронрода - Ріба // Вісник Київського національного університету ім. Тараса Шевченка. Серія: математика, механіка. - 2005. - Вип. 13-14. - С. 88-89.

5. Andriuk O On extension of continuous functions defined on a circle // Тези доповідей Міжнародної конференції "Комплексний аналіз ійого застосування". - Львів: Видавничий центр Львівського національного університету ім. Івана Франка. - 2003. - С. 3-4.

6. Andriuk O. On extension of continuous functions defined on a circle // Тези доповідей Третьої міжнародної конференції пам'яті Георгія Вороного з аналітичної теорії чисел і просторових розшарувань. - Київ: Інститут математики НАН України. - 2003. - С.10.

Размещено на Allbest.ru