Метрична та ймовірнісна теорія чисел, представлених рядами Остроградського 1-го виду

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.01.01 -- математичний аналіз

МЕТРИЧНА ТА ЙМОВІРНІСНА ТЕОРІЯ ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВЛЕНИХ РЯДАМИ ОСТРОГРАДСЬКОГО 1-ГО ВИДУ

БАРАНОВСЬКИЙ Олександр Миколайович

Київ -- 2007

Загальна характеристика роботи

математичний фрактальний множина сингулярний

Актуальність теми.

Об'єктивний розвиток математики привів до того, що в останні роки значно підвищився інтерес до функцій зі складною локальною поведінкою. Глибоке дослідження сингулярних (неперервних функцій, похідна яких дорівнює нулю майже скрізь в розумінні міри Лебега) та недиференційовних в жодній точці функцій ґрунтується на тополого_метричних і фрактальних властивостях множин. Серед яких ніде не щільні та всюди щільні множини нульової міри Лебега і дробової розмірності Хаусдорфа-Безиковича, ніде не щільні локально однорідні (неоднорідні) множини додатної міри Лебега тощо.

Формально просто задавати такі істотні для функцій, мір та розподілів ймовірностей множини дозволяє використання різних способів подання дійсних чисел. Сьогодні в математиці застосовують різні системи числення (способи подання та зображення) дійсних чисел. Це s-адичні розклади (двійкова, десяткова тощо системи числення), ланцюгові дроби, -зображення, медіантне, фібоначчієве подання та ін. Кожний спосіб формального зображення дійсних чисел має свій алфавіт A (набір символів, цифр) і породжує свою “геометрію”: систему подрібнюючих розбиттів прямої (відрізка) на циліндричні множини різних рангів. Нехай -- циліндрична множина рангу m з основою , тобто множина всіх дійсних чисел, що мають зображення, на перших m місцях якого фіксовані цифри , , ј, відповідно, а на решті місць -- які завгодно. Тоді відношення

де l -- міра Лебега, є додатною дійсною функцією змінних , , ј, , c і називається основним метричним відношенням.

Наприклад, для s-адичних розкладів дійсних чисел це відношення дорівнює і не залежить ні від c, ні від m, ні від набору , , ј, .

Для -зображення дійсних чисел (М. В. Працьовитий, “Фрактальний підхід у дослідженнях сингулярних розподілів”, 1998) з алфавітом , де nі2 -- фіксоване натуральне число, маємо

для будь-якого mОN (де N позначає множину натуральних чисел).

Для подання чисел ланцюговими дробами основне метричне відношення має вигляд

де -- знаменник підхідного дробу порядку m ланцюгового дробу . І подвійна нерівність

має місце для будь-яких натуральних , , ј, і c.

М. В. Остроградський в 1861 році розглянув два алгоритми розвинення чисел у знакозмінні ряди вигляду

(1)

де і для будь-якого nОN, та

де і для будь-якого nОN. Але не встиг опублікувати жодної роботи з цього питання. Його короткі зауваження було знайдено в рукописах і розшифровано Є. Я. Ремезом (див. статтю в журналі “Успехи математических наук”, 1951).

Незалежно від М. В. Остроградського аналогічні питання вивчали В. Серпінський (W. Sierpiski) у 1911 році та Т. А. Пірс (T. A. Pierce) у 1929 році.

В англомовній літературі ряди вигляду (1) називають рядами Пірса або розкладами Пірса (Pierce expansion). Ми підтримуємо вітчизняну традицію і називаємо розклади такого вигляду рядами Остроградського 1-го виду. Х. Парадіс (J. Paradнs), Л. Бібілоні (Ll. Bibiloni) і П. Віадер (P. Viader) у своїх статтях стверджують, що “першими математиками, що звернули увагу на ці розклади, були Ламберт (1770) і Лагранж (1798)”. У роботі М. Штерна (M. Stern) 1848 року доведено, що сума нескінченного ряду вигляду (1) є ірраціональним числом. В книзі Ю. Пузини (J. Puzyna) “Teorya funkcyj analitycznych” 1898 року теж є згадка про можливість розвинення чисел у ряди вигляду (1).

Б. В. Гнєденко у примітках редактора до книги О. Я. Хінчина “Цепные дроби” зауважує, що “два цікавих алгоритми для зображення ірраціональних чисел були запропоновані М. В. Остроградським незадовго до смерті? алгоритми М. В. Остроградського в деяких випадках дають наближення кращі, ніж ланцюгові дроби. На жаль, до цього часу їх детальне вивчення, зокрема і обчислювальні аспекти, не здійснене” (1961).

Роботи Дж. Шалліта (J. O. Shallit) (1984), Х. Парадіса, П. Віадера і Л. Бібілоні (1998, 1999) присвячені питанням зображення певних класів ірраціональних чисел у вигляді рядів Остроградського (розкладів Пірса).

Дж. Шалліт і учні (1986, 1996), П. Ердьош (P. Erdos) і Дж. Шалліт (1991), А. Кнопфмахер (A. Knopfmacher) і М. Е. Мейс (M. E. Mays) (1995) вивчали питання оцінки довжини скінченного розкладу, що зображає раціональне число.

Низка робіт П. І. Боднарчука і В. Ф. Марка (1974), П. І. Боднарчука і В. Я. Скоробогатька (1974), Ю. В. Мельничука (1974, 1976, 1991) присвячена порівнянню рядів Остроградського з іншими відомими способами зображення чисел: ланцюговими дробами, рядами Енгеля тощо, а також питанням узагальнення алгоритму Остроградського.

Суть метричної теорії чисел полягає в дослідженні міри (Бореля, Лебега тощо) множин чисел, заданих властивостями їх зображень. Для s-адичних та ланцюгових розкладів такі теорії є достатньо розвинутими, чого не можна сказати про розклади чисел в ряди Остроградського. Зауважимо, що деякими задачами метричної теорії рядів Остроградського 1-го виду займалися К. Г. Валєєв і Є. Д. Злєбов (1975), Дж. Шалліт (1986), П. Віадер, Л. Бібілоні, Х. Парадіс (1999).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Робота виконана у рамках досліджень математичних об'єктів зі складною локальною будовою, що проводяться на кафедрі вищої математики Національного педагогічного університету імені М. П. Драгоманова.

Автор дисертації брав участь у розробці таких наукових проектів:

*держбюджетних тем “Фрактальна геометрія і її місце в професійній підготовці вчителя” (номер держ. реєстрації 0101U002748) та “Дослідження фрактальних об'єктів алгебри, геометрії, функціонального аналізу і теорії ймовірностей” (номер держ. реєстрації 0104U004017);

*наукового проекту “Топологічні та метричні характеристики атракторів динамічних систем, що породжуються еволюційними задачами” (грант Державного фонду фундаментальних досліджень Міністерства освіти і науки України № 01.07/00081);

*українсько-німецького наукового проекту “Singular probability distributions and transformations preserving the fractal dimensions” (грант DFG 436 UKR 113/80).

Мета і завдання дослідження.

Метою роботи є розробка основ метричної теорії дійсних чисел, представлених рядами Остроградського 1-го виду, та застосування отриманих результатів до дослідження математичних об'єктів зі складною локальною будовою (фрактальних множин, сингулярних та недиференційовних функцій, сингулярно неперервних мір).

Основними завданнями дослідження є такі:

*Дослідити топологічні, метричні та фрактальні властивості множини неповних сум ряду Остроградського 1-го виду; вивчити структуру (тобто вміст дискретної, абсолютно неперервної та сингулярної компонент) і тополого_метричні та фрактальні властивості функції розподілу випадкової неповної суми ряду Остроградського 1-го виду, поведінку модуля її характеристичної функції на нескінченності.

*Дослідити “геометрію” представлення чисел рядами Остроградського 1-го виду: встановити основне метричне відношення та отримати його оцінки.

*Знайти умови нуль-мірності (додатності міри) одного класу замкнених ніде не щільних множин чисел із заданими умовами на їх елементи ряду Остроградського 1-го виду.

*Дослідити структуру і тополого-метричні та фрактальні властивості функції розподілу випадкової величини, заданої розподілами різниць послідовних елементів її представлення рядом Остроградського 1-го виду.

*Дослідити диференціальні та фрактальні властивості однієї функції, заданої перетворювачем елементів ряду Остроградського 1-го виду її аргумента в двійкові цифри значення функції.

Методи дослідження.

В роботі використовувалися методи математичного аналізу, теорії функцій дійсної змінної, теорії міри, метричної теорії чисел, теорії ймовірностей, фрактального аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів.

Основними науковими результатами, що виносяться на захист, є такі:

*Доведено, що множина неповних сум ряду Остроградського 1-го виду є ніде не щільною досконалою множиною нульової міри Лебега та нульової розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

*Знайдено вираз характеристичної функції випадкової неповної суми ряду Остроградського 1-го виду; досліджено поведінку модуля характеристичної функції цієї випадкової величини на нескінченності.

*Досліджено “геометрію” розвинень чисел в ряди Остроградського 1-го виду: отримано основне метричне відношення та його оцінки, які допомагають розв'язувати задачі про міру Лебега множин чисел з умовами на елементи зображення.

*Знайдено умови нуль-мірності (додатності міри) певних класів замкнених ніде не щільних множин чисел, заданих умовами на елементи їх розвинення в ряд Остроградського 1-го виду.

*Знайдено вираз функції розподілу випадкової величини, заданої розподілами незалежних різниць послідовних елементів її представлення рядом Остроградського 1-го виду та вираз її похідної. Знайдено критерій дискретності (неперервності) розподілу цієї випадкової величини та умови сингулярності канторівського типу.

*Вивчено диференціальні та фрактальні властивості однієї функції, заданої перетворювачем елементів ряду Остроградського 1-го виду її аргумента в двійкові цифри значення функції. Доведено її неперервність в ірраціональних точках та ніде не диференційовність. Знайдено розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини значень цієї функції.

Отримані результати є новими і наведені в дисертації з доведеннями.

Практичне значення одержаних результатів.

Робота має теоретичний характер. Отримані результати є безперечним внеском у теорію міри, метричну теорію чисел, теорію функцій дійсної змінної та теорію сингулярних розподілів ймовірностей. Запропоновані в дисертації методи можуть бути корисними при дослідженні математичних об'єктів зі складною локальною будовою, заданих за допомогою інших представлень чисел з нескінченним алфавітом, зокрема рядів Остроградського 2-го виду.

Особистий внесок здобувача.

Основні результати, що виносяться на захист, отримані автором самостійно. Зі статей, опублікованих у співавторстві, до дисертації включено лише ті результати, що належать автору.

Апробація результатів дисертації.

Основні результати дослідження доповідалися на наукових конференціях різного рівня і наукових семінарах:

*Український математичний конгрес, Київ, 21-23 серпня 2001 р.;

*Міжнародна конференція пам'яті В. Я. Буняковського (1804-1889), Київ, 16-21 серпня 2004 р.;

*International Conference “Modern Problems and New Trends in Probability Theory”, Chernivtsi, June 19-26, 2005;

*International Conference “Modern Stochastics: Theory and Applications”, Kyiv, June 19-23, 2006;

*Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, Київ, 15-17 травня 1997 р., 14-16 травня 1998 р., 11-14 травня 2000 р., 13-15 травня 2004 р., 18-20 травня 2006 р.;

*семінар відділу теорії функцій Інституту математики НАН України (керівник: чл.-кор. НАН України О. І. Степанець);

*семінар “Сучасний аналіз” (керівники: докт. фіз.-мат. наук, проф. Ю. Г. Кондратьєв, докт. фіз.-мат. наук, проф. І. О. Шевчук);

*Київський семінар з функціонального аналізу (керівники: акад. НАН України Ю. М. Березанський, чл.-кор. НАН України М. Л. Горбачук);

*семінар “Оператори математичної фізики” (керівник: акад. НАН України Ю. М. Березанський);

*семінар відділу теорії динамічних систем Інституту математики НАН України (керівник: акад. НАН України О. М. Шарковський);

*семінар з фрактального аналізу (керівник: докт. фіз.-мат. наук, проф. М. В. Працьовитий);

*семінар відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту прикладної математики Боннського університету (керівник: проф. С. Альбеверіо).

Публікації.

Основні результати роботи викладено в 6 статтях [1, 2, 3, 4, 5, 6], опублікованих у виданнях, що внесені до переліку наукових фахових видань України, та додатково відображено в матеріалах конференцій [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15].

Структура дисертації.

Робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків. Обсяг дисертації 138 сторінок машинописного тексту, список використаних джерел (121 найменувань) та список публікацій автора (23 найменування) займають 17 сторінок.

Основний зміст роботи

В розділі 1 вводиться поняття ряду Остроградського 1-го виду, елементів та підхідних чисел ряду Остроградського 1-го виду.

Означення 1.1 Рядом Остроградського 1-го виду називається скінченний або нескінченний вираз вигляду

(1.1)

де -- натуральні числа і для будь-якого nОN. Числа називаються елементами ряду Остроградського 1-го виду.

У п. 1.2 доведено деякі властивості підхідних чисел. В п. 1.3 доведена теорема про можливість і єдиність подання дійсного числа у вигляді ряду Остроградського 1-го виду.

Теорема 1.3 Кожне дійсне число xО(0,1) можна подати у вигляді ряду Остроградського 1-го виду (1.1). Причому, якщо число x ірраціональне, то це можна зробити єдиним чином і вираз (1.1) має при цьому нескінченне число доданків; якщо ж число x раціональне, то його можна подати у вигляді (1.1) зі скінченним числом доданків двома різними способами:

П. 1.4 присвячений дослідженню множини неповних сум ряду Остроградського 1-го виду та випадкової неповної суми ряду Остроградського 1-го виду. Сума ряду

(1.9)

називається неповною сумою заданого ряду Остроградського (1.1) із сумою r. Вираз (1.9) і його суму s формально позначатимемо як .

Вивчаються тополого-метричні та фрактальні властивості множини всіх неповних сум ряду (1.1).

Теорема 1.4 Множина неповних сум ряду (1.1) є ніде не щільною досконалою множиною нульової міри Лебега та нульової розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

Розглядається випадкова величина

(1.16)

де -- послідовність незалежних випадкових величин, які набувають значень 0 і 1 з ймовірностями і відповідно.

Згідно з теоремою Джессена-Вінтнера випадкова величина y має чистий розподіл: чисто дискретний, чисто абсолютно неперервний, чисто сингулярний (відносно міри Лебега).

Теорема 1.6 Випадкова величина y має дискретний розподіл тоді і тільки тоді, коли

Наслідок 1.2 Для того, щоб y мала неперервний розподіл, необхідно і достатньо, щоб M=0.

Теорема 1.7 Якщо M=0, то розподіл y є сингулярним розподілом канторівського типу з аномально фрактальним спектром.

Лема 1.7 Характеристична функція випадкової величини y, визначеної рівністю (1.16), має вигляд

(1.19)

а її модуль набуває вигляду

Теорема 1.8 Має місце рівність

Основною частиною дисертації є розділ 2, в якому розв'язано низку задач метричної теорії дійсних чисел, представлених рядами Остроградського 1-го виду.

В п. 2.1 вводиться поняття циліндричної множини рангу n з основою , що породжена поданням чисел рядами Остроградського 1-го виду, та наводяться деякі властивості циліндричних множин. У п. 2.2.2 вираз (1.1) записується у вигляді

(2.4)

де -- натуральні числа, що визначаються рівностями

Таким чином, відповідно до теореми кожне дійсне число xО(0,1) можна подати у вигляді (2.4). Вираз (2.4) називається _представленням, а числа -- _символами числа xО(0,1).

Після цього вводиться поняття циліндричної множини рангу n з основою , що породжена _представленням чисел, та наводяться деякі властивості циліндричних множин. Через позначається інтервал з тими ж кінцями, що й відрізок , а через -- довжина циліндричної множини.

Лема 2.6 Відношення довжин циліндричних множин та задовольняє рівність

(2.5)

де . Крім того,

(2.6)

і для mіs-1 має місце нерівність

(2.7)

Добре відомо, що для циліндричних множин , породжених представленням чисел ланцюговими дробами, подвійна нерівність

має місце для будь-яких натуральних , , ј, і s. Для _представлення маємо (a®Ґ) і лема показує принципову відмінність основних метричних співвідношень представлення чисел рядами Остроградського 1-го виду (-представлення) і представлення чисел ланцюговими дробами.

Теорема 2.3 Міра Лебега множини



дорівнює нулю.

З цієї теореми отримуємо нормальну властивість дійсних чисел, тобто властивість, яку мають майже всі (у розумінні міри Лебега) числа.

Наслідок 2.9 Міра Лебега множини дорівнює 1. Тобто для майже всіх (у розумінні міри Лебега) чисел xО[0,1] нерівність

виконується принаймні для одного натурального m.

П. 2.3 присвячений вивченню тополого-метричних властивостей множини , яка з точністю до зчисленної множини є множиною усіх ірраціональних чисел, -символи яких задовольняють умову для всіх n?N. Зокрема, позначаємо цю множину через , коли всі множини однакові.

Теорема 2.4 Якщо множина містить елементів і

то міра Лебега множини дорівнює нулю.

Нехай M -- множина всіх чисел [0,1] з обмеженими _символами, тобто x?M тоді і тільки тоді, коли існує така константа , що для всіх k?N.

Теорема 2.5 Міра Лебега множини M всіх чисел відрізка [0,1] з обмеженими -символами дорівнює нулю.

Наслідок 2.11 Майже всі (у розумінні міри Лебега) числа відрізка [0,1] задовольняють умову

(2.12)

Теорема 2.6 Якщо і ряд

розбігається, то міра Лебега множини дорівнює нулю.

Наслідок 2.14 Якщо для всіх натуральних k, то міра Лебега множини дорівнює нулю.

Теорема 2.7 Якщо -- арифметична прогресія з першим членом та різницею dі2, то міра Лебега множини дорівнює нулю.

Наслідок 2.15 Якщо або , то міра Лебега множини дорівнює нулю.

Теорема 2.8 Якщо , де -- арифметична прогресія з першим членом та різницею dі2, то міра Лебега множини дорівнює нулю.

Теорема 2.9 Нехай і виконуються умови:

1.Ряд є збіжним;

2.Існує таке, що .

Тоді множина має додатну міру Лебега, причому

(2.15)

Умови теореми виконуються, якщо або , де .

Нехай -- множина, аналогічна множині , тобто вона є замиканням множини всіх ірраціональних чисел, елементи ланцюгового дробу яких задовольняють умову для всіх nОN. Якщо, наприклад, для всіх nОN, то міра Лебега множини дорівнює 0 (див., наприклад, роботи М. В. Працьовитого). Але відповідна множина має додатну міру Лебега. Таким чином, теорема показує ще одну принципову відмінність метричної теорії рядів Остроградського та метричної теорії ланцюгових дробів.

В розділі 3 вивчаються властивості функції розподілу випадкової величини з незалежними різницями послідовних елементів ряду Остроградського 1-го виду, тобто випадкової величини

(3.1)

-символи якої є незалежними випадковими величинами, що набувають значень 1, 2, ј, m, ј з ймовірностями , , ј, , ј відповідно.

Теорема 3.1 Випадкова величина x має дискретний розподіл тоді і тільки тоді, коли

(3.3)

Причому у випадку дискретності атомами розподілу випадкової величини x є ті і тільки ті xО[0,1], які відрізняються від

лише скінченною кількістю -символів , для яких .

Теорема 3.2 Випадкова величина x має чистий розподіл, тобто чисто дискретний, чисто сингулярний або чисто абсолютно неперервний.

Теорема 3.3 Якщо нескінченний добуток в (3.3) розбігається до 0 і виконується одна з умов

1.k-й стовпчик матриці містить додатних елементів і

2.для будь-якого стовпчика матриці маємо при і при , крім того,

то випадкова величина x має сингулярний розподіл канторівського типу.

В розділі 4 досліджуються деякі функції зі складною локальною будовою, задані перетворювачами елементів ряду Остроградського 1-го виду.

В п. 4.2 вивчається функція, задана перетворювачем елементів ряду Остроградського 1-го виду аргумента у двійкові цифри значення функції. Нехай ірраціональне число x відрізка [0,1] задане своїм рядом Остроградського:

Розглянемо функцію y=r(x), де y визначається своїм двійковим дробом:

цифри якого обчислюються за правилом

(4.4)

де позначає індикатор множини парних чисел. Для раціонального числа з відрізка [0,1] покладемо

(4.5)

де визначаються за правилом (4.4).

Функція r є певним аналогом неперервної ніде не диференційовної функції, запропонованої та дослідженої М. В. Працьовитим.

Теорема 4.5 Множиною значень E(r) функції r є множина чисел відрізка [0,1], які можна представити двійковим дробом без використання комбінації цифр 00, тобто

Множина типу вивчалася раніше: в роботі М. В. Працьовитого доведено, що її розмірність Хаусдорфа-Безиковича дорівнює

Теорема 4.7 Функція r є неперервною в кожній ірраціональній і розривною в кожній раціональній точці відрізка [0,1].

Теорема 4.8 Функція r є ніде не диференційовною.

Висновки

Ряди Остроградського 1-го виду дозволяють розширити можливості формального задання і аналітичного дослідження фрактальних множин, сингулярних мір, недиференційовних функцій та інших об'єктів зі складною локальною будовою.

В дисертаційній роботі отримано такі результати.

*Розроблено основи метричної теорії чисел, представлених рядами Остроградського 1-го виду. Зокрема, досліджено геометрію розвинень чисел в ряди Остроградського 1-го виду, отримано основне метричне відношення та його оцінки, які допомагають у розв'язанні задач про міру Лебега множин чисел з умовами на елементи зображення.

*Знайдено умови нуль-мірності (додатності міри) певних класів замкнених ніде не щільних множин чисел, заданих умовами на елементи їх розвинення в ряд Остроградського 1-го виду.

*Вивчено тополого-метричні та фрактальні властивості множини неповних сум заданого ряду Остроградського 1-го виду та розподілів ймовірностей на ній.

*Досліджено структуру та властивості випадкової величини з незалежними різницями послідовних елементів її представлення рядом Остроградського 1-го виду.

*Вивчено диференціальні та фрактальні властивості однієї функції, заданої перетворювачем елементів ряду Остроградського 1-го виду її аргумента в двійкові цифри значення функції.

Як виявилося, існують принципові відмінності метричної теорії рядів Остроградського та метричної теорії ланцюгових дробів. Зокрема, існує клас замкнених ніде не щільних множин додатної міри Лебега, описаних в термінах елементів ряду Остроградського. В той же час, аналогічні множини, задані у термінах елементів ланцюгового дробу, мають нульову міру Лебега.

Проведені дослідження лежать в руслі сучасних математичних досліджень об'єктів зі складною локальною поведінкою (будовою), пов'язаних з ланцюговими дробами, рядами Люрота, ?-розкладами тощо, інтерес до яких у світі достатньо високий. Отримані результати та запропоновані методи можуть бути корисними при розв'язанні задач метричної теорії чисел, представлених рядами Остроградського 2-го виду або іншими зображеннями з нескінченним алфавітом.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1.Барановський О. М. Ряди Остроградського як засіб аналітичного задання множин і випадкових величин // Фрактальний аналіз та суміжні питання. -- Київ: Ін-т математики НАН України; Нац. пед. ун-т імені М. П. Драгоманова, 1998. -- № 1. -- С. 91-102.

2.Барановський О. М. Задання ніде не диференційовних функцій за допомогою представлення чисел рядами Остроградського // Фрактальний аналіз та суміжні питання. -- Київ: Ін-т математики НАН України; Нац. пед. ун-т імені М. П. Драгоманова, 1998. -- № 2. -- С. 215-221.

3.Барановський О. М. Деякі задачі метричної теорії чисел, представлених рядами Остроградського 1-го виду // Наукові записки НПУ імені М. П. Драгоманова. Фізико-математичні науки. -- Київ: Нац. пед. ун-т імені М. П. Драгоманова, 2002. -- № 3. -- С. 391-402.

4.Працьовитий М. В., Барановський О. М. Використання рядів Остроградського для аналітичного задання розподілів випадкових величин і відображень // Динамічні системи: Праці Українського математичного конгресу-2001. -- Київ: Ін-т математики НАН України, 2003. -- С. 59-76.

5.Працьовитий М. В., Барановський О. М. Властивості розподілів випадкових величин з незалежними різницями послідовних елементів ряду Остроградського // Теорія ймовір. та матем. статист. -- 2004. -- № 70. -- С. 131-144.

6.Працьовитий М. В., Барановський О. М. Про міру Лебега деяких множин чисел, визначених властивостями їх розкладу в ряд Остроградського // Науковий часопис НПУ імені М. П. Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. -- Київ: Нац. пед. ун-т імені М. П. Драгоманова, 2004. -- № 5. -- С. 217-227.

7.Працьовитий М. В., Барановський О. М. Ряди Остроградського та їх використання для дослідження математичних об'єктів зі складною локальною будовою // Теорія ймовірностей і математична статистика: Український математичний конгрес, Київ, 21-23 серпня 2001 р.: Тези допов. -- Київ: 2001. -- С. 26.

8.Барановський О. Перший алгоритм Остроградського і випадкові величини, задані розподілами елементів ряду Остроградського 1-го виду // Міжнар. конф. пам'яті В. Я. Буняковського (1804-1889), Київ, 16-21 серпня 2004 р.: Тези допов. -- Київ: Ін-т математики НАН України, 2004. -- С. 28.

9.Baranovskyi O. Properties of the distribution of the random variable with independent -symbols // International Conf. “Modern Problems and New Trends in Probability Theory”, Chernivtsi, June 19-26, 2005: Abstracts. -- Vol. I. -- Kyiv: Institute of Mathematics NAS Ukraine, 2005. -- P. 24.

10.Pratsiovytyi M., Baranovskyi O. On Lebesgue measure of sets of numbers defined by the properties of their Ostrogradsky series // International Conf. “Modern Stochastics: Theory and Applications”, Kyiv, June 19-23, 2006: Abstracts. -- Kyiv: Kyiv National Taras Shevchenko University, 2006. -- P. 224.

11.Барановський О. М. Випадкова величина, елементи розкладу якої в ряд Остроградського є випадковими величинами, що утворюють ланцюг Маркова // Матеріали 6-ї Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука, Київ, 15-17 травня 1997 р. -- Київ: НТУУ “КПІ”, 1997. -- С. 27.

12.Барановський О. М. Ряди Остроградського як засіб аналітичного задання множин і випадкових величин // Матеріали 7-ї Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука, Київ, 14-16 травня 1998 р. -- Київ: НТУУ “КПІ”, 1998. -- С. 37.

13.Барановський О. М., Дмитренко С. О. Використання різних способів представлення чисел для задання фрактальних розподілів // Матеріали 8-ї Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука, Київ, 11-14 травня 2000 р. -- Київ: НТУУ “КПІ”, 2000. -- С. 408.

14.Барановський О. М. Деякі задачі метричної теорії чисел, представлених рядами Остроградського 1-го виду // Матеріали 10-ї Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука, Київ, 13-15 травня 2004 р. -- Київ: Задруга, 2004. -- С. 568.

15.Працьовитий М. В., Барановський О. М. Про міру Лебега деяких множин чисел, визначених властивостями їх розкладу в ряд Остроградського // Матеріали 11-ї Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука, Київ, 18-20 травня 2006 р. -- Київ: Задруга, 2006. -- С. 740.

Размещено на Allbest.ru

...