Властивості розв'язків крайових задач математичної фізики з випадковими факторами

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК.519.21

Властивості розв'язків крайових задач

математичної фізики з випадковими факторами

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Довгай Богдан Валерійович

Київ - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

КОЗАЧЕНКО Юрій Васильович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, професор кафедри теорії ймовірностей та

математичної статистики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

КОВАЛЬ Валерій Олександрович,

Житомирський державний технологічний

університет,

завідувач кафедри вищої математики.

кандидат фізико-математичних наук

СЛИВКА Ганна Іванівна,

Ужгородський національний університет,

доцент кафедри теорії ймовірностей і математичного аналізу.

Захист відбудеться “24” вересня 2007 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ-22, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська , 58).

Автореферат розісланий “22” серпня 2007 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з актуальних напрямків теорії випадкових процесів є вивчення властивостей випадкових рядів у різних функціональних просторах. Досить багато випадкових процесів можуть бути зображені у вигляді випадкових функціональних рядів. Це дає змогу вивчати локальні властивості цих процесів шляхом дослідження властивостей їх зображень. Результати, отримані в цій сфері, широко застосовуються не лише у самій теорії випадкових процесів, а і при розв'язуванні практичних задач математичної фізики, в яких необхідно враховувати вплив випадкових факторів. Зокрема це стосується задач математичної фізики для рівняння в часткових похідних з випадковою правою частиною. Фізичні постановки подібних задач містяться в роботах Кампе де Фер'є.

Вивченням задач математичної фізики з випадковими факторами займалося багато науковців, серед яких Булдигін В.В., Козаченко Ю.В., Бейсенбаєв Е., Енджирглі М.В., Ковальчук Ю.О., Сливка Г.І. та інші. Їх праці базуються на дослідженні рівномірної збіжності за ймовірністю в функціональних просторах послідовності випадкових функціональних сум, що апроксимують розв'язок крайової задачі.

Булдигіним В.В та Козаченком Ю.В. був запропонований новий метод дослідження задач математичної фізики, який дозволяє обґрунтувати використання методу Фур'є.

В роботі Булдигіна В.В та Козаченка Ю.В. розглядалася перша крайова задача для однорідного гіперболічного рівняння з випадковими гауссовими початковими умовами. В працях Козаченка Ю.В. та Барраси де Ла Крус Е. вивчалось гіперболічне рівняння з випадковими строго орличевими випадковими умовами. Козаченком Ю.В. і Тригуб С.Г. розглядалась крайова задача з субгауссовими початковими умовами. Козаченко Ю.В. та Ковальчук Ю.О. досліджували однорідне гіперболічне рівняння зі строго -субгауссовими початковими умовами. Козаченко Ю.В. та Сливка Г.І. розглядали крайову задачу математичної фізики для однорідного гіперболічного рівняння у багатовимірному випадку зі строго -субгауссовими початковими умовами.

Зауважимо, що практично в усіх цих роботах розглядалася крайова задача для однорідного рівняння математичної фізики з випадковими початковими умовами. Проте, фактично, не розглядались крайові задачі математичної фізики для неоднорідних рівнянь з випадковою правою частиною.

Основним завданням дисертаційної роботи є розглянути першу крайову задачу математичної фізики для неоднорідного гіперболічного рівняння з випадковою строго -субгауссовою правою частиною та нульовими початковими і крайовими умовами, отримати умови застосування методу Фур'є до цієї задачі, а також дослідити властивості її розв'язку. Це і визначає актуальність роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми№ 01БФ03806 “Розвиток теорії випадкових полів та динамічних систем на алгебраїчних структурах”, яка входить до програми “Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації № 0101U002472).

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії -субгауссових випадкових процесів, розширення кола теоретичних і практичних застосувань даної теорії, зокрема, до задач математичної фізики для гіперболічного рівняння. В роботі вивчаються наступні задачі:

* обґрунтування застосування методу Фур'є до задач математичної фізики для гіперболічного рівняння з випадковою строго -субгауссовою правою частиною та нульовими початковими і крайовими умовами;

* встановлення умов існування узагальненого розв'язку задачі математичної фізики для гіперболічного рівняння з випадковою строго -субгауссовою правою частиною та нульовими початковими і крайовими умовами;

* дослідження оцінки розподілу супремуму розв'язку рівняння коливання струни з випадковою строго -субгауссовою правою частиною та нульовими початковими і крайовими умовами;

* застосування отриманих результатів до моделювання розв'язку рівняння коливання струни з випадковою строго -субгауссовою правою частиною та нульовими початковими і крайовими умовами.

Методика дослідження. В роботі використовується аналітичний апарат теорії -субгауссових випадкових процесів та методи теорії диференціальних рівнянь в часткових похідних.

Наукова новизна одержаних результатів.

* Отримано достатні умови існування двічі неперервно диференційовного розв'язку крайової задачі математичної фізики для гіперболічного рівняння з випадковою строго -субгауссовою правою частиною.

* Встановлено умови існування розв'язку крайової задачі математичної фізики для часткового випадку рівняння коливання струни з випадковою правою частиною, що виражається спеціальним чином через однорідне строго -субгауссове випадкове поле.

* Отримано умови існування узагальненого розв'язку гіперболічного рівняння з випадковою строго -субгауссовою правою частиною.

* Знайдено оцінки розподілу супремуму розв'язку крайової задачі математичної фізики для гіперболічного рівняння з випадковою строго -субгауссовою правою частиною.

* Для розв'язку гіперболічного рівняння з випадковою строго -субгауссовою правою частиною знайдено модель, яка наближає цей розв'язок із заданою точністю та надійністю в рівномірній нормі.

Всі результати, отримані в дисертації, мають місце також і для центрованих гауссових випадкових процесів, оскільки центровані гауссові випадкові процеси є строго -субгауссовими коли з визначальною сталою .

Практичне значення одержаних результатів. Всі отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичне та практичне застосування при вивченні рівнянь математичної фізики з випадковими правими частинами.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікував чотири роботи, з них одна разом з науковим керівником проф. Козаченком Ю.В., в якій Козаченку Ю.В. належить постановка задач та загальне керівництво роботою. Три роботи є авторськими.

Апробація результатів.

Результати дисертації доповідались та обговорювались на конференціях і наукових семінарах:

* другій міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів і молодих вчених “Сучасні задачі прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової математики” (м. Донецьк, 2004);

* десятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (м. Київ, 2004р.);

* міжнародній конференції “Диференціальні рівняння та їх застосування” (м.Київ, 2005р.);

* міжнародній конференції “Сучасні проблеми та нові напрямки в теорії ймовірностей” (м.Чернівці,2005р.);

* міжнародній конференції “Сучасна стохастика: теорія і застосування” (м.Київ, 2006р.);

* засіданнях наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м.Київ, 2004р., 2006р.);

* засіданнях наукового семінару з теорії випадкових процесів при кафедрі теорії ймовірностей та математичного аналізу Київського національного політехнічного університету “КПІ” (Київ, 2005).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано чотири статті [1]-[4] у фахових виданнях, що входять до переліку, затвердженого ВАК України, та п'ять тез доповідей на конференціях [5]-[9].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, семи розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Основний текст складає 119 сторінок, список використаних джерел займає 12 сторінок і включає в себе 88 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою даної роботи та спорідненими питаннями, окреслено основні етапи розвитку теорії випадкових процесів з просторів -субгауссових випадкових величин, висвітлені деякі результати щодо схожих проблем, отриманих іншими авторами.

Другий розділ присвячений дослідженню -субгауссових та строго -субгауссових випадкових процесів. В ньому наведено всі необхідні означення та нерівності для подальшого розгляду.

Означення 2.1. Парна неперервна опукла функція , така що при і така що

називається N-функцією.

Означення 2.2. Нехай - - функція. Перетворенням Юнга-Фенхеля функції або функцією, спряженою до , називається функція , яка визначається рівністю

Умова Q. N-Функція задовольняє умові Q, якщо

Означення 2.3. Нехай -- N-функція, що задовольняє умові Q. Випадкова величина належить простору -субгауссових випадкових величин, породженому N-функцією , якщо існує для всіх та існує константа , така що для всіх виконується нерівність

Будемо позначати простір -субгауссових випадкових величин, визначених на ймовірнісному просторі , через .

Якщо , то простір називається простором субгауссових випадкових величин і позначається .

Простір -субгауссових випадкових величин є Банаховим простором відносно норми

де -- функція, обернена до функції .

Нехай T -- деяка непуста параметрична множина.

Означення 2.4. Випадковий процес називається -субгауссовим, якщо для кожного випадкова величина .

Означення 2.11. Сім'я випадкових величин з простору називається строго -субгауссовою, якщо існує стала така, що для будь-якої скінченої множини та для будь-яких виконується нерівність

Стала називається визначальною сталою сім'ї.

Відомо, що якщо -- сім'я строго -субгауссових випадкових величин з визначальною сталою, то лінійне замикання в середньому квадратичному сім'ї в просторі є строго -субгауссовою сім'єю з тою ж самою визначальною сталою.

Означення 2.12. -субгауссовий випадковий процес називається строго -субгауссовим випадковим процесом, якщо сім'я випадкових величин є строго -субгауссовою.

Теорема 2.6. Нехай -- вимірні простори з -скінченими мірами,. Нехай -- строго -субгауссовий випадковий процес, , -- вимірна функція в. Нехай для кожного існує інтеграл в середньому квадратичному.

Тоді випадковий процес є строго -субгауссовим випадковим процесом.

В третьому розділі розглядається неоднорідне гіперболічне рівняння з нульовими початковими і граничними умовами та -субгауссовою правою частиною. Знайдено достатні умови існування з імовірністю 1 розв'язку цієї задачі у вигляді збіжного за ймовірністю в рівномірній нормі ряду.

Нехай -- деяка стала, функції та -- тричі неперервно диференційовні,; - неперервно диференційовна функція така, що, -- вибірково неперервне з імовірністю 1 строго -субгауссове випадкове поле, при.

Розглядається задача. Розв'язок такої задачі шукається у вигляді де -- ортонормовані з вагою власні функції, а -- відповідні власні значення задачі Штурма-Ліувілля

Теорема 3.2. Нехай -- строго -субгауссове випадкове поле, при. Для того, щоб з імовірністю існував двічі неперервно диференційовний розв'язок поставленої задачі в області (-- деяка константа), який можна зобразити у вигляді збіжного за ймовірністю в нормі ряду достатньо, щоб для деякого виконувались умови:

1) існує таке, що збігається ряд.

2) збігається ряд.

3) існує, що для довільних таких,що та для довільних.

Для кожної фіксованої пари продовжимо функцію як функцію від на всю площину так, щоб вона була періодичною функцією з періодом по та по і щоб виконувались тотожності

Розглянемо частковий випадок нашої задачі: покладемо.

Продовжимо функції та на всю пряму так, щоб вони були періодичними функціями з періодом та щоб виконувались умови.

Теорема 3.3. Нехай -- строго -субгауссове випадкове поле, при.

Для того, щоб з імовірністю існував двічі неперервно диференційовний розв'язок поставленої задачі в області, який можна зобразити у вигляді збіжного за ймовірністю в нормі ряду, достатньо, щоб виконувались умови:

1) У продовженої на всю площину по функції існують неперервні похідні

2) Для для довільного виконується умова.

3) Існують такі та, що для довільних таких, що мають місце нерівності.

В четвертому розділі розглядається частковий випадок гіперболічного рівняння з нульовими початковими та граничними умовами та -субгауссовою правою частиною. Для цього випадку переформульовані результати попереднього розділу. За умови, що права частина рівняння визначається певним чином через однорідне -субгауссове випадкове поле, встановлено умови на спектральну функцію цього поля, що забезпечують існування розв'язку цієї задачі у вигляді рівномірно збіжного за ймовірністю ряду.

Розглядається частковий випадок попередньої задачі:

де -- неперервне з імовірністю 1 строго -субгауссове випадкове поле, при.

Шукатимемо розв'язок цієї задачі у вигляді.

Теорема 4.2. Нехай -- строго -субгауссове випадкове поле, при. Для того, щоб з імовірністю 1 існував двічі неперервно диференційовний розв'язок поставленої задачі в області (-- деяка константа), який можна зобразити у вигляді збіжного за ймовірністю в нормі ряду достатньо, щоб для деякого виконувались умови:

1) існує таке, що збігається ряд.

2) збігається ряд.

3) існує, що для довільних таких,що та для довільних має місце нерівність, де -- деякі сталі, такі, що.

Позначимо.

Для кожної фіксованої пари продовжимо функцію як функцію від на всю площину так, щоб вона була періодичною функцією з періодом по та по і щоб виконувались тотожності .

Теорема 4.3. Нехай -- строго -субгауссове випадкове поле, при. Для того, щоб з імовірністю 1 існував двічі неперервно диференційовний розв'язок поставленої задачі в області (-- деяка константа), який можна зобразити у вигляді збіжного за ймовірністю в нормі ряду достатньо, щоб виконувались умови:

1) У продовженої на всю площину по функції існують неперервні похідні

2) Для для довільного виконується умова для деяких.

3) Існують такі та, що для довільних таких, що має місце нерівність. Нехай тепер, де -- однорідне строго -субгауссове неперервне з імовірністю 1 випадкове поле, при… тобто -- спектральна функція однорідного випадкового поля.

Теорема 4.4. Нехай -- строго -субгауссове випадкове поле, при. Для того, щоб з імовірністю 1 існував двічі неперервно диференційовний розв'язок поставленої задачі в області, який можна зобразити у вигляді збіжного за ймовірністю в нормі ряду, достатньо, щоб існували та такі, що скінчені інтеграли. В п'ятому розділі розглядаються узагальнені розв'язки першої задачі математичної фізики для гіперболічного рівняння зі строго -субгауссовою правою частиною. Отримані умови існування узагальненого розв'язку такої задачі.

Розглядається задача де -- деяка стала, функції та -- двічі неперервно диференційовні,; - неперервно диференційовна функція така, що, -- вибірково неперервне з імовірністю 1 випадкове поле.

Означення 5.2. Випадкове поле називатимемо узагальненим розв'язком поставленої задачі, якщо де і ряд в правій частині збігається за ймовірністю в нормі.

Теорема 5.1. Нехай -- строго -субгауссове вибірково неперервне з імовірністю 1 випадкове поле, при. Для того, щоб було узагальненим розв'язком поставленої задачі достатньо, щоб для деяких та збігався подвійний ряд де. Позначимо.

Для кожної фіксованої пари продовжимо функцію як функцію від на всю площину так, щоб вона була періодичною функцією з періодом по та по і щоб виконувались тотожності

Розглянемо частковий випадок нашої задачі: покладемо.

Продовжимо функції та на всю пряму так, щоб вони були періодичними функціями з періодом та щоб виконувались умови

Теорема 5.2. Нехай -- строго -субгауссове вибірково неперервне з імовірністю випадкове поле з неперервною коваріаційною функцією, при.

Для того, щоб було узагальненим розв'язком поставленої задачі достатньо, щоб для досить малого виконувалась умова: для деяких.

В шостому розділі отримані оцінки розподілу супремуму розв'язку першої крайової задачі математичної фізики для гіперболічного рівняння зі строго -субгауссовою правою частиною з попереднього розділу.

Теорема 6.1. Нехай виконуються умови теореми 3.3. Тоді для всіх, для всіх та всіх де,

В сьомому розділі для гіперболічного рівняння зі строго -субгауссовою правою частиною та нульовими початковими та крайовими умовами побудована модель, що наближає розв'язок задачі з заданими надійністю та точністю в рівномірній нормі.

Розглядається задача

де -- деяка стала, функція -- тричі неперервно диференційовна,; - неперервно диференційовна функція така, що; -- вибірково неперервне з імовірністю 1 строго -субгауссове випадкове поле, при.

Розв'язок задачі записується у вигляді де. Нехай -- модель випадкового поля. Позначимо. Моделлю процесу називатимемо суму.

Означення 7.1. Модель наближає розв'язок поставленої задачі, що зображений у вигляді ряду, із заданою надійністю та точністю в нормі, якщо.

Теорема 7.1. Нехай -- строго -субгауссове випадкове поле, при та для поставленої задачі виконуються умови теореми 3.3. Нехай модель така, що

Тоді випадкове поле є моделлю, що наближає випадкове поле з надійністю та точністю в нормі, якщо та такі, що для деяких виконується умова де -- константа з означення 2.11, визначено в теоремі 6.1, -- власні значення та власні функції відповідної задачі Штурма-Ліувілля.

У висновках сформульовано основні результати дисертаційної роботи.

струна коливання рівняння гіперболічний

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії -субгауссових випадкових процесів і застосуванню цієї теорії до дослідження задач математичної фізики з випадковими факторами.

Знайдено умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв'язку гіперболічного рівняння математичної фізики з нульовими початковими та крайовими умовами та випадковою строго -субгауссовою правою частиною у вигляді рівномірно збіжного за ймовірністю ряду. Для часткового випадку гіперболічного рівняння з правою частиною, що виражається спеціальним чином через однорідне -субгауссове випадкове поле, отримані умови існування розв'язку в термінах спектральної функції цього поля.

Встановлено умови існування узагальненого розв'язку першої крайової задачі математичної фізики для гіперболічного рівняння з випадковою строго -субгауссовою правою частиною.

Для гіперболічного рівняння з нульовими початковими та крайовими умовами та випадковою строго -субгауссовою правою частиною одержано оцінки розподілу супремуму розв'язку. Побудовано модель розв'язку цього рівняння, що наближає його з наперед заданою надійністю та точністю в рівномірній нормі.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Довгай Б.В. Обгрунтування методу Фур'є для неоднорідного гіперболічного рівняння з випадковою правою частиною // Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 5. - С. 616 - 624.

[2] Довгай Б.В. Властивості розв'язку неоднорідного гіперболічного рівняння з випадковою правою частиною // Укр. мат. журн. - 2005. - 57, № 4. - С. 474 - 482.

[3] Довгай Б.В. Розв'язування гіперболічного рівняння з гауссовою правою частиною спеціального вигляду методом Фур'є // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки, - 2005, - Вип. № 3, - сс. 31-36.

[4] Dovgay B.V., Kozachenko Yu.V. The condition for application of Fourie method to the solution of nonhomogeneous string oscillation equation with -subgaussian right hand side // Random operators and stochastic equations, - 2005, - Vol. 13, No. 3, - pp. 281-296.

[5] Довгай Б.В., Козаченко Ю.В. Умови існування та оцінка розв'язку неоднорідного гіперболічного рівняння з випадковою гауссовою правою частиною // Тези конференції “Сучасні проблеми в прикладній статистиці, промисловій, актуарній та фінансовій математиці”, Донецьк 2004. - Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика, - 2003, - №1-2, сс.185-186.

[6] Довгай Б.В. Дослідження розв'язку неоднорідного гіперболічного рівняння з випадковою правою частиною // Матеріали Десятої міжнародної наукової конференція імені академіка М.Кравчука, травень, - 2004, - Київ, - с. 592.

[7] Довгай Б.В., Козаченко Ю.В. Рівняння коливання неоднорідної струни з -субгауссовою правою частиною // Міжнародна конференція “Диференціальні рівняння та їх застосування”, тези доповідей, червень, - 2005, - Київ, - с. 45.

[8] Довгай Б.В. Неоднорідне гіперболічне рівняння з випадковою -субгауссовою правою частиною // International conference “Modern problems and new trends in probability theory”, abstracts, june, - 2005, - Ghernivtsi, - Ukraine, pp. 71-72.

[9] Довгай Б.В. Застосування методу Фур'є для гіперболічного рівняння з -субгауссовою правою частиною // Міжнародна конференція “Сучасна стохастика: теорія і застосування”, матеріали конференції, червень, -2006, - Київ, - сс. 30-31.

АНОТАЦІЯ

Довгай Б.В. Властивості розв'язків крайових задач математичної фізики з випадковими факторами. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 -- теорія ймовірностей і математична статистика. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена застосуванню теорії -субгауссових випадкових процесів до обґрунтування методу Фур'є при розв'язанні крайових задач для гіперболічного рівняння математичної фізики з випадковою правою частиною та нульовими початковими і крайовими умовами. Встановлено достатні умови існування з імовірністю одиниця двічі неперервно диференційовного розв'язку крайової задачі математичної фізики для гіперболічного рівняння з випадковою строго -субгауссовою правою частиною та нульовими початковими і крайовими умовами, а також для часткового випадку рівняння коливання струни з випадковою правою частиною, що виражається спеціальним чином через однорідне строго -субгауссове випадкове поле. Отримано умови існування узагальненого розв'язку гіперболічного рівняння, в правій частині якого стоїть випадкове строго -субгауссове поле. Знайдено оцінки розподілу супремуму розв'язку крайової задачі математичної фізики для гіперболічного рівняння з випадковою строго -субгауссовою правою частиною. Отримані результати застосовуються для побудови моделі розв'язку гіперболічного рівняння з випадковою строго -субгауссовою правою частиною та нульовими початковими і крайовими умовами, яка наближає цей розв'язок із заданою точністю та надійністю в рівномірній нормі.

Ключові слова: строго -субгауссові випадкові процеси, гіперболічне рівняння математичної фізики, моделювання.

АННОТАЦИЯ

Довгай Б.В. Свойства решений краевых задач математической физики со случайными факторами. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 -- теория вероятностей и математическая статистика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2007.

Одним из актуальных направлений теории случайных процессов является изучение свойств случайных рядов в различных функциональных пространствах. Многие случайные процессы могут быть представлены в виде случайных функциональных рядов. Это даёт возможность изучать локальные свойства этих процессов путём исследования свойств их представлений. Результаты, полученные в этой сфере, широко применяются не только в самой теории случайных процессов, а и при решении практических задач математической физики, в которых необходимо учитывать влияние случайных факторов. В частности это касается задач математической физики для уравнения в частных производных со случайной правой частью. Физические постановки подобных задач можно найти в работах Кампе де Ферье.

Диссертационная работа посвящена применению теории -субгауссовских случайных процессов к обоснованию метода Фурье при решении краевых задач для гиперболического уравнения математической физики со случайной правой частью и нулевыми начальными и краевыми условиями.

Получены достаточные условия существования дважды непрерывно дифференцируемого решения задачи математической физики для гиперболического уравнения со случайной строго -субгауссовской правой частью.

Найдены условия существования решения задачи математической физики для частного случая уравнения колебания струны со случайной правой частью, которая выражается специальным образом через однородное строго -субгауссовское случайное поле.

Получены условия существования обобщённого решения гиперболического уравнения со случайной строго -субгауссовской правой частью.

В диссертации найдены оценки распределения супремума решения задачи математической физики для гиперболического уравнения со случайной строго -субгауссовской правой частью.

Полученные результаты применяются для моделирования решений задач математической физики. Для решения гиперболического уравнения со случайной строго -субгауссовской правой частью найдена модель, которая приближает это решение с заданной точностью и надёжностью в равномерной норме.

Ключевые слова: строго -субгауссовские случайные процессы, гиперболическое уравнение математической физики, моделирование.

ANNOTATION

Dovgay B.V. The properties of solutions of boundary-value problems of mathematical physics with random factors. - Manuscript.

The thesis is for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the specialty 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. Kyiv National Taras Shevchenko University, 2007.

The thesis is devoted to the use of the theory of -Sub-Gaussian stochastic processes for justification of application of the Fourier method to boundary-value problems of hyperbolic equation of mathematical physics with random right-hand side and zero initial and boundary conditions. There are found conditions of existence with probability one of twice continuously differentiated solutions of the boundary-value problems of mathematical physics for hyperbolic equation with random strictly -Sub-Gaussian right-hand side and zero initial and boundary conditions and for partial case of string oscillation equation with random right hand side which expressed through homogeneous strictly -Sub-Gaussian random field. The conditions of existence of generalized solution of hyperbolic equation with strictly -Sub-Gaussian random field in right-hand side are obtained. The estimations for distribution of supremum of solution of boundary-value problem of mathematical physics for hyperbolic equation with strictly -Sub-Gaussian random right-hand side are found. The obtained results are applied for construction of model of solution of hyperbolic equation with strictly -Sub-Gaussian random right-hand side and zero initial and boundary conditions which approximate this solution with given reliability and accuracy in uniform norm.

Key words: strictly -Sub-Gaussian random process, hyperbolic equations of mathematical physics, simulation.

Размещено на Allbest.ru

...