Векторы и основные операции над векторами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Векторы и основные операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок упорядоченная пара точек. К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

Сложение векторов Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Чтобы из вектора а вычесть вектор b надо к вектору а прибавить вектор, противоположный вектору b. Полученный в результате этой операции вектор с и будет являться разностью векторов а и b. Таким образом,

Произведение вектора a(a1; a2) на число л называется вектор (лa1; лa2), т.е. (a1; a2) л = (лa1; лa2)

Свойства векторов

1) + = + - коммутативность

2) + (+ ) = ( + )+

3) + =

4) +(-1) =

5) () = () - ассоциативность

6) (+) = + - дистрибутивность

7) ( + ) = +

8) 1 =

Базис. Разложение вектора по базису

Система n линейно независимых векторов - это базис пространства. Каждый вектор из Rn, не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису.

Пусть

-

базис пространства Rn и Тогда найдутся такие числа л1, л2, …, лn, что

.

Коэффициенты разложения л1, л2, …, лn, называются координатами вектора b в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно.

Доказать, что векторы образуют базис в R3. Решение. Покажем, что равенство

возможно только при л1 = л2 = л3 =0:

или

/

Решив систему, получим л1=0, л2=0, л3=0. Так как все лi=0 (i=1,2,3), то - линейно независимы. Они могут составить базис в R3.

Скалярное произведение 2-ух векторов и свойства

Скалярным произведением двух векторов и называется число, обозночаемое и равное произведению модулей данных векторов на косинус угла между ними:

a*b=|a|*|b|*cos(a^b)

где (a^b) обозначает меньший угол между направлениями векторов a и b. Отметим, что всегда(0?a^b?р).

Основные свойства скалярного произведения векторов:

1. a *b = b* a;

2. (лa)*b= *(лb) = л (a*b);

3. a*(b+с) = a*b+a*с;

5. a * a = | a |І;

5) Различные уравнения прямой

каноническое уравнение

y=kx+b

Общее ур-е

Ax+By+C=0

Уравнение прямой, проходящей через точку c координатами (х 0;у 0) с известным угловым коэффициентом:

Уравнение прямой проходящей через две точки:

Угол между прямыми.

Если заданы две прямые

y = k1x + b1, y = k2x + b2,

то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k1 = k2.

Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.

Общее уравнение кривой. Кривые 2-го порядка

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

если В=0 то прямые называют центральными

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей - гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных. вектор аксиома параллелограмм

каноническое уравнение эллипса:

каноническое уравнение гиперболы.



каноническим уравнением параболы

yІ = 2px,

ур-е окружности

(x-x0)2+(y-y0)2=R2

Эллипс

Эллипс - геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек и, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c:

Эллипс, заданный каноническим уравнением:



симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки А 2(а;0) называется его вершинами

Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии

т центра эллипса О.

Число

называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его "сплюснутости" (при ллипс является окружностью, а при он вырождается в отрезок длиною 2а)

Если а<b, то фокусы находятся на оси ОY и

,

Гипербола

Гипербола - геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c:

Гипербола, заданная каноническим уравнением:

симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY.

Параметр а называется вещественной полуосью, b - мнимой полуосью.

Число



называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямые

называются асимптотами гиперболы.

Гипербола, заданная каноническим уравнением:

называется сопряжённой (имеет те же асимптоты). Её фокусы расположены на оси OY. Она пересекает ось ОY в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.

В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a - мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле:

Парабола

Парабола - множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой:

Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.

Уравнение

задает параболу, симметричную относительно оси ОY.

Парабола

имеет фокус и директрису

Парабола

имеет фокус и директрису

Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 - в отрицательную сторону.

Уравнение плоскости

Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0

-Ax0-By0-Сz0=D, где D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0

Свойства определителей

1. Если в определителе поменять 2. строки или столбца то изменится знак

=

ad-cb=-(cb-ad)

2. если в определителе есть 2 одинаковые строки или столбца то он равен 0

=0

ab-ab=0; 0=0

3. если в определителе есть нулевая строка или столбец, то он равен 0

4.при транспонировании матрицы определитель не изменяется

ad-cb=ad-cb

5. если в определителе строка или столбец записаны в виде суммы 2-ух слагаемых, то определитель равен сумме 2-ухопределителей первым из которых берётся первое слагаемое во втором второе

ad+pd-cb-ck=ad-cb+pd-ck

6. если в определителе строка или столбец имеет общий множитель то его можно вынести за знак определителя

kad-kbc=k(ad-bc)

kad-kbc=kad-kbc

7. если к строке или столбцу определителя прибавить другую строку или столбец умноженный на число, то определитель не изменится

8. минором называется определитель, который получается из исходного определителя после вычёркивания итой (i)строки и житого(j) столбца. Алгебраическим дополнением Aij к aij называется число (-1)i+j*Mij

М 23 А 23=(-1)2+3=-(8-14)=6

Метод Крамера

Метод Крамера (правило Крамера) - способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704-1752), придумавшего метод.

Обратная матрица

Обратная матрица (А-1) называется матрица, удовлетворяющая свойства:

А*А-1=А-1*А=Е.

Обратная матрица находится только для квадратной матрицы. Матрица называется невырожденной если её определитель не равен 0. Матрица называется присоединённой или оюзной к матрице А если имеет вид

.

Теорема: Для того чтобы матрица А имела обратную, нужно и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.

Док-во: если матрица имеет обратную то:

А*А-1=А-1*А=Е

тогда матрица А невырожденная, е если она невырожденная то есть и обратная матрица.

Матричная запись системы. Применение обратной матрицы к решению линейных систем

Общий вид системы

i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - коэффициенты системы; - свободные члены; - переменные; Если все система называется однородной.

Матричная запись системы линейных уравнений

AX = B, где

Нахождение решения с помощью обратной матрицы

Решение методом Гаусса

Пусть у нас есть система N линейных уравнений

a11x1 + a12x2 + a13x3 + = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 += b3

где xi - неизвестные, aij - коэффициенты при неизвестных, bi - свободные члены в уравнениях, i,j пробегают значения от 1 до N.

Цель задачи - зная aij и bi найти xi.

Суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью некоторых операций исходную систему уравнений можно свести к более простой системе. Эта простая система имеет треугольный вид:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + = b1

a22x2 + a23x3 = b2

a33x3 = b3

1. пусть а 33 не равно 0, ТО

х 3=b3/a33 - система имеет 1 решение

rg=3 rgA=3 n=3

2. a33=0 b3=0 -система имеет много решений

rg=2 rgA=2 n=3

3. a33 = 0 b3 не равно 0 - нет решений

rg=3 rgA=2 n=3

Для ситуации 1и 2 найденное значение х 3 подставляем во 2 ур-е, затем х 2 и х 3 подставляем в 1-ое ур-е и находим х 1. Затем выписываем решение системы.

Ранг матрицы

Ранг матрицы - наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

rang(A) min(m; n)

rang (A) = 0 A =

при транспонировании матриц ранг не изменяется

применение элементарных преобразований к матрице не изменит её ранг

Теорема Кронекера-Капелли. Решение неопределённых систем линейных уравнений

Теорема Кронекера-Капелли - критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.

2) Если

RgA = RgA*,

то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов - линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Решение методом Жордана-Гаусса

Каждая последующая итерация метода начинается с выбора разрешающего элемента в предыдущей части таблицы. Для упрощения вычислений удобно в качестве разрешающего выбирать элемент, равный 1. Если же такой выбор окажется невозможным, то для уменьшения погрешностей при округлениях лучше в качестве разрешающего принимать элемент, наибольший по абсолютной величине. В разрешающем столбце все элементы заменяем нулями кроме разрешающего элемента. Элементы строки делим на элемент. Все остальные элементы таблицы рассчитываем по правилу прямоугольника или треугольника

прямоугольник: a`ij=aijapk-apjaik/aij

треугольник: a'pk=apk=apjaik/aij /

Продолжаем выполнять шаги с 1 до 4 до получения единичной матрицы.

Модель Леонтьева межотраслевого баланса

матрица прямых затрат или производственная матрица.

Х-вектор валового выпуска продукции

Y-вектор конечного спроса

X=AX+Y

(E-A)X=Y

S=E-A

Элементы Sij показывают выпуск продукции каждой отрасли для обеспечения единицы конеч. спроса на продукцию j области

Основная задача межотраслевого баланса найти такой вектор валового выпуска продукции Х который при известной матрице прям. затрат А обеспечивает вектор У конеч. спроса. Матрица S является невырожденной если

S-1=(E-A)-1

X= (E-A)-1Y

X=S-1Y

Матрица А называется продуктивной если для любого вектора у существует решение х. В этом случае модель Леонтьева тоже называется продуктивной. Матрица А продуктивная если максимум сумм элементов её столбцов не превосходят 1 и существует хотя бы 1 столбец для которого указанная сумма меньше 1

Матрица А продуктивная если собственные значения матрицы по модулю не превосходят 1

Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

Ах=0 данная система совместная, потому что имеет нулевое решение. Нулевое решение называется тривиальным. ЛОС имеет ненулевые решения тогда и только тогда когда ранг меньше числа неизвестных

ЛОС совместная и имеет ненулевые решения, если число уравнений меньше числа неизвестных. Если в ЛОС число уравнений равно числу неизвестных, то ЛОС имеет ненулевое решение тогда и только тогда когда определитель систем равен 0. Если альфа решение ЛОС то для любого числа к вектор каальфа тоже решение

ЛОС(А=0 А(к)=к(А)=к*0=0)

и решение ЛОС то и + решение

ЛОС(А=0 А(+)=А+А=0)

если альфа и бета решения ЛОС то и линейная комбинация этих векторов тоже является решением ЛОС

Любой базис фундаментальная система решений. Если ранг системы ЛОС меньше числа неизвестных n то ФСР состоит из n решений.

n-мерное векторное пространство.

Векторным пространством (над полем R или C) называют множество L, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные (комплексные) числа, удовлетворяющие следующим условиям:

1) x + y = y + x (коммутативность сложения);

2) (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x для любого вектора x;

4) для любого вектора x существует противоположный ему вектор y такой, что x + y = 0;

5) 1•x = x;

6) б(вx) = (бв)x (ассоциативность умножения);

7)

(б + в)x = бx + вx

(дистрибутивность относительно числового множителя);

8)

б(x + y) = бx + бy

(дистрибутивность относительно векторного множителя). Векторное пространство называют. n-мерным (или имеет "размерность n"), если в нём существуют n линейно независимых элементов e1, e2, ...en, а любые n+1 элементов линейно зависимы.

Векторным произведением векторов a и b называется вектор c, который определяется следующими условиями:

1) Его модуль равен absinфи где фи - угол между векторами и.

2) Вектор с перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами a и b.

3) Вектор c направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы a и b, кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки

Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанное произведение abc векторов - скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c/

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е.

(а х b)*с=(b х с)*а=(с х а)*b .

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е.

ахb)*с=а*(bx с).

Действительно,

(ахb)*с=±V и а*(b хс)=(b хс)*а=±V .

Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а, b, с и b, с, а - одной ориентации.

Следовательно,

(a хb)*с=a (b хс).

Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b)с в виде abc без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е.

abc =-acb, abc =-bac, abc =-cba .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.

Если abc =0, то а, b и с-- компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V№ 0. Но так как abc =±V, то получили бы, что abc№0 . Это противоречит условию: abc =0.

Обратно, пусть векторы а, b, с - компланарны. Тогда вектор d =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b,с, и следовательно, d ^с. Поэтому d *с=0, т. е. abc =0.

Линейно зависимые и независимые системы векторов.

Набор векторовназывается системой векторов. Система из к векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

Система из к векторов называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (1.1) тривиальная.

Один вектор а тоже образует систему: при линейно зависимую, а при линейно независимую. Любая часть системы векторов называется подсистемой.

Базис пространства. Разложение по базису.

Система n линейно независимых векторов - это базис пространства. Каждый вектор из Rn, не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису.

Пусть - базис пространства Rn и Тогда найдутся такие числа л1, л2, …, лn, что

.

Коэффициенты разложения л1, л2, …, лn, называются координатами вектора b в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно.

Доказать, что векторы



образуют базис в R3. Решение. Покажем, что равенство

возможно только при

л1 = л2 = л3 =0:

или

/

Решив систему, получим л1=0, л2=0, л3=0. Так как все лi=0 (i=1,2,3), то - линейно независимы. Они могут составить базис в R3.

Собственные значения и собственные векторы матрицы 30. Линейная модель торговли

Квадратичные формы и привидение квадратичной формы к каноническому виду

Каноническим видом квадратичной формы (10.1) называется следующий вид:

.

Очень часто используется метод Лагранжа для приведения к каноническому виду. Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов.

Определение положительных и отрицательных квадратичной формы

Квадратичная форма называется отрицательно-определённой если при всех значениях переменной, из которых хотя бы одна отлична от нуля .

Понятие комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.

Алгебраичная форма записи:

x+iy=z

тригонометричная форма записи:

z = a + bi = r(cos ц + i sin ц).

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

Основные свойства комплексных чисел

z+z1=(x+x1)+i(y+y1)

z-z1=(x-x1)+i(y-y1)

z*z1+ (x+iy)(x1+iy1)=xx1-yy1+i(xy1+x1y)

z/z1=x+iy/x1+iy1=(x+iy)(x1-iy1)/(x1+iy1)(x1-iy1)=xx1+yy1+i(-xy1+x1y)/x12+y12

При сложении 2-ух комплексных чисел вновь получается комплексное число, радиус вектора которого складывается по правилу пар-ма

При умножении 2-ух комплексных чисел модули перемножаются а аргументы складываются.

Возведение в степень извлечение из степени комплексного числа

Пусть дано комплексное число. Для возведения комплексного числа в натуральную степень нужно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени. Это правило известно в математике как формула Муавра:

.

Извлечение из степени

Множество и операции над ним.

Множество - одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики. Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект обычно считается множеством..

Операции над множествами:

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции.

К ним относят:

Степенные

Показательные

Логарифмические

Тригонометрические

Элементарные функции - функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Элементарные функции разделяются на алгебраические и трансцендентные.

Предел последовательности

Последовательность - это функция натурального аргумента.

В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством "притягивать", в некотором смысле, элементы данной последовательности.. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.

Пусть последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху (монотонно убывает и ограничена снизу) то она имеет предел. В противном случае последовательность не имеет предела.

Определение предела функции

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, - такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Свойства пределов. Бесконечно большие и малые.

Если каждое слагаемое суммы конечного числа функций имеет предел, то предел этой суммы существует и равен сумме пределов

Функция может иметь только один предел при хх 0

Замечательные пределы

Замечательные пределы - термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Непрерывные функции. Точки разрыва

Функция f(x) называется непрерывной в точке х 0 если эта функция определена в некоторой окрестности точки х 0 и существует предел равный f(x0)

Если при каком-либо значении х 0 не выполняются указанные условия то точка х 0 называется точкой разрыва функции f(x)

Если функция непрерывна в каждой точке промежутка то она непрерывна на этом промежутке.

Различают точки разрыва 1 и 2 рода. Точка х 0 называется точкой разрыва 1 рода, если для неё существуют конечные пределы и они равны между собой. Все остальные точки разрыва носят название точки разрыва 2 рода.

Если f(x0-0)=f(x0+0), то точка разрыва х 0 называется устранимой. Если выполняется равенство f(х 0-0)=f(x0) то говорят, что функция непрерывна слева аналогично f(х 0+0)=f(x0) ограничена справа.

Размещено на Allbest.ru

...