Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Р.Ф.

ФГБОУ ВПО «Бурятский государственный университет»

Химический факультет

Заочное отделение

Реферат

Тема: «Развитие аналитической геометрии»

Выполнил: Цыремпилов Б.Б.

Студент 1 курса гр.13230 з/о

Проверил: Середа А.В.

Улан-Удэ 2014

Алгебраические методы в геометрии

Применение алгебры в геометрии имело к началу XVII в. долгую исто-рию. Еще древние вавилоняне решали многие задачи на прямоугольные треугольники, выражая искомые отрезки, как корни численных квадрат-ных уравнений; аналогичные приемы употреблялись впоследствии неодно-кратно. В классической! Греции важным средством геометрического исследования, в частности конических сечений, служила геометриче-ская алгебра, в которой место вычислений занимали построения от-резков.

Бурные успехи символической и числовой алгебры в XVI в. явились основой гораздо более обширных приложений алгебраического метода в геометрии, приведших к созданию новой аналитической геометрии. Пер-воначально работы в этом направлении не выходили за пределы тради-ционных постановок и решений вопросов, иногда довольно сложных. Большое число таких задач было рассмотрено Виетом, за которым по-следовали и другие, например Марин Геталдич (Гетальди, 1566--1627), Жирар (1629), Декарт (1637). Гетальди испытал особенно сильное влияние Виета, с которым познакомился в бытность в Париже. В «Собрании различных задач» (Variorum problematum collectio, Veneliae, 1607) и посмертно из-данном труде «О математическом анализе и синтезе» (De resolutione et compositione mathematica, Romae, 1630) Гетальди средствами алгебры Ви-ета решает разнообразные задачи на деление отрезков, построение тре-угольников и так называемые вставки (ср. т. I, стр. 84); по большей части его задачи выражаются уравнениями первой или второй степени относи-тельно искомого неизвестного отрезка. В некоторых случаях применяется чисто геометрическое решение. Гетальди отнес задачи к тем, категориям которые не относятся к алгебре (sub algebram non cadunt), и решаются геометрически. Данная задача привлекла внимание и других выше упомянутых ученых.

Алгебраическим решением геометрических задач занимались, очень многие ученые. К уже названным ученым можно добавить, имя английского алгебраиста Вильяма Отреда (1574--1660), на книге кото-рого, озаглавленной, подобно одному из сочинений Аль - Каши, «Ключ ма-тематики» (Clavis mathematicae, Londini, 1631)¹, отразилось несомненное влияние «Собрания различных задач» Гетальди.

Аналитическая геометрия

Описанная алгебраическая трактовка вопросов геометрии подготовля-ла почву для создания аналитической геометрии, предметом которой яв-ляется уже нс только нахождение отдельных отрезков, выражаемых кор-нями уравнений с одним неизвестным, но изучение свойств различных геометрических образов, прежде всего алгебраических линий и поверхно-стей, выражаемых уравнениями с двумя или более неизвестными или ко-ординатами.

Координаты появились еще в древности, притом в различных формах, между собой непосредственно не связанных. С одной стороны, это были географические координаты, именовавшиеся долготой и широтой, причем положение пунктов земной по-верхности, изображенной в виде прямоугольника, характеризовалось парой чисел. Сходными были астрономические координаты, служившие для определения положения светил на небесной сфере.

Координатные отрезки древнегреческой геометрии стали известны в Европе частью по арабским сочинениям, но главным образом по трудам Архимеда и особенно Аполлония. Параллельные хорды или полухорды, сопряженные по некоторому диаметру, Аполлоний называл (если перевести с греческого) «по порядку проведенными линиями». А отрезки этого диа-метра, от его конца до хорды -- «отсеченными на диаметре по порядку про-веденными (линиями)» (на рис. 6 соответственно у и x).В своем упоминав-шемся ранее латинском издании «Конических сечений» (Венеция, 1566) Федориго Коммандино первые выражения передал оборотом ordinatim applicatae, т. е. «по порядку приложенные» (т. е. направленные)², а вто-рое -- quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur, т. е. «которые отсекаются ими па диаметре от вершины». Отсюда берут начало термины abscissa, т. е. «отсеченная», ordinata и applicata, которые, впрочем, уко-ренились не сразу. Слово «абсцисса», встречавшееся в смысле отрезка у различных авторов, например Кавальерп (1635), становится техниче-ским термином координатной геометрии в 1668 г. у Микеланджело Риччи (1619--1692) ii особенно у Лейбница, начиная с рукописей 1673 г. Ферма и Декарт в своих основоположных сочинениях по аналитической геомет-рии (1636--1637; писали еще об «отрезках диаметра». Слово «ордината» в нашем смысле применял другой переводчик па латынь «Конических се-чений» -- Франчсско Мавролико. Ферма пользовался термином applica-ta, Декарт -- appliquee par ordre, т. е. французским переводом ordinatim applicata, но также (в письме 1638 г.) словом ordonnee, которое неза-долго перед тем в 1637 г. употребил в своем курсе П. Эригон (в латин-ском тексте 1644г.--ordinata); затем им стал регулярно пользоваться Лейбниц.

В середине XVIII в. слово «ордината» начинает вытеснять в геометрий на плоскости слово «аппликата». Обе координаты первоначально назывались неизвестными величинами, как у Ферма, или неопределенны­ми, как у Декарта; слово «координаты» ввел в 1692 г. Лейбниц, имея в виду уже любые криволинейные координаты. Но еще и позднее понятие о координатах связывалось с отрезками диаметров и хордами плоских кривых. Так обстоит, например, дело в статьях «Abscissa, die Abscisse» и «Ordinatae, ordinatim applicatae, die Ordinaten» «Математического словаря» (Mathematisches Lexicon, Leipzig, 1716) Xp. Вольфа (ср. стр. 35).

Термин «ось», который у Аполлония относился к взаимно перпендику-лярным сопряженным диаметрам, употребил в более широком смысле И. Барроу (1670). Обозначение начальной точки буквой О восходит к ее наименованию origine -- «начало», данному Ф. Лагиром в 1679 г.; два-дцатью годами ранее Я. де Витт писал об initium immutabile, неподвижном начале. Декарт еще говорил о точке, с которой начинаются вычисления. Вернемся от истории терминологии к истории геометрических методов и идей.

Аналитическая геометрия Ферма

К разработке начал новой аналитической геометрии независимо друг от друга и одновременно приступили оба крупнейших французских ма-тематика XVII в.-- Ферма и Декарт. Небольшое «Введение в изучение плоских и телесных мест» (Ad locos pianos et solidos isagoge) Ферма было написано несколько ранее 1637 г., но при жизни Ферма распространялось через Мерсепна и других только в рукописном виде. Напомним, что «плоские и телесные места» -- термины греческой геометрии -- означали прямые и окружности и соответственно эллипсы, параболы и гиперболы. Работа написана в обозначениях Виета с соблюдением однородности урав-нений.

Ферма формулирует принцип аналитической геометрии следующим образом: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины (quantitates ignotae), налицо имеется место, и ко-нец одной из них описывает прямую или же кривую линию... Для уста-новления уравнений удобно расположить обе неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин»³. Как мы видим, под неизвестными величинами (координатами) Ферма понимает прямоли-нейные отрезки: первую из них он всякий раз обозначает NZ и алгебра-ически буквой А, а вторую соответственно ZI и Е. Затем по порядку рас-сматриваются различные плоские и телесные места.

Уравнение прямой, проходящей через начальную точку, Ферма вы-водит в форме

D на А равно В на Е,

т. е. dx = by (на рис. 7 нанесена лишь часть прямой NI, так как Ферма пользуется положительными координатами). К этому случаю приводится общее уравнение первой степени (с указанным ограничением) и несколько далее однородное уравнение второй степени, причем здесь говорится лишь об одной из двух возможных прямых. Первое приведение по существу со-стоит в преобразовании координат, именно в параллельном сдвиге вдоль горизонтальной оси: от уравнения вида с dx =by Ферма переходит к d (r х) = by, где dr = с. Идею преобразования координат путем па-раллельного переноса системы Ферма более отчетливо выражает в сле-дующих примерах: установив сначала, что в прямоугольной системе уравнение окружности с центром в начальной точке есть b² x² = у², он правильно характеризует общее уравнение окружности и для образца преобразует к основной форме уравнение

b² 2dx = у² + 2rу.

Для этого он производит дополнение до квадрата

p¹ (х + d)2 = (у + r)², где р² = r² + b² + d²,

затем пишет снова x вместо x + d и y вместо у + r и получает

p² x² = у².

Следует заметить все же, что Ферма обходит молчанием вопрос об отрица-тельных координатах, какими оказываются координаты центра (d, r) в данной задаче (ибо d и r у него положительные). Разумеется, построить центр для него не представляло труда и в этом случае.

Основные уравнения конических сечений представляют собой у Ферма непосредственное выражение в терминах алгебры их свойств, известных по труду Аполлоиня. Для параболы это уравнения x² = dy и симметричное у² = dx, для эллипса (b² x²)/y² = const (указывается, что в случае непрямого координатного угла кривая будет эллипсом и при const = 1), для гиперболы (b² + x²)/y² = const. Любопытно, что на рисунке в по-следнем случае изображены обе ветви гиперболы, хотя опять-таки об отрицательных координатах ничего не сказано. Кроме того, приводится уравнение равносторонней гиперболыху=с. Все это распространяется на соответствующие уравнения, дополненные линейными членами.

На частном примере уравнения b² 2x² = 2xy + у² Ферма разбирает и наиболее трудный случай, когда группа старших членов содержит и член с произведением координат. Его выкладки и построения соответствуют пе-реходу к новой системе координат X, Y с прежним началом и осью орди-нат и с осью абсцисс, образующей угол 45° со старой. В этой системе Х = . X, Y = x + у, так что (2b² -- X²)/Y² = 2 и фигура есть эллипс.

Изложив все это, Ферма писал: «Таким образом мы коротко и ясно изложили все, что оставили невыясненным древние относительно плоских и телесных мест»⁴. На самом деле был сделан лишь первый шаг к созда-нию нового типа геометрии, которая, между прочим, получила свое ны-нешнее наименование лишь в самом конце XVIII в.⁵

Аналитическая геометрия Декарта

«Введение» Ферма, долгое время остававшееся в рукописи, не нашло того широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта, изданная в 1637 г. О влиянии «Введения» на Декарта не может быть речи. Мы говорили уже, что все основные идеи «всеобщей математики», как в ал-гебраической, так и в геометрической части, имелись у ее творца не позд-нее 1632 г.

Изложение аналитической геометрии у Декарта во многом отличается от данного Ферма. В одном оно уступает, ибо разбросано по всем трем книгам «Геометрии» и даже во второй из них, содержащей наиболее важные элементы новой дисциплины, не имеет систематического характера, как во «Введении». Но в других отношениях геометрия Декарта имела реши-тельные преимущества. Не говоря уже о том, что Декарт применял бо-лее развитую символику, что его изложение было доступнее и богаче примерами, он выдвинул несколько общих идей и предложений, весьма существенных для последующего.

Один из основных вопросов для Декарта заключался в следующем: какие линии служат предметом геометрии? Ответ определялся верой Де-карта в то, что единственным общим методом математики является алге-браический. Сначала этот ответ формулируется в кинематических выра-жениях: геометрические линии -- это те, которые «описаны непрерыв-ным движением или же несколькими такими последовательными движе-ниями. пз которых последующие вполне определяются им предшествую-щими.-- ибо этим путем всегда можно точно узнать их меру»⁶. Напротив, из геометрии, т. е. собственно всеобщей математики, исключаются меха-нические линии, описываемые «двумя отдельными движениями, между которыми и существует никакого отношения, которое можно было бы точно измерить»⁷. Примеры механических линий--спираль и квадратриса: в качестве примера геометрических приводятся кривые, описывае-мые некоторым шарнирным механизмом, число звеньев которого можно неопределенно увеличивать. Этот механизм, по идее сходный смезолабием предложенным Эратосфеном в III в. до н. э. для построения двух средних пропорциональных, Декарт изобрел между 1619 и 1621 гг.: в третьей части «Геометрии» показано, как можно с его помощью строить любое число средних пропорциональных между двумя данными отрезками

а : x₁ = x₁ : x₂ = x₂ : х₃ = ... = x_n : b.

Уравнения описываемых этим прибором линий

r² (x² + у²)^2n-1 = x⁴ⁿ (n = 0,1, 2,...)

Декарт не привел ни в общем виде, ни для частных значений п.

Кинематическое образование линий являлось отправным пунктом геометрии Декарта и применяется в ней неоднократно. Конечно, данная им при этом кинематическая характеристика геометрических линий как кривых, описываемых одним или несколькими непрерывными движения-ми, последовательно определяющими друг друга, не вполне отчетлива, так же как и заявление, что для проведения всех таких линий «нужно только то предположение, что две или несколько линий можно переме-щать вдоль друг друга и что их пересечения образуют другие линии»⁸. Но в этих утверждениях, по сути дела, Декарт предвосхитил уже упоми-навшуюся важную теорему английского ученого А. Кемпе (1876), со-гласно которой посредством плоских шарнирных механизмов можно опи-сать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной транс-цендентной. Свой кинематический способ деления линий на геометриче-ские и механические Декарт тотчас облекает в более ясную аналитиче-скую форму и здесь же предлагает классификацию первых. «Все точки линий,-- пишет он,-- которые можно назвать геометрическими, т. е. которые подходят под какую-либо точную и определенную меру, обяза-тельно находятся в некотором отношении ко всем точкам прямой линии, которое может быть выражено некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек данной линии»⁹. В этом поистине замечательном по глубине месте своего сочинения Декарт вводит и метод прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой, а вместе с тем понятие о функции как аналитическом выражении, составленном из «неопределенных» отрезков x и у. Несколько перед тем Декарт объяснил, как описывать кривую или, вернее, строить любое число ее точек, вычисляя значения х по данным значениям у,-- первой координатой у него служила у.

В 1684 г. Лейбниц назвал геометрические кривые Декарта алгебраи-ческими, а механические -- трансцендентными, мотивируя отказ от тер-минологии Декарта тем, что и механические линии не подлежат исклю-чению из геометрии.

Непосредственно за изложенными общими соображениями Декарт приводит первую общую классификацию алгебраических кривых в зави-симости от степени их уравнений, отнеся к роду п кривые с уравнениями степени 2п -- 1 и 2п. Классификация требовалась прежде всего для все-общей математики Декарта (стр. 30), а также была нужна в аналитиче-ской геометрии. Предложенное Декартом разделение кривых по родам, себя не оправдавшее, мотивировалось тем, что, по его мнению, кривые с уравнением степени 2п вообще не сложнее, чем с уравнением степени 2п -- 1. Все трудности, связанные с четвертой степенью, писал он, при-водятся к третьей, а трудности, связанные с шестой степенью,-- к пятой и т. д. Общепринятой классификацией плоских кривых по порядкам мы обязаны Ньютону.

Но классификация кривых в прямолинейных координатах по родам или порядкам имеет смысл, если род или порядок кривой не зависит от выбора координатной системы. Это было Декарту ясно, и он, правда ми-моходом, но вполне отчетливо, сформулировал фундаментальное предло-жение об инвариантности рода кривой при замене одной системы прямо-линейных координат другой: «Действительно, хотя для получения более короткого и удобного уравнения и нужен весьма тщательный выбор, но все же, какими бы прямую и точку ни взяли, всегда можно сделать так, что-бы линия оказалась того же самого рода: это легко доказать»¹⁰. Впрочем, доказательство не приводится, да и формулы линейного преобразования координат у Декарта еще отсутствовали.

В качестве первого примера Декарт выводит уравнение линии ЕС, описанной точкой пересечения линейки GL и неопределенно продолжен-ной стороны CNK плоской прямолинейной фигуры NKL, сторона кото-рой KL движется вдоль данной прямой ВА, заставляя вращаться вокруг точки G линейку, неизменно проходящую при этом через точку L. При-нявGA, перпендикуляр к ВА, равным а, KL = b, NL = с, выбрав АВ за ось х и точку А за начало, Декарт обозначает «неопределенные и неизве-стные величины» СВ = у, ВА = х. Тогда на основании подобия тре-угольников СВК и NLK, с одной стороны, и CBL и GAL -- с другой, быстро выводится уравнение линии ECG

уу = су ? ху + ау ? ас,

так что эта линия первого рода и, как указывает без доказательства Де-карт, гипербола (пример этот подробно разобрали комментаторы латинского издания «Геометрии»).

Страница первого издания «Геометрии» Р. Декарта (1637): начало вывода уравнения линии ЕС

Заменяя прямую CNK другими линиями, можно получать таким образом бесконечное множество кривых. Так, если CNK есть окружность с центром L, то будет описана конхоида (не-сомненно, что прием Декарта является как раз обобщением античного определения конхоиды), а если CNK есть парабола с диаметром KB, то возникает кривая второго рода, именно та, которую Ньютон впослед-ствии назвал трезубцем (ср. далее стр. 108). Вообще, заявляет Декарт, если образующая кривая имеет род п, то описанная линия будет рода п -)- 1. Это одна из немногих ошибок Декарта, который не довел, видимо, до конца легкие, по его собственным словам, вычисления.

Большое место занимают в «Геометрии» исследование оптических овалов, рассматриваемых в биполярных координатах, и про-ведение нормалей. Вторая книга сочинения завершается краткими замечаниями о возможности распространения метода на про-странственные кривые посредством проектирования их точек на две вза-имно перпендикулярные плоскости и заявлением: «Я полагаю теперь, что ничего не пропустил из начал, необходимых для познания кривых линий»¹³.

Конечно, в этих словах Декарта, как и в приведенной выше авторской оценке «Введения» Ферма, было несомненное преувеличение. Но действи-тельно, перед геометрией раскрывались невиданно широкие перспективы. Историки науки немало спорили о том, имелась ли у Аполлония аналити-ческая геометрия и было ли творчество Ферма и Декарта в этой области новаторским. Ответ зависит от определения термина «аналитическая гео-метрия», который, как отмечалось в другой связи, понимается по-разному. Несомненно, что оба ученых чрезвычайно многим обязаны были древним и что в саму теорию конических сечений они не внесли каких-либо новых теорем, а также не построили ее в чисто аналитическом плане. И вместе с тем Декарт и Ферма закладывали фундамент поистине новой геометрии, хотя «симптомы» Аполлония и соответствовали буквенным уравнениям кривых второго порядка. ордината координата алгебраический биполярный

Дело в том, что, как правильно писал Г. Цейтен, «геометрическая форма, приданная методом древних самой алгебре, была причиной многочислен-ных комбинаций между средствами и объектом геометрического исследо-вания -- комбинаций, которые должны были оставаться довольно чуж-дыми аналитической геометрии, в особенности поскольку последняя стре-милась превратить геометрические проблемы целиком в задачи исчисле-ния»¹⁴. И до тех пор, пока средством исследования оставалась геометри-ческая алгебра, синтетическое рассмотрение неизбежно переплеталось с аналитическим, а в глазах некоторых ученых являлось принципиально господствующим. Ньютон, завершая свой вывод теоремы о том, что место к четырем прямым есть коническое сечение, писал: «Такое решение, как приведенное выше, т. е. исполняемое не с помощью исчисления, но геометри-ческим построением, и изыскивалось древними»¹⁵. Между тем после Ферма и Декарта и благодаря им начинает развиваться чисто аналитический ме-тод исследования геометрических образов, в принципе не нуждающийся в обращении к геометрическим построениям и опирающийся лишь на ал-гебраическое исчисление. Такова общая, идейная сторона дела. К этому следует добавить, что новая алгебра давала средства изучения кривых любого порядка, первые примеры чего имеются уже у Декарта¹⁶ (такое применение геометрической алгебры было невозможно), что система коор-динат становилась свободной от связи с теми или иными исключительными точками и направлениями (например, диаметром и вершиной конического сечения), что приобретали право на существование отрицательные коор-динаты и т. д. Мы не говорим уже о том, что в новой геометрии впервые нашло явное выражение понятие о функции, заданной формулой.

В свете сказанного второстепенное значение имеют недостатки, при-сущие аналитической геометрии Декарта и Ферма, пользовавшегося к то-му же менее совершенной алгеброй Виета, например не разработанность вопроса об отрицательных координатах или отсутствие на большинстве чертежей второй оси, а также то обстоятельство, что оба они ограничились немногими примерами приложения нового метода.

Современники восприняли новую геометрию с энтузиазмом. Уже в ла-тинских изданиях «Геометрии» Декарта мы находим отдельные, заслу-живающие упоминания вещи.

В первом издаиии этот весьма распространенный в XVII в. труд назывался «Основы арифметики в числах и видах» (Arithmeticae in numeris et speciebus institutio).

Еще в переводе арабского трактата Ибн ал-Хайсама о параболических зеркалах, сделанном в XII в., употребляется оборот linea secunduin ordinem, т. е. «линия по порядку». Н. Орем в середине XIV в. писал о перпендикулярно приложенных отрез-ках -- perpendiculariter applicatae.

Размещено на Allbest.ru