Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Введение
• 1. Случайные величины в таможенной статистике
• 2. Функция распределения непрерывной случайной величины
• 3. Функция распределения дискретной случайной величины
• 4. Многомерная случайная величина
• Заключение
• Список использованной литературы

Введение

Актуальность темы исследования. Статистическое изучение тех или иных явлений в статистике предполагает, как обязательное условие наличие информации, сведений об этих явлениях. Поэтому начало любого статистического исследования сводится к сбору необходимой информации. От того, насколько полными и качественными окажутся собранные первичные данные, зависят в значительной степени и конечные результаты работы, и выводы исследователей.

В настоящее время понятие статистики употребляется в нескольких значениях:

1) наука, изучающая количественную сторону массовых явлений и процессов в неразрывной связи с их качественным содержанием - учебный предмет в высших и средних специальных учебных заведениях;

2) совокупность цифровых сведений, характеризующих состояние массовых явлений и процессов общественной жизни; статистические данные, представляемые в отчетности предприятий, организаций, отраслей экономики, а также публикуемых в сборниках, справочниках, периодической печати и в сети Интернет, которые являются результатом статистической работы;

3) отрасль практической деятельности ("статистический учет") по сбору, обработке, анализу и публикации массовых цифровых данных о самых различных явлениях и процессах общественной жизни;

4) некий параметр ряда случайных величин, получаемый по определенному алгоритму из результатов наблюдений, например, статистические критерии (критические статистики), применяющиеся при проверке различных гипотез (предположительных утверждений) относительно природы или значений отдельных показателей, исследуемых данных, особенностей их распределения и пр.

Как научное направление таможенная статистика характеризуется предметом, объектом, целью, задачами и методами исследования. Таможенная статистика имеет общие для всех статистических дисциплин предмет и методы.

Предметом таможенной статистики являются массовые явления (статистические совокупности), а также числовое выражение проявляющихся в них закономерностей, а в основе ее методов лежит закон больших чисел, что позволяет использовать в анализе данных таможенной статистики инструментарий теории статистики.

Цель работы - характеристика функций случайных величин. Основная задача - анализ свойств функции распределения случайных величин в зависимости от их вида (непрерывная или дискретная величина).

1. Случайные величины в таможенной статистике

Предметом изучения статистики являются статистические совокупности (массовые явления). Единицы совокупности обладают определенными свойствами, которые принято называть признаками. Для характеристики массовых явлений статистика использует статистические величины (показатели), которые характеризуют группы единиц или совокупность (явление) в целом. Статистические величины (показатели) подразделяются на абсолютные, относительные и средние.

Результаты наблюдений таможенной статистики внешней торговли, то есть сведения, получаемые из ГТД, представляют собой абсолютные величины, отражающие уровень развития какого-либо явления (например, величина экспорта/импорта i-го товара в j-ю страну). Абсолютные величины обозначаются X, а их общее количество в статистической совокупности N.

Абсолютные величины бывают моментные (отражают уровень развития явления на определенную дату, например, экспортная цена на нефть) и интервальные (отражают уровень развития явления за определенный интервал времени, например, величина экспорта за месяц, квартал, год и т.п.). В отличие от моментных интервальные абсолютные величины допускают последующее суммирование (например, суммируя величину экспорта товара за январь, февраль и март, получаем величину экспорта за I квартал).

Абсолютные величины всегда имеют свою единицу измерения (размерность), присущую изучаемому явлению (в таможенной статистике - товару). Широко распространены в таможенной статистике следующие виды единиц измерения:

натуральные, подразделяющиеся на простые (например, штуки, тонны, метры) и сложные (составные), представляющие собой комбинацию двух разноименных величин (например, киловатт-час);

условно-натуральные (например, алкогольные напитки учитываются в дкл 100 % спирта, а различные виды топлива соизмеряют по условному топливу с теплотворной способностью 7000 ккал/кг или 29,3 МДж/кг);

стоимостные, позволяющие соизмерить в денежной форме товары, которые нельзя соизмерить в натуральной форме (доллары США, рубли и т.д.).

Количество единиц с одинаковым значением признака обозначается f и называется частота f - это начальная буква англ. слова frequency - частота.. Очевидно, что суммируя число всех величин с одинаковыми значениями признака В статистике, в отличие от математики, пределы суммирования не ставятся, а подразумеваются, так как абсолютные величины здесь не абстрактные, а смысловые (суммируются все величины совокупности - с первой по последнюю)., получаем N, то есть:

.

Анализируя абсолютные величины, например, статистические данные о внешней торговли РФ, необходимо сопоставлять эти данные во времени и пространстве, исследовать закономерности их изменения и развития, изучать структуру совокупностей. С помощью абсолютных величин эти задачи не выполнимы, в этом случае необходимо использовать относительные величины.

Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает как общими для всей совокупности, так и особенными, индивидуальными свойствами. Рассмотрим другое свойство массовых явлений - присущую им близость характеристик отдельных явлений. В этом свойстве заключается причина широчайшего применения средних величин. Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, то есть замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.

Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина - среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Исходя из определения, формула средней арифметической величины имеет вид:

.

Если при группировке значения усредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, то есть исходят из предположения о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности. При отсутствии возможности экспертной оценки значения признака в открытых интервалах, для нахождения недостающей границы открытого интервала применяют размах (разность между значениями конца и начала интервала) соседнего интервала (принцип "соседа").

2. Функция распределения непрерывной случайной величины

Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.

В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (- ; a), [b;), (- ; ).

Если - непрерывная случайная величина, то равенство = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности события.

Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привести сравнение с распределением массы вдоль стержня. Отсутствует масса, сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см от левого конца стержня, имеет смысл говорить лишь о массе, заключённой между сечениями, проходящими через концы некоторого промежутка.

Пусть - непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства:

х < < х + х,

P(х < < х + х).

Здесь х - величина малого интервала.

Очевидно, что если х 0, то

P(х < < х + х) 0.

Обозначим р(х) предел отношения

P(х < < х + х) к х при х 0,

если такой предел существует:

(1)

Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из формулы (1) следует равенство, справедливое для малых величин х, которое также можно считать определением функции р(х):

P(х < < х + х) p(x)х, (2)

Очевидно, что p(x) - неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина примет значение из промежутка [a, b]конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x₁, х ₂,, х_n удовлетворяющие условию:

а=х ₀<х ₁<x₂<<x_n<b=x_n+1.

Эти числа разобьют промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х ₀, х ₁), [х ₁, х ₂), , [х_n, b]. Введём обозначения:

х ₀= х ₁ - х ₀, х ₁= х ₂ - х ₁, , х_n = b - х_n,

и составим сумму:

.

Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина х_i стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый интеграл по промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности:

P(a b) = (3)

Это равенство можно также рассматривать как определение функции р(х). Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любой интервал (х ₁, х ₂) равна площади фигуры, образованной отрезком [х ₁, х ₂] оси х, графиком функции р(х) и вертикальными прямыми х = х ₁, х = х ₂, как изображено на рисунке 1.

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для р(х) - её плотности распределения справедливо равенство:

.

Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины.

Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция р(х), удовлетворяющая двум условиям:

р(х) 0;

.

Последнее свойство называется свойством нормировки. Можно задавать случайную величину, задавая функцию р(х), удовлетворяющую этим условиям. случайная величина распределение статистика

В качестве примера рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри этого промежутка:

.

По свойству 2) функции р(х):

.

.

Рис. 2

График функции р(х) представлен на рисунке 2.

Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х и х - асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует.

Пусть - непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством

,

называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины . Непосредственно из определения следует равенство

.

Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению . Плотность распределения р(х) называют дифференциальной функцией распределения.

Функция распределения F(x) случайной величины имеет следующие свойства.

F(x) - непрерывная возрастающая функция.

;

Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x).

Приращение F(x) на промежутке (х ₁; х ₂) равно вероятности того, что случайная величина принимает значение из этого промежутка:

F(x₂) - F(x₁) = P(x₁ < x₂)

Доказательство.

F(x₂) = P( x₂) = P( x₁) + P(x₁ < x₂) = F(x₁) + P(x₁ < x₂),

P(x₁ < x₂) = F(x₂) - F(x₁).

Заметим, что для непрерывной случайной величины справедливы равенства:

P(x₁ < x₂) = P(x₁ < < x₂) = P(x₁ < x₂) = P(x₁ x₂).

Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:

Рис. 3

График функции F(x) представлен на рисунке 3.

Закон распределения непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции р(х), либо функции F(x).

Функцию распределения F(x) можно построить и для дискретной случайной величины , если задан закон распределения этой случайной величины.

Пусть задана дискретная случайная величина с законом распределения

	1	2	3
Р	0,2	0,5	0,3

Построим функцию F(x), используя определение:

F(x) = P( x).

График функции F(x) изображён на рисунке 4.

Очевидно, что закон распределения дискретной случайной величины можно задать с помощью таблицы, где каждому значению этой случайной величины ставится в соответствие вероятность, или с помощью функции распределения.

3. Функция распределения дискретной случайной величины

Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.

x	x1	x2	х 3	…	хn
p	р 1	р 2	р 3	...	рn

р ₁+ р ₂+…+ р_n=1

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р ₁+ р ₂+…+ р_n+… сходится и его сумма равна 1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (x_i;p_i), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис. 1).

Рис. 5

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):

P(X=x_i)=ц(x_i), i =1,2,3…n.

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:

F(x)=Р(Х<х).

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.

Свойства функции распределения:

1) 0? F(x) ?1;

2) F(x)- неубывающая функция на (-?;+?);

3) F(x) - непрерывна слева в точках х= x_i (i=1,2,…n) и непрерывна во всех остальных точках;

4) F(-?)=Р (Х<-?)=0

как вероятность невозможного события Х<-?,

F(+?)=Р(Х<+?)=1,

как вероятность достоверного события Х<-?.

Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы:

x	x1	x2	х 3	…	хn
p	р 1	р 2	р 3	...	рn

то функция распределения F(x) определяется формулой:

0 при х? x_1,

р ₁ при x₁< х? x_2,

F(x)= р ₁ + р _2, при x₂< х? х ₃

… … …

1 при х> х_n.

Её график изображен на рис. 2:



Рис. 6

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

_n

М(Х)=? x_iр_i= x₁р ₁ + x₂р ₂+…+ x_nр_n.

ⁱ⁼¹

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1) M(C)=C, где С - постоянная величина;

2) М(С*Х)=С*М(Х),

3) М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);

4) M(X*Y)=M(X) *M(Y), где X,Y - независимые случайные величины;

5) M(X±C)=M(X)±C, где С - постоянная величина.

Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия.

Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=M(X-M(X))².

Свойства дисперсии:

1) D(C)=0, где С - постоянная величина;

2) D(X)>0, где Х - случайная величина;

3) D(C*X)=C²*D(X), где С-постоянная величина;

4) D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y - независимые случайные величины;

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

D(X)=M(X²)-(M(X))², где

М(Х)=? x_i²р_i= x₁²р ₁ + x₂²р ₂+…+ x_n²р_n

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину vD(X).

Средним квадратическим отклонением у(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

.

Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х- числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

Р(Х=m)=С^m_np^mq^n-m

Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:

M(X)=np,

D(X)=npq,

.

Если число испытаний n очень велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала (р?0,1), то для вычисления Р(Х=m) используют формулу Пуассона:

Р(Х=m)=Р_n(m)= e^-л * л^m, где л=np

^m!

Тогда говорят, что случайная величина Х - распределена по закону Пуассона.

Так как вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называется законом средних явлений.

4. Многомерная случайная величина

При изучении случайных явлений в зависимости от их сложности иногда приходится использовать две, три и более случайных величин. Например, точка попадания снаряда определяется не одной, а двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой. При различных измерениях очень часто имеем дело с двумя или тремя случайными величинами.

Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к понятию системы случайных величин. Условимся систему нескольких случайных величин обозначать . Такая система называется также многомерной случайной величиной. При изучении системы случайных величин недостаточно изучить отдельно случайные величины, составляющие систему, а необходимо учитывать связи или зависимости между этими величинами.

Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Так же, как и для одной случайной величины, закон распределения системы случайных величин может быть задан в различных формах. Рассмотрим таблицу распределения вероятностей системы дискретных случайных величин. Пусть и - дискретные случайные величины, возможные значения которых , где Тогда распределение системы таких случайных величин может быть охарактеризовано указанием вероятностей того, что случайная величина примет значение и одновременно с этим случайная величина примет значение . Вероятности фиксируют в таблице.

Такая таблица называется таблицей распределения системы двух дискретных случайных величин с конечным числом возможных значений. Все возможные события при составляют полную группу несовместных событий, поэтому:

.

Функцией распределения вероятностей системы двух случайных величин называется функция двух аргументов , равная вероятности совместного выполнения двух неравенств и , т. е.

Геометрически функцию распределения системы двух случайных величин можно интерпретировать как вероятность попадания случайной точки в левый нижний бесконечный квадрант плоскости (рис. 14) с вершиной в точке .

Основные свойства функции распределения вероятностей системы двух случайных величин.

Свойство 1.

или символически

Свойство 2.

или

Свойство 3.

Свойство 4. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу

Свойство 5. Вероятность попадания случайной точки в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется, по формуле:

Предположим, что функция распределения непрерывна и дважды дифференцируема. Тогда смешанная частная производная функции :

Функция называется плотностью распределения системы непрерывных случайных величин . Зная плотность распределения , можно определить вероятность попадания случайной точки в произвольную область

Выразим функцию распределения системы через плотность распределения :

Если случайные величины взаимозависимы, то закон распределения системы не может быть выражен через законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему. Это приводит к необходимости введения условных законов распределения.

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью распределения. Условная функция распределения обозначается , условная плотность распределения - (мы записали условные законы распределения случайной величины при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение).

Плотностью распределения для случайной величины при условии, что случайная величина приняла определенное значение (условной плотностью распределения), назовем величину

Аналогично плотностью распределения для случайной величины при условии, что случайная величина приняла определенное значение, назовем величину:

.

Отсюда получаем

.

Для описания условных законов распределения можно использовать различные характеристики подобно тому, как для одномерных распределений.

Наиболее важной характеристикой является условное математическое ожидание.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины при () - определенное возможное значение случайной величины называется сумма произведений возможных значений на их условные вероятности:

Для непрерывных случайных величин, где - условная плотность распределения случайной величины при

Аналогично условным математическим ожиданием дискретной случайной величины при называется сумма произведений возможных значений на их условные вероятности:

Для непрерывных случайных величин, где - условная плотность распределения случайной величины при

Аналогично вводятся условные дисперсии и условные моменты более высоких порядков.

Заключение

Переменная величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями. Наиболее полной, исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения. Закон распределения - функция (таблица, график, формула), позволяющая определять вероятность того, что случайная величина Х принимает определённое значение х_i или попадает в некоторый интервал. Если случайная величина имеет данный закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону или подчиняется этому закону распределения.

Функция распределения случайной величины - универсальная характеристика случайной величины

Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения, с вероятностной точки зрения, полностью характеризует случайную величину и таким образом является одной их форм закона распределения случайной величины.

Функцию распределения F(x) в некоторых источниках называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Общими свойствами функции распределения являются:

· Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента. То есть при x₂ > x₁ всегда F(x₂)>F(x₁).

· На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F(-?)=0.

· На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F(+?)=1.

Список использованной литературы

1. Таможенный кодекс Таможенного союза. М.: Проспект, 2012-484 с.

2. Боровиков, В.П. Прогнозирование в системе Statistica в среде Windows: основы теории и интенсивная практика на компьютере. - М.: Финансы и статистика, 2010. - 378 c.

3. Замков, О.О. Математические методы в экономике. - М.: Дело и Сервис, 2009. - 380 c.

4. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ЮНИТИ, 2009. - 551 c.

5. Кремер Н.Ш. Эконометрика: учебник. - М.: ЮНИТИ, 2010. - 328 c.

6. Статистика: /под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Юрайт, 2011. - 565 c.

Размещено на Allbest.ru

...