Основы математического моделирования

16

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Экспериментальная часть

2. Математическое моделирование

Заключение

Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

Модель -- это упрощенная система, отражающая отдельные характеристики рассматриваемого процесса или объекта.

От правильности учета в модели характерных черт рассматриваемого процесса зависит успех исследования и ценность результатов моделирования. В моделях должны учитываться наиболее существенные факторы и вместе с тем она не должна осложнятся множеством мелких второстепенных факторов, которые только усложняют задачу и делают использование и расчет по модели громоздким.

Моделирование -- это исследование процессов или явлений путем построения и изучения их моделей; использование моделей для определения и уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

Одной из целей моделирования является моделирование существующего объекта для изучения его характеристик с целью оптимизации. Именно эту цель и преследует данная работа/1/.

В данной работе производится сканирование плашек зеленого и красного цветов различной насыщенности от 0 до 100% с шагом 10%.

1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

После доступа к программному обеспечению сканера до этапа предварительного сканирования необходимо выполнить несколько шагов, гарантирующих точность сканирования: откорректировать предпотчительные установки сканера, задать тип оригинала и выбрать режим сканирования.

Можно просто пропустить предпотчительные установки сканера, но они могут сэкономить время на повторных задачах ввода изображения и гарантировать лучшее качество изображения.

Для выполнения курсовой работы в программе Photoshop 5.5 были нарисованы шкалы, состоящие из набора плашек с насыщенностью от 0 до 100% с шагом в 10%. Эти шкалы были составлены для двух цветов -- синего и красного. Далее эти шкалы распечатывались на струйном принтере Epson Stylus Photo 810. Для печати в настройках принтера были выбраны оптимальные настройки для получения качественного изображения: разрешение 300 dpi, вид бумаги -- Photo Paper, нормальная скорость печати и высокое качество печати. Данная распечатка является исходным материалом для выполнения данной курсовой работы.

Далее полученные распечатки шкал сканируются на планшетном сканере AGFA Arcus II с различными параметрами яркости, т. е. с нормальной яркостью, повышенной на 25 и 50% и пониженной также на 25 и 50%. Полученные изображения вновь распечатываются на этом же принтере с теми же настройками на аналогичном носителе.

Следующим этапом выполнения работы является измерение оптических плотностей полученных плашек при помощи денситометра. Показания оптических плотностей плашек, полученных после сканирования сравниваются с показаниями для исходого варианта. Разность между этими значениями будет являться значением потери оптической плотности при сканировании ?D. Значения оптических плотностей для плашек-оригиналов приведены в табл. 1.1-1.3.

Таблица 1.1 Значения оптических плотностей для оригинала зеленой краски

Таблица 1.2 Значения оптических плотностей для оригинала красной краски

Таблица 1.3 Усредненные значения оптических плотностей для оригиналов

Значения оптических плотностей для плашек после сканирования при разных значениях яркости приведены в табл. 1.4-1.7.

Таблица 1.4 Значения оптических плотностей для зеленой краски

Таблица 1.5 Значения оптических плотностей для красной краски

Таблица 1.6 Усредненные значения оптических плотностей для зеленой краски

Таблица 1.7 Усредненные значения оптических плотностей для красной краски

Значения потери оптической плотности плашек при сканировании с различной яркостью приведены в табл. 1.8. Они рассчитываются как разность между средним значением оптической плотности плашек после сканирования и средним значением оптической плотности плашек оригинала.

Таблица 1.8 Усредненные значения оптических плотностей для красной краски

На основании приведенных значений производятся расчеты в программе Mathcad 2000 Professional.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

С помощью программы Mathcad 2000 Professional были исследованы зависимости потери оптической плотности от параметра яркости при сканировании. Для этого были построены соответствующие графики.

График зависимости потери оптической плотности от параметра яркости при сканировании для красной краски -- прямолинейная зависимость .

Задача сводится к нахождению коэффициентов a и b. Для этого используется метод наименьших квадратов. При этом методе критерием, на основании которого выбираются коэффициенты функции, является минимизация суммы квадратов отклонений этой функции от координат точек y_i:

(2.1)

Необходимое условие экстремума функции многих переменных приводит к системе уравнений:

(2.2)

Сократив каждое уравнение на 2 и раскрыв скобки, получим:

(2.3)

, , .

Перепишем задачу в матричном виде:

, (2.4)

где -- квадратная матрица, хранящая коэффициенты при неизвестных системы двух уравнений;

-- вектор неизвестных системы;

-- вектор свободных членов.

Для нахождения решения системы обратную матрицу перемножим на вектор, а ответ занесем в вектор :

. (2.5)

Учитывая, что и , то полученная функция будет иметь вид:

. (2.6)

График зависимости потери оптической плотности от параметра яркости при сканировании для зеленой краски -- параболическая зависимость .

В данном случае задача сводится к нахождению коэффициентов a, b, c. Для этого используется метод наименьших квадратов. При этом методе критерием, на основании которого выбираются коэффициенты функции, является минимизация суммы квадратов отклонений этой функции от координат точек y_i:

(2.7)

Необходимое условие экстремума функции многих переменных приводит к системе уравнений:

(2.8)

Сократив каждое уравнение на 2 и раскрыв скобки, получим:

(2.9)

, , .

Перепишем задачу в матричном виде:

,

где А - кубическая матрица (с тремя строками и тремя столбцами), хранящая коэффициенты при неизвестных системы трех уравнений;

Z - вектор неизвестных системы;

Y - вектор свободных членов. матричный экстремум уравнение

Для нахождения решения системы обратную матрицу А перемножим на вектор В, а ответ занесем в вектор Z:

Z = A^-1 B.

Учитывая, что B₁ = с; B₂ = b; B₃ = a, следовательно, полученная функция будет иметь вид:

Z(f) = B₁ + B₂ f + B₃ f². (2.10)

Эти значения указывают на то, что оптическая плотность плашек в процессе сканирования увеличивается несколько больше, чем задается в настройках сканера.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения данной работы был проведен анализ потери оптических плотностей при сканировании плашек зеленого и красного цвета в зависимости от настройки яркости сканирования.

В первом разделе приводятся экспериментальные данные, полученные при выполнении данной работы, т. е. приводятся численные значения оптических плотностей плашек для каждого цвета до и после сканирования, также были найдены средние значения этих оптических плотностей. Все эти данные занесены в таблицы. Также была рассчитана разность между оптическими плотностями оригинала и отпечатков после сканирования.

Во втором разделе с помощью программы Mathcad 2000 Professional были исследованы зависимости потери оптической плотности от параметра яркости при сканировании. Для этого были построены соответствующие графики. График зависимости потери оптической плотности от параметра яркости при сканировании для красной краски -- прямолинейная зависимость . График зависимости потери оптической плотности от параметра яркости при сканировании для зеленой краски -- параболическая зависимость .

Как видно из графиков, при понижении яркости оптические плотности плашек увеличиваются, а при повышении яркости -- снижаются. Следует заметить, что для зеленой и красной красок это происходит по разному. Так, для красной краски с увеличением яркости от -50% к +50% оптическая плотность плашек изменяется по прямолинейной зависимости, а для зеленой краске при аналогичном изменении яркостей оптическая плотность изменяется по параболической зависимости.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Дьяконов В. П. Справочник по MathCAD. - М.: 1997. - 346 с.

2. Бородич Л. И., Герасимович А. И., Кеда Н. П., Мелешко И. Н. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики. - Мн.: 1986. - С. 50-58.

3. Сибил А., Эмиль А., Профессиональный подход к сканированию:. -- Издательство «Попурри», -- М.:1997. - С. 126-130.

Размещено на Allbest.ru