История математических знаний

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Зарождение математики

2. Возникновение счета. Истоки математических знаний человечества

2.1 Возникновение счета. Понятие числа. Истоки математических знаний

2.2 Способы записи чисел. Исторические источники о математике, известные современности

2.3 Возникновение понятий о геометрических фигурах

Заключение

Список литературы

Введение

«Математика - царица наук,

арифметика - царица математики»

К. Ф. Гаусс

Математика - самая простая и в то же время самая сложная из всех известных человечеству наук. Звучит несколько парадоксально, но это так: она проста в своих основных положениях и необычайно сложна в следствиях, логически вытекающих из этих положений.

История математики складывается не из простой суммы математических знаний, а из цепочки преемственности достижений, нередко - преемственности ошибок, которые не смогли нарушить развитие и целостность математической мысли. Эта история связана с историей других наук, техники, культуры, искусства многих стран и народов, больших и малых, историей жизни и деятельности выдающихся и рядовых математиков.

В истории математики можно различить отдельные периоды, отличающиеся друг от друга рядом характерных особенностей. Периодизация необходима, чтобы было легче разобраться во всем богатстве фактов исторического развития математики. Существует много попыток периодизации: по странам, по социально-экономическим формациям, по выдающимся открытиям и т.п.

Академик Андрей Николаевич Колмогоров выделяет четыре периода развития математики:

зарождение математики (VI - V вв. до н. э.);

элементарная математика (VI - V вв. до. н. э. до XVI в. н. э. включительно);

математика переменных величин (начало - введение переменных величин в аналитической геометрии Декарта и создание дифференциального и интегрального исчисления в трудах И. Ньютона и Г. В. Лейбница; конец - середина XIX в.);

современная математика (с XIX в.).

Реферат посвящен первому периоду истории математики - ее зарождению: возникновению счета и измерения как средств сравнения различных чисел, длин, площадей и объемов.

математика древний счет число

1. Зарождение математики

Первоначальные представления о математике, числе и форме относятся к очень далекой эпохе древнего каменного века - палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи простейшим способом - собиранием ее, где только это было возможно. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки, рисунки.

Пока не произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, начинается новый каменный век, неолит.

Постепенно прекращались кочевые странствия в поисках пищи. Рыболовы и охотники вытеснялись первобытными земледельцами. Такие земледельцы, оставаясь на одном месте, пока почва сохраняла плодородие, строили жилища, рассчитанные на более долгие сроки. Стали возникать деревни для защиты от непогоды и от врагов-хищников. По остаткам раскопанных неолитических поселений видно, как постепенно развивались такие простейшие ремесла, как гончарное, ткацкое, плотничье. Всякого рода новшества возникали лишь в пределах той или иной зоны и не всегда распространялись вне ее.

Деревни вели между собой значительную торговлю, которая настолько развилась, что можно проследить наличие торговых связей между областями, удаленными на сотни километров друг от друга. Эту коммерческую деятельность сильно стимулировали открытие техники выплавки меди и бронзы и изготовление сначала медных, а затем бронзовых орудий и оружия. Это в свою очередь содействовало дальнейшему формированию языков. Слова этих языков выражали вполне конкретные вещи и весьма немногочисленные абстрактные понятия, но языки уже имели известный запас слов для простых числовых терминов и для некоторых пространственных образов. На таком уровне находились многие племена в Австралии, Америке и Африке, когда они впервые встретились с белыми людьми, а некоторые племена и сейчас живут в таких условиях, так что есть возможность изучить их обычаи и способы выражения мыслей.

Так, по мере развития общества, появилась необходимость в математике, в самых ее началах. Постепенно начинают развиваться понятия числа, а затем счета. Также необходимыми стали основы геометрии, ведь нужны были жилища, хранилища для пищи и т.п.

2. Возникновение счета. Истоки математических знаний человечества

2.1 Возникновение счета. Понятие числа. Истоки математических знаний

Такие основные понятия, как число или простейшие геометрические фигуры, возникли задолго до появления математических текстов. Понятия числа и геометрической фигуры, которые представляются нам очень простыми и привычными, на самом деле являются абстрактными понятиями, которые могли образоваться только в результате длительной умственной работы. Подобно тому, как понятия дуба или сосны появляются намного раньше общепринятого понятия дерева, так и понятия двух рук и пяти пальцев возникают намного раньше общих понятий двух и пяти.

Когда первобытному охотнику нужно было узнать, все ли собаки в своре, он не считал их, а просто, окинув свору взором, видел, какой собаки не хватает. Такой «чувственный счет», доступный каждому живому существу, существовал задолго до возникновения счета.

Первым шагом к возникновению счета было установление «взаимно однозначного соответствия» между считаемыми предметами и некоторым другим множеством. Оба сравниваемых множества предметов могут быть заранее неизвестны; например, при обмене между первобытными племенами обмениваемые предметы просто раскладывались в два ряда, так что взаимно однозначное соответствие между ними устанавливалось фактически. Именно так описывает Дж. Морган обмен угрей на коренья у австралийских племен. Затем появляются своего рода эталоны счета - естественные, как пять пальцев на руке, или искусственные, как специально приспособленные для этой цели палочки или камешки. Именно появление множества-эталона, символизирующего какое-нибудь конкретное число, привело к возникновению понятия числа. Судя по этнографическим и лингвистическим данным, первые множества-эталоны были естественными. Любой человек знал, что на небе Луна одна, у человека два глаза и на руке пять пальцев. Не удивительно поэтому, что этими словами он стал обозначать числа 1, 2 и 5. В таких случаях говорили, что предметов столько, сколько Лун, сколько глаз или сколько пальцев на руке. Подобное понятие числа вполне соответствует тому уровню развития языка у некоторых малоразвитых народов, когда в нем еще отсутствуют такие абстрактные прилагательные, как «круглый», «черный» и т.п., - вместо этих слов употребляются сравнения: «как Луна», «как вороново крыло» и т.д. Пережиток этой системы встречается в древней индийской словесной системе счисления, где единица называлась Луной, Землей, Брахмой, два - близнецами, глазами, руками, пять - чувствами, стрелами бога любви Камадевы, шесть - запахами, семь - горами, восемь - богами и т.д.

Этот этап счета при помощи «конкретных» чисел сменился следующим, когда из всего разнообразия совокупностей была выбрана одна, наиболее пригодная для счета. Удобнее было пользоваться такой совокупностью, в которую входили более или менее однородные предметы, например, пальцы рук. Если их не хватало, в ход шли пальцы ног. Так, у индийцев племени абипонов число 5 называлось «рука», 10 - «две руки», 20 - «руки и ноги»; в названии 4 - «пальцы страуса» - отражена более ранняя ступень счета. У зулусов каждый палец обозначал определенное число: например, слово «татизитуна» (буквально - «взять большой палец руки») обозначало 6, а «у комбиле», т.е. «он указал», - 7 и т.д. Для такого счета было характерно осязаемое взаимно однозначное соответствие: у некоторых южноафриканских племен при счете дотрагиваются до каждого предмета по очереди пальцами, начиная с мизинца левой руки. У австралийцев и полинезийцев каждая часть тела имела свое название и точно соответствовала месту в своеобразной системе счисления: начиная с мизинца левой руки шли пальцы, запястье, локоть, плечо и т.д., кончая мизинцем правой руки, и обратно. Такой живой шкалой, которая всегда «при себе» пользовались, чтобы сообщить, например, дружественному племени о количестве воинов, собираемых племенами, или о числе дней, по прошествии которых следует выходить на охоту.

О времени появления общего понятия числа у народов Европы и Азии можно сделать вывод, сравнивая названия чисел у народов с родственными языками. Заметно большое сходство между русским числительным «один», немецким eins, английским one, французским un, латинским unus и точно так же между числительными «два», zwei, two, deux, duo, или «три», drei, three, trios, tres на тех же языках. В то же время по-грузински эти же числительные: эрти, ори, сани, по-турецки: bir, iki, ьc, по-венгерски: egy, kettц, harom, по-арабски: ахад, иснан, салас. Сходство числительных у индоевропейских народов показывает, что названия чисел у предков этих народов появились еще в те далекие времена, когда они говорили на одном языке.

Происхождение названий числительных большей частью трудно проследить, но, например, тот факт, что арабские «саб'» - 7 имеет один корень с глаголом «саб'а» - «растерзать на части», указывает на то, что число 7 предки арабов связывали с неопределенно большим числом частей, на которые дикий зверь может растерзать свою жертву; откуда видно, что слово «саб'» первоначально обозначало неопределенно большое количество (с этим связано мистическое значение число 7 в религиях, родственных религии предков арабов).

Чрезвычайно интересны названия числительных на языке народов Восточной Африки суахили: если для 1, 2. 4, 5, 8 и 10 на этом языке собственные названия moja, mbili, tatu и т.д., то названия sita, saba, tisa для 6, 7, 9 представляют собой искажения арабских числительных «ситт», «саб'», «тис'», то же относится к названиям десятков от 20 до 90. Отсюда видно, что к тому времени, когда у побережья Восточной Африки появились арабские купцы, у местных жителей еще не были созданы устойчивые собственные названия для этих чисел.

У большинства народов названия десятков образуются по схеме , где - число десятков (например, двадцать, тридцать, пятьдесят и т.д.). В этой связи очень интересны исключения во французском языке, где 70 называется soixante-dix , 80 - quatre-vingt , 90 - quatre-vingt-dix , т.е. начиная с 70 французы считают не десятками, а двадцатками. Более последовательно счет двадцатками проведен в грузинском языке, где 10 - ати, 20 - оци, 30 - оцдаати , 40 - ормоци , 50 - ормоцдаати , 60 - самоци и т.д.

В большинстве современных языков названия числительных основаны на десятичной системе, т.е. на представлении чисел в виде суммы числа единиц (до 10), числа десятков (до 100), числа сотен (до 1000) и т.д. Несомненно, что в основе этой системы лежит счет на пальцах. Именно так полагал Аристотель, к мнению которого уместно добавить слова А. Лебега: «Возможно, что если бы люди имели одиннадцать пальцев, была бы принята одиннадцатеричная система счисления» А. Лебег. Об измерении величин. - М., 1960, стр. 22..

В некоторых языках числительные сохраняют следы пятеричной системы, в этих языках пальцы второй руки называются так же, как и пальцы первой с прибавлением слова, обозначающего 5 пальцев или руку. Например, в языке шумеров - первоначального населения Междуречья, заложившего начала культуры древнего Вавилона - 7 - имин , а 9 - илимму , а в языке ацтеков - первоначального населения Мексики - 6 - чикуасе , 7 - чикоме , а 9 - чикунауи ; число 5, которое некогда называлось у ацтеков «чику», впоследствии получило название «макуили».

На самых первоначальных ступенях развития человек пользовался и двоичной системой счисления. Например, на языке одного из племен островов Торресова пролива существуют следующие наименования: 1 - урапун, 2 - окоза, 3 - окоза-урапун, 4 - окоза-окоза, 5 - окоза-окоза-урапун, 6 - окоза-окоза-окоза и т.д. У племен реки Муррей была похожая система: 1 - энэа, 2 - петчевал, 3 - петчевал-энэа, 4 - петчевал-петчевал и т.д. А вот у австралийского племени камиларои была троичная система счисления: 1 - мал, 2 - булан, 3 - гулиба, 4 - булан-булан, 5 - булан-гулиба, 6 - гулиба-гулиба и т.д.

Некоторые племена в качестве счетного аппарата применяли не самые пальцы рук, а их суставы. В этом случае счет иногда развивался тоже достаточно продуктивно и оформлялся в стройные системы. Процесс счета протекал таким образом: большой палец одной руки являлся счетчиком суставов остальных пальцев этой руки; т.к. на каждом из остальных четырех пальцев этой руки содержится по три сустава, то следующей за суставом высшей единицей являлось число 12, что и послужило шагом к образованию двенадцатеричной системы счисления. Этот процесс иногда не останавливался на 12, а продолжался далее, причем каждый палец другой руки служил единицей высшего разряда, т.е. представлял собой 12, и после отсчета всех пальцев на второй руке создавалась новая единица высшего разряда , т.е. 60. Возможно, что такого рода счет способствовал созданию шестидесятеричной системы счисления, имевшей большое распространение в древнем Вавилоне и перешедшей позднее ко многим другим народам.

2.2 Способы записи чисел. Исторические источники о математике, известные современности

Если развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия, то дальнейший рост потребностей вел людей по пути все большего расширения понятия о числе и счете. Возникла необходимость каким-либо образом записывать свои «открытия».

Сведения о результатах счета первоначально хранили при помощи зарубок на дереве или на костях либо узелков на веревках. Старейшей известной в настоящее время записью числа является запись на лучевой кости молодого волка длиной 18 см в виде 55 зарубок, расположенных по 5, причем после 25 зарубок идет длинная черта (рис. 1). Эта кость была найдена около деревни Вестонице в Моравии (Чехословакия) в 1937 г. и относится к XXX в. до н.э.; кость служила, по-видимому, для записи трофеев доисторических охотников.

Рис. 1. Лучевые кости волка с нанесенными на них зарубками (от 25 тыс. до 30 тыс. лет назад)

Зарубками, обозначающими долги на бирках, раскалывающихся на две половины, одна из которых хранится у должника, а другая у кредитора, пользовались в Западной Европе даже в XIX в. (рис. 2).

Рис. 2. Долговые (счетные) бирки с нанесенными на них зарубками

О распространении записей при помощи зарубок свидетельствует известное выражение «заруби себе на носу». Инки записывали свои долговые обязательства с помощью узелков на цветных веревках - перуанских квипу (рис. 3).

Рис. 3. Узелковый счет инков

Аналогичные квипу встречались у землевладельцев некоторых районов Китая и Японии еще в нашем столетии.

А каковы были принципы изображения чисел при помощи цифр у разных народов? Такое обозначение, называемое нумерацией (от латинского numerous - число), первоначально было основано на так называемых аддитивном (от латинского addition - сложение), субстрактивном (substractio - вычитание) и мультипликативном (multiplicatio - умножение) принципах.

Аддитивный принцип состоит в том, что вводятся несколько основных знаков, например для 1, 10, 100, а остальные числа вида изображаются соответственным знаком, повторенным n раз. Аддитивная нумерация непосредственно отражает инструментальный счет с палочками, ракушками или другими предметами. На аддитивном принципе построены названия чисел племен островов Торресова пролива, рассмотренные выше. Субстрактивный принцип состоит в том, что сочетание цифр , где , означает, разность , а мультипликативный принцип - в том, что сочетание цифр означает произведение этих чисел. Оба эти принципа применяются и в названиях чисел: на мультипликативном принципе основаны названия десятков и сотен в индоевропейских языках, в частности, русские названия 20, 30, 50-80, и 200-900, с субстрактивным принципом связано слово «девяносто», возникшее в результате «скрещения» первоначального названия этого числа «девятьдесят» и выражения «10 до 100». Еще более нагляден этот принцип в финском языке, где названия 8 - kahdeksan и 9 - ьhdeksan представляют собой сокращения выражений - «2 (kaksi) до 10» и «1 (ьksi) до 10».

Классическим примером применения аддитивного и субстрактивного принципов является применяемая и в настоящее время римская нумерация: римские цифры II, III, VI, VII, VIII, XX, XXX и т.д. основаны на аддитивном принципе, а римские цифры IV, IX, XL - на субстрактивном принципе.

Затем, когда началось образование государств, стали появляться новые способы записи чисел. Так, например, в Древнем Египте велось иероглифическое письмо (рис. 4), а в Древнем Вавилоне - клинописное письмо на глиняных табличках (рис. 5).

Рис. 4. Египетские цифры: верхние две строки написаны иероглифами; нижняя строчка написана иератическими знаками

Рис.5. Вавилонские клинописные цифры

Рис. 6. Геометрическая задача «Московского папируса»

Самыми известными историческими источниками математических знаний, сохранившимися до настоящих времен, являются так называемый «Московский папирус» (рис. 6), относящийся к эпохе около 1850 г. до н. э. и папирус Ахмеса, найденный и приобретенный английским ученым Райндом (рис. 7), эпохи 1700 г. до н.э., по объему больше «Московского», из Древнего Египта; множество глиняных табличек с клинописными текстами из Древнего Вавилона (рис. 8).

Рис. 7. Фрагмент папируса Ахмеса с геометрическими задачами

Рис.8. Клинописная числовая таблица

2.3 Возникновение понятий о геометрических фигурах

С конкретными геометрическими фигурами человек столкнулся в своей трудовой деятельности при выделке орудий труда и сосудов, при обработке полей и постройке зданий. Уже в глубокой древности изготовлялись скребки и ножи в форме дисков, треугольников, ромбов и сегментов, круглые сосуды; поля обычно имели форму прямоугольника, а здания - форму конуса, цилиндра и параллелепипеда.

Большинство общепринятых в настоящее время в геометрии названий геометрических фигур являются греческими, обозначающими различные предметы той или иной формы, с которыми люди сталкивались в своей практической деятельности: слово «центр» происходит от греческого слова ?Эхфспх (в латинской форме centrum), обозначающее палку с заостренным концом, которой погоняли быков. «Пирамида» происходит от древнеегипетского названия египетских пирамид «пурама», которому греки придали форму рхсбмЯт. «Линия» (по-латыни linea) происходит от латинского слова linum - лен; первоначально под линией понимали натянутую льняную нить. «Точка» происходит от глагола «ткнуть», так же как равнозначное слово «пункт» происходит от латинского глагола pungo - укалываю, т.е. первоначально под точкой понимали укол.

Эти примеры показывают, что и в геометрии сначала появились геометрические эталоны: мяч - для шарообразных предметов, сосновая
шишка - для остроконечных и т.д., а впоследствии названия этих эталонов стали названиями абстрактных геометрических фигур.

Создание понятий о геометрических фигурах было тесно связано с изображением различных плоских фигур на рисунках и орнаментах и с изготовлением моделей различных тел (рис. 9).

Рис. 9. Этот орнамент на иеолитической керамике из Боснии и на предметах искусства древней Месопотамии

Заключение

Так постепенно, под влиянием потребностей хозяйственного и экономического характера, человечество стихийно создавало свои методы счета и достигло, наконец, стройного метода, который в дальнейшем сознательно совершенствовался и упрощался, пока не превратился в метод, которым пользуется современная математика.

Деятельный труд человека, развитие производительных сил и средств производства заставляли человека приспособлять элементарный счет к своим растущим потребностям, к своему интеллектуальному росту. На базе этого элементарного счета и выросло современное величественное здание математики - выразительницы количественной стороны явлений окружающей жизни и неизменной спутницы развития технической культуры человечества.

Список литературы

Болгарский Б. В. Очерки по истории математики. - 2-е изд., испр. и доп. - Мн.: Выш. Школа, 1979.

Панов В. Ф. Математика древняя и юная. - М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006.

Рыбников К. А. История математики. - 1 том. - М.: Издательство Московского Университета, 1960.

Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем. - 5-изд., испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1990.

Юшкевич А. П. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: Учебник. - 1 том. - М.: Наука, 1970.

Размещено на Allbest.ru