Про *-зображення алгебр, пов'язаних з графами Кокстера

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

УДК 513.88

ПРО *-ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР,

ПОВ'ЯЗАНИХ З ГРАФАМИ КОКСТЕРА

01.01.06 - Алгебра і теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Іванов Сергій Вікторович

Київ - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійському національному університеті імені

В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки України, м. Сімферополь.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу функціонального аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук СЕРГЕЙЧУК Володимир Васильович, Інститут математики НАН України, провідній науковий співробітник відділу топології;

кандидат фізико-математичних наук, доцент ПРОСКУРІН Данило Павлович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри дослідження операцій.

Захист відбудеться 21 січня 2008 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 01127, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано 19 грудня 2007 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертація присвячена дослідженню алгебр, асоційованих з графами Кокстера Г, породжених системою твірних, та їх *-зображень. Графом Кокстера Г називають скінчений неорієнтований граф Г=(V,R) без кратних ребер і петель, де V={1,…,n}, n=|Г| - множина вершин, R - множина ребер г_ij=г_ji, де , , всі ребра R якого поділяються на декілька типів

де R_m - множина ребер графа, позначених числами m. Ми будемо вважати, що m<?. Для зручності, коли R=R₃, відповідний граф будемо позначати Г. У цьому випадку ми маємо алгебру, асоційовану з графом Г, та породжену системою твірних {p_i}, p_i=p_i²=p_i^*, для яких виконуються співвідношення

p_i p_j p_i = ф_ij p_i, p_j p_i p_j = ф_ij p_j , (1)

де i та j - вершини графа Г, які з'єднані ребром, а - число, яким помічено це ребро.

Вперше співвідношення виду (1) з'явилися у 1971 році у роботі Темперлі та Ліба при дослідженні двомірної моделі льоду та моделі Поттса. При відповідних граничних умовах функція розподілу для моделі льоду така сама, як і для критичної моделі Поттса, якщо зробити у останній заміну змінних.

*-зображення алгебри, породженої двома твірними елементами без додаткових умов P₂ = C<p₁,p₂ | p_i=p_i²=p_i^*, i=1,2> є добре вивченими. Але дослідження *-зображень алгебри з трьома твірними ортопроекторами P₃ без додаткових співвідношень є вже надзвичайно складною задачею. Як наслідок, існує велика кількість конкретних алгебр, породжених ортопроекторами з додатковими співвідношеннями, дослідження яких використовує різноманітні методи та прийоми.

У роботі Вогана Джонса у 1983 році співвідношення виду (1) виникли при розв'язанні наступної задачі: знайти множину, утворену можливими значеннями індекса [M:N] підфактора N у факторі фон Неймана M типу . Джонс показав, що

Для доведення Воган Джонс конструює за парою N M послідовність проекторів у деякому факторі типу , що задовольняють співвідношенням із [M:N]^-1.

Співвідношення Темперлі-Ліба (1) пов'язані зі співвідношеннями Е. Артіна у групі кіс. В роботі Артін показав, що група кіс може бути задана на группі, породженій твірними p₁,p₂ ,…,p_n та припускає опис співвідношеннями

p_i p_i+1 p_i = p_i+1 p_i p_i+1; p_i p_j = p_j p_i , |i-j|>1

Зазначимо, що алгебра Гекке одержується деформацією співвідношень у груповій алгебрі групи перестановок та може бути породжена твірними зі співвідношеннями.

Вивчалися також алгебри Гекке, пов'язані з простими графами Г, а також з графами Кокстера Г, та їх зображення.

Серед алгебр, заданих співвідношеннями, є клітинні алгебри, запропоновані математиками Дж. Грехамом та Г. Лерером у 1996 році, алгебри Арікі-Коікі, алгебри Брауера, алгебри Бірмана-Муракамі-Венцля та інші подібні об'єкти.

Алгебри зі співвідношенням разом з лінійними співвідношеннями, та їх *-зображення вивчались у роботах київських математиків С.А. Кругляка, В.Л. Островського, Н.Д. Поповой, С.В. Поповича, Д.П. Проскуріна , В.І. Рабановича, Ю.С. Самойленко, О.В. Стрельця та інших. Ряд робіт С.А. Кругляка, І.К. Редчука, А.В. Ройтера, В.В. Сергейчука та інших присвячено інволютивним, зокрема, орто-скалярним, зображенням колчанів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано на кафедрі алгебри та функціонального аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського: бюджетна тема "Проблеми функціонального та безкінечновимірного аналізу" (2006-2010 рр., номер державної реєстрації 0106U003959).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є дослідження зображень *-алгебр, асоційованих з графами Кокстера Г породжених твірними-проекторами із співвідношеннями типу Темперлі-Ліба. Були вирішені наступні задачі: побудова з допомогою алгоритма нетривіального незвідного зображення *-алгебри , асоційованої з деревом; опис параметрів, при яких існують нетривіальні незвідні зображення *-алгебр з двома параметрами та , асоційованих з простими та простими розширеними діаграмами Динкіна; дослідження алгебр, асоційованих з деревами з четвірками та їх нетривіальних незвідних зображень.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертації, які виносяться на захист:

Наведено та обгрунтовано алгоритм побудови зображення *-алгебри , асоційованої з деревом Г.

Доведено, що для того, щоб (тобто щоб існували нетривіальні зображення *-алгебри ) необхідно і достатньо коректне виконання алгоритму розмітки.

Отримано опис параметрів для *-алгебр з двома параметрами та , асоційованих з простими та простими розширеними діаграмами Динкіна .

Доведено співпадіння незвідних зображень алгебр та у випадку, коли Г - дерево, у якому відстань між довільною парою висячих вершин більше ніж 2.

Для алгебр , де , доведено співпадіння єдиного нетривіального незвідного *-зображення (чотири випадки) із зображеннями алгебр .

Побудова єдиного нетривіального незвідного *-зображення алгебр виконується за допомогою алгоритма.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. В дисертації доведені нові факти з теорії зображень *-алгебр, породжених твірними-проекторами, пов'язаних з графами Кокстера Г. Вони можуть бути використані:

при побудові нетривіальних незвідних зображень *-алгебр , асоційованих з графами Кокстера Г;

при описі параметрів , для яких існують нетривіальні незвідні зображення *-алгебр ;

при доведенні відповідних спектральних теорем для *-зображень алгебр .

Особистий внесок здобувача. Означення загального напрямку дослідження та постановка задачі належать науковому керівнику. Доведення включених в дисертацію результатів роботи [4] проведено автором самостійно. У роботі [1], написаній у співавторстві з Ю.П. Москальовой, включені у дисертаційну роботу алгоритм та Теорема2.2.1, отримані дисертантом. У роботі [2], написаній у співавторстві з Ю.П. Москальовой та Н.Д. Поповой, включені в дисертаційну роботу наслідки (Наслідки 4.1.1 -- 4.1.4), отримані дисертантом. У роботі [3], написаній у співавторстві з Н.Д. Поповой, включені у дисертаційну роботу Теорема 3.1.1 та Теорема 3.2.1, отримані дисертантом.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації докладались на засіданнях семінару кафедри алгебри та функціонального аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського (керівник: д.ф.-м.н. І.В. Орлов), семінару по алгебраічним проблемам функціонального аналізу інститут математики НАН України (керівник: член-кор. НАН України Ю.С. Самойленко) а також на міжнародних конференціях:

XVI та XVII Міжнародних Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах по спектральним та еволюціонним задачам (КРОМШ) (вересень 2005 та 2006 р.р., Крим, Севастополь).

International Conference "Modern analysis and applications" (MAA 2007) dedicated to the centenary of Mark Krein (April 09 - 14, 2007, Odessa, Ukraine).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у чотирьох статтях [1-4] у наукових виданнях України, включених у список ВАК України, а також у тезах [5].

Структура й об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел і містить 106 сторінок друкованого тексту. Список використаних джерел містить 44 найменування.

ЗМІСТ РОБОТИ

Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку літератури.

У першому розділі проведено огляд літератури та сформульовано основні результати, які було отримано у напрямку, спільному з напрямком роботи.

Нехай Г - деякий скінчений неорієнтований граф без кратних ребер та петель, VГ та EГ - множини відповідно вершин та ребер графа Г. Вважаємо, що Г є графом Кокстера, та. Нехай - деяке розташування чисел на ребрах графа Г. Довільним чином ототожнимо вершини графа з числами 0,…|VГ|-1. Позначимо - алгебра з одиницею над полем комплексних чисел, асоційована з графом та породжена ідемпотентами , зі співвідношеннями:

Будемо розглядати як *-алгебру, маючи на увазі наступну інволюцію:

Нехай кількість вершин у графі . Розглянемо самоспряжену матрицю , де , якщо вершини i та j дерева Г не з'єднані ребром, та навпаки. Тоді, якщо Г - дерево, то нетривіальне зображення алгебри існує тоді і тільки тоді, коли матриця A(Г) є невід'ємно визначеною. Незвідне нетривіальне зображення єдине з точністю до унітарної еквівалентності, та його розмірність дорівнює рангу матриці .

Нехай множина розташувань, при яких існують нетривіальні зображення алгебри . Для алгебри з одним параметром, асоційованої з графом-деревом, з допомогою спектральної теорії графів отримано оцінку на параметр, при якому існують нетривіальні зображення алгебри: де - індекс графа Г.

У другому розділі вивчаються нетривіальні зображення *-алгебри, асоційованої з деревом та породжені твірними-проекторами зі співвідношеннями типу Темперлі-Ліба та ортогональності.

У параграфі 2.1 приведено алгоритм побудови зображення *-алгебри. Нехай Г є деяким скінченим неорієнтованим деревом без кратних ребер та петель. Кількість вершин n, множини ребер на одиницю менше ніж n, тобто n-1. Довільним чином занумеруємо вершини графа числами та виконаємо розташування чисел на ребрах. При цьому кожне ребро графа з вершинами i та j отримає мітку.

Спочатку виконується розмітка дерева за допомогою наступного алгоритму.

Алгоритм розмітки дерева:

1. s:=1, Г.

2. Обираємо довільну вершину i графа Г валентність якої дорівнює 1 у графі Г і яка не є поміченою.

3. si:=s, ai:=1.

4. Якщо існують вершини графа, суміжні з вершиною i та помічені, то нехай усі такі вершини. Тоді Якщо або якщо та у графі існують непомічені вершини, то виконання алгоритму припиняється.

5. Розглянемо вершину k графа , яка суміжна з вершиною i у графі та не є поміченою. Якщо такої вершини не існує, то переходимо до пункту 10.

6. Якщо валентність вершини k у графі більше ніж 2, тоді переходимо до пункту 7 інакше i:=k та переходимо до пункту 3.

7. Якщо множина непомічених вершин, валентність яких дорівнює 1 у графі, є пустою, то переходимо до пункту 8, інакше переходимо до пункту 2.

8. s:=s+1. Будуємо граф. Вершинами графа є:

1) вершини графа, які непомічені і мають валентність 2;

2) вершини графа, які мають валентність більше ніж 2 та непомічені.

Граф є підграфом графа, породженим вказаною множиною вершин.

9. Якщо, то єдина вершина i отримує мітки, де усі вершини графа, суміжні з вершиною i та помічені, та переходимо до пункту 10, інакше переходимо до пункту 2.

10. Якщо, то розмітка дерева є завершеною. Інакше виконання алгоритму припиняється.

Розмітка дерева виконана коректно, якщо вона завершена. Зазначимо, що розмітку дерева буде виконано коректно, якщо під час виконання алгоритму будуть отримані мітки, а остання мітка.

Позначимо через множину розташувань, для яких існують коректні розмітки дерева Г. Припустимо, що для Г виконана коректна розмітка, тобто. Тоді виконана алгоритмом розмітка дозволяє побудувати нетривіальне незвідне *-зображення *-алгебри, при цьому якщо остання мітка, отримана за алгоритмом, то розмірність зображення дорівнює n, та якщо, то розмірність зображення дорівнює n-1.

Позначимо через. Опишемо етапи побудови цього *-зображення наступним алгоритмом. Перша частина розташовує елементи у матрицях ортопроекторів, які розміщені на головній діагоналі. Поточною позицією на початок дії алгоритму вважається перший елемент першого рядку та всі вершини вважаються невикористаними. Друга частина алгоритму добудовує інші елементи матриць ортопроекторів.

Алгоритм побудови *-зображення

I частина

1. s:=1.

2. Обираємо довільну невикористану вершину i графа, яка має валентність 1 у графі або 0.

3. Якщо, то у поточну позицію у матриці оператора ставимо та переходимо до наступного діагонального елемента, якщо це можливо. Вершина i вважається використаною.

4. Якщо існують вершини, суміжні з вершиною i у графі та використані, то нехай усі такі вершини. Перебираємо ці вершини по та у матриці ортопроектора ставимо число в ту позицію, у якій стоїть число у матриці ортопроектора. Після завершення перебору робота з закінчується.

5. Якщо множина невикористаних вершин графа є пустою, то переходимо до пункту 9.

6. Розглядаємо вершину j графа, суміжну з вершиною i у графі та невикористану. Якщо, то переходимо до пункту 7, інакше i:=j і переходимо до пункту 3.

7. Якщо множина невикористаних вершин, які мають валентність 1 у графі є пустою, то s:=s+1.

8. ереходимо до пункту 2.

9. Робота алгоритму закінчена.

II частина

Для завершення побудови ортопроекторів перебираємо їх по та:

1. Якщо на головній діагоналі у матриці оператора Pi стоїть тільки одна 1, то усі інші елементи матриці беремо рівними нулю і Pi побудовано.

2. Якщо на головній діагоналі у матриці оператора Pi на позиціях стоять числа, то розглядаємо усі можливі сполучення з по два та для кожних елементи матриці Pi з індексами ik та im беремо рівними. Інщі елементи матриці оператора Pi беремо рівними нулю. Pi побудовано.

За побудовою матриці Pi задовольняють властивостям і, отже, є ортопроекторами.

Параграф 2.2 присвячено обґрунтуванню алгоритма. Нехай множина розташувань, для яких існують нетривіальні незвідні зображення *-алгебри. Тоді, враховуючи вищезазначене, ми отримуємо, що.

Спочатку розглядаємо простий ланцюг Pn.

Лема 2.2.1. Для алгебри має місце рівність.

З допомогою цієї леми доводиться теорема для довільного дерева Г.

Теорема 2.2.1. Якщо Г - дерево, то для *-алгебри має місце рівність.

У параграфі 2.3 отримано формули зображень для алгебр, асоційованих з простими та простими розширеними діаграмами Динкіна.

Наприклад, для алгебри, асоційованої з простою діаграмою Динкіна Е6, після виконання розмітки отримаємо мітки:

Тоді, за допомогою алгоритма побудови зображення, отримаємо:

При цьому простір зображення Н=С⁶.

У параграфі 2.4 отримано опис параметрів та , при яких існують нетривіальні зображення *-алгебр. Для цього використовується доведена рівність, тобто співпадіння множини, для яких існує коректне виконання алгоритму розмітки дерева, та множини, для яких існують зображення алгебр. Як було зазначено вище, розмітку дерева буде виконано коректно, якщо для усіх міток, які поставив алгоритм, крім останньої, виконуватиметься умова, а для останньої мітки виконуватиметься умова.

Наприклад, для алгебри після виконання розмітки, отримаємо:

Тоді ми отримуємо наступні обмеження на параметри: або

При цьому для кожного випадку побудовано графік відповідної функції, яка обмежує область.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячено алгебрам та їх *-зображенням, породженим твірними зі співвідношеннями та пов'язаним з графами Кокстера Г.

У параграфі 3.1 вивчається алгебра та її *-зображення, де Г є графом Кокстера, для якого .

Розглянемо довільне скінченне неорієнтоване дерево Г без кратних ребер та петель, VГ=n, EГ=n-1. Довільним чином занумеруємо вершини графа числами та виконаємо розташування чисел на ребрах. З усіх вершин графа Г оберемо дві довільні суміжні вершини. Не порушуючи спільність міркувань, будемо вважати, що ці вершини мають мітки 1 та 2. Ребро між цими вершинами позначимо цифрою 4.

Алгебра A - асоціативна алгебра з одиницею над полем комплексних чисел, породжена ідемпотентами, зі співвідношеннями:

Відповідно *-алгеброю A назвемо алгебру A з інволюцією

Позначимо через e ребро дерева Г, яке є інцедентним до вершин 1 та 2, тобто e={1,2}. Оскільки Г - дерево, то при видаленні ребра e ми отримаємо дві компоненти зв'язності Г1 та Г2, які теж є деревами. Таким чином Г-e=Г1UГ2. Нехай VГ1=n1 та VГ2=n2. При цьому n1+n2=n.

Нехай п - незвідне зображення *-алгебри, позначимо п. Тоді для даної алгебри, з урахуванням введених позначень, має місце наступна теорема.

Теорема 3.1.1. Нехай Г - дерево, а п - незвідне зображення *-алгебри А. Тоді можливий лише один з наступних чотирьох випадків:

Якщо для деякого i, і з VГ1, має місце Pi=0, то для довільного j з VГ1 має місце Pj=0, а інші ортопроектори співпадають з ортопроекторами зображення алгебри A.

Якщо для деякого i, і з VГ1, має місце Pi=0, то для довільного j з VГ1 має місце Pj=0, а інші ортопроектори співпадають з ортопроекторами зображення алгебри A.

Якщо для деякого i, та деякого j, має місце Pi=Pj=0, то зображення п є тривіальним.

Якщо усі ортопроектори, то п є зображенням *-алгебри А.

Враховуючи співпадіння зображень, для їх побудови також можливо використання алгоритму.

У цьому параграфі наведено Приклад 3.1.1, у якому отримано формули зображень для алгебр, асоційованих з графами Кокстера.

Для зручності, для кожного графа Кокстера позначимо через Г1 та Г2 графи, які з'являються при видаленні ребра, яке позначене числом 4, та розташовані на рисунках, відповідно, ліворуч та праворуч. При цьому будемо вважати, що остання мітка, яку поставив алгоритм, для відповідного дерева.

У параграфі 3.2 вивчається алгебра та її *-зображення, де Г є графом Кокстера.

Нехай, як і раніше, Г - довільне дерево з n вершинами (тоді ). Занумеруємо довільним чином вершини графа числами та розташуємо числа на ребрах. З усіх вершин графа Г оберемо дві довільні суміжні вершини. Нехай ці вершини мають мітки 1 та 2. Ребро між цими вершинами позначимо натуральним числом m.

Позначимо через добуток m переміжних співмножників () та (), який починається з , та через аналогічний добуток, який починається з. Розглянемо наступну алгебру.

Алгеброю назвемо асоціативну алгебру з одиницею над полем комплексних чисел, породжену ідемпотентами, зі співвідношеннями:

Відповідно *-алгеброю назвемо алгебру з інволюцією

Позначимо через e, як і раніше, ребро дерева Г, яке є інцидентним вершинам 1 та 2, тобто. При видаленні ребра e ми отримаємо дві компоненти зв'язності Г1 та Г2, які теж є деревами. Нехай VГ1=n1 та VГ2=n2. При цьому n1+n2=n.

Нехай п - незвідне зображення *-алгебри, позначимо п. Для даної алгебри, з урахуванням уведених позначень, має місце наступна теорема.

Теорема 3.2.1. Нехай Г - дерево, а п - незвідне зображення *-алгебри. Тоді можливий лише один з наступних випадків:

Якщо для деякого, має місце, то для довільного має місце, а інші ортопроектори співпадають з ортопроекторами зображення алгебри .

Якщо для деякого, має місце , то для довільного має місце , а інші ортопроектори співпадають з ортопроекторами зображення алгебри .

Якщо для деякого , та деякого , має місце , то зображення є тривіальним.

Якщо усі ортопроектори , то є *-зображенням алгебри .

Доведення цієї теореми проводиться індукцією по m і суттєво використовує співвідношення з означення алгебри та незвідність зображення.

Четвертий розділ дисертаційної роботи присвячено алгебра та, породженим твірними з одним та r співвідношеннями ортогональності та їх *-зображенням, алгебрам та зі співвідношеннями комутації та одним та r співвідношеннями ортогональності відповідно, та їх *-зображенням, де Г - граф Кокстера, для якого .

У параграфі 4.1 вивчається алгебра з одним співвідношенням ортогональності та її *-зображення. Нехай Г, як і раніше, є деяким скінченним неорієнтованим деревом без кратних ребер та петель. Кількість вершин n, множини ребер - n-1. Довільним чином занумеруємо вершини графа числами та виконаємо розташування чисел на ребрах. При цьому кожне ребро графа з вершинами i та j отримає мітку.

Усі несуміжні вершини дерева Г, крім двох, з'єднаємо пунктирними ребрами. Не обмежуючи спільність міркувань, будемо вважати, що несуміжні вершини, які не з'єднані пунктирним ребром, мають мітки k та m. Уведемо у розгляд алгебру - асоціативну алгебру з одиницею над полем комплексних чисел, породжену ідемпотентами, з співвідношеннями:

Відповідно *-алгеброю назвемо алгебру з інволюцією

Таким чином, пунктирні ребра графа відповідають співвідношенням комутації між відповідними ідемпотентами, а несуміжність та відсутність пунктирного ребра відповідає співвідношенню ортогональності.

Для цієї алгебри, при додаткових умовах на дерево Г, має місце теорема:

Теорема 4.1.1. Якщо у Г відстань між всякою парою висячих вершин більше двох, то алгебри та співпадають.

Якщо у дереві Г при проведенні пунктирних ребер залишити не одне співвідношення ортогональності, а r, то аналогічно алгебрі можна ввести у розгляд алгебру.

Якщо - множина розташувань , для яких існує *-зображення алгебри а - множина розташувань, для яких алгоритм розмітки дерева Г виконується коректно, то ми отримуємо наступний наслідок.

Наслідок 4.1.4. Для *-алгебри, де Г - дерево, у якому відстань між всякою парою висячих вершин більше двох, має місце рівність.

Тобто для алгебри, де Г - дерево, у якому відстань між всякою парою висячих вершин більше двох, можлива побудова нетривіального зображення за допомогою алгоритма.

У параграфі 4.2 вивчається алгебра зі співвідношеннями комутації та одним співвідношенням ортогональності та її *-зображення, де Г - граф Кокстера, для якого .

Розглянемо довільне скінченне неорієнтоване дерево Г без кратних ребер та петель. Довільним чином занумеруємо вершини графа числами та виконаємо розташування чисел на ребрах. Вважаємо, що Г є графом Кокстера, та . Між усіма парами несуміжних вершин, крім однієї пари, проведемо пунктирні ребра. Нехай пара несуміжних вершин, які не з'єднані пунктирним ребром, має мітки k та m. Оберемо дві суміжні вершини та на ребрі, яке з'єднує ці вершини, поставимо число 4. Не порушуючи спільність міркувань, вважаємо, що ці вершини мають мітки 1 та 2.

Алгебра - асоціативна алгебра з одиницею над полем комплексних чисел, породжена ідемпотентами, зі співвідношеннями:

Відповідно *-алгеброю назвемо алгебру з інволюцією

Зазначимо, що наявність пунктирного ребра між несуміжними вершинами i та j дерева Г означає, що для відповідних твірних елементів pi та pj алгебри виконується співвідношення pipj=pjpi.

Нехай e - ребро дерева Г, яке є інцедентним до вершин 1 та 2, тобто e={1,2}. Оскільки Г - дерево, то при видаленні ребра e ми отримаємо дві компоненти зв'язності Г1 та Г2, які теж є деревами. Таким чином Г-e=Г1UГ2. Тоді для алгебри має місце наступна теорема.

Теорема 4.2.1. Якщо Г, Г1, Г2 - дерева, у яких відстань між довільною парою висячих вершин більше ніж 2, то для алгебри мають місце твердження:

1) Якщо вершини, то для двох довільних твірних елементів pi та pj алгебри таких, що та виконується pipj=pjpi=0.

2) Якщо вершини, то для двох довільних твірних елементів pi та pj алгебри таких, що та виконується pipj=pjpi=0.

3) Якщо вершина, вершина, то для двох довільних твірних елементів pi та pj алгебри таких, що та, виконується pipj=pjpi=0.

Аналогічним чином, можливо ввести у розгляд алгебру, в якій не єдине співвідношення ортогональності, а r, тобто, алгебру.

Розглянемо алебру з трьома співвідношеннями ортогональності. Нехай співвідношення ортогональності виконуються для трьох пар твірних:

Тоді з Теореми 4.2.1 отримуємо наступний наслідок.

Наслідок 4.2.1. Якщо Г, Г1, Г2 - дерева, у яких відстань між довільною парою висячих вершин більше ніж 2, та для твірних алгебри виконуються співвідношення (3), де , а , то алгебри та співпадають.

Припустимо, що у алгебри існуює незвідне зображення . Тоді, враховуючи Наслідок 4.2.1 та Теорему 3.1.1, ми отримуємо теорему.

Нехай - незвідне зображення *-алгебри , позначимо . Для даної алгебри, з урахуванням уведених позначень, має місце наступна теорема.

Теорема 4.2.2. Якщо Г, Г1, Г2 - дерева, у яких відстань між довільною парою висячих вершин більше ніж 2, та для твірних алгебри виконуються співвідношення (3), де , а , то для зображення п *-алгебри можливий лише один з чотирьох наступних випадків:

Якщо для деякого i, , має місце , то для довільного має місце , а інші ортопроектори співпадають з ортопроекторами зображення алгебри .

Якщо для деякого i, , має місце , то для довільного має місце , а інші ортопроектори співпадають з ортопроекторами зображення алгебри .

Якщо для деякого i, , та деякого j, , має місце , то зображення є тривіальним.

Якщо усі ортопроектори , то п є зображенням *-алгебри .

Таким чином, для алгебри , при умовах з Теореми 4.2.2, можлива побудова незвідного зображення з допомогою алгоритма, який було наведено у розділі 2.

Аналогічно вивчається алгебра зі співвідношеннями комутації та одним співвідношенням ортогональності, де Г - граф Кокстера, для якого .

Алгеброю є асоціативна алгебра з одиницею над полем комплексних чисел, породжена ідемпотентами , зі співвідношеннями:

Відповідно *-алгеброю назвемо алгебру з інволюцією

Для цієї алгебри та її *-зображень доводяться аналогічні твердження.

ВИСНОВКИ

У дисертації вивчаються алгебри, асоційовані з графами Кокстера Г, породжені системою твірних, та їх *-зображення.

В роботі наведено та обгрунтовано алгоритм, з допомогою якого виконується побудова зображення *-алгебри , асоційованої з деревом Г. Доведено, що для того, щоб існували нетривіальні зображення *-алгебри , тобто щоб , необхідно і достатньо коректне виконання алгоритму розмітки. За допомогою алгоритму отримано опис параметрів для *-алгебр з двома параметрами та , асоційованих з простими діаграмами Динкіна A_n, D_n, E₆, E₇, E₈, та простими розширеними діаграмами Динкіна.

Доведено співпадіння незвідних зображень алгебр () та у випадку, коли Г - дерево, у якому відстань між довільною парою висячих вершин більше ніж 2. Для алгебри , де Г - дерево, як зазначено вище, побудова *-зображення та проведення оцінок параметрів виконується за допомогою алгоритма.

Для алгебр , де доведено співпадіння єдиного нетривіального незвідного *-зображення (чотири випадки) із зображеннями алгебр . Побудова єдиного нетривіального незвідного *-зображення алгебр виконується за допомогою алгоритма. Отримано формули зображень для алгебр , асоційованих з графами Кокстера.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Іванов C.B., Москальова Ю.П. Про *-зображення алгебр типу Темперлі-Ліба // Межведомственный научный сборник "Динамические системы". - 2006. - Вып.20. - C.113-122.

[2] Иванов C.B., Москалева Ю.П., Попова Н.Д. О наборах проекторов с соотношениями типа Темперли-Либа, коммутации и ортогональности // Межведомственный научный сборник "Динамические системы". - 2005. - Вып.19. - C.191-198.

[3] Иванов C.B., Попова Н.Д. О представлениях некоторых алгебр, связанных с графами Кокстера // Ученые записки Таврического нац. ун-та им. В.И. Вернадского, Серия "Математика. Механика. Информатика и кибернетика". - Т 19(58).2 - 2006. - С.29-38.

[4] Ivanov S.V. On *-representations of algebras given by graphs // Meth. Func. Anal. Top. - 2007. - vol.13, no. 1 - P.17-27.

[5] Ivanov Sergey. Construction of *-representations for algebras given by some graphs // International Conference "Modern analysis and applications" (MAA 2007) dedicated to the centenary of Mark Krein. Book of abstracts. Odessa, Ukraine. - 2007. - P.63.

діаграма динкін алгебра кокстер

АНОТАЦІЇ

Іванов С.В. "Про *-зображення алгебр, пов'язаних з графами Кокстера". - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. Київський національний університет імені Тараса Шевченка , Київ, 2007.

У дисертації вивчаються алгебри, асоційовані з графами Кокстера Г, породжені системою твірних, та їх *-зображення. Наведено та обгрунтовано алгоритм, з допомогою якого виконується побудова зображення *-алгебри, асоційованої з деревом Г. Доведено теорему про співпадіння множин та, тобто множини розташувань, для яких існує коректне виконання алгоритму розмітки дерева та множини розташувань, для яких існують нетривіальні зображення *-алгебри. За допомогою алгоритму отримано опис параметрів для *-алгебр з двома параметрами, асоційованих з простими діаграмами Динкіна A_n, D_n, E₆, E₇, E₈, та простими розширеними діаграмами Динкіна.

Для алгебр у випадку, коли Г - дерево, у якому відстань між довільною парою висячих вершин більше ніж 2 доведено співпадіння незвідних зображень. Для алгебри, де Г - дерево, як зазначено вище, побудова *-зображення та проведення оцінок параметрів виконується за допомогою алгоритма. Для алгебр з співвідношеннями типу Темперлі-Ліба та одним додатковим співвідношенням доведено співпадіння єдиного нетривіального незвідного *-зображення (чотири випадки) із зображеннями алгебр. Побудова єдиного нетривіального незвідного *-зображення алгебр виконується за допомогою алгоритма. Отримано формули зображень для алгебр, асоційованих з графами Кокстера.

Ключові слова: алгебра, граф Кокстера, *-зображення, співвідношення Темперлі-Ліба, проектор.

Иванов С.В. "Про *-представления алгебр, связанных с графами Кокстера". - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2007.

В диссертации изучаются алгебры, ассоциированные с графами Кокстера Г, порожденные системой образующих, и их *-представления. Приведен и обоснован алгоритм, с помощью которого выполняется построение представления *-алгебры, ассоциированной с деревом Г. Доказана теорема про совпадение множеств, то есть множества расстановок, для которых существует корректное выполнение алгоритма разметки дерева и множества расстановок, для которых существуют нетривиальные представления *-алгебры. С помощью алгоритма получено описание параметров для *-алгебр с двумя параметрами, ассоциированных с простыми диаграммами Дынкина A_n, D_n, E₆, E₇, E₈, и простыми расширенными диаграммами Дынкина.

Использование алгоритма позволяет получать оценки параметров для алгебр с произвольным количеством параметров .

Для алгебр в случае, когда Г - дерево, в котором расстояние между произвольной парой висячих вершин больше чем 2 доказано совпадение неприводимых представлений. Для алгебры, где Г - дерево, как указано выше, построение *-представления и получение оценок параметров выполняется с помощью алгоритма. Для алгебр с соотношениями типа Темперли-Либа и одним дополнительным соотношением доказано совпадение единственного нетривиального неприводимого *-представления (четыре случая) с представлением алгебр. Построение единственного нетривиального неприводимого *-представления алгебр выполняется с помощью алгоритма. Получены формулы представлений для алгебр, ассоциированных с графами Кокстера.

Ключевые слова: алгебра, граф Кокстера, *-представление, соотношения Темперли-Либа, проектор.

Ivanov S.V. "On *-representations of algebras, linked with Coxter graphs". - Manuscript.

Thesis for PhD degree in Physics and Mathematics specialty 01.01.06 - algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2007.

The algebras, associated with Coxter graphs Г given by system of generators and its *-representations are studied in dissertation. The algorithm of construction of the representation of *-algebra, associated with tree Г is lead and proved. The theorem about coincides of the sets and, that is the set of placing, for which the correct executing of algorithm of tree marking exists and the set of placing, for which the non-trivial representation of *-algebra exists has been proved. By means of algorithm parameters for algebras with two parameters and, associated with simple Dynkin diagrams A_n, D_n, E₆, E₇, E₈ and simple expanded Dynkin diagrams has been described.

For algebras in case when Г is tree in which the distance between two arbitrary dangling vertex more than 2 the coincidence of irreducible representations has been proved. For algebra when Г is tree as described above the construction of *-representation and the description of parameters is carried out by means of algorithm. For algebras with Temperley-Lieb type relations and one additional condition the coincidence of single non-trivial irreducible *-representation (four cases) with representation of algebras has been proved. The construction of single non-trivial irreducible *-representation of algebras is carried out by algorithm. The formulas of representations for algebras, associated with Coxter graphs has been obtained.

Key words: algebra, Coxter graph, *-representation, Temperley-Lieb relations, projection.

Размещено на Allbest.ru

...