Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКА ДЕРЖАВНА АГРОТЕХНІЧНА АКАДЕМІЯ

УДК 514.18

Геометричне моделювання

розв'язків системи рівнянь Лоренца при розробці імпульсного впорскувача

Спеціальність 05.01.01 -

Прикладна геометрія, інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

ФОМІН Євген Миколайович

Мелітополь - 2007



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Університеті цивільного захисту України Міністерства з питань надзвичайних ситуацій України.

Науковий керівник: - доктор технічних наук, професор Ларін Олександр Миколайович, начальник кафедри інженерної і аварійно-рятувальної техніки, Університет цивільного захисту України (м. Харків)

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор Ванін Володимир Володимирович, завідувач кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки, національний технічний університет України „Київський політехнічний інститут” (м. Київ)

- кандидат технічних наук, доцент Гнатушенко Володимир Володимирович, доцент кафедри електронних засобів телекомунікацій, Дніпропетровський національний університет (м. Дніпропетровськ)

Захист відбудеться "19" вересня 2007 р. о 13⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 18.819.02 у Таврійській державній агротехнічній академії за адресою: 72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б.Хмельницького, 18.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Таврійської державної агротехнічної академії за адресою: 72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б.Хмельницького, 18.

Автореферат розісланий " 17 " серпня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої ради,

кандидат технічних наук, доцент О.Є.Мацулевич



Фомін Є.М. Геометричне моделювання розв'язків системи рівнянь Лоренца при розробці імпульсного впорскувача. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Таврійська державна агротехнічна академія, Мелітополь, Україна, 2007.

Дисертацію присвячено новому розв'язанню задачі геометричного моделювання аттрактора Лоренца як математичного апарату дослідження теплових конвективних потоків рідини в прямокутному каналі.

До головних результатів слід віднести метод пошуку періодичних орбіт аттрактора Лоренца за допомогою процесора Maple, що дозволило удосконалити розрахунки теплових конвективних потоків рідини в прямокутному каналі. Було складено програму розв'язання системи рівнянь Лоренца за заданими початковими умовами, що дозволило розширити клас рівнянь, які використовуються у прикладній геометрії. Побудовані на площині за допомогою розв'язків системи Лоренца аналоги комірок Бенара дозволять розширити клас геометричних об'єктів, які використовуються у методах прикладної геометрії. Також було складено описи зображень роздільних поверхонь, що обмежують гілки кривих аттрактора Лоренца. В результаті було складено алгоритми анімації зображень формоутворення аттрактора Лоренца в залежності від його параметрів. Результати впроваджено на Державному підприємстві Білоцерківський завод “Еталон” при проектуванні імпульсного теплового гідравлічного впорскувача таранного типу, та у навчальний процес кафедри інженерної та аварійно-рятувальної техніки УЦЗУ.

Ключові слова: система рівнянь Лоренца, аттрактор Лоренца, конвективний потік рідини, гідравлічний впорскувач.



Фомин Е.Н. Геометрическое моделирование решений системы уравнений Лоренца при разработке импульсного впрыскивателя. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - Прикладная геометрия, инженерная графика. - Таврийская государственная агротехническая академия, Мелитополь, Украина, 2007.

Диссертация посвящена решению задачи геометрического моделирования аттрактора Лоренца, как математического аппарата исследования тепловых конвективных потоков жидкости в прямоугольном канале. процесор геометричний аттрактор орбіта

К основным результатам следует отнести метод поиска периодических траекторий аттрактора Лоренца, что позволило усовершенствовать расчеты тепловых конвективных потоков жидкости в прямоугольном канале. Была составлена программа решения системы дифференциальных уравнений Лоренца по заданным начальным условиям. Построенные с помощью периодических решений системы Лоренца на плоскости аналоги ячеек Бенара позволяют расширить класс геометрических объектов, которые моделируются в прикладной геометрии. Были составлены описания изображений поверхностей, которые ограничивают ветви кривых аттрактора Лоренца. Были составлены алгоритмы анимации изображений формообразования аттрактора Лоренца в зависимости от его параметров. На актуальность исследований указывает то, что в современных гидравлических машинах широко применяются импульсные впрыскиватели. В них жидкость сжимается в резервуаре, а после выхода через отверстие в атмосферу она образовывает распыленный факел. Процесс усложняется, когда на жидкость влияют не только градиенты давления и скорости, но и градиенты температуры. Типичным примером служат впрыскиватели топлива дизельных двигателей. При подогреве жидкости в ней начинают проявляться конвективные эффекты Релея-Бенара. В области теории Релея-Бенара были получены фундаментальные результаты на основе решения дифференциальных уравнений. При этом ключевыми понятиями исследований являлись графические образы решений уравнений - такие как фазовые траектории в виде аттрактора Лоренца. Упомянутые геометрические образы могут составить предмет исследований и для прикладной геометрии, поскольку геометрическое моделирование сложных по форме объектов (как результата их профилирования по определенным законам), принадлежат к главным направлениям развития прикладной геометрии и инженерной графики. Однако уже проведенные исследования не позволили создать информационное обеспечение геометрического моделирования аттрактора Лоренца. Из позиций прикладной геометрии еще не изученными оказались вопросы визуализации аттрактора Лоренца в зависимости от входных параметров. Основной проблемой изучения тепловых конвекционных потоков жидкости является наличие хаотичности при ее движении. Но благодаря выбору входных параметров хаотичность можно уменьшить. На качественном уровне тепловой конвекционный поток можно исследовать благодаря визуализации фазовых траекторий аттрактора Лоренца. Это является следствием фундаментального соответствия между пространственной геометрией аттрактора Лоренца и стадиями конвекционного движения в слое жидкости, подогреваемой снизу. В частности, проявлением отсутствия хаотичности конвекционных потоков может быть наличие циклических фазовых траекторий решения системы Лоренца. Но для определения циклических фазовых траекторий необходимо иметь способ их поиска в зависимости от управляющего параметра системы (числа Релея) и начальных условий. В результате разработан комплекс программ для построения аттрактора Лоренца совместно (в сравнении) с физическими полями скорости и температуры. Результаты внедрены на Государственном предприятии Белоцерковский завод “Эталон” при проектировании импульсного теплового гидравлического впрыскивателя таранного типа, и в учебный процесс кафедры инженерной и аварийно-спасательной техники УГЗУ.

Ключевые слова: система уравнений Лоренца, аттрактор Лоренца, конвективный поток жидкости, гидравлический впрыскиватель.



Fomin E.N. Geometrical modeling of fluctuations of iterative pendular mechanical systems. - the Manuscript.

Thesis on competition of a scientific degree of the candidate of engineering science on a specialty 05.01.01 - applied geometry, engineering graph. - The Tavria State Agrotechnical Academy, Melitopol, Ukraine, 2007.

The dissertation is devoted to a new solution of a problem of geometrical simulation of Lorenz attractor, as mathematical tool of the researching of thermal convective fluid streams in the rectangular channel.

To the main results should be refer a method of searching a periodic orbits of Lorenz attractor with the help of Maple processor that has allowed to improve computations of thermal convective fluids streams in the rectangular channel. The program of a solution of Lorenz system of the differential equations with the input initial conditions. On the basis of the found solutions the method of the computing of thermal convective fluid streams in the rectangular channel which has allowed supplementing a set of animation images in application geometry has been offered. With the help of Lorenz system solutions the class of geometrical objects which are used in methods of applied geometry could be expanded by the analogs of plane Benars cells. In addition the description of the separating surfaces images which restrict branches of curves of Lorenz attractor have been composed. As a result the algorithms of the shaping images animation of Lorenz attractor depending on its parameters that has allowed supplementing.

Key words: Lorenz system of equations, Lorenz attractor, convective fluids stream, a hydraulic injector.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Становлення виробничого потенціалу України неможливе без розробки гідравлічних машин, де широко застосовуються імпульсні впорскувачі. У них рідина стискається в резервуарі, а після виходу через отвір в атмосферу утворює розпилений факел. Процес розпилення ускладнюється, коли на рідину впливають не тільки градієнти тиску й швидкості, але й градієнти температури. Типовим прикладом служать впорскувачі палива дизельних двигунів. Проблема розробки імпульсних впорскувачів стала актуальною, коли на хвилі енергозбереження розгорнулася кампанія виготовлення палива на основі рапсового масла, яке необхідно підігрівати. Але при підігріванні рідини в ній починають виявлятися конвективні ефекти Релея-Бенара. В галузі теорії Релея-Бенара відомі фундаментальні результати, які отримані на основі розв'язання диференціальних рівнянь. Вагомий внесок в дослідження конвективних ефектів Релея-Бенара зробили Ф.А.Гаріфуллін, Г. Мучник, А.В.Гетлінг, А.Д.Морозов, Є.Д.Ейдельман, С.П.Кузнецов, H.Benard, H.W. Broer, S.V. Patankar та інші. При цьому ключовими поняттями досліджень являлись графічні образи розв'язків рівнянь - такі як фазові траєкторії у вигляді аттрактора Лоренца. Згадані геометричні образи можуть визначити предмет досліджень і для прикладної геометрії, оскільки геометричне моделювання складних за формою об'єктів (як результату їх профілювання за певними законами), належать до головних напрямків розвитку прикладної геометрії і інженерної графіки. Однак проведені дослідження не дозволили створити інформаційне забезпечення геометричного моделювання аттрактора Лоренца. З позицій прикладної геометрії ще не зайнятою науковою нішею виявилися питання унаочнення та виявлення властивостей аттрактора Лоренца в залежності від вхідних параметрів та початкових умов. Основною особливістю при вивченні теплових конвекційних потоків рідини є наявність хаотичності при її русі. Але завдяки вибору вхідних параметрів цю хаотичність намагаються зменшити. Розв'язати цю задачу лише математичними методами дуже складно. На якісному рівні тепловий конвекційний потік можна дослідити завдяки унаочненню фазових траєкторій аттрактора Лоренца. Це є наслідком фундаментальної відповідності між просторовою геометрією аттрактора Лоренца і стадіями конвекційного руху в прошарку рідини, яка підігрівається знизу. Так, проявом відсутності хаотичності конвекційних потоків може бути у тому числі і наявність циклічних фазових траєкторій розв'язків системи Лоренца. Але для визначення циклічних фазових траєкторій необхідно мати спосіб їх пошуку в залежності від керуючого параметра системи (числа Релея) та початкових умов. Звідси зрозумілий вибір теми даної дисертаційної роботи. Метою роботи є вивчення геометричних властивостей аттрактора Лоренца як математичного апарата дослідження теплових конвекційних потоків рідини в прямокутному каналі, орієнтованих на розробку конструкції впорскувача.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано на кафедрі інженерної та аварійно-рятувальної техніки Університету цивільного захисту України в рамках науково - дослідної роботи “Розробка пневмо-імпульсної установки для подачі вогнегасних рідин” № 0106U002297.

Формулювання наукової задачі, нове вирішення якої отримано в дисертації. Розробити математичне забезпечення алгоритму розрахунку різновиду імпульсного теплового гідравлічного впорскувача таранного типу.

Мета і задачі дослідження. Дослідити геометричні властивості аттрактора Лоренца в залежності від вхідних параметрів в початкових умов як основи визначення теплових конвективних потоків рідини в прямокутному каналі.

Об'єктом дослідження є графічний образ аттрактора Лоренца.

Предметом дослідження є спосіб складання алгоритмів геометричного моделювання фазових траєкторій аттрактора Лоренца.

Методи дослідження: елементи диференціальних рівнянь та комп'ютерної графіки у середовищі математичного процесора Мaple. Застосовуються положення прикладної геометрії та методи обчислювальної математики.

Для досягнення цієї мети у дисертації поставлено такі основні задачі:

1. Виконати аналіз відомих методів дослідження аттрактора Лоренца.

2. Скласти описи зображень роздільних координатних поверхонь, що обмежують гілки кривих аттрактора Лоренца.

3. Розробити геометричний спосіб визначення показників Ляпунова як міри хаотичності системи Лоренца при даних параметрах.

4. Розробити спосіб пошуку періодичних орбіт аттрактора Лоренца за допомогою процесора Maple.

5. Скласти алгоритм побудови на площині аналогів комірок Бенара за допомогою періодичних розв'язків системи Лоренца.

6. Розробити алгоритми анімації зображень формоутворення аттрактора Лоренца в залежності від його параметрів.

7. Скласти комплекс програм для побудови аттрактора Лоренца сумісно (і в порівнянні) з фізичними полями швидкості і температури.

8. Результати впровадити у виробництво при проектуванні імпульсного теплового гідравлічного впорскувача.

Наукові положення, розроблені особисто дисертантом та їх новизна.

1. Запропоновано спосіб опису координатних поверхонь, які обмежують гілки аттрактора Лоренца, що спростило аналіз якісних змін в його поведінці.

2. Вперше розроблено графоаналітичний спосіб обчислення показників Ляпунова, що дозволило формалізувати визначення міри хаотичності системи.

3. Вперше розроблено графоаналітичний спосіб визначення періодичних орбіт фазових траєкторій системи Лоренца як критерію відмежування від хаосу.

4. Вперше розроблено графоаналітичний спосіб визначення аналогів комірок Бенара на основі періодичних розв'язків системи рівнянь Лоренца.

5. Розроблено спосіб побудови кадрів анімації зображень формоутворення аттрактора Лоренца, що дозволило виявляти критичні значення параметрів.

Вірогідність та обґрунтованість результатів підтверджується доведенням тверджень, аналітичними перетвореннями за допомогою процесора Марle та побудованими за допомогою комп'ютера зображеннями результатів геометричного моделювання, а також розрахунками у процесі впровадження.

Практичне значення одержаних результатів дисертації полягає у спроможності на її теоретичній базі розраховувати різновиди імпульсного теплового гідравлічного впорскувача. Реалізація роботи виконана на ДП Білоцерківський завод “Еталон” при проектуванні імпульсного теплового гідравлічного впорскувача дизельних двигунів з паливом на основі рапсового масла, та у навчальний процес кафедри інженерної та аварійно-рятувальної техніки УЦЗУ при викладанні теми “Імпульсні пристрої пожежогасіння”, що підтверджується довідками про використання запропонованої методики.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати одержано особисто автором, який розробив всі теоретичні і прикладні питання, що складають наукову новизну досліджень. Автором сплановано і здійснено виконання теоретичних робіт, а також проведення комп'ютерних і натурних експериментів. Особисто автор виконав теоретичні дослідження по складанню алгоритмів трасування, розробив для математичного процесора Марle версії реальних програм. Внесок співавторів спільних публікацій полягав у обговоренні результатів комп'ютерної реалізації геометричних моделей.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися та обговорювались на: науковому семінарі кафедри нарисної геометрії та графіки НТУ “ХПІ” під керівн. к.т.н., проф. А.М.Краснокутського (м. Харків, 2006 рр.); міській секції графіки під керівн. д.т.н., проф. Ю.М.Тормосова (м. Харків, 2006 р); науковому семінарі кафедри прикладної геометрії і інформаційних технологій проектування ТДАТА під керівн. д.т.н., проф. В.М.Найдиша (м. Мелітополь, 2007 р.); науковому семінарі кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки НТУУ „КПІ” під керівн. д.т.н., проф. В.В.Ваніна (м. Київ, 2006 р.); другій науково-практичній конференції „Геометричне і комп'ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн” (м. Сімферополь, 2005 р.); україно - російській науково - практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Харків, 2005 р. 2007 р.); науково - практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Дніпропетровськ, 2006 р.), науковому семінарі кафедри нарисної геометрії та комп'ютерної графіки ДонДТУ під керівн. д.т.н., проф. І.А.Скидана (м. Донецьк, 2007 р.).

Публікації. За результатами досліджень опубліковано 10 робіт (з них 1 одноосібно, 9 у виданнях, які рекомендовано ВАК України).

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 155 найменувань та додатків. Робота містить 155 сторінок машинописного тексту та 40 рисунків.

ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить загальну характеристику роботи. Обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та задачі досліджень. Показано наукову новизну і практичну цінність отриманих розв'язків.

У першому розділі наведено огляд питань, присвячених утворенню й руйнуванню структур Бенара в прошарку рідини, яка знаходиться у ємності імпульсного впорскувача. При цьому вважається, що прошарок рідини кінцевої товщини h підігрівається знизу так, що між верхньою (холодною) й нижньою (гарячою) поверхнями підтримується постійна різниця температур. Із часом підігріву рідина, що, піднімається догори, охолоджується й знову опускається донизу. У результаті такого нескінченного руху усередині рідини утворяться так звані вали Бенара діаметром h/a, де a - геометричний параметр. Опис конвективного потоку можна здійснити за допомогою системи Лоренца:

. (1)

Змінні і додатні коефіцієнти в системі (1) мають такий фізичний смисл. Змінна x пропорційна швидкості циркуляції рідини; змінна y характеризує різницю температур між потоками рідини, які піднімаються догори і опускаються донизу; змінна z пропорційна відхиленню вертикального профілю температур від значення рівноваги. Коефіцієнт є безрозмірним критерієм подібності теплових режимів (число Прантля); параметр b характеризує лінійні розміри системи; керуючий параметр r пропорційний різниці температур між дном рідини і її вільною поверхнею ( r = Ra/R_K, тут - Ra число Релея, R_K - критичне значення числа Релея.

На рис. 1б показано траєкторію розв'язку системи Лоренца для =10; b=8/3; r=28. Фазова траєкторія утворює в просторі станів (x, y, z) об'єкт складної структури (аттрактор Лоренца). Його особливістю є те, що витки фазової траєкторії непередбачуваним чином намотуються на лівий чи правий фокус. Виконано огляд робіт, в яких досліджуються утворення й руйнування структур Бенара на основі аналізу розв'язків системи рівнянь Лоренца. Робиться висновок, що надати суттєву допомогу процесу аналізу розв'язків системи рівнянь Лоренца можуть графоаналітичні методи їх унаочнення.

Другий розділ присвячено дослідженню розв'язків системи рівнянь Лоренца на основі їх графічних побудов. Наочно показано, що в активній фазі розвитку розв'язків системи Лоренца, “перекладання” їх траєкторій з правої на ліву частини аттрактора (і навпаки) здійснюються не прогнозованим чином. Пропонується спосіб формалізації дослідження процесу “перекладання” кривої розв'язків системи Лоренца. Для цього будується криволінійна система координат, дві початкові точки якої співпадають з двома нерухомими точками системи Лоренца. Тоді положення пробної точки відносно аттрактора Лоренца можна визначити, аналізуючи знаки функцій, які входять до опису координатних поверхонь. В роботі обґрунтовано наступний шлях вибору координатних поверхонь.

Для системи Лоренца (1) розглянуто функцію вигляду:

. (2)

Поверхнями рівня функції (2) будуть еліпсоїди. За допомогою виразу (2) в просторі координат Oxyz системи Лоренца можна визначити рівняння першої координатної поверхні

. (3)

Координатна поверхня (3) проходить через дві нерухомі точки системи Лоренца

(,, r - 1) і (,

r - 1). Для визначення “спряженої” координатної поверхні, обчислимо



Тоді, з врахуванням співвідношень (1), маємо:

За допомогою виразу (4) в просторі координат Oxyz системи Лоренца можна скласти рівняння другої координатної поверхні:

. (5)

Наведено сумісне зображення координатних поверхонь і аттрактора Лоренца. Розгляд аттрактора Лоренца в обраній координатній системі дозволив на аналітичному рівні визначати початок якісних змін в його поведінці. А саме: показати, що при переході між областями стану нестійкої рівноваги спочатку відбувається зміна знака у координати у, а потім - у координати х. Така послідовність зміни знака координат х і у підтверджується результатами відомих експериментів.

Мета геометричних досліджень аттрактора Лоренца полягає у визначенні значень параметрів системи, які б дозволили відмежуватися від хаотичності. Наявність циклічних фазових траєкторій розв'язків системи Лоренца може служити ознакою її слабої хаотичності. Для якісного порівняння хаотичної поведінки системи при знайдених параметрах системи, які відповідають циклічним траєкторіям, в роботі було розглянуто геометричний смисл одного з головних математичних інструментів для оцінки степені хаотичності динамічної системи - поняття спектру показників Ляпунова. Нехай маємо сім'ю фазових траєкторій, описаних системою рівнянь (1), і які характеризуються ледь відмінними початковими умовами. Оберемо у фазовому просторі сім'ю точок, розташованих на поверхні кулі малого радіуса з центром на траєкторії М{х(t), y(t), z(t)}. Кожна точка сім'ї за час Т переміститься по своїй фазовій траєкторії в нове положення {х(Т), y(Т), z(Т)}. Внаслідок цього куля візуально нібито деформується у еліпсоїд (поки розміри “хмари” точок ще можна вважати малими).

Геометрична інтерпретація спектра ляпуновських показників полягає у тому, що кожний з показників характеризує зміну масштабу вздовж однієї з головних осей еліпсоїда. Нехай розміри еліпсоїда по трьох головних півосях в момент часу Т будуть {1₁, 1₂, 1₃} = { ехр (₁ Т) , ехр (₂ Т) , ехр (₃ Т) }. У випадку малих і великих t саме величини {₁, ₂, ₃} визначають спектр ляпуновських показників. Таким чином, кожен показник відповідає за розширення або стиснення еліпсоїда зображуючих точок вздовж однієї з його головних осей.

На відміну від обчислення ляпуновських показників на основі їх алгебраїчної інтерпретації, в роботі пропонується геометричний спосіб їх визначення. Для цього необхідно обрати початкову току М, обчислити координати множини точок поверхні сфери радіуса з центром в М, та відповідні їм точки за час Т, які утворять поверхню еліпсоїда. Засобами комп'ютерної графіки будується зображення цього еліпсоїда і наочно визначаються його розміри. На рис. 3 наведено зображення кулі і відповідного їй еліпсоїда для = 0,1 і Т = 0,1. Значення великої осі еліпсоїда формально обчислюється як максимальна відстань між точками, належними еліпсоїду (у даному випадку це буде 0,48). Те ж саме можна здійснити для інших вхідних параметрів системи. Порівняння розмірів великих осей еліпсоїдів дозволить оцінити степінь хаотичності динамічної системи. А саме - більш хаотичною слід вважати систему, у якої розмір великої осі еліпсоїда буде більшим.

В роботі також запропоновано спосіб визначення циклічних траєкторій розв'язків рівнянь Лоренца з близькими початковими і кінцевими точками (оскільки при малих значеннях параметра t може не існувати замкнених циклічних траєкторій).

Графоаналітичний метод визначення циклічних траєкторій фазових траєкторій системи рівнянь Лоренца (1) полягає в наступному.

1. Засобами математичного процесора Maple визначаються числові розв'язки системи рівнянь (1) у вигляді процедур-функцій x(t), y(t) і z (t).

2. Обирається початкова точка траєкторії {x(tn), y(tn), z (tn)} і на інтервалі tn t tk будується графік функції відстані

.

Тут tk - деяке допоміжне число.

3. Визначається така величина t = tnew, при якій функція S(t) досягає (прийнятного для розв'язку) мінімального значення.

4. У фазовому просторі Oxyz будується циклічна траєкторія фазової кривої між точками {x(tn), y(tn), z (tn)} і {x(tnew), y(tnew), z (tnew)}.

5. Коли відстань між точками {x(tn), y(tn), z (tn)} і {x(tnew), y(tnew), z (tnew)} не є прийнятною, то слід обрати інше tn. Для цього будується графік функції

і визначаються значення {t, tn}, при яких функція S(t, tn) приймає мінімальні значення.

6. На практиці для відшукання пар {t, tn} зручно використовувати зображення лінії рівня функції S(t, tn) - = 0, де - мале число.

Наприклад, для параметрів системи Лоренца = 10; r = 28 і b = 8/3 на рис. 4 для 45 tn 50 зображено графік функції S = S(t, tn), а на рис. 5 - лінії рівня S(t, tn) - 3 = 0 (для t > tn). Мінімальні значення функції S(t, tn) дозволяють визначити величини tр, відповідні значенням tn, для яких можливі циклічні траєкторії фазових кривих. На рис. 6 зображено одноциклічну траєкторію при tn = 46,2; tp = 49,92, а на рис. 7 - п'ятициклічну при tn = 45,5; tp = 49,22 (тут початкова і кінцева точки зображені кружечками).

Запропонований алгоритм дозволяє визначати циклічні траєкторії і у випадку, коли змінюється керуючий параметр r. На рис. 8 і 9 наведено приклади таких траєкторій. Зазначимо, що при великих значеннях r графічні зображення початкової і конечної точок можуть візуально співпадати.

На основі знайдених циклічних розв'язків системи рівнянь Лоренца запропоновано спосіб геометричного моделювання комірок Бенара, форма яких проявляється в процесі конвективного перемішування рідини. При цьому для побудови легко формалізованим способом використовується множина нестійких періодичних орбіт. Ці орбіти є прикладами елементів порядку в межах хаосу; вони утворюють каркас аттрактора.

Моделювання комірок Бенара виконано на основі побудов на площині Ouv за допомогою одержаних в роботі циклічних розв'язків системи Лоренца. При цьому унаочнення здійснюється на основі чотирьох схем побудов - мультиплікативної x(u) x(v) = const та адитивної x(u) + x(v) = const, а також виконаних на основі R-диз'юнкції та R-кон'юнкції. В якості прикладу на рис. 10 наведено геометричні моделі комірок Бенара, побудованих для циклічних розв'язків системи Лоренца з параметрами = 10; r = 100,5 і b = 8/3.

В третьому розділі наведено комплекс програм для побудови аттрактора Лоренца сумісно для порівняння з фізичними полями швидкості і температури, обчисленими в вертикальному перерізі рідини. Також представлено можливе впровадження результатів дисертації у вигляді конструкції діючої моделі імпульсного впорскувача. Наголошується, що дисертація присвя чена не технологічним питанням конструювання гідравлічного обладнання, а лише геометричним питанням обґрунтуванню вибору їх раціональних параметрів.

Для зручності користування програмним продуктом було розроблено інтерфейс, у вікнах якого відображаються: фізичні параметри і параметри розрахунку, одна з проекцій аттрактора Лоренца, поле швидкостей та поле температур, обчисленими в вертикальному перерізі рідини. Послідовно розглянуті випадки: ? слабкого нагрівання (r < 1), коли у прошарку рідини немає конвективних потоків, і динамічна система, образом якої служить точка, у фазовому просторі, прагне до стану рівноважного порядку; ? зростаючого нагрівання (r = 2), коли у прошарку рідини зароджуються конвективні потоки, образом динамічної системи у фазовому просторі служить крива, що розгортається у часі; ? більшого нагрівання (r = 10 і r = 20), коли у прошарку рідини вже розвинені конвективні потоки, образом динамічної системи у фазовому просторі є крива, яка намотується то на правий, то на лівий фокуси.

Нарешті, при r = 24 утворюється стійкий аттрактор. У фазовому просторі він має вигляд “кільця”, до якого “притягується” фазова крива, де б вона не розпочиналася. В цьому випадку у фізичному експерименті спостерігаються комірки Бенара (система знаходиться у “циклічній фазі”). При подальшому підігрівання при значенні r = 28 відбувається порушення комірок Бенара, а при r = 33 спостерігається турбулентне кипіння. Можна спостерігати перехід від порядку до хаосу (з'являється дивний аттрактор).

В роботі наведено результати, які відповідають подальшому нагріванню рідини. При r = 100 і r = 180 спостерігається порушення структури рідини, а при r = 150 і r = 230 - утворення упорядкованої її структури. Це підтверджує відоме з класичної теорії конвективних потоків положення про те, що перехід в структурі рідини від порядку до хаосу (П => Х) при збільшенні теплових потоків відбувається за умови чергування: Х => П => Х => П =>…. Фазовий простір виявився потужним засобом для вивчення хаосу, тому що він дозволяє представити поводження хаотичної системи в наочній геометричній формі.

На основі проведених досліджень було рекомендовано вибір параметрів гідравлічного впорскувача, які б в процесі його дії забезпечили мінімальність турбулентності. Наведено схеми етапів дії гідравлічного впорскувача. На першому етапі нижня камера впорскувача заповнюється рідиною, після чого у верхню камеру подається стиснуте повітря (другий етап). Тоді гнучка мембрана вигинається, стискаючи пружину (третій етап), і відкриває клапан (четвертий етап). На п'ятому етапі стиснуте повітря виштовхує рідину і впорскувач заряджається для наступного впорскування (шостий етап).

Визначено технічні характеристики впорскувача, залежності його параметрів від різноманітного сполучення конструктивних та фізико-механічних властивостей рідини. Обрані параметри системи Лоренца було покладено в основу конструкції впорскувача. Розроблено діючий макет впорскувача, на якому проведено натурні експерименти.

Наведено креслення моделі гідравлічного впорскувача, а на рис. 15 - основні деталі варіанту її реалізації, виконаних у масштабі 10 : 1. Наведено результати дії розробленого імпульсного гідравлічного впорскувача за умови врахування та не врахування конвекційного руху рідини.



ВИСНОВКИ

Дисертацію присвячено новому розв'язанню задачі геометричного моделювання аттрактора Лоренца в залежності від вхідних параметрів і початкових умов як математичного апарата дослідження теплових конвекційних потоків рідини в прямокутному каналі, і орієнтованих на розробку конструкції гідравлічного впорскувача.

Значення для науки роботи полягає у подальшому розвитку способів дослідження теплових конвективних потоків рідини в прямокутному каналі за допомогою аналізу розв'язків системи рівнянь Лоренца в залежності від вхідних параметрів і початкових умов.

Значення для практики досліджень полягає в скороченні термінів та підвищенні точності моделювання імпульсного впорскувача, одержання моделей, що задовольняють вимогам і прискорюють його проектування.

При цьому отримані результати, що мають науково-практичну цінність.

1. Виконано критичний огляд відомих методів геометричного моделювання аттрактора Лоренца, з чого випливає необхідність унаочнення його розв'язків та виявлення періодичних траєкторій.

2. Складено програму розв'язання системи нелінійних рівнянь Лоренца у вигляді процедури-функції, що дозволило оперувати зі знайденими розв'язками як зі звичайними функціями.

3. Запропоновано систему координатних криволінійних поверхонь, які розділяють гілки кривих аттрактора Лоренца, що дозволило на аналітичному рівні визначати початок якісних змін в його поведінці.

4. Запропоновано геометричний спосіб визначення показників Ляпунова як міри хаотичності системи Лоренца, що дозволило наочно порівнювати в залежності від вхідних параметрів степені хаотичності систем Лоренца.

5. Розроблено метод пошуку періодичних орбіт аттрактора Лоренца в залежності від керуючого параметра Релея та початкових умов, що дозволило удосконалити розрахунки теплових конвективних потоків рідини в прямокутному каналі.

6. На основі знайдених періодичних розв'язків системи Лоренца було описано варіанти аналогів комірок Бенара, що дозволило розширити клас геометричних об'єктів, які вивчаються у прикладній геометрії.

7. Розроблено алгоритми анімації зображень формоутворення аттрактора Лоренца в залежності від його параметрів, що дозволило виявляти критичні значення цих параметрів, при яких починаються якісні зміни в його поведінці.

8. Розроблено комплекс програм для побудови аттрактора Лоренца сумісно (в порівнянні) з фізичними полями швидкості і температури.

9. Результати впроваджено на ДП Білоцерківський завод “Еталон” при проектуванні імпульсного теплового гідравлічного впорскувача, та у навчальний процес кафедри інженерної та аварійно-рятувальної техніки УЦЗУ.



ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО У ТАКИХ РОБОТАХ

1. Яковлев А.М., Чернобай Г.А., Фомин Е.Н. Конструктивные особенности пневмоимпульсного насоса. Матеріали науково-практичної конференції “Об'єднання теорії та практики - залог підвищення боєздатності пожежно-рятувальних підрозділів” (Харків. 22 грудня 2004 р.) - Харків: Академія цивільного захисту України. 2004 р. - С.162-164

Особисто автором виконано аналіз конструктивних особливостей схеми пневмоімпульсного насоса.

2. Ларин А.Н., Фомин Е.Н. Расчет устройства для импульсной подачи жидкости // Проблемы пожарной безопасности, Харьков: АЦЗУ. - № 17. - 2005. - С. 105-109

Особисто автором розроблено програму розрахунку пристрою для імпульсної подачі рідини.

3. Коханенко В.Б., Яковлєв О.М., Фомін Є.М. системи імпульсної подачі рідини. У зб. “Матеріали науково-практичної конференції. Об'єднання теорії та практики - залог підвищення боєздатності пожежно-рятувальних підрозділів” (Харків. 21 грудня 2005 р.) - Харків: АЦЗУ, 2005 р. - С. 52-53.

Особисто автором проаналізовано системи імпульсної подачі рідини.

4. Ларин А.А., Фомин Е.Н. Расчет устройства установки импульсной подачи жидкости. Збірник наукових праць “Системи обробки інформації” Харків: МО ХУПС. 2005. - С. 102-107.

Особисто автором розраховано варіант розрахунку пристрою імпульсної подачі рідини.

5. Ларин А.Н., Ларин А.А., Фомин Е.Н., Грицина І.М. Моделирования процесса зарядки гидроаккумулятора // Проблемы пожарной безопасности, Харьков: АГЗУ, Вып. 18, 2005. - С. 102 - 107.

Особисто автором розроблено програму розрахунку процесу зарядки гідроакумулятора.

6. Ольшанський В.П., Ольшанський С.В., Ларін О.М., Фомін Є.М. Балістика крапель розпилених вогнегасних рідин. - Біла Церква: вид. Пєшковський О.В., 2006. - 124 с.

Особисто автором розроблено програму унаочнення траєкторій крапель розпилених вогнегасних рідин.

7. Ларін О.М., Ларін О.О., Грицина І.М., Фомін Є.М. Дослідження руху ідеальної рідини, що витісняється з резервуару під дією розширюючогося газу, в трубі постійного поперечного перерізу // Проблемы пожарной безопасности. Харьков: УЦЗУ. - Вып. 20.- 2006. - С. 40-46

Особисто автором розроблено програму розрахунку руху в трубі постійного поперечного перерізу ідеальної рідини, що витісняється з резервуару під дією газу, який розширюється.

8. Росоха С.В., Фомін Є.М. Дослідження впливу керуючого параметра на розвиток аттрактора Лоренца // Геометричне та комп'ютерне моделювання - Харків: ХДУХТ, 2007. - Вип.16. - С. 98-108.

Особисто автором розроблено програму унаочнення розв'язання системи рівнянь Лоренца в залежності від керуючого параметра.

9. Фомін Є.М. Геометричне моделювання динаміки розвитку системи рівнянь Лоренца // Геометричне та комп'ютерне моделювання - Харків: ХДУХТ, 2007. - Вип.17. - С. 240-245.

10. Фомін Є.М., Ларін О.О. Геометричне моделювання динаміки конвективної течії рідини на основі розв'язання системи рівнянь Лоренца // Геометричне та комп'ютерне моделювання - Харків: ХДУХТ, 2007. - Вип.18. - С. 88-95.

Особисто автором розроблено програму визначення динаміки конвективної течії рідини на основі розв'язання системи рівнянь Лоренца.

Размещено на Allbest.ru

...