Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь нескінченного порядку

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. При розв'язані задач математичної фізики, квантової механіки, газової динаміки, теорії теплопровідності, тепломасопереносу, кристалографії, задач про взаємодію тіл, при математичному моделюванні різних реальних процесів виникає необхідність дослідження крайових задач (зокрема, задачі Коші) для диференціальних рівнянь (та систем рівнянь) з різними особливостями та виродженнями, коли, наприклад, рівняння має особливості в коефіцієнтах, вироджується тип рівняння, рівняння замість диференціальних операторів містять псевдодиференціальні оператори, у рівняннях наявні випадкові збурення і т.п.

Багато таких задач мають природну постановку і у різних просторах узагальнених функцій, оскільки досить часто крайові умови мають особливості в деяких точках межі або ділянках межі. Такі функції допускають регуляризацію у просторах узагальнених функцій скінченного порядку (типу розподілів Соболева-Шварца), або їх можна трактувати як узагальнені функції нескінченного порядку (типу ультрарозподілів, гіперфункцій), якщо порядок особливостей вищий за степеневий.

До рівнянь, які мають особливості в коефіцієнтах, відносяться В-параболічні рівняння - рівняння з оператором Бесселя, який вироджується по певній просторовій змінній, а саме рівняння при цьому вироджується на межі області. В-параболічні рівняння за своїми внутрішніми властивостями близькі до рівномірно параболічних рівнянь.

При дослідженні проблеми про класи єдиності та класи коректності задачі Коші для рівнянь з частинними похідними зі сталими (або залежними лише від часу) коефіцієнтами широко використовуються простори типу S, введені І.М. Гельфандом та Г.Є. Шиловим, та простори типу W, введені Б.Л. Гуревичем. Простори типу S складаються з нескінченно диференційовних на R функцій, поведінка яких та їхніх похідних на дійсній вісі характеризується величинами , {k,n}ЃјZ+, де подвійна послідовність {mkn} задовольняє певні умови (особливо повно досліджено випадок mnn=kkбnnв; б, в>0). Простори типу W є узагальненням просторів типу S внаслідок заміни степеневих функцій довільними опуклими, що дозволяє точніше охарактеризувати особливості зростання або спадання функцій на нескінченності.

У працях М.Л. Горбачука, П.І. Дуднікова, О.І. Кашпіровського, С.Д. Івасишена, Л.М. Андросової, В.В. Городецького, В.П. Лавренчука, О.Г. Возняк, В.А. Літовченка встановлено, що простори типу S' - простори, топологічно спряжені до просторів типу S - є природними множинами початкових даних задачі Коші для широких класів рівнянь з частинними похідними скінченого порядку, при яких розв'язки є нескінченно диференційовними функціями просторових змінних.

Класична теорія задачі Коші для В-параболічні рівнянь розвинена в працях М.І. Матійчука, В.В. Крехівського, С.Д. Івасишена та ін.

Задача Коші для сингулярних параболічних рівнянь у класах розподілів та у класах узагальнених функцій типу S' вивчалась Я.І. Житомирським, В.В. Городецьким, І.В. Житарюком, В.П. Лавренчуком. Природним узагальненням В-параболічних рівнянь є сингулярні еволюційні рівняння нескінченного порядку вигляду:

, tЃё(0,T], xЃёR+1 (1)

( - оператор Бесселя порядку v>-1/2), тобто рівняння, які містять не лише поліноми від оператора Bv, а й інші функції від цього оператора .

Задача Коші для рівняння 1 зі сталими коефіцієнтами (а також для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку або оператором Бесселя нескінченного порядку) у просторах аналітичних функціоналів типу W' досліджена В.В. Городецьким, О.В. Мартинюк та О.М. Ленюком. В.В. Городецьким та Р.С. Колісник побудовані класи цілих функцій (названі ними просторами типу С), які на дійсній вісі спадають швидше за exp{-a|x|}, xЃёR. Простори Sб, ,, {б, в}Ѓј(0,1), які відносяться до просторів типу S, та простори типу W утворюють певні підкласи просторів типу С. У просторах типу С та С' (аналітичних функціоналів - узагальнених функцій нескінченного порядку) задача Коші для рівнянь 1 не вивчена.

Одним з основних методів дослідження задачі Коші для 1 є метод перетворення Фур'є-Бесселя, тому актуальним питанням є побудова теорії такого перетворення у просторах типу С та С' паралельно з теорією задачі Коші для 1 у вказаних просторах. Оскільки множина початкових значень розв'язків рівнянь 1 збігаються з множинами початкових даних задачі Коші, при яких розв'язки є елементами певних функціональних просторів, то важливу роль при постановці та дослідженні задачі Коші для (1) відіграє також розвинення теорії граничних значень для таких рівнянь.

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню вказаних проблем для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку вигляду (1) зі сталими та залежними лише від часової змінної коефіцієнтами.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розвиток теорії задачі Коші для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку вигляду (1) зі сталими або залежними лише від часу коефіцієнтами в класах початкових умов, які є узагальненими функціями нескінченного порядку з просторів типу С'; зокрема, одержання для таких рівнянь результатів, подібних до відомих у теорії задача Коші для В-параболічних рівнянь з початковими умовами з просторів узагальнених функцій типу S'. Безпосередніми задачами дослідження є:

· вивчення властивостей основних операцій (зокрема, операції узагальненого зсуву аргументу) та оператора Бесселя нескінченного порядку в класах основних функцій типу , які складаються з парних функцій із просторів типу ;

· дослідження властивостей перетворення Фур'є-Бесселя основних і узагальнених функцій із просторів типу та ; згорток, згортувачів та мультиплікаторів у таких просторах;

· встановлення коректної розв'язності задачі Коші для рівнянь вигляду (1) (з коефіцієнтами ck(t,x)=ck(t), , kЃёZ+) у просторах узагальнених функцій типу ; відшукання усіх початкових даних задачі Коші, при яких розв'язок задачі має ті ж властивості гладкості, що і фундаментальний розв'язок.

1. Основні означення та твердження, що стосуються топологічної структури просторів типу C, та , основних операцій у цих просторах

Доведено теореми двоїстості для просторів типу . Вивчаються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів. Знайдено необхідні та достатні умови, за яких у просторах типу визначений, є лінійним і неперервним оператор Бесселя нескінченного порядку. Досліджено властивості оператора узагальненого зсуву аргументу.

Перейдемо до викладу матеріалу другого розділу. Наведено основні означення та твердження, що стосуються топологічної структури просторів типу C, .Нехай {mn, nЃёZ+} - монотонно зростаючу послідовність додатних чисел, така що:

1. , m0=1;

2. nЃёZ+; mn?cббn;

3. nЃёZ+; mn+1?Mhnmn.

Поряд розглянемо монотонно зростаючу послідовність додатних чисел {ln, nЃёZ+}, яка володіє властивостями 1 - 3. Покладемо:

Функція с - диференційовна, парна на R, монотонно зростає на проміжку і монотонно спадає на , с(x)?1, R, с(1)=1. Крім того:

R\[-1,1]: с(x)?c0exp{c|x|}.

Зазначимо також, що функція lnс - опукла на , тобто:

:lnс(x1)+lnс(x2)?lnс(x1+x2).

Функція г - невід'ємна, диференційовна, парна на R функція, монотонно спадає на проміжку , монотонно зростає на проміжку , г(x)?1, R, і:

R\[-1,1]:г(x)?c'0exp{-c'|x|}.

Якщо ввести позначення: , то функція володіє властивістю опуклості у наведеному вище розумінні.

Символом позначається сукупність всіх цілих однозначних функцій ц:С>С, що задовольняють умову:

, , , C: |ц(z)|?cг(ax)с(by).

Збіжність в визначається так: послідовність {цv,vЃёN} називається збіжною до нуля, якщо вона рівномірно збігається до нуля в кожній обмеженій області комплексної площини, при цьому справджуються нерівності |цv(z)|?cг(ax)с(by), С, зі сталими c, a, b>0, не залежними від v.

В визначені і є неперервними операції множення на незалежну змінну, диференціювання, зсуву аргументу. Мультиплікатором у просторі є кожна ціла функція f:С>С, яка при довільному задовольняє нерівність , z=x+iyЃёС.

Символом (R) позначатимемо сукупність функцій, заданих на R, які допускають аналітичне продовження у всю комплексну площину і як функції комплексної змінної є елементами простору . Символом позначимо сукупність усіх цілих парних функцій з простору . Цей простір з відповідною топологією називатимемо основним простором або простором типу , а його елементи - основними функціями. Відповідно символом (R) позначатимемо сукупність парних функцій з простору (R).

Наведені твердження, які стосуються основних операцій у просторі . Зокрема, встановлено, що у цьому просторі визначений і є неперервним оператор Бесселя , , який діє по змінній . Ця властивість є наслідком наступного твердження.

У просторі визначений і є неперервним оператор .

Як наслідок з цієї теореми дістаємо, що у просторі (R) визначений і є неперервним оператор , , який відповідає дійсній змінній .

Далі наведемо приклад функції, яка є мультиплікатором у кожному просторі . Для цього доведемо наступне твердження.

Нормована функція Бесселя , , як функція комплексної змінної, є мультиплікатором у просторі .

У просторах (R) можна користуватися прямим і оберненим перетворення Фур'є-Бесселя, оскільки, як випливає із результатів, одержаних В.В. Городецьким та Р.С. Колісник, (R) є підпростором простору (простори складаються з парних функцій простору S Л.Шварца), у якому вказані перетворення визначені коректно:

,

, (R),

cv=(22vГ2(v+1))-1, v>-1/2.

Вивчаються властивості перетворення Фур'є-Бесселя просторів типу (R); встановлено, що таким перетворенням простори типу (R) відображаються у простори такого ж типу.

Наведемо одну із теорем двоїстості.

Правильною є формула FB[(R)]=(R), де:

г*(у) - функція, двоїста за Юнгом до функції lnс(у+1), уЃё[0,+?);

с*(ф) - функція, двоїста за Юнгом до функції -lnг(ф+1), фЃё[0,+?);

при цьому оператор FB:(R)>(R) є неперервним.

Розглядається оператор узагальненого зсуву аргументу в просторі (R), а також оператор Бесселя нескінченного порядку.

Символом позначимо оператор узагальненого зсуву аргументу, який відповідає оператору Бесселя:

,цЃё(R),

де:

bv=Г(v+1)/(Г(1/2)Г(v+1/2)), v>-1/2.

Оператор узагальненого зсуву аргументу визначений і неперервний у просторі (R).

Операція узагальненого зсуву аргументу диференційовна у просторі (R).

Операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диференційовна у просторі (R).

Згортку двох функцій з простору (R)визначимо формулою:

,{ц,ш}Ѓј(R).

Оскільки (R)ЃјS, де S - простір Л. Шварца, а у просторі S вірною є формула:

,

то ця ж формула є правильною і у просторі (R). Отже, простори (R) утворюють топологічні алгебри відносно операції згортки основних функцій.

розглядається оператора Бесселя нескінченного порядку.

Нехай - деяка ціла парна функція. Говоритимемо, що у просторі задано оператор Бесселя нескінченного порядку якщо для довільної основної функції цЃё ряд:

зображає деяку основну функцію з простору .

Нехай г1, с1 - функції. Правильним є наступне твердження.

Оператор Бесселя нескінченного порядку f(Bv,z) визначений і неперервний у просторі тоді і лише тоді, коли ціла парна функція f:С>С - мультиплікатор у просторі .

Нехай Af - звуження оператора f(Bv,z) на (R). Тоді для довільної функції цЃё(R) правильною є рівність:

,{x,о}ЃјR.

Отже, у цьому випадку Af можна розуміти як псевдодиференціаль-ний оператор, побудований за певним аналітичним символом.

Аналогічні результати є правильними і для оператора Бесселя нескінчен-ного порядку.

побудованого за цілою парною (по z) функцією L, залежною від параметра t:

,z=x+iyЃёС, tЃё[0,T],

у припущенні, що , Z+, а функція при кожному є мультиплікатором у просторі , тобто:

С: ;

при цьому:

, (R), {x,о}ЃјR.

Розглядається простір узагальнених функцій типу . Вивчаються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів.

Символом ((R))' позначатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями.

Оскільки в просторі (R) визначена операція узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненої функції fЃё((R))' з основною функцією задамо формулою:

Ю,

(тут позначаємо дію функціоналу f за змінною ) при цьому є нескінченно диференційовною на R функцією, бо операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диференційовна у просторі (R).

Якщо fЃё((R))' і f*цЃё(R), (R), то функціонал f називається згортувачем у просторі (R).

Оскільки FB[ц]Ѓё(R), якщо цЃё(R), то перетворення Фур'є-Бесселя узагальненої функції fЃё((R))' визначимо за допомогою співвідношення:

,(R). (2)

Із 2 та з властивостей лінійності та неперервності функціоналу f та перетворення Фур'є-Бесселя основних функцій випливає лінійність і неперервність функціоналу FB[f] над простором основних функцій (R). Отже перетворення Фур'є-Бесселя узагальненої функції f, заданої на (R), є узагальненою функцією на просторі (R).

Правильним є наступне твердження.

Якщо узагальнена функція fЃё((R))' - згортувач у просторі (R), то:

,(R).

Якщо узагальнена функція - мультиплікатор у просторі (R), то її перетворення Фур'є-Бесселя - згортувач у просторі (R). Якщо узагальнена функція fЃё((R))' - згортувачем у просторі (R), то:

,(R), mЃёN.

Наведено основні означення та твердження, що стосуються відображень вигляду , де X - лінійний топологічний простір або об'єднання таких просторів, - деяка числова множина. Такі відображення називають ще абстрактними функціями параметра v у просторі X. За X можна, зокрема, брати простори типу С та .

2. Вивчення коректної розв'язності задачі Коші для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку в класах початкових умов, які є узагальненими функціями типу ультрарозподілів

Досліджуються властивості ФРЗК, вивчається гранична поведінка згорток, що породжуються ФРЗК та узагальненими функціями з просторів типу

Встановлено оцінки ФРЗК (функції G); дифернційовність (по t) функції G(t,·) як абстрактної функції параметра із значеннями у просторі типу (R) та формулу диференціювання (по t) згортки , fЃё ((R))'; існування граничного значення вказаної згортки при у просторах типу ((R))'. Ці результати дозволяють довести коректну розв'язність задачі Коші для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку в певних підпросторах узагальнених функцій ((R))', які збігаються з множинами початкових значень гладких розв'язків .вказаних рівнянь.

Символом позначимо клас цілих парних однозначних функцій ш:С>С, які є мультиплікаторами у просторі і такими, що eшЃё. Розглянемо функцію L(t,z), z=x+iyЃёС, неперервно диференційовну по tЃё(0,T], T<?, яка задовольняє умову, що при кожному tЃё(0,T]: , і , С:

,

де функції , на півосі збігаються з функціями , , відповідно ({ln,nЃёZ+}, {mn,nЃёZ+} - послідовності, за якими будується простір ) і які продовженні на піввісь парним способом.

Нехай . При фіксованому як функція змінної належить до простору .

Символом , уЃёR, , позначимо обернене перетворення Фур'є-Бесселя функції , тобто:

,, уЃёR.

Із теореми випливає, що G(t,·)Ѓё(R) при кожному (, - функції, про які йде мова у цій теоремі). Функція допускає аналітичне продовження у всю комплексну площину і G(t,s)Ѓё при кожному , sЃёС ; при цьому:

С:,

де сталі залежать від параметра . Виділимо цю залежність у явному вигляді. Правильним є наступне твердження.

G(t,·)Ѓё при кожному ; при цьому:

{у,ф}ЃјR:

s=у+iфЃёС,

де - функція, двоїста за Юнгом до функції , - функція, двоїста за Юнгом до функції .

Правильними є нерівності:

,kЃёN,

де , - сталі із нерівності 3 (не залежні від k).

Функція , , як абстрактна функція параметра t із значеннями в просторі , диференційовна по t.

Правильною є формула:

, fЃё((R))', tЃё(0,T].

Нехай узагальнена функція fЃё ((R))' - згортувач у просторі (R),

щ(t,x)=(f*G)(t,x),tЃё (0,T], xЃёR.

Тоді граничне співвідношення , , виконується у просторі ((R))'.

Досліджується коректна розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором Бесселя нескінченного порядку у певних підпросторах узагальнених функцій типу ((R))'.

Розглянемо тепер рівняння:

,

Під розв'язком рівняння розумітимемо функцію u: t>u(t,·)(R), яка диференційовна по t і задовольняє рівняння.

Символом ((R)) позначимо сукупність усіх узагальнених функцій з простору ((R))', які є згортувачами у просторі (R). Отже, якщо fЃё ((R)), то щ(t,·)Ѓё(R) при кожному tЃё (0,T].

Дозволяє ставити задачу Коші для рівняння так. Задамо початкову умову:

,

де fЃё((R))'.

Висновки

нескінченний коші фундаментальний бессель

Дисертація присвячена розвитку теорії задачі Коші для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку зі сталими та залежними лише від часової змінної коефіцієнтами у класах початкових даних, які є узагальненими функціями з просторів типу . Такі рівняння є природним узагальненням сингулярних параболічних рівнянь і є важливими з точки зору застосувань у теорії рівнянь з частинними похідними.

У дисертаційній роботі вперше:

ь знайдено необхідні і достатні умови, за яких оператор Бесселя нескінченного порядку коректно визначений і обмежений у просторах типу ; досліджено властивості операції узагальненого зсуву аргументу у таких просторах;

ь доведено теореми про перетворення Фур'є-Бесселя просторів типу (теореми двоїстості); встановлено, що таким перетворенням простори типу відображаються у простори такого ж типу;

ь знайдено необхідні і достатні умови, які характеризують клас згортувачів та мультиплікаторів - узагальнених функцій із просторів типу ;

ь встановлені оцінки ФРЗК та досліджені властивості ФРЗК як абстрактної функції часового параметра із значеннями у просторах типу , доведення диференційовність (по t) згортки ФРЗК, з довільною узагальненою функцією з простору типу та встановлена формула диференціювання такої згортки (по t), доведено існування граничних значень вказаних згорток при t>+0 у просторах узагальнених функцій типу ;

ь доведено теореми про коректну розв'язність задачі Коші у просторах узагальнених функцій типу , знайдено умови, котрі повинна задовольняти початкова узагальнена функція f, при виконанні яких розв'язок має вигляд (G - ФРЗК), при кожному належить до простору основних функцій типу , , t>+0, у просторі узагальнених функцій типу .

Одержані результати і методика доведення мають теоретичне значення. Вони можуть знайти застосування і подальший розвиток у теорії рівнянь з частинними похідними, теорії узагальнених функцій.

Література

1. Городецький В.В., Дрінь С.С. Задача Коші для еволюційних сингулярних рівнянь нескінченного порядку // Доп. НАН України. - 2003. № 11. - С. 12 - 17.

2. Городецький В.В., Дрінь С.С. Перетворення Фур'є-Бесселя просторів типу C та C' // Доп. НАН України. - 2004. - № 8. - С. 19 - 24.

3. Дрінь С.С., Дрінь І.І. Перетворення Фур'є-Бесселя просторів типу S та S' // Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наук. праць. Вип. 160. Математика. - Чернівці: Рута, 2003. - С. 50-59.

4. Дрінь С.С. Оператори Бесселя нескінченного порядку у просторах типу C // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 191 - 192. Математика. - Чернівці: Рута, 2004. - С. 41 - 46.

5. Дрінь С.С. Оператори узагальненого зсуву аргументу в просторах типу // Науковий вісник Чернівецького університету6: Зб. наук. пр. Вип. 314-315. Математика. - Чернівці: Рута, 2006. - С. 59 - 63.

6. Дрінь С.С. Еволюційні рівняння з оператором Бесселя нескінченного порядку // Spectral and Evolution Problems: Proceedings of the Sixteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-2005), September 18-29, 2005, Sevastopol, Laspi, Vol. 16. - Simferopol, 2006. - P. 12-15.

7. Дрінь С.С. Еволюційні сингулярні рівняння нескінченного порядку // Десята міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука 13 - 15 травня 2004 р., м. Київ: Матеріали конференції. - К.: Задруга, 2004. - С. 101.

Размещено на Allbest.ru

...