Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МБОУ «Лицей № 21»

геометрия

правильные многоугольники

Выполнила: ученица 9 А класса

Золотухина Анастасия

Курск 2014

1. Понятие правильного многоугольника

Правильным многоугольником называют выпуклый многоугольник, все стороны которого равны между собой и все углы также равны между собой.

2. История

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников, решая задачу для n=3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея многоугольник с числом сторон (2m-1): разбивая дугу на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и т. д. Кроме того, в своей книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r* s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с 2^m*p₁^k1*p₂^k2 сторонами, где m -- целое неотрицательное число, p₁ и p₂ -- числа 3 и 5, а k₁ и k₂ принимают значения 0 или 1.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма Числа Ферма -- числа вида F_n=2^(2)ⁿ+1 , где n -- натуральное число или 0. Последовательность чисел Ферма начинается так: 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, …, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Если брать в общем, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно 2^k0p₁^k1p₂^k2…p_s^ks, где k₀ -- целое неотрицательное число, k₁, k₂ и k_s принимают значения 0 или 1, а p_j -- простые числа Ферма.

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в1836 году.

Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе -- Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее -- Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году. С тех пор проблема считается полностью решённой.

3. Построение

Построение правильного треугольника

Способ 1. Начертим окружность с центром в точке O, проведем диаметр ED. Обозначим на нем точку K так, что OK=KD. Теперь проведем через точку K хорду MN, перпендикулярную OD. Соединим точки E, M и N. Полученный треугольник EMN - равносторонний.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Способ 2. Начертим окружность с центром O и радиусом OA. Начертим вторую окружность с таким же радиусом, проходящую через точку O. Соединим центры этих окружностей и одну из точек пересечения (в данном случае с точкой B). Полученный треугольник - равносторонний.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Способ 3. Построим окружность с центром O. Далее построим некоторую точку, принадлежащую окружности. Из данной точки на окружность раствором циркуля, равным R, откладываем последовательно отрезки (их 6). Полученные точки соединяем через 1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Способ 4. Строим окружность произвольного радиуса, с центром в точке А. Проводим прямую, через точку А. Отмечаем точки пересечения прямой и окружности С и В. Строим вторую окружность, с радиусом, равным радиусу, первой окружности и центром в точке С. Отмечаем точки пересечения окружностей F и D. Соединяем точки В,D,F. Треугольник BDF - равносторонний.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построение правильного четырехугольника (квадрата)

Способ 1 (рис. 1). Проводим в окружности 2 перпендикулярных диаметра (Шаг 1). Точки пересечения этих диаметров с окружностью являются вершинами квадрата (Шаг 2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Способ 2 (рис. 2). Как и в первом способе, проводим в окружности 2 перпендикулярных диаметра. Из точек пересечения диаметров с окружностью строим дуги с радиусом R, равным радиусу окружности (Шаг 1). Точки пересечения дуг EG и FH соединяем соответственно линиями

(Шаг 2). Точки пересечения этих линий с окружностью и являются вершинами квадрата.

Способ 3. Постройте отрезок AB, равный будущей стороне квадрата a. Постройте 2 окружности, с центрами в точках A и B и радиусом AB. Проведите прямую GH через точки пересечения окружностей. Постройте окружность, проходящую через концы отрезка и имеющую d=AB, и вторую, также проходящую через точки A и B, но с центром в точке F пересечения первой окружности с прямой GH. Соедините точки A, B, D, C. Четырехугольник ABDC - квадрат.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построение правильного пятиугольника

Способ 1. Строим окружность произвольного радиуса R и проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СD. Делим пополам радиус АО точкой Е. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ею диаметр АВ в точке F. Из С радиусом CF проводим дугу FG, пересекая ею данную окружность в точке G; CG (равная CF) есть одна сторона искомой фигуры. Проводим тем же радиусом дугу из точки G как из центра, получаем ещё одну вершину Н искомой фигуры и т. д. Аналогично находим вершины K и L. CGHKL - правильный пятиугольник.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Способ 2.Чтобы построить правильный пятиугольник возьмем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Отметим середину радиуса и проведем окружность, проходящую через точку O, с центром в полученной точке.

Проведем отрезок из центра маленькой окружности к точке пересечения большой окружности и ее радиуса. Построим окружность с центром в этой же точке так, чтобы она соприкасалась с маленькой окружностью.

Из точек пересечения большой и полученной окружностей проведем окружности как показано на рисунке. Для получения пятиугольника нужно соединить точки через одну.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Способ 3. Приближенное построение правильного пятиугольника. А.Дюрером оно проводилось при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения. Способ построения описан Дюрером так: «"Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J. Соединив J,A и H,B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник".

Способ 4. Пусть AB - заданная сторона пятиугольника - равна a. Восстановим из B перпендикуляр к AB и отложим на нем отрезок BC=a/2. Точку C соединим с точкой A. На прямой AC отложим отрезок DC=BC=a/2; затем на продолжении AB отложим AE=AD. Тогда BE равняется диагонали пятиугольника. Для построения вершин описываем из центров A и B дуги радиусами AB и BE, и в их пересечении находим вершины F, G, H.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построение правильного шестиугольника

Построим окружность с центром в точке О. Проведем диаметр окружности. Проведем окружность того же радиуса с центром в точке пересечения диаметра с окружностью.

Проведем прямые через центр начальной окружности и точки пересечения полученной дуги с этой окружностью и соединим точки пересечения всех прямых с исходной окружностью.

Получаем правильный шестиугольник.

Способ 2. Построим окружность с центром O. Далее построим некоторую точку, принадлежащую окружности. Из данной точки на окружность раствором циркуля, равным R, откладываем последовательно отрезки (их 6). Полученные точки соединяем.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построение правильного семиугольника

Чтобы начать построение, начертите произвольную окружность и обозначьте ее центр буквой О. Затем проведите радиус этой окружности в любом направлении. Точку пересечения радиуса с окружностью обозначьте буквой А. После этого переставьте циркуль в точку А и проведите окружность или дугу того же радиуса, что и у исходной окружности (ОА). Данная дуга пересечет исходную окружность в двух точках. Обозначьте их буквами В и С. Соедините две полученные точки. При этом отрезок ВС пересечет радиус ОА. Точку их пересечения обозначьте буквой D. Образовавшиеся при этом отрезки ВD и DC будут равны между собой и каждый из них будет приблизительно равен стороне правильного семиугольника, который можно вписать в исходную окружность. Отмерьте циркулем расстояние ВD (или DC) и, начиная с любой точки на окружности, отложите это расстояние шесть раз. Затем соедините все семь точек. Так вы получите семиугольник, который с небольшой погрешностью можно назвать правильным. Все его стороны и углы будут приблизительно равны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

4. Интересные факты

Пентаграмма и "золотое сечение"

Особое внимание пифагорейцы уделяли пентаграмме - пятиконечной звезде, образованной диагоналями правильного пятиугольника или пентагона. В них пифагорейцы обнаружили знаменитое «золотое сечение», которое в те времена называлось "делением отрезка в крайнем и среднем отношении". Доказано, что точки пересечения диагоналей в пентагоне всегда являются точками золотого сечения. При этом они образуют новый пентагон FGHKL. В новом пентагоне можно провести диагонали, пересечение которых образуют еще один пентагон и этот процесс может быть продолжен до бесконечности. Таким образом, пентагон ABCDE как бы состоит из бесконечного числа пентагонов, которые каждый раз образуются точками пересечения диагоналей. Эта бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создает чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом.

В пентагоне можно найти огромное количество отношений «золотого сечения». Например, отношение диагонали пентагона к его стороне равно "золотой пропорции" . Если теперь рассмотрим последовательность отрезков FG, EF, EG, EB, то легко показать, что они связаны пропорцией "золотого сечения":

.

Не только лишь благодаря совершенной форме и богатству математических свойств пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа здоровья и тайного опознавательного знака. Этот символ означает торжество Воли над материей, Духа над 4 элементами материи, формирующие Душу. Человеком пентаграммы считался тот, кто сумел победить свою животную природу и таким образом добивался полной индивидуальной эволюции.

Многие основатели государств были в той или иной степени посвящены в эти мистерии, может, поэтому и сегодня пятиконечная звезда является символом едва ли не половины стран мира.

Устройство для графического построения правильных многоугольников

Известно, что простого специального приспособления для графического построения правильных многоугольников с четным или нечетным количеством сторон не имеется. Но если построение правильных многоугольников с четным количеством сторон с применением простых инструментов - циркуля и линейки без делений - не вызывает особых затруднений, то построение правильных многоугольников с нечетным количеством сторон (например, 7 или 9 и более сторон) без специальных сложных устройств весьма затруднено и практически невозможно.

Предложено просторе устройство для графического построения правильных многоугольников как с четным, так и нечетным количеством сторон.

Устройство представляет собой тонкую прозрачную или непрозрачную полимерную пластинку в виде полукруга с центром в точке Р. Основание полукруга представляет собой ровную линейку без делений. По внешней стороне полукруга с левой стороны нанесены риски с одним и тем же интервалом. Каждая риска обозначена цифрами от 1 до 35 (или кратными последней цифре, например 5, 10, 15 и т.д.). Расстояние между рисками выбрано по величине произвольно. Количество рисок на устройстве определяет максимальное количество сторон для построения правильного многоугольника. С уменьшением расстояния между рисками возможно расположить по контуру полукруга большее количество рисок, что позволит строить правильные многоугольники с большим количеством сторон.

На правой стороне полукруга от точки В риской А отделена дуга величиной 60 градусов.

Графическое построение правильных многоугольников при помощи данного устройства производится следующим образом. Например, необходимо построить правильный 9-угольник. Для этого делают следующие шаги:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Проводят на листе бумаги горизонтальную линию.

2. Прикладывают полукруг сверху на проведенную линию и обводят по контуру полностью полукруг. После этого точками обозначают на листе бумаги риски с буквами Р, О, В, А, а также точки напротив рисок с цифрами 6 и 9.

3. Проводят линию между точками 6 и В.

4. Проводят два луча: один из точки Р через точку А, а второй - из точки 9 параллельно линии ОВ. Эти два луча пересекутся в точке, которую необходимо обозначить, например, буквой К.

5. Циркулем проводят полуокружность из точки М на линии ОВ так, чтобы эта полуокружность проходила через точки 9 и К. В этом случае точка М является точкой пересечения диаметра ОВ с перпендикуляром к середине отрезка, соединяющего точки 9 и К.

6. Проведенная циркулем полуокружность пересечет линию ОВ в точке Е, а ее продолжение за точку В - в точке Д, и, кроме того, она пересечет луч из точки В через точку 6 в точке С.

7. Циркулем откладывают на дуге КД дугу НД, равную дуге СЕ.

8. Проводят луч из точки Р через точку Н, который пересечет дугу АВ в точке Т. Величина дуги ВТ составит точно 1/9 часть окружности с центром в точке Р и радиусом РВ.

9. Откладывая на данной окружности девять размеров дуги ВТ и соединив соседние засечки отрезками, получают правильный девятиугольник, вписанный в окружность с центром в точке Р.

Точность графических построений зависит только от точности применяемых инструментов и тщательности выполняемых графических работ. пентаграмма многоугольник тетраэдр икосаэдр

В математике паркетом называют «замощение» плоскости повторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий. Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад. Они установили, что вокруг одной точки могут лежать либо шесть правильных многоугольников (3600: 600 = 6), либо четыре квадрата (3600: 900 = 4), либо три правильных шестиугольника (3600: 1200 = 3), так как сумма углов с вершиной этой точки равна 3600. Вы не задумывались вот над таким вопросом: Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника?

Пчелы - удивительные творения природы. Свои геометрические способности они проявляют при построении своих сот. Если возьмем равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник одинаковой площади (показываю модели), то периметр шестиугольника будет наименьшим. (Р3 = 45,9 см., Р4 = 40 см., Р6 = 37,8 см.).

Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.

Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов.

И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

Платоновы тела

Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников.

Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются "Начала" Евклида.

Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел (огонь - тетраэдр, вода - икосаэдр, воздух - октаэдр, земля - гексаэдр, вселенная - додекаэдр).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Используемая литература

1. Алексей Астахов, Иван Райлян. Лики Божественной гармонии. Исследование наук о Гармонии от времен древнего Египта до наших дней.

2. Материал из Википедии. Правильный многогранник. Правильный многоугольник. Правильный шестиугольник.

3. Сайт Алые паруса http://nsportal.ru/ap/ap/drugoe/postroenie-pravilnyh-mnogougolnikov. Построение правильных многоугольников.

4. Сайт Техническое черчение http://nacherchy.ru/postroenie_pravilnich_mnogougolnikov.html. Построение правильных многоугольников.

5. Сайт Дизайн http://hi-intel.ru/101/104.html. Геометрические построения.

6. Сайт repairitself.ru. Правильный многоугольник.

7. Презентация на тему: Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой

http://ppt4web.ru/matematika/postroenie-pravilnykh-mnogougolnikov-cirkulem-i-linejjkojj.html

8. Диссертация на тему «Учение о правильных многоугольниках в историческом развитии» кандидат физико-математических наук Прояева Ирина Владимировна.

9. Викиучебник «Геометрия для средней школы». Построение правильного треугольника

10. Сайт «ЕГЭ по математике» http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=50. Правильный многоугольник.

11. Сайт Тетраксис http://tetraksis.com/archives/1054 . Как нарисовать правильный шестиугольник, гексаграмму циркулем?

Размещено на Allbest.ru