Групи зі слабкими умовами п-мінімальності та п-максимальності

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 519.41/47

ГРУПИ ЗІ СЛАБКИМИ УМОВАМИ р-МІНІМАЛЬНОСТІ ТА р-МАКСИМАЛЬНОСТІ

01.01.06 ? алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Хмельницький Микола Олексійович

Київ ? 2007

 Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник ЧЕРНІКОВ Микола Сергійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу алгебри.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ВЕДЕРНІКОВ Віктор Олександрович, Московський міський педагогічний університет (Росія), професор кафедри алгебри, геометрії і методики їх викладання;

доктор фізико-математичних наук, професор БОДНАРЧУК Юрій Вікторович, Національний університет „Києво-Могилянська академія”, завідувач кафедри математики.

Захист відбудеться ``5 '' лютого 2008 р. о 15⁰⁰ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.03 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий ``3 '' січня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.В. Сергейчук

шаровий мінімальність нільпотентний

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При вивченні нескінченних групп виявляється доцільним виділяти та вивчати класи таких груп, які за самим своїм означенням володіють тими чи іншими властивостями скінченних груп. З цією метою в теорії груп використовуються, зокрема, властивість скінченності всіх спадних і властивість скінченності всіх зростаючих ланцюгів підгруп в довільній скінченній групі. На основі цих властивостей формулюються та вивчаються умови мінімальності та максимальності та різні їх послаблення для довільних нескінченних груп.

Дисертаційна робота присвячена вивченню локально нільпотентних та періодичних майже розв'язних груп зі слабкими умовами р- та р-шарової мінімальності та р- та р-шарової максимальності.

Одним з перших плідних кроків у вивченні груп з умовами мінімальності та максимальності була робота О.Ю.Шмідта „Про нескінченні групи з скінченним ланцюгом” від 1928 року. В цій роботі розглядалися групи, що задовольняють умову обриву спадних ланцюгів нормальних підгруп і умову обриву зростаючих ланцюгів нормальних підгруп групи, і для довільних груп, які задовольняють зазначені умови, доведено теорему про прямі розклади, що узагальнює відповідну теорему Ремака для скінченних груп. Вказана робота О.Ю.Шмідта (нарівні з працями Е.Ньотер та Е.Артіна по теорії кілець) стала поштовхом до вивчення груп з умовами мінімальності та максимальності для підгруп. Систематичне вивчення груп з умовою мінімальності було розпочато С.М.Черніковим наприкінці 30-х та на початку 40-х років минулого століття; до того ж часу відносяться перші роботи К.А.Гірша по групах з умовою максимальності.

Класичним результатом про групи з умовою мінімальності для підгруп є теорема С.М.Чернікова про черніковість довільної нескінченної локально розв'язної групи, яка задовольняє умову мінімальності. Зрозуміло, що довільна група з умовою мінімальності є періодичною. Довільна ж періодична локально розв'язна група є локально скінченною за відповідним твердженням С.М.Чернікова від 1940 року. Тривалий час залишалась відкритою проблема С.М.Чернікова: чи вичерпуються черніковськими групами взагалі всі групи з умовою мінімальності? Проблему мінімальності С.М.Чернікова в класі локально скінченних груп в 1970 році розв'язали позитивно В.П.Шунков, а також (спираючись на методи, підходи та попередні результати В.П.Шункова) О.Г.Кегель та Б.А.Ф.Верфрітц. В загальному ж випадку негативну відповідь на це питання вперше було отримано А.Ю.Ольшанським (1980 р.), який побудував нескінченні 2-породжені групи, всі власні підгрупи яких мають скінченні (і навіть прості) порядки.

При вивченні локально розв'язних груп виявилось доцільним ввести до розгляду умови більш слабкі, ніж умова мінімальності для підгруп. Так, в 1951 році С.М.Черніков довів відому теорему про черніковість локально розв'язних груп з умовою мінімальності для абелевих підгруп. В зв'язку з цією теоремою С.М.Черніков поставив проблему про черніковість довільної локально скінченної групи, що задовольняє умову мінімальності для абелевих підгруп, яку в 1970 році позитивно розв'язав В.П.Шунков. В тому ж році В.П.Шунков показав, що локально скінченна група з умовою мінімальності для неабелевих підгруп є черніковською, позитивно розв'язавши цим відповідне питання, поставлене С.М.Черніковим в 1969 році. В 1978-1980 роках М.С.Черніков встановив, що неабелева локально скінченна (і навіть бінарно скінченна) група з умовою мінімальності для неабелевих підгруп з абелевим коммутантом також є черніковською. Зауважимо тут, що неабелева локально скінченна група з умовою мінімальності для всіх розв'язних підгруп ступеня ?3 може вже не бути черніковською (А.А.Шафіро, 1973 р.). Відмітимо також, що С.М.Черніков (1971 р.) довів, що неабелева група з умовою мінімальності для неабелевих підгруп, яка має нормальну систему зі скінченними факторами, є черніковською.

З іншого боку, В.С.Чаріним в 1949 році було встановлено, що навіть у випадку розв'язної групи з умови мінімальності для нормальних підгруп не випливає її черніковість. Втім, С.М.Черніков та І.Д.Адо (1947 р.) показали, що локально скінченна p-група, яка задовольняє умову мінімальності для нормальних підгруп, є p-групою Чернікова; а згодом В.С.Чарін встановив черніковість кожної локально нільпотентної групи, що задовольняє умову мінімальності для нормальних дільників.

В 1958 році С.М.Черніков ввів до розгляду умову р-мінімальності для підгруп, де р - деяка фіксована множина простих чисел. Групами з умовою р-мінімальності для підгруп займалися М.С.Черніков, Я.Д.Половицький, І.І.Павлюк, А.А.Шафіро, В.П.Шунков та ін. У 1962 році Я.Д.Половицький встановив, що локально скінченна група, у якої всі зчисленні квазіповні підгрупи (якщо такі існують) розв'язні або локально нільпотентні, задовольняє умову р-мінімальності для підгруп тоді й лише тоді, коли всі її р-елементи породжують черніковську підгрупу. Трохи згодом (1974 р.) І.І.Павлюк, А.А.Шафіро, В.П.Шунков встановили, що локально скінченна группа з умовою примарної мінімальності (тобто, з умовою p-мінімальності для всіх простих p) майже локально розв'язна. В 1998 році М.С.Черніков розробив принципово нові методи вивчення груп з умовами р-мінімальності та р-шарової мінімальності для підгруп, які дозволили йому одержати фундаментальні результати стосовно груп (зокрема, локально ступінчастих) з цими умовами. Наприклад, М.С.Черніков довів, що RN-група (зокрема, локально розв'язна група) задовольняє умову р-мінімальності тоді і тільки тоді, коли всі її р-елементи породжують черніковську підгрупу. Відзначимо, що основні результати Я.Д.Половицького, І.І.Павлюка, А.А.Шафіро, В.П.Шункова стосовно умови р-мінімальності є наслідками результатів М.С.Чернікова.

Паралельно з групами з різними умовами мінімальності вивчалисятакож групи з різними умовами максимальності. Класичним прикладом групи, що задовольняє умову максимальності для підгруп, є майже поліциклічна група. Згаданий вище приклад А.Ю.Ольшанського дає негативну відповідь на проблему Р.Бера: чи вичерпують майже поліциклічні групи взагалі всі групи з умовою максимальності?

Вивченням груп з різними умовами максимальності займалися К.А.Гірш, Р.Бер, Д.Маклейн, А.І.Мальцев та багато інших. В 2000 році М.С.Черніков за аналогією до умов р-мінімальності та р-шарової мінімальності ввів до розгляду відповідно умови р-максимальності та р-шарової максимальності і дослідив групи з цими умовами.

Класичні умови скінченності - умова мінімальності та умова максимальності - історично виявилися одними з перших умов скінченності в теорії груп. До кінця 60-х років минулого століття групи з цими умовами вивчалися окремо, зв'язки між ними не розглядалися, проте при їх дослідженні була виявлена низка спільних особливостей, встановлено деякі аналогічні властивості таких груп. Певно, ця обставина спонукала виокремлювати та вивчати класи груп, які об'єднують тим чи іншим чином клас груп з умовою мінімальності та клас груп з умовою максимальності. Серед таких класів важливе місце займають класи мінімаксних груп, груп зі слабкою умовою мінімальності та груп зі слабкою умовою максимальності, введені до розгляду Д.Ю.Робінсоном, Д.І.Зайцевим та Р.Бером. Вивченням груп з різними слабкими умовами мінімальності та максимальності займалися М.С.Черніков,

Б.Амберг, А.Н.Остиловський, Л.А.Курдаченко, М.Карбе, О.Д.Артемович, А.В.Тушев та ін.

Тому виявляється природним і доцільним ввести до розгляду умови скінченності, які узагальнювали б згадані вище умови р- та р-шарової мінімальності та р- та р-шарової максимальності зі слабкими умовами мінімальності та максимальності, та вивчати групи, які задовольняють ці нові умови.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відділі алгебри Інституту математики НАН України і пов'язана з науковими дослідженнями в рамках теми № 0101U000527 ``Теорія матричних задач як зображень маркованих колчанів і узагальнення розв'язних груп''.

Мета і завдання дослідження. Одержати необхідні та достатні умови, при яких локально нільпотентна або періодична майже розв'язна група задовольняє слабкі умови р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності, а також встановити взаємозв'язки між цими класами груп.

Об'єктом дослідження є клас локально нільпотентних груп і клас періодичних майже розв'язних груп.

Предметом дослідження є властивості локально нільпотентних і періодичних майже розв'язних груп, які задовольняють слабкі умови р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності.

Методи дослідження. Основні методи, що застосовуються при дослідженнях - загальні методи теорії груп.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1. Одержано необхідні та достатні умови, при яких локально нільпотентна група задовольняє слабкі умови р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності.

2. Досліджено взаємозв'язки між локально нільпотентними группами з умовами р- і р-шарової мінімальності, слабкими умовами р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності.

3. Отримано опис груп зі слабкою умовою р-максимальності, що мають нескінченну інваріантну р-підгрупу та при цьому володіють зростаючим нормальним рядом з локально нільпотентними та локально скінченними факторами.

4. Отримано необхідні та достатні умови, при яких періодична майже розв'язна група задовольняє слабкі умови р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності.

5. Досліджено взаємозв'язки між періодичними майже розв'язними групами з умовами р- і р-шарової мінімальності, слабкими умовами р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати дисертації можуть бути використані для подальшого вивчення груп з різними умовами скінченності.

Особистий внесок здобувача. Загальна схема, постановка задачі і методи досліджень визначено науковим керівником М.С.Черніковим. Всі результати, що ввійшли в дисертаційну роботу, одержано самостійно або за особистою участю автора. А саме: теореми 3.2, 3.3, 3.4, 4.1, 4.2, 4.3 належать здобувачеві, теореми 3.1, 3.5, 4.4 отримано спільно із М.С.Черніковим при рівному вкладі співавторів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися і обговорювалися на засіданнях семінару відділу алгебри та науковому семінарі з теорії груп Інституту математики НАН України, на Міжнародній науковій конференції, присвяченій 80-річчю проф. В.Гашюца (Гомель, 2000 р.), на Українському математичному конгресі - 2001 (Київ, 2001 р.), на Міжнародних алгебраїчних конференціях (Суми, 2001 р.; Ужгород, 2001 р.), на наукових конференціях «Фрактали і сучасна математика» (Київ, 2005 р.) та пам'яті С.С.Левіщенка (Київ, 2006р.), на розширенному засіданні Алгебраїчного семінару Київського національного університету імені Тараса Шевченка, присвяченому 60-річчю проф. В.І.Сущанського, на науково-звітних конференціях викладачів Національного педагогічного університету імені М.П.Драгоманова (2004, 2005 та 2006 роки).

Публікації. Результати дисертаційного дослідження опубліковані в десяти працях [1-10], з яких чотири роботи надруковано у фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, та шість робіт- у тезах доповідей і матеріалах наукових конференцій.

Структура і обсяг роботи. Робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 68 найменувань. Повний обсяг дисертації 117 сторінок, з яких Список використаних джерел займає 9 сторінок тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Основна частина роботи складається з чотирьох розділів. На початку кожного розділу подається короткий зміст підрозділів данного розділу.

У першому розділі проводиться огляд літератури, пов'язаної з тематикою досліджень, що проводились здобувачем.

У другому розділі вводяться основні означення, встановлюються взаємозв'язки між поняттями, наводяться основні результати з теорії абелевих, локально скінченних, черніковських, шарово скінченних, мінімаксних, радикальних у розумінні Б.І.Плоткіна груп, груп з умовами min, р-min, l_р-min, min-?, max-? та інших груп, які використовуються при доведеннях результатів даного дисертаційного дослідження.

У підрозділі 2.1 наведено означення груп з різними умовами мінімальності та максимальності, зокрема, груп із слабкими умовами р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності.

Нагадаємо, що група G задовольняє слабку умову р-мінімальності для підгруп (слабку умову р-максимальності для підгруп), або, коротко, умову р-min-? (р-max-?), якщо в ній не існує нескінченного спадного (зростаючого) ланцюга підгруп G₁G₂…G_k… (G₁G₂…G_k…) з нескінченними індексами |G_k:G_k+1| (|G_k+1:G_k|) такого, що кожна множина G_k\G_k+1 (G_k+1\G_k) містить р-елемент (М.С.Черніков, 2002 р.). Група G задовольняє слабку умову р-шарової мінімальності для підгруп (слабку умову р-шарової максимальності для підгруп), або, коротше, умову l_р-min-? (l_р-max-?), якщо в ній для жодного nN не існує нескінченного спадного (зростаючого) ланцюга підгруп G₁G₂…G_k… (G₁G₂…G_k…) з нескінченними індексами |G_k:G_k+1| (|G_k+1:G_k|) такого, що в кожній множині G_k\G_k+1 (G_k+1\G_k) міститься р-елемент порядку ?n (М.С.Черніков, 2002 р.).

В цьому ж підрозділі 2.1 в лемах 2.1 та 2.2 встановлено основні зв'язки між різними умовами мінімальності та між різними умовами максимальності відповідно, а в прикладі 2.1 вказано клас груп, що задовольняють кожну з умов р-мінімальності та кожну з умов р-максимальності.

В підрозділі 2.2 викладено відомі положення, які використовуються при доведеннях результатів даного дисертаційного дослідження.

Деякі властивості черніковських груп представлено в підрозділі 2.3.

У третьому розділі досліджуються локально нільпотентні групи зі слабкими умовами р- та р-шарової мінімальності та р- та р-шарової максимальності.

В підрозділі 3.1 вивчаються локально нільпотентні групи зі слабкими умовами р- та р-шарової мінімальності. Основними результатами даного підрозділу є такі дві теореми.

Теорема 3.1. Для локально нільпотентної групи G наступні твердження еквівалентні.

1. Група G задовольняє умову р-min.

2. Група G задовольняє умову р-min-?.

3. Силовська р-підгрупа P групи G - черніковська.

Теорема 3.2. Для локально нільпотентної групи G наступні твердження еквівалентні.

1. Група G задовольняє умову l_р-min.

2. Група G задовольняє умову l_р-min-?.

3. Для кожного pр силівська p-підгрупа P групи G - черніковська.

В підрозділі 3.2 вивчаються локально нільпотентні та узагальнені локально нільпотентні групи зі слабкою умовою р-максимальності. Основними результатами підрозділу 3.2 є такі дві теореми.

Теорема 3.3. Нехай G - локально нільпотентна група, і P - її силовська р-підгрупа. Тоді група G задовольняє умову р-max-? тоді і лише тоді, коли P скінченна або G розв'язна мінімаксна.

Теорема 3.4. Нехай група G з нескінченною інваріантною р-підгрупою володіє зростаючим рядом з локально нільпотентними та локально скінченними факторами. Тоді група G задовольняє умову р-max-? тоді і лише тоді, коли вона майже розв'язна мінімаксна.

В підрозділі 3.3 досліджуються локально нільпотентні групи зі слабкою умовою р-шарової максимальності. Основним результатом підрозділу є така теорема.

Теорема 3.5. Локально нільпотентна група G задовольняє умову l_р-max-? тоді і лише тоді, коли вона або розв'язна мінімаксна група, або в ній для кожного pр силовська p-підгрупа є скінченна над своїм центром черніковська.

В підрозділі 3.4 встановлено основні взаємозв'язки між слабкими умовами р- та р-шарової мінімальності та р- та р-шарової максимальності для локально нільпотентних груп та наведено приклади абелевих груп з зазначеними вище умовами. Зокрема, в цьому підрозділі встановлено такий результат.

Наслідок 3.11. Якщо локально нільпотентна група G задовольняє одну з наведених нижче умов, то вона задовольняє й будь-яку іншу, до якої можна потрапити по стрілках від заданної умови:

max		р-max		lр-max
max-?		р-max-?		lр-max-?
min-?		р-min-?		lр-min-?
min		р-min		lр-min

У четвертому розділі досліджуються періодичні майже розв'язні групи зі слабкими умовами р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності.

В підрозділі 4.1 вивчаються періодичні майже розв'язні групи зі слабкою умовою р-мінімальності. Основним результатом цього підрозділу є теорема.

Теорема 4.1. Для періодичної майже розв'язної групи G наступні твердження рівносильні.

1. G задовольняє умову р-min.

2. G задовольняє умову р-min-?.

3. Всі р-елементи групи G породжують черніковську підгрупу.

В підрозділі 4.2 досліджуються періодичні майже розв'язні групи зі слабкою умовою р-шарової мінімальності. Основним результатом підрозділу є така теорема.

Теорема 4.2. Для періодичної майже розв'язної групи G наступні твердження рівносильні.

1. G задовольняє умову l_р-min.

2. G задовольняє умову l_р-min-?.

3. Для довільного pр всі p-елемент групи G породжують черніковську підгрупу.

В підрозділі 4.3 вивчаються періодичні майже розв'язні групи зі слабкою умовою р-максимальності. Основним результатом підрозділу є теорема.

Теорема 4.3. Періодична майже розв'язна група G задовольняє умову р-max-? тоді і лише тоді, коли або вона черніковська, або всі її р-елементи породжують скінченну підгрупу.

В підрозділі 4.4 досліджуються періодичні майже розв'язні групи зі слабкою умовою р-шарової максимальності. Основним результатом підрозділу є така теорема.

Теорема 4.4. Періодична майже розв'язна група G задовольняє умову l_р-max-? тоді й тільки тоді, коли або вона черніковська, або для будь-якого pр всі її p-елементи породжують скінченну над центром черніковську майже p-підгрупу.

В підрозділі 4.5 на основі теорем 4.1, 4.2, 4.3 та 4.4 встановлено взаємозв'язки між слабкими умовами р- та р-шарової мінімальності та р- та р-шарової максимальності в класі періодичних майже розв'язних груп. Зокрема, встановлено такий результат.

Наслідок 4.6. Якщо періодична майже розв'язна група G задовольняє одну з наведених нижче умов, то вона задовольняє й будь-яку іншу, до якої можна потрапити по стрілках від заданної умови:

max		р-max		lр-max
max-?		р-max-?		lр-max-?
min-?		р-min-?		lр-min-?
min		р-min		lр-min

В цьому ж підрозділі наведено приклади періодичних майже розв'язних груп з умовами р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності.

Автор висловлює глибоку вдячність своєму науковому керівнику д. ф.-м. н. М.С.Чернікову за постановку задач і керівництво данною роботою.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена дослідженню локально нільпотентних та періодичних майже розв'язних груп зі слабкими умовами р- та р-шарової мінімальності та р- та р-шарової максимальності. Основні результати дисертаційної роботи можна підсумувати таким чином:

1. Одержано необхідні та достатні умови, при яких локально нільпотентна група задовольняє слабкі умови р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності.

2. Досліджено взаємозв'язки між локально нільпотентними группами з умовами р- і р-шарової мінімальності, слабкими умовами р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності.

3. Отримано опис груп зі слабкою умовою р-максимальності, що мають нескінченну інваріантну р-підгрупу та при цьому володіють зростаючим нормальним рядом з локально нільпотентними та локально скінченними факторами.

4. Отримано необхідні та достатні умови, при яких періодична майже розв'язна група задовольняє слабкі умови р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності.

5. Досліджено взаємозв'язки між періодичними майже розв'язними групами з умовами р- і р-шарової мінімальності, слабкими умовами р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Черников Н.С., Хмельницкий Н.А. Локально нильпотентные группы со слабыми условиями р-слойной минимальности и р-слойной максимальности // Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54, № 7. - С. 991--996.

[2] Chernikov M., Khmelnitskiy M. Generalized nilpotent groups with the weak р-minimal and the weak р-maximal conditions // Visnyk Lviv Univ., Ser. Mech--Math. - 2003. - 61. - P. 41--44.

[3] Хмельницкий Н.А. Периодические почти разрешимые группы со слабыми условиями р-минимальности и р-слойной минимальности // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фізико--математичні науки. - Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова. - 2004. - №5. - С. 181--187.

[4] Черников Н.С., Хмельницкий Н.А. Периодические почти разрешимые группы со слабыми условиями р-максимальности и р-слойной максимальности // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2006. - 3, №4. - С. 496--506.

[5] Хмельницкий Н.А. Локально нильпотентные группы со слабыми условиями р-минимальности и р-максимальности // Тезисы докладов Международной научной конференции, посвященной 80-летию проф. В.Гашюца (Гомель, 16--21 октября 2000 г.). - Гомель: Гомельский гос. ун-т им. Ф.Скорины, 2000. - С. 66.

[6] Хмельницкий Н.А., Черников Н.С. О локально нильпотентных группах со слабым условием р-слойной минимальности // Український математичний конгрес - 2001. Алгебра і теорія чисел. Тези доповідей. - Київ: Ін-т математики НАН України, 2001. - С. 53.

[7] Хмельницкий Н.А., Черников Н.С. О локально нильпотентныхгруппах со слабым условием р-максимальности // Третя міжнародна алгебраїчна конференція в Україні (Суми, 2--8 липня 2001 р.): Тези доповідей. - Суми: Сумський держ. пед. ун-т імені А.С.Макаренка, 2001. - С. 269.

[8] Черников Н. С., Хмельницкий Н.А. Обобщенно радикальные группы со слабым условием р-максимальности // Міжнародна алгебраїчна конференція (Ужгород, 27--29 серпня 2001 р.): Тези доповідей. - Ужгород: Ужгородський національний університет, 2001. - С. 54.

[9] Хмельницький М.О. Періодичні майже розв'язні групи зі слабкою умовою р-мінімальності // Матеріали наукової конференції ``Фрактали і сучасна математика'' (Київ, 17 вересня 2005 р.). - Київ: Вид-во НПУ імені М.П.Драгоманова, 2005. - С. 66.

[10] Хмельницький М.О. Періодичні майже розв'язні групи зі слабкою умовою р-шарової мінімальності // Тези наукової конференції пам'яті проф. С.С.Левіщенка (Київ, 7 жовтня 2006 р.). - К.: Вид-во НПУ імені М.П.Драгоманова, 2006. - С. 60.

АНОТАЦІЯ

ХМЕЛЬНИЦЬКИЙ М.О. Групи зі слабкими умовами р-мінімальності та р-максимальності. ? Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.06 ? алгебра і теорія чисел. ? Інститут математики НАН України, Київ, 2007.

Досліджуються локально нільпотентні та періодичні майже розв'язні групи зі слабкими умовами р- та р-шарової мінімальності і р- та р-шарової максимальності.

Отримано необхідні та достатні умови, при яких локально нільпотентна група задовольняє слабкі умови р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності. Також отримано необхідні та достатні умови, при яких періодична майже розв'язна група задовольняє слабкі умови р- і р-шарової мінімальності та р- і р-шарової максимальності.

Отримано опис груп зі слабкою умовою р-максимальності, що мають нескінченну інваріантну р-підгрупу та при цьому володіють зростаючим нормальним рядом з локально нільпотентними та з локально скінченними факторами.

Ключові слова: локально нільпотентна група, періодична майже розв'язна група, слабка умова р-мінімальності, слабка умова р-шарової мінімальності, слабка умова р-максимальності, слабка умова р-шарової максимальності, черніковська група, мінімаксна група.

АННОТАЦИЯ

ХМЕЛЬНИЦКИЙ Н.А. Группы со слабыми условиями р-минимальности и р-максимальности. ? Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 ? алгебра и теория чисел. ? Институт математики НАН Украины, Киев, 2007.

Исследуются локально нильпотентные и периодические почти разрешимые группы со слабыми условиями р- и р-слойной минимальности и р- и р-слойной максимальности.

Получены необходимые и достаточные условия, при которых локально нильпотентная группа удовлетворяет слабые условия р- и р-слойной минимальности и р- и р-слойной максимальности. Доказано, что локально нильпотентная группа удовлетворяет слабому условию р-минимальности тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию р-минимальности, что равносильно тому, что все р-элементы группы порождают черниковскую подгруппу. Локально нильпотентная группа удовлетворяет слабому условию р-слойной минимальности тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию р-слойной минимальности для подгрупп, что равносильно тому, что для каждого pр все p-элементы группы порождают черниковскую подгруппу. Установлено, что локально нильпотентная группа удовлетворяет слабому условию р-максимальности тогда и только тогда, когда она разрешимая минимаксная или все ее р-элементы порождают конечную подгруппу. Также доказано, что локально нильпотентная группа удовлетворяет слабому условию р-слойной максимальности тогда и только тогда, когда она или разрешимая минимаксная или для каждого pр все ее p-элементы порождают конечную над своим центром черниковскую подгруппу.

Также получены необходимые и достаточные условия, при которых периодическая почти разрешимая группа удовлетворяет слабые условия р- и р-слойной минимальности и р- и р-слойной максимальности. А именно доказано, что периодическая почти разрешимая группа удовлетворяет слабому условию р-минимальности тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию р-минимальности, что равносильно тому, что все р-элементы группы порождают черниковскую подгруппу. Периодическая почти разрешимая группа удовлетворяет слабому условию р-слойной минимальности тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию р-слойной минимальности для подгрупп, что равносильно тому, что для каждого pр все p-элементы группы порождают черниковскую подгруппу. Показано, что периодическая почти разрешимая группа удовлетворяет слабому условию р-максимальности тогда и только тогда, когда она черниковская или все ее р-элементы порождают конечную подгруппу. Также показано, что периодическая почти разрешимая группа удовлетворяет слабому условию р-слойной максимальности тогда и только тогда, когда она или черниковская или для каждого pр все ее p-элементы порождают конечную над центром черниковскую почти p-подгруппу.

Исследованы взаимосвязи между локально нильпотентными группами с условиями р- и р-слойной минимальности, слабыми условиями р- и р-слойной минимальности и слабыми словиями р- и р-слойной максимальности. Также исследованы взаимосвязи между периодическими почти разрешимыми группами с условиями р- и р-слойной минимальности, слабыми условиями р- и р-слойной минимальности и слабыми условиями р- и р-слойной максимальности.

Получено описание групп, обладающих возрастающим нормальным рядом с локально нильпотентными и с локально конечными факторами, удовлетворяющих слабому условию р-максимальности и содержащих бесконечную инвариантную р-подгруппу.

Ключевые слова: локально нильпотентная группа, периодическая почти разрешимая группа, слабое условие р-минимальности, слабое условие р-слойной минимальности, слабое условие р-максимальности, слабое условие р-слойной максимальности, черниковская группа, минимаксная группа.

ANNOTATION

KHMELNYTSKYI M.O. Groups with the weak р-minimality and the weak р-maximality conditions. ? Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.06 ? Algebra and Number Theory. ? Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.

Locally nilpotent and periodic almost solvable groups with weak р- and р-layer minimality conditions and р- and р-layer maximality conditions are investigated.

Necessary and sufficient conditions for a locally nilpotent group to satisfy the weak р- and р-layer minimality conditions and р- and р-layer maximality conditions are obtained. Also necessary and sufficient conditions for a periodic almost solvable group to satisfy the weak р- and р-layer minimality conditions and р- and р-layer maximality conditions are obtained.

Description of groups possessing the ascending normal series with the locally nilpotent and locally finite factors which satisfy the weak р-maximality condition and contain the infinite normal р-subgroup is obtained.

Keywords: locally nilpotent group, periodic almost solvable group, weak р-minimality condition, weak р-layer minimality condition, weak р-maximality condition, weak р-layer maximality condition, Chernikov group, minimax group.

Підписано до друку 26.12. 2007. Формат 60x84/16. Папір офс. Офс. друк.

Фіз. друк. арк. 1,0. Умов. друк. арк. 0,93.

Тираж 100 пр. Зам. 299.

Інститут математики НАН України,

01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

Размещено на Allbest.ru

...