Спектральний аналіз узагальнених матриць Якобі

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

УДК 517.984

СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ УЗАГАЛЬНЕНИХ МАТРИЦЬ ЯКОБІ

01.01.01 - Математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Деревягін Максим Сергійович

Донецьк-2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Донецькому національному університеті, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Деркач Володимир Олександрович, Донецький національний університет, завідувач кафедри математичного аналізу і теорії функцій

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, Голинський Леонід Борисович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Вєркіна НАН України (м. Харків), старший науковий співробітник відділу теорії функцій

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, Маламуд Марк Михайлович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк), старший науковий співробітник відділу рівнянь в частинних похідних

Захист відбудеться “10” жовтня 2007 р. о 16 ⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради K 11.193.02 Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, Донецьк, вул. Рози Люксембург,74.

Автореферат розісланий “6” вересня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради О. А. Довгоший

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У дисертаційній роботі вивчаються спектральні проблеми для узагальнених матриць Якобі, що відповідають покроковому процесу розв'язання індефінітної проблеми моментів.

Актуальність теми. Історично першим підходом до розв'язання проблеми моментів і інших інтерполяційних задач в класах Шура і Неванлінни був процес Шура. Але для узагальнених класів Шура задача побудови покрокового процесу є нетривіальною. Ця задача була сформульована як проблема в монографії Д. Алпая, А. Дайксми, Дж. Ровняка, Х. де Сноо. Окреслена проблема вивчалась в роботах групи математиків Т.Я. Азізова, Д. Алпая, Дж. Ваньяла, А. Дайксми і Г. Лангера. Проте проблема побудови покрокового процесу для індефінітної проблеми моментів залишалась відкритою.

Покроковий процес веде до побудови раціональних апроксимацій, зокрема для функцій класу Неванлінни - до їх апроксимацій Паде. Дослідженню Паде апроксимацій та їх збіжності присвячено велику кількість робіт. Перші результати в цьому напрямку були одержані Л. Ейлером, Ж. Лагранжем, К. Гаусом, Ф. Фробеніусом, А. Паде, А.А. Марковим.

Завдяки сучасному розвитку обчислювальної техніки апроксимації Паде та їх узагальнення знаходять нові застосування в досить різних галузях фізики, механіки та інших наук. Теоретичний аналіз проблем, що виникають, веде до суттєво нових питань у комплексному аналізі, теорії потенціалу, теорії ортогональних поліномів, теорії операторів Якобі та інших галузях аналізу.

Тривалий час проблема збіжності апроксимацій Паде для довільних мероморфних функцій залишалась нерозв'язаною. Нещодавно в роботах Д.С. Любинського і В.І. Буслаєва було наведено приклади, для яких гіпотеза про збіжність апроксимацій Паде не підтверджується. Але для деяких класів функцій локально рівномірну збіжність апроксимацій Паде було доведено в роботах А.А. Маркова, А.А. Гончара і Є.А. Рахманова. Тому виникає проблема знаходження класів мероморфних функцій, для яких збігаються апроксимації Паде.

Отже, дослідження функцій узагальненого класу Неванлінни, спектральних властивостей узагальнених матриць Якобі, що відповідають покроковому процесу розв'язання проблеми моментів в узагальнених класах Неванлінни, збіжність апроксимацій Паде для функцій узагальненого класу Неванлінни є актуальними проблемами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетних наукових тем Г-02.40 “Теорія функцій та операторів” і Г-06-1вв/06 “Спектральна теорія деяких класів сингулярно збурених операторів” (згідно з планом науково-дослідних робіт кафедри математичного аналізу та теорії функцій Донецького національного університету).

Мета і завдання дослідження: розробити покроковий процес розв'язання зрізаної індефінітної проблеми моментів і вивчити властивості узагальнених матриць Якобі, які відповідають покроковому процесу розв'язання індефінітної проблеми моментів; установити теореми про однозначне відновлення скінченних та нескінченних узагальнених матриць Якобі за спектральним даним; вивчити характер збіжності апроксимацій Паде для функцій узагальненого класу Неванлінни.

Об'єкт дослідження операторне зображення голоморфних функцій.

Предмет дослідження функції узагальненого класу Неванлінни та узагальнені матриці Якобі, що відповідають покроковому процесу розв'язання проблеми моментів в узагальнених класах Неванлінни.

Методи дослідження. Для побудови покрокового процесу використовується низка фактів з теорії функцій узагальненого класу Неванлінни. Для вивчення узагальнених матриць Якобі застосовується спектральна теорія операторів у просторах Понтрягіна. Для доведення збіжності апроксимацій Паде у роботі використано і розвинено операторний підхід, а, саме, застосовується операторне зображення функцій узагальненого класу Неванлінни та їх апроксимацій Паде.

Концепція граничних трійок і функцій Вейля симетричних операторів, яку було розвинуто в роботах математиків А.Н. Кочубея, М.Л. і В.І. Горбачуків, В.О. Деркача і М.М.Маламуда є основним інструментом дослідження в третьому розділі і використовується у четвертому розділі.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації одержані такі нові результати:

1) побудовано покроковий процес розв'язання зрізаної проблеми моментів;

2) охарактеризовано m-функції для класу узагальнених матриць Якобі, асоційованих з покроковим процесом розв'язання індефінітної проблеми моментів;

3) одержано теореми типу Борга для скінчених узагальнених матриць Якобі;

4) доведено локальну рівномірну збіжність діагональних і парадіагональних апроксимацій Паде для функцій узагальненого класу Неванлінни.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер та можуть знайти застосування в обчислювальній математиці, теоретичній фізиці, спектральній теорії операторів у просторах Понтрягіна, теорії наближень, теорії функцій.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівнику В.О. Деркачу належить постановка задач та загальне керівництво роботою. Також теореми 3.10.3 і 3.10.6 та пропозиція 5.2.3 були одержані разом з В.О. Деркачем. В них використовується ідея В.О. Деркача про застосування супроводжувальних матриць при визначенні узагальненої матриці Якобі. Остаточне формулювання й доведення цих результатів належать здобувачеві. Решта результатів другого, третього, четвертого та п'ятого розділів одержані здобувачем особисто.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертації доповідались на Міжнародній конференції присвяченій 100-річчю з дня народження Б.Я. Левіна, Харків, 2006; на Міжнародній конференції "5th Workshop Operator Theory in Krein Spaces and Applications", Berlin, 2005; на Міжнародній Конференції молодих вчених механіко-математичного факультету МДУ, Москва, 2004 р; на Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах “Спектральні та еволюційні задачі”, 2004-2006рр., на 1-ій літній школі з топологічної алгебри і функціонального аналізу, Львів-Козева, 2003.

Загалом результати дисертації доповідались на семінарі “Теорія операторів та її застосування” Харківського національного університету (кер. проф. д.ф.-м.н. В.К. Дубовий ), а також неодноразово на семінарі з теорії операторів Донецького національного університету (кер. проф. д.ф.-м.н. В.О. Деркач).

Публікації. Основні наукові результати дисертації викладено в 7 наукових публікаціях [1-7], з яких 6 статей [1-6] увійшли до видань, включених у перелік ВАК України. Ще одну статтю опубліковано в матеріалах міжнародної конференції [7].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновку, списку використаних джерел. Матеріал викладено на 149 сторінках друкованого тексту. Список літератури містить 81 найменування та становить 8 сторінок.

узагальнений матриця якобі індефінітний

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, подано короткий аналіз сучасного стану проблеми, сформульовано мету та завдання дослідження, наукову новизну, практичне значення одержаних результатів та подано відомості про апробацію результатів дисертаційного дослідження.

У першому розділі подано огляд робіт, які мають відношення до теми дисертації та представлено основні результати дисертаційної роботи.

В підрозділі 1.1 сформульовано класичну проблему моментів Гамбургера та її індефінітний аналог для функцій узагальненого класу Неванлінни.

В підрозділі 1.2 подано огляд операторного підходу до розв'язання класичної проблеми моментів, в рамках якого виникають класичні матриці Якобі. Також наведено низку обернених теорем для класичних матриць Якобі.

В підрозділі 1.3 наведено визначення апроксимації Паде та подано стислий огляд відомих результатів про локально рівномірну збіжність апроксимацій Паде.

Основні результати дисертаційної роботи викладено у підрозділі 1.4.

У другому розділі дисертації побудовано покроковий процес розв'язання зрізаної індефінітної проблеми моментів. Нагадаємо, що узагальнений клас Неванлінни складається з функцій ц, мероморфних в C\R, які задовільняють умові симетричності , і таких, що ядро

має від'ємних квадратів ( означає область голоморфності ). Останнє слід розуміти так, що для будь-якого набору і ермітова матриця має не більше ніж і для деякого набору точно від'ємних власних значень.

У підрозділі 2.1 наведено постановку зрізаної індефінітної проблеми моментів .

Проблема . Нехай задане число і послідовність дійсних чисел таких, що матриця є невиродженою. Знайти функцію , яка має наступний асимптотичний розклад

Тут і в подальшому символ означає, що збігається до недотичним чином, залишаючись усередені сектору для деякого .

Зрізана індефінітна проблема моментів вивчалась у роботах Г. Дима Derkach V. On Hermitian block Hankel matrices, matrix polynomials, the Hamburger moment problem, interpolation and maximum entropy// Int. Equation and Operator Theory. - 1989. - Vol. 12. - P. 757-811. та В.О. Деркача Dym H. On generalized resolvents of Hermitian relations in Krein spaces// J. Math. Sci. - 1999. - Vol. 97, 5. - P. 4420-4460.. В цих роботах доведено, що проблема є розв'язуваною тоді і лише тоді, коли число від'ємних власних значень матриці не перевищує .

У підрозділі 2.2 наведені необхідні в подальшому позначення і допоміжні твердження. Далі завжди будемо вважати, що послідовність s є нормалізованою, тобто перший ненульовий момент дорівнює за модулем 1. Нормальним індексом матриці будемо називати таке число jN, для якого .

Підрозділ 2.3 присвячено побудові індуктивного кроку покрокового процесу розв'язання індефінітної проблеми моментів. Наведемо тут цей крок. Нехай найменший нормальний індекс. Таким чином маємо, що . Позначимо , . Нехай функція є розв'язком проблеми , тобто справедливим є асимптотичний розклад (1). Тоді припускає наступне зображення

де є приведений поліном ступеня і функція є розв'язком зрізаної індефінітної проблеми моментів з меншим числом параметрів. Число вибираємо так, щоб послідовність , що визначається розкладом

була нормалізованою. Оскільки , то , де .

У підрозділі 2.4, застосовуючи покроковий процес, побудовано послідовність дробово-лінійних перетоворень, матриці яких мають вигляд

Їх суперпозиція відповідає добутку матриць

Підсумовуючи сказане, одержуємо наступний опис усіх розв'язків проблеми , який в іншому вигляді було отримано раніше Г. Димом та В.О. Деркачем.

Теорема 2.4.1. Нехай і послідовність дійсних чисел така, що та . Нехай послідовність усіх нормальних индексів матриці та матриця визначена рівністю (4) і (5). Тоді множина всіх розв'язків проблеми моментів може бути описана формулою

де пробігає множину функцій з , для яких виконана умова Неванлінни:

У третьому розділі диссертації вводиться поняття узагальненої матриці Якобі, асоційованої з покроковим процесом розв'язання індефінітної проблеми моментів, та вивчаються властивості цієї матриці та її -функцій.

У підрозділі 3.1 наведено постановку індефінітної проблеми моментів, що вивчалась М.Г. Крейном і Г. Лангером Krein M.G., Langer H. On some extension problem which are closely connected with the theory of hermitian operators in a space III. Indefinite analogues of the Hamburger and Stieltjes moment problems, Part I// Beitrдge zur Anal. - 1979. - Vol. 14. - P. 25-40..

Проблема . Нехай задане невід'ємне ціле і послідовність дійсних чисел таких, що матриця є невиродженою при достатньо великих . Знайти функцію , яка є розв'язком проблеми для будь-якого .

Проблема називається визначеною, якщо вона має тільки один розв'язок і невизначеною в іншому випадку. Як показано М.Г. Крейном і Г. Лангером, для розв'язуваності проблеми необхідно і достатньо, щоб ганкелеві матриці мали не більше ніж від'ємних власних значень за всіх nZ₊. Оскільки будь-який розв'язок проблеми є розв'язком проблеми за всіх nZ₊, тому, застосовуючи покроковий процес, побудований у другому розділі, до функції , приходимо до нескінченного неперервного P-дробу:

У підрозділі 3.2 з P-дробом (8) асоціюється узагальнена матриця Якобі.

Нехай приведений дійсний поліном ступеню k (т.е. ). Асоціюємо з поліномом p його симетризатор та супроводжувальну матрицю , які мають наступний вигляд

Визначення 3.2.1. Нехай приведені дійсні поліноми ступенів

та нехай , (jN). Блочно-трьохдіагональну матрицю

в якій , а матриця і матриця задаються рівностями

будемо називати узагальненою матрицею Якобі, асоційованою з послідовністю поліномів та чисел .

Зауваження. Згідно з алгоритмом, побудованим у розділі 2, при достатньо великих j(?N) ступені поліномів дорівнюють 1, і при j?N. Надалі розглянуто тільки такі узагальнені матриці Якобі. Слід також зазначити, що вперше матриці виду (9) було розглянуто М.Г. Крейном і Г. Лангером у вищезгадуваній роботі.

Покладемо , (jN) і визначимо стандартний базис в співвідношенням

Нехай , де при . Тоді простір з індефінітним скалярним добутком є простором Понтрягіна з від'ємним індексом .

Нехай () означає підматрицю матриці (), що відповідає базисним векторам (0?j?+). Матрицю будемо називати скінченною узагальненою матрицею Якобі.

У підрозділі 3.3 вводяться оператори, асоційовані з узагальненою матрицею Якобі. Так у просторі , з матрицєю можна асоціювати оператор , визначений на лініалі фінітних послідовностей рівністю .

Пропозиція 3.3.1. Оператор є щільно визначеним і симетричним в , тобто для

Зрозуміло, що оператор припускає замикання в , яке надалі будемо позначати . У тому випадку, коли симетричний оператор є несамоспряженим, його дефектні підпростори знаходяться явно в термінах поліномів першого роду, яким присвячено підрозділ 3.4.

Покладаючи , визначимо поліноми першого роду , асоційовані з матрицею , як розв'язок наступної системи

з початковими умовами , . Аналогічно, поліноми другого роду , асоційовані з матрицею , визначаються як розв'язок системи (10) з початковими умовами , . З (10) випливає, що поліноми і мають ступені і та старші коефіцієнти і , відповідно.

Зазначимо, що різницеве рівняння (10) збігається з трьохчленним рекурентним співвідношенням, асоційованим з -дробом Magnus A. Certain continued fractions associated with the Pade table// Math. Zeitschr. - 1962. - Vol. 78. - P. 361-374..

Розширимо системи поліномів і наступним чином

, (jZ₊;).

Далі покладемо, що

Неважко переконатись, що виконуються наступні формальні співвідношення

З (11) випливає, що рівняння має нетривіальні розв'язки в тому і тільки в тому випадку, коли , а якщо ця умова виконана, то дефектний підпростір оператора має вигляд (). Далі, завдяки дійсності поліномів маємо рівність . Таким чином індекси дефекту оператора дорівнюють або або .

У п'ятому, шостому, сьомому та дев'ятому підрозділах третього розділу наведені та систематично використовуються поняття граничної трійки, функції Вейля, -функції і резольвентних матриць симетричного оператора у просторі Понтрягіна Derkach V. On generalized resolvents of Hermitian relations in Krein spaces// J. Math. Sci. - 1999. - Vol. 97, 5. - P. 4420-4460.^, Derkach V.A., Malamud M.M. The extension theory of hermitian operators and the moment problem// J.of Math.Sci. - 1995. - Vol. 73, 2. - P. 141-242. для опису розв'язків як зрізаної індефінітної проблеми так і проблеми моментів .

Функцію будемо називати -функцією узагальненої матриці Якобі (у випадку класичних матриць Якобі такий термін було введено у роботі Б. Саймона й Ф. Гестези Gesztesy F., Simon B. m-functions and inverse spectral analysis for finite and semi-infinite Jacobi matrices// Journal d'Analyse Math. - 1997. - Vol. 73. - P. 267-297.). Функція також має такий вигляд:

Зазначимо тут один важливий результат з підрозділу 3.7.

Наслідок 3.7.10. -функції і пов'язані співвідношенням

Послідовне застосування формули приводить до -дробу , що з'являється при покроковому процесі розв'язку проблеми моментів .

У підрозділі 3.8 розв'язано обернену спектральну задачу.

Теорема 3.8.1. Нехай правильна раціональна функція класу . Тоді існує скінченна узагальнена матриця Якобі така, що відповідна -функція є пропорційною .

Наслідок 3.8.2. Нехай і дві неперетинних множини в C і нехай кожна з них є симетричною відносно осі R. Тоді існує тільки одна скінченна узагальнена матриця Якобі така, що є власними значеннями матриці , є власними значеннями матриці і .

У підрозділі 3.10 вивчено узагальнені матриці Якобі, що відповідають визначеній проблемі моментів. Відомо, що для того, щоб проблема була визначеною необхідно і достатньо, щоб оператор був самоспряженим в . Будемо говорити, що нескінченна узагальнена матриця Якобі має тип D, якщо відповідний оператор є самоспряженим в . У цьому випадку оператор є циклічним і його породжувальний вектор:

Таким чином, поняття -функції узагальненої матриці Якобі типу D можна ввести за формулою

Пропозиція 3.10.1. Нехай нескінченна узагальнена матриця Якобі має тип D. Тоді

1) -функція належить до класу , де ;

2) -функція є розв'язком визначеної проблеми моментів , де числа визначаються рівностями .

Наступне твердження розкриває зв'язок між -функціями.

Пропозиція 3.10.2. -функції узагальнених матриць Якобі і є пов'язаними рівністю

Властивості з пропозиції 3.10.1 повністю характеризують узагальнену матрицю Якобі типу D.

Теорема 3.10.3. Нехай -функція така, що

1) є розв'язком проблеми , де і послідовність дійсних чисел;

2) проблема моментів є визначеною.

Тоді існує тільки одна узагальнена матриця Якобі типу D з -функцією, яка є пропорційною .

Наступне твердження є аналогом теореми Стоуна див. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов. - М.: ГИФМЛ, 1961..

Теорема 3.10.6. Кожний циклічний самоспряжений оператор у просторі Понтрягіна є унітарно еквівалентним деякому оператору в , породженому узагальненою матрицею Якобі типу D.

Четвертий розділ дисертації присвячено доведенню теорем типу Борга для скінченних узагальнених матриць Якобі.

У підрозділі 4.2 одержано аналог теореми Хохштадта-Лібермана про однозначне відновлення скінченної узагальненої матриці Якобі з частини спектру та частини матриці .

Основний результат підрозділу 4.3 відбито у наступній теоремі.

Теорема 4.3.1. Нехай скінченна узагальнена матриця Якобі. Тоді справедливими є формули

Скінченна узагальнена матриця Якобі

є одновимірним збуренням матриці . Її спектр може бути віднайдений за допомогою наступного твердження.

Пропозиція 4.1.9. Комплексне число є власним значенням матриці кратності тоді і лише тоді, коли є коренем рівняння кратності .

У підрозділі 4.4 вивчено обернену задачу про відновлення узагальненої матриці Якобі і числа за двома спектрами і .

Теорема 4.4.2. Спектр узагальненої матриці Якобі і спектр узагальненої матриці Якобі однозначно визначають і матрицю .

В п'ятому розділі дисертації досліджено питання про збіжність апроксимацій Паде для функцій класу .

У підрозділі 5.1 наведено основні визначення та доведено допоміжні твердження.

Будемо говорити див. Derkach V.A., Hassi S., de Snoo H.S.V. Generalized Nevanlinna functions with polynomial asymptotic behaviour and regular perturbations// Oper. Theory: Adv. Appl. Birkh. Verlag, Basel. - 2001. - Vol. 122. - P. 169-189., що функція класу належить до класу , якщо для деяких має місце співвідношення . Далі означемо .

Пропозиція 5.1.1 Krein M.G., Langer H. Ьber einige Fortsetzungsprobleme, die ung mit der Theorie hermitescher Operatoren im Raume zusammenh.angen. I// Math.Nachr. - 1977. - Vol. 77. - P. 187-236.^, Derkach V.A., Hassi S., de Snoo H.S.V. Generalized Nevanlinna functions with polynomial asymptotic behaviour and regular perturbations// Oper. Theory: Adv. Appl. Birkh. Verlag, Basel. - 2001. - Vol. 122. - P. 169-189.^, Dijksma A., Langer H., Luger A., Shondin Yu. A factorization result for generalized Nevanlinna functions in the class // Integral Equation Operator Theory. - 2000. - Vol. 36. - P. 121-125.. Кожна функція класу припускає інтегральне зображення

де є скінченною мірою на R для якої існують всі моментиі, раціональна функція невід'ємна на , така, що , а правильна раціональна дійсна функція.

Вірним є і обернене твердження, будь-яка функція виду належить до класу при деякому .

Наступний формальний ряд

будемо називати рядом Гамбургера, асоційованим з проблемою .

Визначення 5.1.2. Апроксимацією Паде типу для формального ряду називається відношення

двох поліномів , формального ступеня і , відповідно, таке, що і



У випадку, коли апроксимація Паде типу називається -ою діагональною апроксимацією Паде.

Нехай задано деякий ряд Гамбургера , тобто деяка проблема моментів . З цією проблемою моментів природньо пов'язана узагальнена матриця Якобі . Більше того, справедливим є наступне твердження.

Пропозиція 5.1.3. -функція узагальненої матриці Якобі має наступну асимптотику

Співвідношення означає, що раціональна функція

є апроксимацією Паде типу для ряду Гамбургера (тут і - поліноми першого й другого роду, побудовані за узагальненою матрицею Якобі, асоційованій з відповідною проблемою моментів). Крім того, згідно з теоремою про структуру таблиці Паде див. Теорема 1.4.3 у Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. - М.: “Мир” 1986., за і таких, що

апроксимація Паде типу існує і збігається з , а для и , що задовольняють нерівностям

апроксимація Паде типу не існує.

У підрозділі 5.2 вивчено резольвентну збіжність зрізаних узагальнених матриць Якобі до операторів, що породжуються нескінченною узагальненою матрицею Якобі.

У підрозділі 5.3, спираючись на результатах попереднього підрозділу, вивчено локально рівномірну збіжність діагональних апроксимацій Паде для функцій класу .

Теорема 5.3.4. Нехай функція припускає інтегральне зображення . Якщо міра є розв'язком визначеної проблеми моментів Гамбургера, то діагональні апроксимації Паде збігаються до локально рівномірно в .

Наслідок 5.3.5. Нехай в умовах теореми 5.3.4 носій міри міститься у відрізку , тобто функція припускає інтегральне зображення

Тоді діагональні апроксимації Паде збігаються до локально рівномірно в .

Зауваження 5.3.6. У випадку, коли и не має полюсів на , подібні твердження були одержані А.А. Гончаром Гончар А. А. О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций// Мат. сборник. - 1975. - T.97(139). - C. 607-629. і Є.А. Рахмановим Рахманов Е.А. О сходимости диагональных аппроксимаций Паде// Мат. сборник. - 1977. - Т. 104(146), 2. - С. 271-291..

У підрозділі 5.4 вивчено збіжність апроксимацій Паде для функцій класу . Основний результат цього підрозділу відображає наступне твердження.

Наслідок 5.4.2. Нехай функція допускає інтегральне зображення , у якому міра є розв'язком визначеної проблеми моментів Гамбургера. Тоді аппроксимації Паде збігаються до локально рівномірно в .

У підрозділі 5.5 показано, що питання про збіжність аппроксимацій Паде типу (тут зафиксовано) для функцій класу зводиться до вивчення збіжності аппроксимацій Паде типу , або , залежно від парності .

ВИСНОВКИ

У дисертації досліджено клас несамоспряжених операторів, породжених узагальненими матрицями Якобі, які відповідають покроковому процесу розв'язання індефінітної проблеми моментів.

У дисертації побудовано покроковий процес розв'язання індефінітної проблеми моментів. Як наслідок, отримано опис класу всіх розв'язків зрізаної індефінітної проблеми моментів. При цьому одержано факторизацію матриці розв'язків зрізаної індефінітної проблеми моментів, що відповідає покроковому процесу.

Уведено клас узагальнених матриць Якобі, асоційованих з покроковим процесом. Отримано опис класу m-функцій для скінченних матриць Якобі та для нескінченних матриць Якобі типу D. Одержано аналог теореми Стоуна для узагальнених матриць Якобі.

Завдяки знайденим формулам слідів для скінченних узагальнених матриць Якобі, одержано аналог теореми Борга про однозначне відновлення скінченної матриці Якобі H_[0,N] за спектром матриці H_[0,N] та спектром її одновимірного збурення.

У рамках розробленої теорії узагальнених матриць Якобі, доведено локально рівномірну збіжність апроксимацій Паде для функцій узагальненого класу Неванлінни, що відповідають визначеній проблемі моментів. Доведено також локально рівномірну збіжність апроксимацій Паде типу [n/n-1] для функцій класу N_к,-?.

СПИСОК РОБІТ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Derevyagin M. On the Schur algorithm for indefinite moment problem// Methods of Functional Analysis and Topology. - 2003. - Vol. 9, № 2. - P.133-145.

Деревягин М.С. Теоремы типа Борга для обобщенных матриц Якоби// Мат. заметки. - 2005. - Т. 77, № 4. - С. 637-640.

Derevyagin M.S. Borg-type theorems for generalized Jacobi matrices and trace formulas// Methods of Functional Analysis and Topology. - 2006. - Vol.12, № 3. - P. 220-233.

Derevyagin M.S., Derkach V.A. On direct and inverse spectral problems for generalized Jacobi matrices// Ученые записки ТНУ им. В.И. Вернадского. Серия "Математика. Механика. Информатика и кибернетика". - 2003. -Т. 16(55), № 1. - С. 43-48.

Derevyagin M., Derkach V. Spectral problems for generalized Jacobi matrices// Linear Algebra Appl. - 2004. - Vol. 382. - P. 1-24.

Деревягин М.С., Деркач В.А. О сходимости аппроксимаций Паде обобщенных Неванлиновских функций// Труды Московского мат. общества. - 2007. - Т.68. - С.135-184.

Derevyagin M.S. On the Schur algorithm for indefinite moment problem// Spectral and Evolution problems, Proc. of the Eleventh Crimean Autumn Math. School-Symposium, Simferopol. - 2001. - Vol. 11. - P. 106-109.

Деревягин М.С. О восстановлении обобщенной матрицы Якоби// 26-ая Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва, 12-16 апреля, 2004 г. - Москва, 2004. - С. 43 - 44.

Derevyagin M. On the uniform convergence of Pade approximants for generalized Nevanlinna functions// 5^th Workshop Operator Theory in Krein spaces and Differential Equations. Berlin, December 16 - 18, 2005. - Berlin, 2005.

Derevyagin M. On the uniform convergence of Pade approximants for generalized Nevanlinna functions// Entire and subharmonic functions and related topics. International conference dedicated to the centennial of B.Ya. Levin. Kharkiv, August 14-17, 2006. - Kharkiv, 2006. - P.9.

АНОТАЦІЯ

Дерев'ягін М.С. Спектральний аналіз узагальнених матриць Якобі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 математичний аналіз. Донецький фізико-технічний інститут ім. О.О. Галкіна НАН України, Донецьк, 2007.

Дисертацію присвячено дослідженню узагальнених матриць Якобі, що асоційовані з покроковим процесом розв'язання індефінітної проблеми моментів.

У роботі побудовано покроковий процес розв'язання зрізаної узагальненої проблеми моментів. Введено узагальнені матриці Якобі, що асоційовані з покроковим процесом. Вивчаються прямі та обернені спектральні задачі для скінченних та нескінченних узагальнених матриць Якобі. Як наслідок розробленої теорії узагальнених матриць Якобі, одержано теореми про локально рівномірну збіжність діагональних та парадіагональних апроксимацій Паде для функцій узагальненого класу Неванлінни.

Ключові слова: індефінітна проблема моментів, несамоспряжений оператор, узагальнена матриця Якобі, m-функція, обернена спектральна задача, Паде апроксимація.

АННОТАЦИЯ

Деревягин М.С. Спектральный анализ обобщенных матриц Якоби. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 _ математический анализ. - Донецкий физико-техничный институт им. А.А. Галкина НАН Украины, Донецк, 2007.

Диссертация посвящена исследованию обобщенных матриц Якоби, ассоциированных с пошаговым процессом решения индефинитной проблемы моментов.

Историческим первым подходом к решению проблемы моментов и других интерполяционных задач в классах Шура и Неванлинны был пошаговый процесс Шура. Построение пошагового процесса в обобщенных классах Шура было проведено в серии работ группы математиков Т.Я. Азизова, Д. Алпая, Дж. Ваньяла, А. Дайксмы и Г. Лангера. Проблема построения пошагового процесса в обобщенных классах Неванлинны оставалась открытой.

Пошаговый процесс приводит к аппроксимациям Паде. Долгое время проблема сходимости аппроксимаций Паде для произвольных мероморфных функций оставалась открытой. Недавно, в работах Д.С. Любинского и В.И. Буслаева были построены примеры, которые опровергают гипотезу о равномерной сходимости аппроксимаций Паде. Поэтому актуальным является вопрос об описании классов мероморфных функций, для которых сходятся аппроксимации Паде.

Основная цель диссертации построить пошаговый процесс решения усеченной индефинитной проблемы моментов и изучить свойства обобщенных матриц Якоби, ассоциированных с пошаговым процессом. Во второй главе диссертационной работы построен пошаговый процесс решения усеченной проблемы моментов и получена факторизация матрицы решений усеченной индефинитной проблемы моментов, соответствующая пошаговому процесу.

В третьей главе вводятся обобщенные матрицы Якоби, которые ассоциированы с пошаговым процессом и изучаются свойства соответствующих функций Вейля. Также получен аналог теоремы Стоуна для обобщенных матриц Якоби.

В четвертой главе получены теоремы типа Борга для конечных обобщенных матриц Якоби.

Как следствие разработанной теории обобщенных матриц Якоби, в пятой главе получены теоремы о локально равномерной сходимости диагональных и парадиагональных аппроксимаций Паде для функций обобщенного класса Неванлинны.

Ключевые слова: индефинитная проблема моментов, несамосопряженный оператор, обобщенная матрица Якоби, m-функция, обратная спектральная задача, Паде аппроксимация.

ABSTRACT

Derevyagin M.S.: The spectral analysis of generalized Jacobi matrices. _ Manuscript.

The thesis for the Candidate of physical and mathematical sciences degree on specialty. 01.01.01 - mathematical analysis. - Dоnetsk Institute for Physics and Engineering named after O.O.Galkin of the National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2007.

The thesis is devoted to the study of generalized Jacobi matrices associated to the step-by-step process of solving an indefinite moment problem.

The step-by-step process of solving the truncated indefinite moment problem is constructed. Generalized Jacobi matrices associated to the step-by-step process is introduced. Direct and inverse spectral problems for both finite and infinite generalized Jacobi matrices are studied. As a consequence of the elaborated theory of generalized Jacobi matrices, the results on the locally uniform convergence of diagonal and paradiagonal Pade approximants are obtained.

Keywords: indefinite moment problem, non-self-adjoint operator, generalized Jacobi matrix, m-function, inverse spectral problem, Pade approximant.

Размещено на Allbest.ru

...