Математический аппарат электродинамики
Характеристика особенностей сложения, вычитания и деления комплексных чисел. Изучение основных понятий и правил векторной алгебры. Анализ операций над скалярными и векторными функциями в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.09.2014 |
| Размер файла | 2,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
В настоящем приложении приводятся основные понятия и формулы, касающиеся комплексных чисел, векторной алгебры и векторного анализа.
1. Комплексные числа
Рассмотрим комплексную плоскость (рис. Е.1). Каждой точке комплексной плоскости соответствует комплексное число , которое можно представить в алгебраической либо показательной формах:
, ,
алгебра векторный функция скалярный
где - действительная часть комплексного числа - мнимая часть комплексного числа i - мнимая единица, определяемая формулами
, .
Из рис. Е.1 и вышеприведенных формул следуют соотношения:
Размещено на http://www.allbest.ru/
, ,
, .
Эти формулы позволяют совершить переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной форме и, наоборот - от показательной к алгебраической.
Сложение (вычитание) комплексных чисел и производится в соответствии с формулами:
.
Умножение комплексных чисел и производится в соответствии с формулами:
.
Деление комплексных чисел и производится в соответствии с формулами:
.
2. Векторная алгебра
Рассмотрим вектор . Его можно представит в общем (некоординатном) виде как , где - орт (единичный вектор), показывающий направление вектора ; - модуль (длина) вектора .
Вектор также можно представить в виде суммы трех взаимно перпендикулярных векторов.
В декартовой системе координат (x, y, z) это представление имеет вид
.
В цилиндрической системе координат (, , ) это представление имеет вид
,
где - орты цилиндрической системы координат (см. рис. Е.2); , - проекции векторов на соответствующие направления цилиндрической системы координат.
В сферической системе координат (, , ) это представление имеет вид
,
где - орты сферической системы координат (см. рис. Е.3); , - проекции векторов на соответствующие направления сферической системы координат.
Рассмотрим векторы и . Скалярное и векторное произведение этих векторов определяются формулами:
,
где - угол между векторами.
,
где - единичный вектор нормали к плоскости, содержащей векторы и, причём , и взаимно перпендикулярны и образуют “правую тройку”.
Пусть векторы и , представлены через свои проекции в декартовой системе векторов
, .
В этом случае скалярное и векторное произведение векторов и, можно найти по формулам:
,
.
Рисунок 2 - Цилиндрическая система координат
Аналогичные представления имеют место для цилиндрической, сферической и других ортогональных систем координат.
Рисунок 3 - Сферическая система координат
3. Векторный анализ
Рассмотрим операции над скалярной функцией и векторной функцией в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.
Векторный оператор “набла” в декартовой системе координат определяется по формуле:
.
Градиент скалярной функции определяется в соответствующих системах координат по следующим формулам:
,
,
.
Дивергенция (расходимость) векторной функции определяется в соответствующих системах координат по следующим формулам:
,
,
.
Скалярный оператор Лапласа функции определяется в соответствующих системах координат по следующим формулам:
,
,
.
Ротор (вихрь) векторной функции определяется в соответствующих системах координат по следующим формулам:
,
4. Интегральные формулы векторного анализа
Теорема Остроградского-Гаусса
.
Теорема Стокса
.
Теорема Грина
.
В интегральных формулах приняты следующие обозначения:
, - единичный вектор внешней нормали к поверхности S, которая ограничивает объем ; , - единичный вектор касательной к контуру L, на который опирается поверхность S.
5. Дифференциальные формулы векторного анализа
,
,
,
,
,
,
.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
История комплексных чисел. Соглашение о комплексных числах. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка. Уравнение высших степеней, уравнение деления круга на пять частей.
реферат [325,7 K], добавлен 25.10.2012Определение уравнения линии, уравнения и длины высоты, площади треугольника. Расчёт длины ребра, уравнения плоскости и объема пирамиды. Уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
контрольная работа [489,4 K], добавлен 25.03.2014Геометрическое представление комплексных чисел, алгебраическая и тригонометрическая формы. Свойства арифметических операций над комплексными числами: правила сложения (вычитания) их радиус-векторов, произведение (частное) модуля числа; формула Муавра.
презентация [147,4 K], добавлен 17.09.2013Система, свойства и модели комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел. Корень четной степени из отрицательного числа. Матрицы второго порядка, действительные числа. Операции сложения и умножения матриц.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 15.06.2011Определитель и его свойства. Элементарные преобразования, миноры и алгебраические дополнения. Элементы векторной алгебры. Уравнения линии на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Введение в математический анализ. Тригонометрическая форма числа.
методичка [233,1 K], добавлен 10.01.2012Определение операций сложения, вычитания и умножения для дуальных чисел. Определение модуля и сопряжённого числа. Деление на дуальное число. Определение делителя нуля. Запись дуального числа в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа.
курсовая работа [507,8 K], добавлен 10.04.2011Элементы линейной алгебры. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных. Интеграл.
методичка [90,5 K], добавлен 02.11.2008Понятие и свойства n-арных операций, универсальной алгебры и сигнатуры. Характеристика централизаторов конгруэнции универсальных алгебр и доказательство их основных свойств. Нильпотентные и абелевы алгебры, формулировка и метод доказательства их лемм.
курсовая работа [399,1 K], добавлен 22.09.2009Изучение свойств геометрических объектов при помощи алгебраических методов. Основные операции над векторами. Умножение вектора на отрицательное число. Скалярное произведение векторов. Нахождение угла между векторами. Нахождение координат вектора.
контрольная работа [56,3 K], добавлен 03.12.2014Появление отрицательных чисел. Понятие мнимых и комплексных чисел. Формула Эйлера, связывающая показательную функцию с тригонометрической. Изображение комплексного числа на координатной плоскости. "Гиперкомплексные" числа Гамильтона ("кватернионы").
презентация [435,9 K], добавлен 16.12.2011Понятия сферической геометрии, соответствие между сферической геометрией и планиметрией. Применение сферической тригонометрии в навигации. Углы сферического многоугольника, анализ планиметрических аксиом. Теорема косинусов для сферических треугольников.
курсовая работа [761,7 K], добавлен 06.12.2011Определение положения точки в пространстве. Правая декартова (или прямоугольная) система координат. Способы измерения дуг. Определение координат точки в пространстве. Определение окружности и ее радиуса. Построение сферической системы координат.
контрольная работа [59,3 K], добавлен 13.05.2009Понятие комплексных чисел, стандартная, матричная и геометрическая модели; действия над комплексными числами; модуль и аргумент. Алгебраическое, тригонометрическое и показательное представление комплексных чисел. Формула Муавра и извлечение корней.
контрольная работа [25,7 K], добавлен 29.05.2012Расчет значений комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Определение расстояния между точками на комплексной плоскости. Решение уравнения на множестве комплексных чисел. Методы Крамера, обратной матрицы и Гаусса.
контрольная работа [152,7 K], добавлен 12.11.2012Понятия векторной алгебры: нулевой, единичный, противоположный и коллинеарный векторы. Проекция вектора на ось. Векторный базис на плоскости и в пространстве. Декартова прямоугольная система координат. Действия над векторами, заданными координатами.
презентация [217,3 K], добавлен 16.11.2014Криволинейный интеграл первого рода. Двойной интеграл в декартовой и полярной системе координат. Интеграл по поверхности (первого рода). Приложение определенного интеграла в геометрии: площадь плоской фигуры и цилиндрической поверхности, объем тела.
методичка [517,1 K], добавлен 27.01.2012Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
курсовая работа [104,1 K], добавлен 03.01.2008Характеристика понятий "порядок", "хаос" и особенностей их применения в точных науках: математике, физике. Исследование взаимосвязи упорядоченных и хаотических явлений и методы формулировки (содержательно и математически строго) правил относительно них.
реферат [595,3 K], добавлен 29.11.2010"Преобразования Лоренца" как формальный математический прием для согласования электродинамики с механикой. Пространственные и временные соотношения между данными событиями в разных инерциальных системах отсчета. Равенство поперечных размеров тел.
реферат [69,6 K], добавлен 05.04.2013Комплексные числа в алгебраической форме. Степень мнимой единицы. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Комплексные числа и параметры.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 10.12.2008
