Системы счисления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа

Системы счисления

Зарождение и история развития систем счисления

счисление позиционный целый число

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет, а лишь его зародыш. Впоследствии способность различать друг от друга небольшие совокупности развивалась: возникли слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». Последнее слово длительное время обозначало также неопределенно большое количество.

С усложнением хозяйственной деятельности людей понадобилось вести счет в более обширных пределах. Для этого человек пользовался окружавшими его предметами, как инструментами счета: он делал зарубки на палках и на деревьях, завязывал узлы на веревках, складывал камешки в кучки и т.п. Это удобно, так как сразу визуально определяется количество знаков и сопоставляется с количеством предметов, которые эти знаки обозначают. Счёт на счетных палочках в первом классе - это отзвук той далекой эпохи. Кстати, от счета с помощью камешков ведут свое начало различные усовершенствованные инструменты, как, например, русские счеты, китайские счеты («сван-пан»), древнеегипетский «абак» (доска, разделенная на полосы, куда клались жетоны). Аналогичные инструменты существовали у многих народов. Более того, в латинском языке понятие «счет» выражается словом «calculatio» (отсюда наше слово «калькуляция»); а происходит оно от слова «calculus», означающего «камешек».

Особо важную роль играл природный инструмент человека - его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах.

Поэтому, вполне естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились на основе числа 10 - по количеству пальцев на руках; у некоторых народов возникали также названия чисел на основе числа 5 - по количеству пальцев на одной руке или на основе числа 20 - по количеству пальцев на руках и ногах.

На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков и лишь позднее дошли до сотни. У многих народов число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение.

На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для числа 100. Вместе с тем слово «сто» приобретает смысл неопределенно большого числа. Такой же смысл приобретают потом последовательно числа тысяча, десять тысяч (в старину это число называлось «тьма»), миллион.

На современном этапе границы счета определены термином «бесконечность», который не обозначает, какое либо конкретное число. В современном русском языке, а также в языках других народов названия всех чисел до миллиона составляются из 37 слов, обозначающих числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 , 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 (например, восемьсот пятнадцать тысяч триста девяносто четыре). В свою очередь названия этих 37 чисел, как правило, образованы из названий чисел первого десятка (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и чисел 10, 100, 1000 (например, 18 = восемь на десять, 30 = тридесять и т.д.). В основе этого словообразования лежит число десять, и поэтому наша система наименований называется десятичной системой счисления. Из упомянутого правила в разных языках имеются различные исключения, объясняющиеся историческими особенностями развития счета. В русском языке единственным исключением является наименование «сорок». Это исключение можно поставить в связь с тем, что число 40 играло некогда особую роль, означая неопределенно большое количество. В тюркских языках (узбекском, казахском, татарском, башкирском, турецком и др.) исключение составляют наименования чисел 20, 30, 40, 50, тогда как названия чисел 60, 70, 80, 90 образованы из наименований для 6, 7, 8, 9. Во французском языке сохранились недесятичные названия чисел 20 и 80, причем 80 именуется quatrevingt, т.е. «четыре двадцать». Здесь мы имеем остаток древнего двадцатеричного счисления (по числу пальцев на руках и ногах). В латинском языке наименование числа 20 тоже недесятичное (viginti). Наименования чисел 18 и 19 образованы из названия 20 с помощью вычитания: 20-2 и 20-1 (duodeviginti, undeviginti, т.е. «два от двадцати», «один от двадцати»).

Позиционные и непозиционные системы счисления

Системой счисления называют систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимнооднозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами.

Системы счисления делятся на два класса позиционные и непозиционные. В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, представляющих это число. Простейшая, но абсолютно неудобная система счисления. Основана на единственной цифре - единице (палочке). Позволяет записывать только натуральные числа. Чтобы представить число в этой системе счисления нужно записать столько палочек, каково само число. Использовалась нецивилизованными племенами, потребности которых в счете, как правило, не выходили за рамки первого десятка. В Римской системе счисления с помощью семи цифр - I=1 , V=5 , X=10 , L=50 , C=100 , D=500 , M=1000 - можно весьма успешно и довольно выразительно представлять натуральные числа в диапазоне до нескольких тысяч.

Исторически первыми системами счисления были именно непозиционные системы. Одним из основных недостатков является трудность записи больших чисел. Запись больших чисел в таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно велик. В вычислительной технике непозиционные системы не применяются, но продолжают ограниченно использоваться для указания порядковых числительных (часов, столетий, номеров съездов или конференций и т.п.).

Позиционная система счисления - система счисления, в которой вес цифры меняется с изменением положения цифры в числе, но при этом полностью определяется написанием цифры и местом, которое она занимает. В частности, это означает, что вес цифры не зависит от значений окружающих ее цифр. Такая система счисления основывается на том, что некоторое число n единиц ( основание системы счисления ) объединяются в одну единицу второго разряда, n единиц второго разряда объединяются в одну единицу третьего разряда и т. д. Основанием систем счисления может быть любое число, больше единицы. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления ( с основанием n=10 ). В ней для обозначения первых десяти чисел служат цифры 0,1,…,9. Несмотря на кажущуюся естественность такой системы, она явилась результатом длительного исторического развития. Возникновение десятичной системы счисления связывают со счетом на пальцах. В отличии от непозиционной системы счисления, позиционная система счисления применяется в ЭВМ.

Двоичная система счисления в настоящий момент наиболее употребительная в информатике, вычислительной технике и смежных отраслях, использующая две цифры - 0 и 1. Для представления этих чисел в цифровых системах достаточно иметь электронные схемы, которые могут принимать два состояния, четко различающиеся значением какой-либо электрической величины - потенциала или тока. Одному из значений этой величины соответствует цифра 0, другому 1. Относительная простота создания электронных схем с двумя электрическими состояниями и привела к тому, что двоичное представление чисел доминирует в современной цифровой технике. При этом 0 обычно представляется низким уровнем потенциала, а 1 - высоким уровнем. Такой способ представления называется положительной логикой.

История развития двоичной системы счисления - одна из ярких страниц в истории арифметики. Официальное «рождение» двоичной арифметики связывают с именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего статью, в которой были рассмотрены правила выполнения всех арифметических операций над двоичными числами. До начала тридцатых годов XX века двоичная система счисления оставалась вне поля зрения прикладной математики. Потребность в создании надежных и простых по конструкции счетных механических устройств и простота выполнения действий над двоичными числами привели к более глубокому и активному изучению особенностей двоичной системы как системы, пригодной для аппаратной реализации. Первые двоичные механические вычислительные машины были построены во Франции и Германии. Утверждение двоичной арифметики в качестве общепринятой основы при конструировании ЭВМ с программным управлением состоялось под несомненным влиянием работы А. Бекса, Х. Гольдстайна и Дж. Фон Неймана о проекте первой ЭВМ с хранимой в памяти программой, написанной в 1946 году. В этой работе наиболее аргументировано обоснованы причины отказа от десятичной арифметики и перехода к двоичной системе счисления как основе машинной арифметики.

Восьмеричная система счисления использует восемь цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и 7. Широко использовалась в программировании в 1950-70-ые гг. К настоящему времени практически полностью вытеснена шестнадцатеричной системой счисления, однако функции перевода числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно сохраняются в микрокалькуляторах и многих языках программирования.

Десятеричная система счисления использует десять обычных цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Существует массовое заблуждение, будто именно десятичная система счисления является наиболее употребительным способом записи чисел. Между тем, более внимательный анализ правил чтения и записи чисел приводит к другому выводу: система счисления, которой мы обычно пользуемся, фактически является двойной, так как имеет основания - 10 и 1000. В частности, в русском языке известны названия только для первых семи разрядов десятичной системы счисления ( 1 - единица, 10 - десяток, 100 - сотня, 1000 - тысяча, 10000 - тьма, 100000 - легион, 1000000 - миллион ), но предпоследние два из них (легион и тьма) давно вышли из употребления, а соседние с ними (миллион и тысяча) - названия классов, а не только разрядов. Итак, фактически в русском языке остались лишь два самостоятельных названия для десятичных разрядов: десяток и сотня. В других языках - аналогичная ситуация.

Шестнадцатеричная система счисления использует шестнадцать цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 в их обычном смысле, а затем A=10, B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15 . Также использует символы «+» и «-» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. С другой стороны, в некоторых языках сохранились и следы использования этой системы счисления в прошлом. Например, в романских языках (испанском, французском и др.) числительные от 11 до 16 образуются по одному правилу, а от 17 до 19 - по другому. А в русском языке известен пуд, равный 16 килограммам.

Представление чисел с фиксированной и плавающей запятой

При представлении числа в двоичном коде с цифрами 0,1 в каждом разряде записываются цифры 0 или 1. Так как в ЭВМ «запись» числа осуществляется с помощью технических устройств, то для представления его в такой форме необходимо располагать устройствами с двумя надежно различными состояниями, которым могут быть сопоставлены значения 0 или 1. Комбинация таких устройств, число которых соответствует количеству разрядов записываемого числа, может быть использована для представления чисел в ЭВМ.

В качестве таких устройств, могут быть использованы триггеры. Набор триггеров, предназначенных для представления чисел в ЭВМ, а также для выполнения над ними некоторых логических преобразований, называется регистром. Разумеется, число разрядов, отведенное для записи числа, соответствующее числу триггеров, в ЭВМ всегда конечно. Выбор количества разрядов для представления чисел в ЭВМ является одним из самых ответственных этапов конструирования вычислительной машины и обуславливается целым рядом требований, среди которых одно из важнейших - необходимая точность вычислений.

В ЭВМ применяются две основные формы представления чисел: с плавающей запятой и с фиксированным положением запятой. При представлении чисел с фиксированной запятой положение запятой закрепляется в определенном месте относительно разрядов числа и сохраняется неизменным для всех чисел, изображаемых в данной разрядной сетке. Обычно запятая фиксируется перед старшим разрядом или после младшего. В первом случае в разрядной сетке могут быть представлены только числа, которые по модулю меньше 1, во втором - только целые числа.

Использование представления чисел с фиксированной запятой позволяет упростить схемы машины, повысить ее быстродействие, но представляет определенные трудности при программировании. В настоящее время представление чисел с фиксированной запятой используется как основное только в микроконтроллерах. В универсальных ЭВМ основным является представление чисел с плавающей запятой. Широкий диапазон представления чисел с плавающей запятой удобен для научных и инженерных расчетов. Для повышения точности вычислений во многих ЭВМ предусмотрена возможность использования формата двойной длины, однако при этом происходит увеличение затрат памяти на хранение данных и замедляются вычисления.

Перевод целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Правило перевода чисел: для перевода числа из одной позиционной системы в другую нужно делить число на основание новой системы счисления, затем частное от деления тоже делить на основание новой системы до тех пор, пока оно не станет меньше основания новой системы счисления. Выписав последнее частное и все остатки, начиная с последнего, получим представление этого числа в новой системе счисления.

Пример. Число А=172₁₀ перевести в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

1. А=172₁₀ А₂

172 2

172 86 2

0 86 43 2

0 42 21 2

1 20 10 2

1 10 5 2

0 4 2 2

1 2 1

0

172₁₀ = 10101100₂.

A₁₀ = 172, A₈ =? A₁₀ = 172, A₁₆ =?

172 8 172 16

168 21 8 160 10 (=A)

4 16 2 (C=) 12

5

172₁₀ = 254₈ 172₁₀ = AC₁₆

Перевод чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную

Для перевода числа из любой позиционной системы счисления в десятичную достаточно вспомнить формулу записи числа в позиционной системе счисления.

N= a m*q m+a m-1*q m-1+ a m-2*q m-2++ a 1*q 1+ a 0*q 0+ a -1*q -1+

+ a -2*q -2+…+ a-s*q -s

Данная формула позволяет найти значение числа в десятичной системе счисления. Чтобы выполнить такой перевод, нужно над всеми цифрами числа, начиная с последней, написать соответствующие степени, а затем найти сумму произведения каждой цифры числа на основании исходной системы счисления в данной степени.

Например, нам нужно перевести число из пятеричной системы счисления в десятичную систему:

_{4 3 2 1 0 -1 -2}

43224,31₅=4*5⁴+3*5³+2*5²+2*5¹+4*5⁰+3*5^-+1*5²=2500+375+50+10+4+3/5+1/25= 2979,64₁₀

_{9 8 7 6 5 4 3 2 1 0}

1020210121₃=1*3⁹+0*3⁸+2*3⁷+0*3⁶+2*3⁵+1*3⁴+0*3³+1*3²+2*3¹+1*3⁰==19683+4374+486+81+9+6+1=24640₁₀

Примеры:

100111011₂=1*2⁸+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+1*2¹+1*2⁰

34567₈=3*8⁴+4*8³+5*8²+6*8¹+7*8⁰

5214233₆ =5*6⁶+2*6⁵+1*6⁴+4*6³+3*6²+3*6¹+3*6⁰

98D4A2C3₁₆ =9*16⁷+8*16⁶+13*16⁵+4*16⁴+10*16³+2*16²+12*16¹+3*16⁰

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления можно выполнить двумя способами. Для реализации одного из них можно перевести двоичное число в десятичную систему счисления, а затем выполнить перевод десятичного числа в восьмеричную или шестнадцатеричную систему счисления.

Другой способ перевода более простой. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются системами, в основании которых лежит число 2 в третьей и в четвертой степени. Это обстоятельство позволяет переводить числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную системы следующим образом.

Для перевода в восьмеричную систему двоичное число делят на триады и с помощью таблицы (табл.1) ставят в соответствие каждой триаде восьмеричную цифру.

10.001.110.111.010₂=21672₈

Размещено на http://www.allbest.ru/

2 1 6 7 2

Чтобы перевести в шестнадцатеричную систему двоичное число надо разделить его на тетрады и с помощью таблицы поставить в соответствие каждой тетраде шестнадцатеричную цифру.

1.0101.0101.1011.1010₂ =155ВА₁₆

Размещено на http://www.allbest.ru/

1 5 5 В А

Числа в разных системах счисления. Таблица 1

Двоичные числа	Восьмеричные числа	Десятеричные числа	Шестнадцатеричные числа
0000	0	0	0
0001	1	1	1
0010	2	2	2
0011	3	3	3
0100	4	4	4
0101	5	5	5
0110	6	6	6
0111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	А
1011	13	11	В
1100	14	12	С
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F

Примеры

100.111.011.010.101₂=47325₈

Размещено на http://www.allbest.ru/

4 7 3 2 5

1001.1101.1100.1010.1111₂ =9DCAF ₁₆

Размещено на http://www.allbest.ru/

9 D C A F

Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления

Перевод десятичных дробей можно выполнять по следующему правилу:

Дробную часть числа нужно умножать на основании новой системы счисления и выписывать целую часть произведения, получившуюся при умножении дробную часть опять умножать на новое основание до тех пор, пока дробная часть не превратится в ноль или не обнаружится период.

Для удобства вычислений, проводится вертикальная черта, отделяющая дробную часть от целой и действия выполняются столбиком.

Разбор заданий

А₁₀ = 0,28125 А₂ -?, А₈ -?, А₁₆-?.

0,|28125 0,|28125 0,|28125

| 2 | 8 | 16

0|56250 2|25000 4|5

| 2 | 8 |16

1|1250 2|00 8|00

| 2

0|250

| 2

0|50

|2

1|0

А₂ = 0,01001 А₈ = 0,22 А₁₆ = 0,48.

А₁₀ = 0,325 А₈ -?.

0,|325

| 8

2|600

|8

Ю 4|8

|8

6|4

|8

3|2

|8

1|6

|8

Ю 4|8

А₈ = 0,2(4631) - циклическая дробь.

Если дробь содержит целую часть, то дробная и целая части переводятся отдельно по своим правилам.

А10 = 43,125 А2 -?,

Сначала переводим целую Затем переводим дробную часть:

часть дроби:

0,|125

| 2

0|250

| 2

0|50

|2

1|0

0.125₁₀ = 0.001₂.

43 2

42 21 2

1 20 10 2

1 10 5 2

0 4 2 2

1 2 1

0

43₁₀ = 101011₂.

После нахождения целой и дробной части соединяем их вместе: А2 = 101011.001

Перевод обыкновенных правильных дробей выполняют по следующему правилу:

Числитель правильной дроби нужно разложить на слагаемые, которые являются степенями основания новой системы счисления, представить дробь в виде суммы дробей, затем сократить эти слагаемые и записать числители слагаемых дробей в позицию числа, соответствующую степени знаменателя.

Разбор заданий

Дана правильная дробь 29/32. Представьте ее в двоичной системе счисления.

Дана дробь 60/64. Перевести ее в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

а) Переведем дробь в двоичную систему счисления

б) Переведем дробь в восьмеричную систему счисления путем разбиения двоичного числа на триады:

0,111 1002=0,748

в) Переведем дробь в шестнадцатеричную систему счисления путем разбиения двоичного числа на тетрады: 0,1111 2=0,F16

Выполнение арифметических операций в разных системах счисления

В позиционных системах счисления основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Особенностью выполнения вычислений является лишь то, что перенос в старший разряд осуществляется тогда, когда результат оказывается больше или равен основанию данной системы.

Рассмотрим некоторые арифметические операции в двоичной системе счисления. В этой системе существуют следующие правила сложения и вычитания:

1+1=10 10-1=1

1+0=1 10-10=0

0+0=0 10-0=10

Разбор заданий

Сложить два числа в двоичной системе счисления А и В.

А=1101001; В=1011101111

₊ 1011101111

1101001

1101011000

Проверим правильность сложения: вычтем из суммы А и В число В.

_1101011000

1011101111

1101001

3. Найти сумму чисел А и В в восьмеричной системе счисления

А=56744₈; В=2765₈

₊ 56744

2765

61731

4.Проверим правильность сложения: вычтем из суммы А и В число В.

_ 61731

2765

56744₈

5. Найти сумму чисел А и В в шестнадцатеричной системе счисления

А=960А74₁₆; В=В7685Е₁₆

₊96 0А74₁₆

В7685Е₁₆

14D72D2₁₆

6.Проверим правильность сложения: вычтем из суммы А и В число В.

_14D72D2₁₆

В7685Е₁₆

960A74₁₆

Представление целых чисел в ЭВМ

В компьютерах для кодирования целых чисел используется двоичная система счисления. Одна двоичная цифра называется бит. Для хранения чисел используется фиксированное число бит: 8, 16 или 32. В дальнейшем будем считать, что размер ячейки памяти равен 16 битам.

Для того чтобы отличать отрицательные числа от положительных, самый правый разряд отводится под знак числа - он называется знаковым. Для положительных чисел знаковый разряд равен 0, для отрицательных равен 1. Этот разряд отделяется от других двоеточием.

45₁₀ - десятичное число,

0101101₂ - число “45” в двоичной системе счисления,

[0:000000000101101]_пр - “45” в прямом коде, знаковый бит равен 0.

45₁₀ = 0101101₂ = [0:000000000101101]_пр.

-0101101₂ - число “-45” в двоичной системе счисления,

[1:000000000101101]_пр - “-45” в прямом коде, знаковый бит равен 1.

-45₁₀ = -0101101₂ = [1:000000000101101]_пр.

Примечание: целые положительные числа всегда представляются в прямом коде.

Однако результат действий с отрицательными числами в прямом коде будет неверный, поэтому для записи отрицательных чисел используется другой код - дополнительный. При переводе отрицательных чисел из прямого в дополнительный используется промежуточный код, который называется обратным.

Правило перевода отрицательного числа из прямого кода в обратный код: для того чтобы представить отрицательное число в обратном коде, надо все биты числа в прямом коде, кроме знакового, заменить на противоположные (0 на 1, 1 на 0).

Правило перевода числа из обратного кода в дополнительный код: для того чтобы представить отрицательное число в дополнительном коде, надо к обратному коду этого числа прибавить единицу.

Например:

-0100011₂ - число “-35” в двоичной системе счисления,

[1:000000000100011]_пр - “-35” в прямом коде, знаковый бит равен 1.

[1:111111111011100]_обр - “-35” в обратном коде,

[1:111111111011101]_доп - “-35” в дополнительном коде.

-35₁₀=-0100011₂=[1:000000000100011]_пр=[1:111111111011100]_обр= [1:111111111011101]_доп.

Примечание: целые отрицательные числа всегда представляются в дополнительном коде.

Для того, чтобы узнать количественное значение отрицательного числа, его необходимо перевести в прямой код.

Правило перевода отрицательного числа из дополнительного кода в прямой код: для того чтобы перевести отрицательное число из дополнительного кода в прямой, надо от дополнительного кода этого числа отнять 1, а потом заменить все биты, кроме знакового, на противоположные.

[1:111111101001100]_доп. =

= [1:111111101001011]_обр =

= [1:000000010110100]_пр =

= -10110100 = -180₁₀.

Действия над целыми числами.

Разбор заданий

При выполнении действий над целыми числами необходимо помнить, что они выполняются по правилам системы счисления в которой эти числа записаны.

Например: A₁₀ = 43, B₁₀ = 27,

Найти C = A + B, D = -A - B, E = A - B, F = - A + B.

1. Представление чисел A и B в двоичной системе счисления в прямом коде:

43₁₀ = 101011₂,

A = [0:000000000101011]_пр,

27₁₀ = 11011₂,

B = [0:000000000011011]_пр,

2. Представление чисел -A и -B в двоичной системе счисления в дополнительном коде:

-A = [1:000000000101011]_пр = [1:111111111010100]_обр = [1:111111111010101]_доп

-B = [1:000000000011011] _пр = [1:111111111100100]_обр = [1:111111111100101]_доп.

3. Выполнение действий (знаковый бит участвует в выполнении сложения): C = A + B

A = [0:000000000101011] _пр,

B = [0:000000000011011] _пр,

C = [0:000000001000110] _пр,

С = 1000110₂.

Проверим: С = 43 + 27 = 70₁₀, С = 1000110₂ = 70₁₀.

D = -A - B = - (A + B),

A = [0:000000000101011] _пр,

B = [0:000000000011011] _пр,

D^* = [0:000000001000110] _пр,

D = -D^* = -1000110₂.

Проверим: D = -43 - 27 = -70₁₀, D = -1000110₂ = -70₁₀.

E = A - B,

A = [0:000000000101011] _пр,

-B = [1:111111111100101] _доп,

E = [0:000000000010000] _пр,

E = 10000₂.

Так, знаковый бит результата равен 0, значит результат положительный в прямом коде. Единица переноса из знакового бита теряется.

Проверим: E = 43 - 27 = 16₁₀, E = 10000₂ = 16₁₀.

F = - A + B,

-A = [1:111111111010101] _доп,

B = [0:000000000011011] _пр,

F = [1:111111111110000] _доп,

Так знаковый бит результата равен 1, значит результат отрицательный в дополнительном коде. Необходимо представить результат в прямом коде.

F = [1:111111111110000] _доп = [1:000000000001111] _обр = [1:000000000010000] _пр.

F = -10000₂.

Проверим: F = -43 + 27 = -16₁₀, F = -10000₂ = -16₁₀.

Задания для самостоятельного решения

1. Составьте таблицы сложения и умножения в троичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления.

2. Выполните вычисления в восьмеричной системе счисления:

a) 3456 + 245

b) 7631 - 456

c) 77771 + 234

d) 77777 - 237

3. Составьте таблицу сложения в шестнадцатеричной системе счисления и выполните вычисления:

a) FFFF + 1

b) 1996 + ВАВА

c) BEDA - ВАС

d) 1998 - A1F

4. Может ли быть верным равенство 7 + 8 = 16?

5. Найти основание р системы счисления и цифру n, если верно равенство: ЗЗm5n + 2n443 = 55424.

6. Пример выполнен в системе счисления с основанием р, m -- максимальная цифра в этой системе. Найти основание системы счисления, в которой справедливо данное равенство; определить неизвестные цифры, отмеченные звездочками.

24**1 + * 235* = 116678.

7. Она в 101 класс ходила.

В портфеле по 100 книг носила.

Все это правда, а не бред.

Когда пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато стоногий,

Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами,

И 10 загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И 10 темно-синих глаз

Оглядывали мир привычно.

Но станет все совсем обычным,

Когда поймете наш рассказ.

8. В саду 100 фруктовых деревьев -- 14 яблонь и 42 груши. В какой системе счисления посчитаны деревья?

9. «Загадочная автобиография». В бумагах одного чудака математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими удивительными словами: «Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте -- всего 11 лет -- способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 рублей в месяц» и т.д. Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка.

10. Какому двоичному числу равно десятичное число 1025 ?

11. Какому восьмеричному числу равно десятичное число 449?

12. Какому шестнадцатеричному числу равно двоичное число 1 100110.01110?

13 Какому двоичному числу равно шестнадцатеричное число СЗА9?

14.Чему равна сумма двоичных чисел 11101,10 и 111,11

15.Чему равна сумма восьмеричных чисел равна 10,47 и 74,53

16.Чему равна сумма шестнадцатеричных чисел АВ,В2 и 5F,Е9?

17.Переведите число 19,2510 в двоичную систему счисления.

18. Переведите число 84,312510 в восьмеричную систему счисления.

19.Переведите число 194,1562510в шестнадцатеричную систему счисления.

20.Переведите число 10101,01012в десятичную систему счисления.

21.Найдите сумму двоичных чисел 101100012+ 1100112.

22.Укажите базис десятичной системы счисления.

23. Укажите самое большое число:

a) (75б)₁₃;

b) (756)₁₂;

c) (756)₁₆;

d) (75б)₈;

e) (756)₁₀.

24. Чему равна сумма цифр в двоичной записи десятичного числа 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024 ?

25. В какой системе счисления выполнено действие 22+11=110?

26. В какой системе счисления алфавит может содержать следующие символы 1,5,9,А, С?

27. Какой алфавит является алфавитом 15-ой системы счисления?

28. В какой системе счисления алфавит может содержать следующие символы 1,5,9,А, С?

29. Переведите число Е8F16 в двоичную систему счисления.

30.Переведите десятичную дробь в двоичную, восьмеричную и десятичную системы счисления.

31. Пример выполнен в системе счисления с основанием р, m -- максимальная цифра в этой системе. Найти основание р системы счисления и цифру n, если верно равенство: ЗЗm5n + 2n443 = 55424.

32. Найти основание системы счисления, в которой справедливо данное равенство; определить неизвестные цифры, отмечен-ные звездочками.

24**1 + * 235* = 116678.

33. Найдите в записи числа равного сумме восьмеричных чисел 17+1700+170000+…+1700000000 переведенного в шестнадцатеричную систему счисления пятую цифру слева.

34. В восьмеричной системе счисления заданы числа 3Х5 и 5Х3, где Х - неизвестная цифра, Найти Х в восьмеричной системе счисления, если известно что сумма этих чисел равна 1050.

35. В 16-ричной системе счисления заданы числа 2ХА и 7Х7, где Х - неизвестная цифра. Найти Х в 16-ричной системе счисления, если известно что сумма этих чисел равна АВ1.

36. В восьмеричной системе счисления заданы числа 1Х4 и 1Х5, где Х - неизвестная цифра, Найти Х в восьмеричной системе счисления, если известно что сумма этих чисел равна 311.

37. Переведите обыкновенные дроби , в двоичную систему счисления .

38. Переведите десятичные дроби 0,4525, 0,675, 0,85 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

39. Сложите числа в пятеричной системе счисления 3412032 и 4031210.

40. Сложите числа в шестнадцатеричной системе счисления 910АЕ56 и ВС18976А.

41.Определите количество целых чисел в интервале от -37 до 1А в 16- ричной системе счисления.

42. Выполните действия над машинными кодами чисел с фиксированной точкой в 16- ти разрядном формате :

а) 215+170

б) 153-380

в) 418-232

г) -527+415

д) -635-512.

43. Укажите в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3.

44. Укажите в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

43. Укажите наименьшее основание системы счисления в которой запись числа 19 трехзначна.

44. В системе счисления с некоторым основанием число 17 записывается я в виде 101. Укажите это основание.

45. Укажите чему равно 8- ричное число 0,62(73) в 16- ричной системе счисления.

46. Найдите 1998 цифру после запятой десяичного числа 10,2 переведенного в восьмеричную систему счисления.

47. Укажите чему равно 8- ричное число 0,462(33) в 16- ричной системе счисления.

48. Дано равенство , где х и у - основания систем счисления. Определите при каком минимальном х это равенство выполнимо.

49. Укажите чему равно 8- ричное число 0,52(73) в 16- ричной системе счисления.

50. Дано равенство , где х и у - основания систем счисления. Определите при каком минимальном х это равенство выполнимо.

51. Переменные Х,Х1,Х2,Х3 имеют размер байт, тип - знаковый. В 16-ричной системе счисления Х1=9Е, Х2=В7, Х3=8Е. Определите значение выражения Х=(Х1-Х2)*Х3.

52. Переменные Х,Х1,Х2,Х3 имеют размер байт, тип - знаковый. В 16-ричной системе счисления Х1=7Е, Х2=В5, Х3=6Е. Определите значение выражения Х=(Х1-Х2)*Х3.

53. Определите количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 257.

54. Укажите через запятую в порядке возрастания все числа не превосходящие 15, запись которых в пятеричной системе счисления начинается на 3.

Размещено на Allbest.ru

...