Динамічні системи на вимірних, борелівських і канторівських просторах

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 517, 519.46

ДИНАМІЧНІ СИСТЕМИ НА ВИМІРНИХ, БОРЕЛІВСЬКИХ І КАНТОРІВСЬКИХ ПРОСТОРАХ

01.01.01 -- математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

БЕЗУГЛИЙ Сергій Іванович

Харкiв-2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (м. Харків).

Офіційні опоненти --- доктор фіз.-мат. наук, професор ершик Анатолій Мойсеевич, Санкт-Петербурзьке відділення Математичного інституту ім. Стєклова, завідувач лабораторією;

--- доктор фіз.-мат. наук, чл.-кор. НАН України, професор Самойленко Юрій Стефанович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу функціонального аналізу;

--- доктор фіз.-мат. наук, старший науковий співробітник Фельдман Генадій Михайлович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, завідувач відділу теорії функцій.

Провідна установа Київський національний університет ім. Т.Г. Шевченко Міністерства освіти України, кафедра математичного аналізу.

Захист відбудеться ``19'' червня 2007 р. о 14:30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

Автореферат розіслано ``11'' травня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.О. Горькавий

гіперфінітний автоморфізм абелевий група

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В дисертації вивчаються перетворення (групи перетворень) вимірних, борелівських та топологічних просторів. Абстрактною динамічною системою звичайно називають групу G взаємно однозначних перетворень деякої множини X. В цьому випадку кажуть, що група G визначає еволюцію фазового простору X. Простір X, як правило, має додаткову структуру, наприклад, у-алгебру або топологію, а дія групи G повинна бути в цьому випадку узгоджена з цією структурою. Відзначимо, що спочатку поняття ``динамічна система'' застосовувалося в якісній теорії диференційних рівнянь, однак сучасна тенденція полягає у вивченні динаміки, яка зумовлена діями груп різного походження на різноманітних фазових просторах. Ми будемо розглядати тут три основні типи динамічних системЦим не вичерпується список можливих типів динамічних систем; існує, наприклад, розвинена теорія гладких динамічних систем та почала зароджуватися теорія динамічних систем на булевих алгебрах.: вимірна динаміка (або ергодична теорія), яка вивчає групи несингулярних автоморфізмів просторів Лебега; борелівська динаміка, яка має справу з групами борелівських автоморфізмів стандартних борелівських просторів (в еквівалентних термінах борелівська динаміка вивчає борелівські відношення еквівалентності); канторівська динаміка, як розділ топологічної динаміки, який досліджує групи гомеоморфізмів канторівської множини. В додатку А ми розглядаємо також деякі задачі ентропійної теорії для некомутативних динамічних систем, тобто динамічних систем, які визначаються групами автоморфізмів операторних алгебр. Очевидно, усі ці теорії утворюють різні, хоча і суміжні галузі теорії динамічних систем та потребують у кожному випадку власних методів дослідження. З іншого боку, важливо відзначити, що в останній час в роботах різних авторів були успішно застосовані ідеї і методи, які використовувалися раніше тільки в ергодичній теорії, до вирішення проблем борелівської, канторівської та некомутативної динамік. Дотримуючись цього підходу, мы вивчаємо у цій роботі проблеми класифікації дій лічених груп автоморфізмів у вимірній динаміці, а також топологічні властивості груп перетворень на борелівських та канторівських просторах. Зазначимо також, що зараз відома велика кількість прикладів застосування результатів теорії динамічних систем для вирішення проблем в інших галузях математики, наприклад, у теорії представлень, операторних алгебрах, теорії чисел тощо.

Серед основних напрямків, які вивчаються в теорії динамічних систем, ми відзначимо наступні: (1) дослідження динамічних властивостей перетворень, які визначаються структурою траєкторій цих перетворень; (2) класифікація (груп) перетворень відносно різноманітних відношень еквівалентності; (3) вивчення топологічних властивостей груп перетворень та з'ясування типовості тих чи інших класів перетворень в різних динаміках. В дисертації отримані результати, які вирішують низку актуальних проблем в контексті цих напрямків.

Ергодична теорія та топологічна динаміка, як окремі математичні дисципліни, виникли дякуючи, в першу чергу, роботам Больцмана (ергодична гіпотеза) та Пуанкаре (якісний опис розв'язань диференційних рівнянь). Подальше становлення та розвиток ергодичної теорії та топологічної динаміки відбувалося в роботах Біркгофа, Елліса, Какутані, фон Неймана, Окстобі, Халмоша, Хедлунда, Хопфа, Фюрстенберга та ін. Сучасний підхід до вивчення вимірних динамічних систем був закладений в основному в працях Вейсса, Вершика, Колмогорова, Конна, Крігера, Орнстейна, Рохліна, Сіная, Фельдмана та ін. Нині теорія динамічних систем бурхливо розвивається, вивчаючи групи перетворень, які діють на різних фазових просторах. Серед досягнень останнього десятиріччя відзначимо видатні результати, отримані в теорії орбітальної еквівалентності в канторівській динаміці (Вейсс, Гласнер, Джиордано, Патнам, Скау), в класифікації борелівських лічильних відношень еквівалентності (Габоріо, Йорт, Кехріс, Міллер), а также істотний прогрес, який був досягнутий при вивченні ергодичних дій неаменабельних груп (Фурман, Попа).

Зв'язок роботи с науковими програмами, планами, темами. Обраний напрямок досліджень в теорії динамічних систем є тісно пов'язаний з науковою тематикою відділу математичної фізики Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України. Основна частина результатів була отримана під час виконання робіт по бюджетним темам НАН України: ``Алгебраїчні та геометричні методи в теорії операторів та теорії динамічних систем'' (номер державної реєстрації 0196U002943), ``Алгебраїчні та аналітичні методи в теорії операторів та теорії динамічних систем'' (номер державної реєстрації 0100U004485), ``Аналітичні методи в теорії операторних алгебр, динамічних систем та теорії розсіяння'' (номер державної реєстрації 0103U000313). Крім того, в дисертацію включені результати, отримані в межах наступних проектів міжнародного співробітництва: гранти INTAS (1995 - 1996) та (1998 - 2000), грант НАТО (1999 - 2000), гранти СRDF (1999 - 2000) та (2003 - 2005).

Мета та задачі дослідження. Проблема класифікації груп перетворень є однією з найважливіших при вивченні динамічних систем різного походження. В деяких випадках вдається повністю класифікувати перетворення відносно тих чи інших відношень еквівалентності.

Відзначимо, наприклад, що в ергодичній теорії була знайдена повна система інваріантів орбітальної еквівалентності для гіперфінітних груп автоморфізмів. Наша мета полягає в класифікації відношень еквівалентності на множині гіперфінітних лічильних груп автоморфізмів, які є більш точними ніж орбітальна еквівалентність. Розвинута теорія дозволяє повністю вирішити проблему зовнішнього спряження для дій лічильних аменабельних груп, а також знайти низку застосувань отриманих результатів для вирішення різних класифікаційних задач. Серед них відзначимо проблему розширення ергодичної дії абелевої групи до дії розширення цієї групи за допомогою аменабельної групи. Основний напрямок наших досліджень в борелівській та канторівській динаміках полягає в залучені в ці галузі ідей та методів, які раніше використовувалися в ергодичній теорії. В першу чергу це стосується систематичного вивчення топологічних властивостей груп усіх перетворень. Питання про те, які перетворення є типовими, набуває виключної важливості для борелівської та канторівської динамік. Одна з цілей цього підходу полягає в знаходженні динамічного опису замикань різноманітних, природнім шляхом визначених, класів перетворень, як це було раніше зроблено в ергодичній теорії.

Об'єктом вивчення в ергодичній теорії є гіперфінітні групи автоморфізмів простору з мірою та їх коцикли. В борелівській динаміці вивчаються як група усіх борелівських автоморфізмів, так і різні класи автоморфізмів. Основними об'єктами вивчення в канторівській динаміці є мінімальні гомеоморфізми та зв'язані з ними повні групи гомеоморфізмів.

Предметом дослідження в вимірній динаміці є інваріанти слабкої еквівалентності та зовнішнього спряження груп автоморфізмів простору з мірою. В борелівській та канторівській динаміках предметом дослідження є топологічні властивості різних класів перетворень.

Серед методів дослідження, що використовуються в дисертації, виділимо наступні: (1) методи орбітальної теорії гіперфінітних груп автоморфізмів простору з мірою; (2) методи теорії груп та теорії коциклів динамічних систем зі значеннями в локально компактних групах; (3) методи загальної топології; (4) методи теорії міри та теорії вимірних дійсних функцій; (5) методи спектральної теорії операторів.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані в дисертації результати є новими. Наукова новизна результатів дисертації полягає в тому, що:

-- знайдено повний опис структури коциклів гіперфінітної групи автоморфізмів простору з мірою, які приймають значення або в локально компактній абелевій групі або в лічильній групі;

-- визначено і повністю вивчено поняття слабкої еквівалентності гіперфінітних груп автоморфізмів; доведено, що асоційовані з ними дії утворюють повну систему інваріантів для слабкої еквівалентності;

-- повністю вирішена проблема зовнішнього спряження для дій лічильних аменабельних груп;

-- вирішена задача продовження та класифікації ергодичних дій локально компактних абелевих груп на групові розширення, які отримані за допомогою аменабельних груп;

-- на групі усіх борелівських автоморфізмів стандартного борелівського простору вперше впроваджені та вивчені різні топології та досліджені топологічні властивості цієї групи;

-- в групі борелівських автоморфізмів вивчені класи, які утворені періодичними та аперіодичними автоморфізмами та одометрами, знайдені їх замикання; доведено, що кожний аперіодичний автоморфізм припускає апроксимацію періодичними перетвореннями, що є борелівським аналогом відомої леми Рохліна;

-- доведено, що множина аперіодичних нестисливих борелівських автоморфізмів є замкнутою ніде нещільною підмножиною, тобто для типового аперіодичного борелівського автоморфізму не існує ймовірносної інваріантної міри;

-- доведено, що кожний борелівський аперіодичний автоморфізм може бути реалізований як автоморфізм Вершика, який діє на просторі нескінченних шляхів деякої діаграми Бореля-Браттелі та досліджено клас спеціальних діаграм Бореля-Браттелі, які виникають при вивченні борелівських автоморфізмів локально компактних просторів;

-- вивчені топологічні властивості групи усіх гомеоморфізмів канторівської множини; доведено, що клас аперіодичних гомеоморфізмів утворює щільну G_д-множину в групі усіх гомеоморфізмів;

-- знайдена структура гомеоморфізмів канторівської множини, які належать топологічній повній групі мінімального гомеоморфізму; надано динамічний опис замикання класів гомеоморфізмів, утворених мінімальними, топологічно транзитивними гомеоморфізмами та одометрами; зокрема, показано, що типовий мінімальний гомеоморфізм є одометром;

-- отримано узагальнення теореми Лузіна про апроксимацію борелівських автоморфізмів (з повної групи мінімального гомеоморфізму) за допомогою гомеоморфізмів з топологічної повної групи.

-- вивчена структура топологічних повних груп, породжених мінімальними гомеоморфізмами; визначений та повністю вивчений клас насичених гомеоморфізмів.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Доведені результати можуть бути використані при вивченні коциклів гіперфінітних динамічних систем, при побудові ергодичних дій аменабельних груп з різними властивостями, при вивченні топологічних властивостей груп перетворень, для класифікації (груп) перетворень в борелівській і канторівській динаміках.

Результати дисертації використовувалися в статтях інших авторів (див., наприклад, роботи Фельдмана, Йорта, Зіммера, Квіатковського, Хамачі, Міллера та ін.). Отримані в дисертації результати можуть бути використані у тих університетах та наукових центрах, де вивчаються різні аспекти теорії динамічних систем, а також низкою наукових центрів України, Росії, Польщі та ін. Серед них виділимо в першу чергу Інститут математики НАНУ (м. Київ), Київський національний університет, Харківський національний університет, Львівський національний університет, Московський державний університет, Математичний інститут ім. Стєклова (м. Москва) та його відділення в Санкт-Петербурзі.

Особовий внесок здобувача. Усі основні результати дисертації отримані автором самостійно. З робіт, написаних в співавторстві, в дисертацію включені результати, в доведеннях яких внесок автора є визначальним. Роботи [1], [6], [9], [10], [15], [16], [20], [24], [25] виконані автором самостійно. Роботи [2], [3], [4], [7], [8], [12], [14], [22] виконані автором в співавторстві з Голодцем. Низка робіт [11], [17], [26] -- [28], [30], [33] написані спільно з Дулі, Даджані, Даніленко, Квіатковським, Мединцем, Хамачі.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на багатьох математичних конференціях, присвячених різним аспектам теорії динамічних систем: Conference on Operator Algebras, Kraiova, Romania, 1989; Conference on Symbolic Dynamics, New Haven, USA, 1991; Conference on Zⁿ-actions, University of Warwick, Coventry, England, 1993; International Congress of Mathematicians, Zurich, Switzerland, 1994; Conference on Ergodic Theory, Warsaw, Poland, 1995; Conference on Methods of Mathematical Physics, Rakhiv, Ukraine, 1995; Conference on Ergodic Theory and Symbolic Dynamics, Churanov, Czech Republic, 1996; Conference on Descriptive Set Theory and Ergodic Theory, Marseilles, France, 1996; Symposium on Probability Theory and Ergodic Theory, Delft, The Netherlands, 1997; Conference on Dynamical Systems: Sharkovsy's Seminar, Kiev, Ukraine, 1998; Conference on Dynamical Systems: from Crystal to Chaos, Marseilles-Luminy, 1998; International Congress of Mathematicians, Berlin, Germany, 1998; Conference on Dynamical Systems and Ergodic Theory, Penn State, USA, 1999; Conference on Ergodic Theory and Dynamical Systems, Villetaneuse, France, 2001; Conference on Dynamical Systems, University of Maryland, USA, 2002, 2004; Conference on Algebraic and Topological Dynamics, Max-Plank Institute, Bonn, Germany, 2004.

Більша частина основних результатів дисертації були темами семінарів, проведених автором в Інституті математики НАН України, Московському державному університеті, Харківському національному університеті, Петербурзькому відділенні Математичного інституту ім. Стєклова, а також в наступних математичних центрах: Leipzig University, Germany, 1990, 1992, 1994; Heidelberg University, Germany, 1991; Orleans University, France, 1993, 2005; Delft University, the Netherlands, 1994, 1997, 2004; Torun University, Poland, 1996, 1997, 1998, 1999, 2001, 2002, 2004, 2006; Erwin Schroedinger Institute, Vienna, Austria, 1994, 1997; Marseilles University (Luminy), France, 1996, 2005; Norwegian University of Science and Technology, Trondheim, Norway, 1998; Ben Gurion University, Ber Sheva, Israel, 1998; Ajou University and Korean Advanced Institute of Science and Technology, Korea, 1998; Brest University, France, 1998; Ottawa University, Canada, 1999, 2004, 2005; Ohio State University, Columbus, USA, 1999, 2000, 2002, 2004, 2005; University of New South Wales, Sydney, Australia, 2000, 2001, 2002; Berkeley University, USA, 2003; Wesleyan University, USA, 2005; California Institute of Technology, USA, 2003, 2005; University of California Los Angeles, USA, 2005; University of Washington, USA, 2005, 2007; University of Oregon, USA, 2007.

Публікації та структура дисертації. По темі дисертації опубліковано 27 статей в спеціалізованих наукових журналах: [1] -- [4], [6] -- [12], [14] -- [17], [20], [22], [24] -- [33], а також 6 тезисів конференцій: [5], [13], [18], [19], [21], [23].

Текст дисертації викладений на 355 сторінках і складається з вступу, шести розділів та двох додатків (додатки займають 43 сторінки). Список використаної в дисертації літератури має 149 найменувань і займає 14 сторінок тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подається обґрунтування актуальності теми, формулюється мета дослідження, висвітлюються питання наукової новизни, використання доведених результатів, їх теоретичне та практичне значення. Також там міститься інформація про апробацію роботи та публікації.

В розділі 1 надається огляд основних результатів, які відносяться до орбітальної теорії гіперфінітних динамічних систем у вимірній, борелівській та канторівській динаміках. Ці результати використовуються в роботі для подальшої класифікації динамічних систем. При вирішенні нагальних задач, що відносяться до ергодичної теорії, основний метод дослідження полягає в використанні коциклів і асоційованих дій груп. Цей факт дозволяє узагальнити підхід, який застосовується в побудові теорії орбітальної еквівалентності (параграф 1.1). В першому розділі обговорюються також результати стосовно класифікації динамічних систем на борелівських та канторівських просторах. Наведені результати є основою для наступних досліджень в цих галузях математики. Щоб підкреслити близькість проблем, що вивчаються у вимірній, борелівській и канторівській динамиках, в дисертації розглядаються наступні поняття, які є загальними для цих динамік: орбітальна еквівалентність, гіперфінітність, повні групи. Цей матеріал міститься в параграфі 1.2. В заключному параграфі першого розділу обговорюються напрямки досліджень у вимірній, борелівській и канторівській динамиках, які природнім чином спираються на викладенні результати. Ці напрямки є мотивацією для наших досліджень в зазначених галузях.

У другому розділі вивчається структура коциклів гіперфінітних груп автоморфізмів простору Лебега. Спираючись на детальне вивчення таких коциклів, ми запроваджуємо і вивчаємо відношення еквівалентності на множині гіперфінітних груп, яке уточнює орбітальну еквівалентність. Нами розглядаються коцикли, що приймають свої значення або в абелевих локально компактних (л.к.) групах або в лічильних аменабельних групах. Результати цього розділу опубліковані в [4], [6], [11], [14], [15], [17], [25].

В параграфі 2.1 зібрані означення та основні результати, які стосуються коциклів гіперфінітних груп. Розглядається множина , яка утворена усілякими парами (Г,б), де Г < Aut(X,B,м) -- ергодична гіперфінітна група автоморфізмів, G -- абелева л.к. група і б -- коцикл з множини Z¹(X Ч Г, G). Визначимо на множині GC відношення еквівалентності наступним чином.

Означення 2.1.1 Дві пари (Г₁,б₁) та (Г₂,б₂), що належать до GC, назвемо слабко еквівалентними, якщо існує перетворення ц: X > X, яке задає орбітальну еквівалентність груп Г₁ i Г₂, і таке, що коцикли б₁ і б_{2 _} ц є Г₁-когомологічними.

Для групи автоморфізмів та коциклу , що приймає значення в групі , по відомій конструкції (яка була запропонована Маккі в 1966 р.) можно побудувати асоційовану дію групи . Ця дія, якщо коцикл співпадає з коциклом Радона-Нікодима, визначає клас орбітальної еквівалентності групи . В нашій ситуації за допомогою асоційованих дій ми визначаємо класи слабкої еквівалентності. Відзначимо, що у випадку несингулярних дій групи замість коциклу належить розглядати коцикл , що приймає значення в групі . Якщо пари и слабко еквівалентні, то відповідні асоційовані дії і групи є ізоморфними.

В цьому ж параграфі наводиться важливе поняття множини істотних значень коциклу (позначення ), розглядаються регулярні, транзитні, лакунарні коцикли, а також обговорюються визначення вимірних полів груп автоморфізмів і коциклів. В параграфі 2.2 вивчаються асоційовані дії довільних л.к. груп, які побудовані по транзитним коциклам. Основний результат параграфа міститься в наступній теоремі.

Теорема 2.2.3 Нехай пари (H₁,б₁) та (H₂,б₂) визначені по лічильних ергодичних групах автоморфізмів та транзитних гомоморфізмах . Тоді якщо асоційовані дії W₁(G) и W₂(G) ізоморфні, то пари (H₁,б₁) та (H₂,б₂) стабільно слабко еквівалентні.

Параграф 2.3 присвячений вивченню структури регулярних коциклів та вимірних полів коциклів. По-перше, показано, що коли H -- довільна підгрупа в абелевій групі G, то існує коцикл, для якого множина істотних значень співпадає з H. Цей результат спочатку узагальнюється на борелівські поля коциклів, які приймають значення в аменабельній лічильній групі.

Теорема 2.3.6 Нехай G -- лічильна аменабельна група. Для заданого борелівського поля груп існує борелівське поле пар , де Г_щ -- гіперфінітна ергодична група автоморфізмів, а коцикл б₀(щ)= (б(щ), с(щ)) має щільний образ в H_щ для м.в. .

Далі в цьому ж параграфі розглядаються поля коциклів зі значеннями в абелевій л.к. групі. Основний результат міститься в наступних теоремах.

Теорема 2.3.10 Нехай H₀ -- замкнута підгрупа в G₀ = G x R, де G -- л.к. абелева група. Нехай також задані ергодичні гіперфінітні групи автоморфізмів і коцикли такі, що r(Г_i, б₀ⁱ) = H₀ (i=1,2), тобто асоційовані дії ізоморфні транзитивній дії групи G₀ на G₀ /H₀. Тоді пари і слабко еквівалентні.

Теорема 2.3.13 Нехай и -- простори Лебега, -- ергодичний автоморфізм на , -- вимірні поля коциклів зі значеннями в групі такі, що . Тоді існує вимірне поле автоморфізмів таке, що і коцикл -когомологічний коциклу , де (тобто пари и слабко еквівалентні).

Спираючись на ці результати, нами доведена теорема про структуру регулярних коциклів.

Ми розглядаємо достатні умови, які гарантують простоту дій групи G. По-перше, найдемо властивості дії , яка індукована з H-простої дії T групи K.

Теорема 4.3.4 Нехай T -- H-проста дія групи K на (Щ, m) і дія є індукованою з T(K). Тоді для м.в. стабілізатор є спряжений з H в групі G.

Основний результат цього параграфу полягає в доведенні твердження, яке є зворотнім до теореми 4.3.4.

Теорема 4.3.5 Нехай W -- ергодична невільна несингулярна дія лічильної аменабельної групи на просторі Лебега і нехай x₀ >H₀ -- борелівське поле стабілізаторів дії W(G). Припустимо, що для м.в. і усі стабілізатори попарно спряжені в групі G. Тоді існує в G підгрупа K і нормальна підгрупа H в групі K такі, що дія W є ізоморфною до дії , яка індукована з H-простої дії T групи K.

Висновок 4.3.8 (1) Якщо група G має лічильну кількість підгруп, то будь-яка невільна аменабельна дія групи G є індукованою. (2) Будь-яка невільна дія нільпотентної групи з скінченою кількістю твірних є індукованою. (3) Якщо усі стабілізатори невільної дії групи G є скінчено породжені групи, то така дія є індукованою.

В розділі 5 вивчаються борелівські автоморфізми стандартного борелівського простору (X, B). Для цього нами запроваджуються топології на групі усіх борелівських автоморфізмів Aut(X, B) і вивчаються топологічні властивості різноманітних класів автоморфізмів. Такий підхід дозволяє побудувати теорію апроксимації аперіодичних автоморфізмів та найти повний опис замикань важливих класів автоморфізмів в Aut(X, B) відносно запроваджених топологій. В цьому розділі також визначаються і вивчаються діаграми Браттелі для довільного аперіодичного автоморфізму. Результати цього розділу опубліковані в роботах [1], [2], [29], [31] і [32].

В параграфі 5.1 визначаються наступні топології на групі Aut(X, B). Нехай M₁(X) позначає множину ймовірносних борелівських мір і B(X) є множина обмежених борелівських функцій з нормою 1.

Означення 5.1.1 Топології і на групі Aut(X, B) визначаються своїми базами околів і , відповідно. Для цього означимо полегшується тим, що в множині нескінчених шляхів діаграм B немає кофінально максимальних та мінімальних шляхів.

Центральний результат цього параграфу міститься в наступній теоремі.

Теорема 5.3.4 Нехай T -- аперіодичний борелівський автоморфізм, який діє на (X,B). Tоді існує упорядкована діаграма Бореля-Браттелі і автоморфізм Вершика такі, що динамічні системи (X, T) і є ізоморфними.

Наступна пропозиція виявляється корисною при вивченні замикань множин усіх борелівських одометрів.

Пропозиція 5.3.5 Для будь-якого аперіодичного автоморфизму існує послідовність зникаючих маркерів така, що відповідна діаграма Бореля-Браттелі має скінчену кількість вершин на кожному рівні.

Висновок 5.3.6 Нехай T -- аперіодичний гомеоморфізм польського простору X. Тоді існує компактний метричний простір Y і гомеоморфізм такі, що гомеоморфізм є гомеоморфний обмеженню S на S-інваріантну щільну -підмножину Y.

Ще одне застосування попередніх результатів наведене в наступній теоремі.

Теорема 5.3.8 и . . (при припущенні, що (X,d) є компактний метричний простір), де Sm є множина усіх гладких автоморфізмів.

На закінчення параграфу розглядаються так звані спеціальні діаграми Бореля-Браттелі і показано, що їм відповідають борелівські автоморфізми локально компактних нульмірних польських просторів.

Об'єктом вивчення в розділі 6 є група усіх гомеоморфізмів канторівської множини та її топологічні властивості відносно топологій, означених в розділі 5. Вивчаються також різноманітні класи гомеоморфізмів і знаходяться їх замикання в рівномірній та слабкій топологіях. Особливу увагу приділено опису повних груп мінімальних гомеоморфізмів. Результаті цього розділу отримані в роботах [26], [27], [30], [31], [33].

В параграфі 6.1 вивчаються канторівські мінімальні (к.м.) системи (X,T). Розбиття Какутані-Рохліна (K-Р) є одним з найбільш корисних понять при дослідженні к.м. систем. Використання розбиттів К-Р природним чином веде до поняття діаграм Браттелі, асоційованих з гомеоморфізмами канторівських множин. Розбиття К-Р утворено діз'юнктним набором веж, які задаються гомеоморфізмом T. При цьому об'єднання вершин цих веж відображається гомеоморфізмом T на об'єднання підвалин. За допомогою послідовностей розбиттів К-Р вдається описати топологічну повну групу . Цей опис наведений в теоремі 6.1.2.

Відкрито-замкнуті множини A и B є [[T]] - еквівалентними (відповідно, [T] - еквівалентними), якщо існує гомеоморфізм (відповідно, ) такий, що г(A) = B. Це поняття вивчалось в роботах Гласнера, Вейсса і Джиордано, Патнама, Скау. В наступній теоремі розглядається інший підхід, який базується на розбиттях К-Р, що відповідають заданій к.м. системі (X,T). Нехай о -- розбиття К-Р з вежами о(i), i=1,…,k. Тоді для відкрито-замкнутої о-множини Aпозначимо .

Теорема 6.1.6 Нехай (X,T) -- к.м. система і припустимо, що (о_t) -- послідовність розбиттів К-Р, які задовольняють умовам теореми 6.1.2. Тоді дві відкрито-замкнуті множини A та B є [[T]] -еквівалентними тоді і тільки тоді, коли існує t таке, що для будь-якого циклу на множині виконується співвідношення

(без обмеження загальності, ми припускаємо, що число вибрано достатньо великим так, щоб A і B стали о_t -множинами).

Нв закінчення параграфу 6.1 розглядаються приклади (одометр, гомеоморфізми Тепліца-Морса, Чакона і Грилленбергера), які ілюструють доведені результати.

Параграф 6.2 присвячений дослідженню топологічних властивостей групи гомеоморфізмів Homeo(Щ) подібно тому, як це було розглянуто в борелівській динаміці в розділі 5 (див. oзначення 5.1.1). Для цього в означенні топологій на Homeo(Щ) змінимо стандартний борелівський простір (X,B) на канторівську множину Щ, а борелівські множини і функції змінюються на відкрито-замкнуті множини і неперервні функції. Відповідні топології будуть аналогічні тим, що були введені в означенні 5.1.1 і ми збережемо позначення розділу 5. При цьому більша частина результатів, доведених в розділі 5, залишаються справедливими і в контексті канторівської динамікі.

Ми можемо посилити перше твердження в теоремі 6.3.20 і дати повний опис замикання різних класів гомеоморфізмів в топології .

Теорема 6.3.30 .

Додаток А присвячений знаходженню явних формул для динамічної ентропії боголюбовських дій вільної абелевої групи та группи раціональних чисел на алгебрі антикомутаційних соотношеній. Відповідні результати отримані в [21], [22].

Додаток В містить низку понять, визначень та результатів, які використовуються в дисертації.

ВИСНОВКИ

В дисертації побудовано теорію слабкої еквівалентності гіперфінітних груп автоморфізмів простору з мірою та знайдена структура коциклів таких груп. Ці результати дозволили повністю вирішити проблему зовнішнього спряження для дій лічильних аменабельних груп. Інше застосування розроблених методів полягає в вивченні проблеми розширення ергодичних дій локально компактних абелевих груп на групові розширення, які отримані за допомогою аменабельних груп. Виявляється, що типова дія локально компактної абелевої групи не розширюється до дії групового розширення, яке побудовано за допомогою лічильної аменабельної групи. Отримані умови, при яких невільна дія аменабельної групи є індукованою з підгрупи. Застосувана концепція діаграм Браттелі-Вєршика в борелівській динаміці та знайдена реалізація будь-якого борелівського автоморфізму у вигляді перетворення Вершика, яке діє на просторі нескінченних шляхів діаграми Браттелі. Вперше запровадженні топологічні методи для вивчення групи усіх борелівських автоморфізмів стандартного борелівського простору та побудована теорія апроксимації борелівських автоморфізмів, які належать різним класам. Вивчена структура гомеоморфізмів з повних груп мінімального гомеоморфізму канторівської множини та знайдена вичерпна класифікація насичених мінімальних канторівських систем. Повністю описані гомеоморфізми, які належать замиканням множин мінімальних та топологічно транзитивних гомеоморфізмів відносно різних топологій. Отримані явні формули для обчислювання динамічної ентропії для дій вільної абелевої групи та групи раціональних чисел на алгебрі антикомутаційних співвідношень.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

[1] Безуглый С.И. Топологии на полных группах автоморфизмов пространства с мерой // В кн.: Теория и применение диффер. уравнений и алгебра. -- Киев.: Наукова Думка, 1978. C. 3-6.

[2] Безуглый С.И., Голодец В.Я. Некоторые свойства полных групп автоморфизмов пространства с мерой // В кн.: Исследования по теории операторов и их приложениях. -- Киев.: Наукова Думка, 1979. C. 23-25.

[3] Безуглый С.И., Голодец В.Я. Группы преобразований пространства с мерой и инварианты внешней сопряженности для автоморфизмов из нормализатора полных групп типа // Докл. АН СССР. -- 1980. -- T. 254. -- C. 11-14.

[4] Безуглый С.И., Голодец В.Я. Неаменабельние группы и их действия на пространстве с мерой // В кн: Теория операторов на функциональных пространствах и их приложения. -- Киев.: Наукова Думка, 1981. C. 10-21.

[5] Безуглый С.И. Outer conjugacy of countable amenable group actions on a measure space // VI International Symposium on Information Theory, Tashkent, 1984.

[6] Безуглый С.И. Условия гиперфинитности групп автоморфизмов // Укр. Матем. журнал. -- 1984. -- T. 36. -- C. 759-761.

[7] Bezuglyi S., Golodets V. Groups of measure space transformations and invariants of outer conjugation for automorphisms of type full groups // J. Funct. Anal. -- 1985. -- V. 60. -- P. 341-369.

[8] Безуглый С.И., Голодец В.Я. Внешняя сопряженность действий счетных аменабельных групп на пространствах с мерой // Известия АН СССР, сер. матем. -- 1986. -- T. 50. -- C. 641-660.

[9] Безуглый С.И. Полная система инвариантов для внешнего сопряжения действий счетных аменабельных групп // В кн.: Матем. физика и функциональный анализ. -- Киев.: Наукова Думка, 1986. C. 59-63.

[10] Безуглый С.И. Внешняя сопряженность автоморфизмов из нормализатора потока // В кн.: Операторы в функциональных пространствах и проблемы теории функций. -- Киев.: Наукова Думка, 1987. C. 66-73.

[11] Безуглый С.И., Голодец В.Я., Даниленко А.И. O расширении 1-коциклов динамических систем на элементы нормализатора // Доклады АН УССР, Сер. A -- 1988. -- T. 2. -- C. 3-5.

[12] Bezuglyi S., Golodets V. Type III transformations of measure space and outer conjugacy of countable amenable groups of automorphisms // J. Operator Theory -- 1989. -- T. 21. -- P. 3-40.

[13] Bezuglyi S. A representation of nonsingular automorphisms of a measure space as a product of periodic transformations // Preprint. -- Leipzig University. -- 1990.

[14] Bezuglyi S., Golodets V. Weak equivalence and the structures of cocycles of an ergodic automorphism // Publ.RIMS, Kyoto Univ. -- 1991. -- V. 27 -- P. 577-625.

[15] Безуглый С.И. T-множество для коциклов // В кн.: Динамические системы и комплексный анализ. -- Киев.: Наукова Думка, 1992. C. 169-173.

[16] Bezuglyi S. Outer conjugacy of the fields of groups of automorphisms, Connes-Krieger theorem for the actions of groupoids and induced actions // In: Operator Algebras and Operator Theory, Pitman Research Notes in Math. Series, 271. -- 1992. P. 37-45.

[17] Bezuglyi S., Danilenko A., Golodets V. On cocycles of ergodic dynamical systems and automorphisms compatible with them // Adv. Soviet Math. -- 1994. -- V. 19. -- P. 73-96.

[18] Bezuglyi S. H-cocycles and actions of group extensions // International Congress of Mathematicians. -- Zurich, 1994. -- P. 144.

[19] Bezuglyi S. Ergodic actions of group extensions and cocycles // In: Ergodic Theory and Dyn. Syst., Conference Proceedings. -- Warsaw, 1995.

[20] Bezuglyi S. On recurrence and superrecurrence of H-cocycles // Math. Physics, Analysis, Geometry. -- 1996. -- V. 3. -- P. 3-17.

[21] Bezuglyi S., Golodets V. Dynamical entropy of group actions on the CAR-algebra // In: Proceedings of the Conference on Methods in Mathematical Physics. -- Hadronic Press. 1997. P. 53-77.

[22] Bezuglyi S., Golodets V. Dynamical entropy of Bogoliubov actions of free abelian group on the CAR-algebra // Erg. Theory Dyn. Syst. -- 1997. -- V. 17. -- P. 757-782.

[23] Bezuglyi S. Full groups of minimal homeomorphisms of Cantor sets // International Congress of Mathematicians. -- Berlin, 1998. -- P. 171.

[24] Bezuglyi S. H-cocycles and ergodic actions of group extensions // Доповіді НАН України. -- 1999. -- № 9. -- С. 21-26.

[25] Bezuglyi S. Groups of automorphisms of a measure space and weak equivalence of cocycles // In: Descriptive set theory and dynamical systems, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 277. -- Cambridge University Press, 2000. P. 59-86.

[26] Bezuglyi S., Kwiatkowski J. The topological full group of a Cantor minimal system is dense in the full group // Topological Methods in Nonlinear Analysis. -- 2000. -- V. 16. -- P. 371-397.

[27] Bezuglyi S., Kwiatkowski J. Topologies on full groups and normalizers of Cantor minimal systems // Math. Physics , Analysis, and Geometry. -- 2002. -- V. 9, No.3. -- P. 1-10.

[28] Bezuglyi S., Dajani K., Dooley A.H., Hamachi T. Isomorphic actions of group extensions on a measure space // Indag. Mathem., N.S. -- 2004. -- V. 15. -- P. 167-188.

[29] Bezuglyi S., Medynets K. Smooth automorphisms and path-connectedness in Borel dynamics // Indag. Mathem., N.S. -- 2004. -- V. 15. -- P. 453-468.

[30] Bezuglyi S., Dooley A.H., Medynets K. The Rokhlin lemma for homeomorphisms of a Cantor set // Proceedings of AMS. -- 2005. -- V. 134. -- P. 2957-2964.

[31] Bezuglyi S., Kwiatkowski J., Medynets K. Approximation in ergodic theory, Borel, and Cantor dynamics // Contemporary Math. -- 2005. -- V. 385. -- P. 39-64.

[32] Bezuglyi S., Dooley A.H., Kwiatkowski J. Topologies on the group of Borel automorphisms of a standard Borel space // Topol. Methods in Nonlinear Analysis. -- 2006. -- V. 27. -- P. 333-385.

[33] Bezuglyi S., Dooley A.H., Kwiatkowski J. Topologies on the group of homeomorphisms of a Cantor set // Topol. Methods in Nonlinear Analysis. -- 2006. -- V. 27. -- P. 299-331.

АНОТАЦІЯ

Безуглий С.І. Динамічні системи на вимірних, борелівських і канторівських просторах. --- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. --- Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2007.

В дисертації побудована теорія слабкої еквівалентності гіперфінітних груп автоморфізмів простору з мірою і знайдена повна система інваріантів для слабкої еквівалентності. Вивчена структура коциклів, що приймають значення в абелевих або лічильних групах. Повністю вирішена проблема зовнішнього спряження для дій лічильних аменабельних груп. Вирішена задача продовження та класифікації ергодичних дій локально компактних абелевих груп на групові розширення, які отримані за допомогою аменабельних груп. На групі усіх борелівських автоморфізмів стандартного борелівського простору впроваджені та вивчені топології і досліджені топологічні властивості цієї групи, її підгруп та окремих класів автоморфізмів. Побудована теорія діаграм Бореля-Браттелі для аперіодичних борелівських автоморфізмів. Вивчені топологічні властивості групи усіх гомеоморфізмів канторівської множини. Знайдені замикання повних груп, породжених мінімальними гомеоморфізмами, і замикання деяких класів гомеоморфізмів канторівського простору.

Ключові слова: гіперфінітні групи автоморфізмів простору з мірою, коцикли, асоційовані дії груп, групові розширення, борелівські автоморфізми стандартного борелівського простору, мінімальні гомеоморфізми канторівській множини, одометри, повні групи, нормалізатори, інваріантні і несингулярні міри.

АННОТАЦИЯ

Безуглый С.И. Динамические системы на измеримых, борелевских и канторовских пространствах. --- Рукопись

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. --- Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2007.

В диссертации решаются проблемы классификации гиперфинитных групп автоморфизмов пространств с мерой и изучаются топологические свойства групп преобразований в борелевской и канторовской динамиках. Первая глава содержит подробное описание текущего состояния теории динамических систем, изложение используемых результатов, а также напрвления и мотивацию для дальнейших исследований.

Во второй главе дано полное описание структуры коциклов гиперфинитной группы автоморфизмов пространства с мерой, принимающих значения либо в локально компактной абелевой группе либо в счетной группе. Введено и полностью изучено понятие слабой эквивалентности гиперфинитных групп автоморфизмов. По каждой группой автоморфизмов и коциклу определяется действие группы (действие Макки), в которой коцикл принимает свои значения. Оказывается, что действие Макки является полным инвариантом слабой эквивалентности. При этом изучены как свободные, так и несвободные действия Макки.

В третьей главе применяются результаты предыдущей главы для полного решения важной проблемы эргодической теории -- проблемы внешнего сопряжения. Используя найденную структуру коциклов с плотным образом в счетных аменабельных группах, удается найти необходимые и достаточные условия для внешнего сопряжения действий счетных аменабельных групп, которые лежат в нормализаторе эргодического автоморфизма. Одним из таких инвариантов является внешний период действия аменабельной группы.

Четвертая глава посвящена решению задачи продолжения действий абелевых локально компактных групп и их классификации. Доказанные результаты используют развитую теорию слабой эквивалентности и найденную ранее структуру коциклов. Для заданной абелевой группы предполагается, что аменабельная группа действует на группе групповыми автоморфизмами, что позволяет построить групповое расширение группы посредством группы . Если задано эргодическое действие группы на пространстве с мерой, то естественно возникает задача о продолжении этого действия до действия группы . В диссертации найдены необходимые и достаточные условия, при которых такие продолжения возможны и показано, что, в определенном смысле, типичное действие группы не является продолжаемым. Получен ответ также на вопрос, когда изоморфные действия группы расширяются до изоморфных действий группы .

В пятой главе вводятся и изучаются топологии на группе всех борелевских автоморфизмов стандартного борелевского пространства. Эти топологии позволяют построить теорию аппроксимации автоморфизмов, как это было сделано в эргодической теории, а также ответить на актуальные вопросы о типичности различных классов преобразований. Доказано, что всякий апериодический автоморфизм аппроксимируется периодическими преобразованиями, что является борелевским аналогом знаменитой леммы Рохлина. Найдены замыкания различных подмножеств и подгрупп в группе всех автоморфизмов относительно введенных топологий. Доказано, что множество апериодических несжимаемых борелевских автоморфизмов является замкнутым нигде неплотным подмножеством, т.е. для типичного апериодического борелевского автоморфизма не существует конечной инвариантной меры. Доказано также, что каждый борелевский автоморфизм может быть реализован как автоморфизм Вершика, действующий на пространстве бесконечных путей некоторой диаграммы Бореля-Браттели и изучен класс специальных диаграмм Бореля-Браттели, которые возникают при изучении борелевских автоморфизмов локально компактных пространств.

В шестой главе изучены топологические свойства группы всех гомеоморфизмов канторовского множества. Доказано, что множество апериодических гомеоморфизмов образует плотное -множество в группе всех гомеоморфизмов. Найдена структура гомеоморфизмов канторовского множества, принадлежащих топологической полной группе минимального гомеоморфизма. Дано динамическое описание замыканий классов гомеоморфизмов, образованных минимальными, топологически транзитивными гомеоморфизмами и одометрами. В частности, показано, что типичный минимальный гомеоморфизм является одометром. Получено обобщение теоремы Лузина об аппроксимации борелевских автоморфизмов (из полной группы минимального гомеоморфизма) с помощью гомеоморфизмов из топологической полной группы.

В приложении А найдены явные формулы для вычисления динамической энтропии для действий свободной абелевой группы и группы рациональных чисел на алгебре антикоммутационных соотношений.

Ключевые слова: гиперфинитные группы автоморфизмов пространства с мерой, коциклы, ассоциированные действия групп, групповые расширения, борелевские автоморфизмы стандартного борелевского пространства, минимальные гомеоморфизмы канторовского множества, одометры, полные группы, нормализаторы, инвариантные и несингулярные меры.

ABSTRACT

Bezuglyi S.I. Dynamical systems on measurable, Borel, and Cantor spaces. --- Manuscript.

Thesis for doctor's degree by speciality 01.01.01 -- Mathematical Analysis. --- B. Verkin Insitute for Low Temperature Physics and Engineering of National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkov, 2007.

This thesis contains the constructed theory of weak equivalence for hyperfinite ergodic groups of automorphisms of a measure space. A complete system of invariants for weak equivalence is found in the thesis. The structure of cocycles of hyperfinite groups which take values in abelian locally compact groups and countable groups is studied. The problem of outer conjugacy for actions of countable amenable groups is completely solved. It is also obtained a solution of the extension and classification problems of ergodic actions of locally compact abelian groups to group extensions by means of amenable groups. New topologies are defined and investigated on the group of all Borel automorphisms of a standard Borel space. The topological properties of its subgroups and subsets are studied. The theory of Borel-Bratteli diagram for aperiodic Borel automorphisms is constructed. The topological properties of the group of all homeomorphisms of a Cantor set are studied. The closures of full groups generated by minimal homeomorphisms and of some important subsets of homeomorphisms of a Cantor set are found.

Key words: hyperfinite automorphism groups of a measure space, cocycles, associated group actions, group extensions, Borel automorphisms of a standard Borel space, minimal homeomorphisms of a Cantor set, odometers, full groups, normalizers, invariant and nonsingular measures.

Размещено на Allbest.ru

...