Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методична розробка відкритого заняття

з навчальної дисципліни «Вища математика» в групах ІІ курсу вищих навчальних закладів І - ІІ рівнів акредитації

За темою: «Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами»

Зміст

Вступ

Методична розробка відкритого заняття

Висновки

Література

Вступ

Математика нині відіграє важливу роль у природничо - наукових, технічних і гуманітарних дослідженнях. Сучасна економіка - наука про об'єктивні закономірності функціонування й розвитку суспільства - характеризується широким застосуванням математики. Дедалі зростає роль математики як фундаменту для підготовки спеціалістів фінансово - економічного профілю. Математичні методи й моделі є складовою методів і моделей економічної теорії . Їх використання, разом зі змістовними економічним аналізом, відкриває нові перспективи для економічної науки й практики.

Розрахунки в економіці ґрунтуються на певних математичних моделях. Тому економісти мають володіти мовою математичних понять, уміти здійснювати математичні операції над числами, символами, множинами, функціями, оперувати рівняннями і нерівностями, розрахунковими математичними інструментами, вміти ставити проблеми, розв'язувати їх, аналізувати добуті результати.

Методична розробка відкритого заняття

Тема. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

Мета: ввести поняття лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами, його загального і частинного розв'язків; формувати вміння та навички знаходити загальний розв'язок диференціального рівняння, залежно від коренів характеристичного рівняння, розв'язувати задачу Коші;

розвивати логічне мислення, правильну математичну мову, вдосконалювати обчислювальні навички;

виховувати систематичність та послідовність в оволодінні знаннями, обчислювальну культуру.

Обладнання: таблиця формул диференціювання та інтегрування, опорні конспекти, кодоскоп.

Тип заняття: комбіноване

Форма проведення: лекція зі зворотнім зв'язком.

Методична мета: методика лекційного заняття зі зворотнім зв'язком та прийомами формування вмінь та навичок застосування вивченого матеріалу до розв'язування задач.

Структура заняття

1. Організаційний момент.

2. Мотивація навчальної та пізнавальної діяльності студентів.

3. Актуалізація опорних знань.

4. Вивчення нового матеріалу з поетапним закріпленням.

5. Підсумок заняття.

6. Домашнє завдання.

Хід заняття.

1. Організаційний момент.

2. Мотивація навчальної та пізнавальної діяльності студентів.

Вступне слово викладача.

Для описання фізичних, хімічних, економічних процесів використовують диференціальні, інтегральні та різницеві рівняння. Ми з вами розглянемо найпростіші з них - диференціальні.

3. Актуалізація опорних знань (опитування).

1. Означення диференціального рівняння.

(Диференціальним рівнянням називається рівняння, що містить аргумент, функцію та її похідну ).

2. Порядок диференціального рівняння.

(Порядок диференціального рівняння визначається найвищим порядком похідної, яка міститься в даному рівнянні).

3. Що називають розв'язком диференціального рівняння?

(Розв'язком диференціального рівняння називається функція , яка перетворює дане рівняння на тотожність).

4. Скільки розв'язків може мати диференціальне рівняння?

(Коли диференціальне рівняння має розв'язок, то воно має нескінчену множину розв'язків - загальний розв'язок, де С - довільна стала).

5. Що називають початковими умовами і для чого вони потрібні?

(Рівність називають початковими умовами; задача знаходження розв'язку диференціального рівняння, який задовольняє початкові умови , називають задачею Коші).

6. Що називають частинним розв'язком диференціального рівняння?

(Кожний розв'язок диференціального рівняння, який можна отримати із загального розв'язку при конкретному значенні постійної С, називається частинним розв'язком диференціального рівняння).

7. Означення диференціального рівняння І порядку.

(Диференціальним рівнянням І порядку називається рівняння вигляду , де х- невідома змінна, а і - відповідно шукана функція та її похідна).

4. Вивчення нового матеріалу з поетапним закріпленням.

Сприйняття і осмисленні матеріалу про диференціальні рівняння ІІ порядку. диференціальний рівняння лінійний теорема

Означення

Диференціальним рівнянням ІІ порядку називається співвідношення, яке пов'язує між собою незалежну змінну х, шукану функцію та її похідні першого і другого порядку.

Означення

Розв'язком диференціального рівняння ІІ порядку називається функція , яка перетворює дане рівняння на тотожність.

Означення

Загальним розв'язком диференціального рівняння другого порядку називається функція , яка перетворює дане рівняння на тотожність.

Означення

Рівності і називають початковими умовами.

Означення

Задачу відшукання розв'язку диференціального рівняння другого порядку за даними початковими умовами називають задачею Коші.

Означення

Частинним розв'язком рівняння =0 називають розв'язок, отриманий із загального розв'язку при фіксованому значенні С1 і С2: , де С1 і С2 - фіксовані числа.

Приклад. Знайти загальний розв'язок рівняння .

Розв'язання:

- загальний розв'язок.

Відповідь: - загальний розв'язок.

2. Розв'язати задачу Коші для рівняння , якщо .

Розв'язання.

Підставляємо початкові умови в y' і y, отримаємо систему рівнянь, з якої знаходимо значення і :

Підставляємо значення і в загальний розв'язок,:

- частинний розв'язок.

Відповідь: - частинний розв'язок.

Сприйняття і осмислення матеріалу про лінійні однорідні диференціальні рівняння ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами.

Означення

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами називають диференціальне рівняння вигляду:

,

де y - шукана, двічі неперевно диференційована функція, p і q - деякі дійсні числа.

Теорема (про структуру загального розв'язку):

Якщо є два часткових розв'язки і лінійного однорідного диференціального рівняння, то загальний розв'язок цього рівняння має вигляд:

,

де С1 і С2 сталі.

Знаходимо розв'язки і методом Ейлера у вигляді:

,

де к - константа.

Дійсно, знаходимо похідні і підставляємо в диференціальне рівняння(1):

Рівняння називають характеристичним рівнянням.

Розв'язуючи його знайдемо і , а отже і розв'язки , .

Структура загального розв'язку лінійного однорідного диференціального рівняння ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами залежно від коренів характеристичного рівняння:

Приклад.

1. Знайти загальний розв'язок рівняння .

Розв'язання:

Запишемо характеристичне рівняння, яке відповідає даному диференціальному рівнянню:

,

знаходимо корені цього рівняння за теоремою Вієта:

Звідки

,.

Загальний розв'язок:

+.

Відповідь:

+

- загальний розв'язок.

2. Знайти загальний розв'язок рівняння

.

Розв'язання:

Запишемо характеристичне рівняння, яке відповідає даному диференціальному рівнянню:

.

Загальний розв'язок: .

Відповідь: - загальний розв'язок.

3.Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , що задовольняє початкові умови при .