Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство сельского хозяйства и продовольствия РБ

Учреждение образования

«Гродненский государственный аграрный университет»

И.Л. Лукша

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические рекомендации и контрольные задания для студентов инженерно-технологических и экономических специальностей заочной формы обучения

Гродно 2011

УДК 519.2 (076)

ББК 22.171я7

Д-33

Рецензенты:

Лукша И.Л.

Высшая математика: методические рекомендации и контрольные задания для студентов инженерно-технологических и экономических специальностей заочной формы обучения И.Л. Лукша. - Гродно: ГГАУ, 2011.

Рекомендовано учебно-методической комиссией инженерно- технологического факультета УО ГГАУ.

ВВЕДЕНИЕ

Общий курс высшей математики, изучаемой студентами-заочниками инженерно-технологических и экономических специальностей, состоит из аналитической геометрии с элементами линейной алгебры, математического анализа, элементов теории вероятностей и математической статистики.

Этот курс ставит основной своей задачей сообщить студенту сведения о высшей математике, необходимые для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, и также развить навыки логического мышления.

Учебный материал по курсу высшей математики распределен на четыре первых семестров. В конце каждого семестра предусмотрен зачет или экзамен по изученным разделам математики. Соответственно этим разделам студенты выполняют контрольные работы согласно учебному плану своей специальности.

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. Лекции, практические, индивидуальные межсессионные занятия призваны помочь им в самостоятельной работе и выполнении контрольных работ.

Работа студента-заочника над учебным материалом по математике состоит из следующих элементов: слушание лекций, участие в практических занятиях, участие в межсессионных индивидуальных занятиях, изучение материала по учебникам, решение задач, ответы на вопросы для самоконтроля, выполнение контрольных работ, сдача зачетов и экзаменов.

Данное пособие содержит все задания для выполнения контрольных работ по высшей математике, а также ставит цель помочь студенту-заочнику самостоятельно работать над учебным материалом по высшей математике, в нем перечислена литература, рекомендованная для самостоятельного изучения материала, содержится программа по всему курсу, методика изучения и решения типового варианта контрольной работы.

Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1.1 Матрицы и определители

Понятие матрицы. Операции над матрицами. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Понятие определителя n-го порядка. Ранг матрицы. Обратная матрица. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Понятие о квадратичных формах и их преобразовании к каноническому виду.

1.2 Системы линейных уравнений и неравенств

Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Системы линейных неравенств. Графический метод решения системы линейных неравенств с двумя переменными. Смешанные системы линейных уравнений и неравенств. Применение элементов линейной алгебры в экономике.

1.3 Аналитическая геометрия на плоскости

Предмет аналитической геометрии. Метод координат.

Декартова и полярная системы координат. Основные виды уравнения прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

Кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола. Параметрическое и полярное представления линий.

1.4 Векторная алгебра

Понятие вектора на плоскости и в трехмерном пространстве. Основные операции над векторами. Скалярное произведение векторов.

Векторы в n-мерном пространстве. Линейная зависимость векторов. Базис системы векторов. Разложение вектора по базису. Размерность и базис пространства. Понятие о векторных пространствах. Евклидово пространство.

1.5 Элементы аналитической геометрии в пространстве

Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве. Основные виды уравнений плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Понятие о поверхностях второго порядка и их классификации.

1.6 Комплексные числа

Комплексная плоскость. Формы представления комплексных чисел. Действия над комплексными числами. Формулы Эйлера.

интеграл плоскость неравенство вероятность

Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения

2.1 Числовая последовательность и ее предел

Действительные числа. Числовые множества. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности. Экономическая интерпретация числа е.

2.2 Предел функции одной переменной

Функции и отображения, их области определения и значений, способы задания и график функции. Основные элементарные функции. Сложная функция. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах функций. Замечательные пределы. Односторонние пределы. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.

2.3 Непрерывные функции одной переменной

Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва. Непрерывность сложной функции и обратной функции. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность функции на множестве. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства.

2.4 Производная и дифференциал функции одной переменной

Производная функции. Геометрический, механический и экономический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Логарифмическая производная. Дифференцируемость функции одной переменной. Дифференциал, его геометрический и экономический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Примеры применения производной в экономике. Производные высших порядков. Неявные функции.

2.5 Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Стационарные точки. Теоремы Ферма и Ролля. Теорема Лагранжа и формула конечных приращений. Теорема Коши. Правило Лопиталя.

2.6 Приложения дифференциального исчисления

Условие постоянства функций. Условия монотонности функций. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Наибольшее и наименьшее значение функции. Достаточные условия экстремума. Условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков функций.

Предельные показатели в экономике. Эластичность экономических показателей. Максимизация прибыли.

2.7 Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. Множества уровней. Однородные функции. Выпуклые и вогнутые функции. Производственные функции. Предел функции в точке. Непрерывность. Свойства непрерывных функций.

Частные производные. Примеры применения частных производных в экономике. Дифференцируемость функции нескольких переменных.

Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Задачи на условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Выравнивание эмпирических зависимостей. Метод наименьших квадратов.

2.8 Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Метод замены переменной. Формула интегрирования по частям. Таблица неопределенных интегралов.

Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

2.9 Определенный интеграл

Определенный интеграл. Условия интегрируемости функций. Формула Ньютона- Лейбница. Основные свойства определенного интеграла. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Применение определенного интеграла в экономике. Применение определенного интеграла для вычисления площадей фигур, длин дуг плоских кривых и объемов тел. Приближенные методы вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы.

2.10 Кратные интегралы

Определение двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Тройной интеграл. Приложения кратных интегралов.

2.11 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Составление дифференциального уравнения первого порядка. Модели экономической динамики.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной.

Системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

2.12 Ряды

Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Простейшие свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости числового ряда. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Функциональные ряды. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область и интервал сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в степенные ряды. Применение рядов к приближенным вычислениям.

Ряды Фурье. Разложение функций в ряды Фурье.

Раздел III. Теория вероятностей и математическая статистика

3.1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Случайные события и операции над ними. Алгебра событий. Частота и вероятность. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности и статистическая вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса.

3.2 Повторные независимые испытания

Последовательность независимых повторных испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.

3.3 Случайные величины. Основные законы распределения случайных величин

Случайные величины и их классификация. Дискретные и непрерывные величины. Законы распределения случайных величин. Функция распределения случайных величин и ее свойства. Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Мода и медиана.

Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона. Геометрическое распределения. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальный закон распределения. Функция Лапласа. Распределения «хи -квадрат», Стьюдента и Фишера-Снедекора.

3.4 Закон больших чисел

Неравенства Маркова и Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема.

3.5 Основы математической статистики

Предмет математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд и его характеристики. Точечное и интервальное оценивание параметров генеральной совокупности.

Статистические гипотезы. Уровень значимости и мощность критерия. Проверка статистических гипотез. Критерии согласия Пирсона.

Основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ.

Модели и основные понятия корреляционного и регрессионного анализа. Линейная корреляционная зависимость и линии регрессии. Проверка значимости уравнения и коэффициентов уравнения регрессии.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гусак А.А. и др. Справочник по высшей математике.-Мн.: ТетраСистемс, 2000. - 640 с.

2. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. Минск, «Вышэйш. школа», 1976. - 456 с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В 2-х ч. - М.: Высш. шк., 1986. - 415 с.

4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч.1-3. Под ред. Проф. А.П. Рябушко. Мн. 1990

5. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов. - М.: Высш. шк., 1990. - 479с.

6. Сборник задач по курсу высшей математики. Под редакцией Г.И. Кручковича. Учебное пособие для втузов. - М., «Высшая школа», 1973 576 с.

7. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1 2. Учеб. пособие для втузов.- М., «Высш. школа», 1974. - 464 с.

8. Высшая математика. Общий курс. Под ред. Проф. А.И. Яблонского. - М., «Высшая школа», 1993. - 345 с.

9. Подольский В.А., Суходский А.М. Сборник задач по высшей математике. Учеб. пособие для техникумов. - М., «Высш. школа», 1974. - 352 с.

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Представляемую контрольную работу следует выполнять в отдельной ученической тетради. Решения задач следует располагать в возрастающем порядке номеров задания, выписывая полностью условия задач. Решение каждой задачи должно обязательно сопровождаться краткими, но исчерпывающими пояснениями. В конце работы следует привести список используемой литературы.

Для удобства рецензирования контрольной работы следует оставлять на каждой странице поля шириной 3 - 4 см.

Номер варианта для каждой задачи выбирается по двум последним цифрам учебного шифра (номера зачетной книжки). Если это число превышает 30, то из него вычитают число кратное 30 так, чтобы остаток оказался меньше 30. Этот остаток является номером варианта. Например, номер зачетной книжки оканчивается на 76. тогда номер варианта равен 16, т.к. .

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА

Задача № 1

Даны координаты вершины треугольника АВС: А(-3; -2), В(-1; 8), С(7; 4). Составить уравнения а) стороны АС; б) высоты ВD; в) медианы АЕ. Найти длину стороны АС и высоты ВD. Вычислить площадь данного треугольника.

Сделать рисунок.

Решение.

а) Уравнение прямой, проходящей через точки А(х1,у1) и С(х2,у2), имеет вид:

. (1)

Подставив в уравнение (1) соответствующие координаты точек А(-3; -2) и С(7; 4), находим уравнение стороны АС:

б) Высота BD перпендикулярна стороне АC. Известно, что если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку. Следовательно, .

Найдем угловой коэффициент стороны АС из ее уравнения: откуда , тогда .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид:

 (2)

Подставив в (2) координаты точки В(-1; 8) и найденный угловой коэффициент, получим искомое уравнение высоты BD:

в) Если АЕ есть медиана, то точка Е является серединой стороны ВС. Для вычисления координат точки Е применяем формулы координат середины отрезка:

. (3)

Подставив в (3) координаты точек В и С, находим координаты точки Е:

Подставив в (1) координаты точек А(-3; -2) и Е(3; 6), находим искомое уравнение медианы АЕ:

Найдем длину стороны АС по формуле нахождения расстояния между двумя точками:

(4)

Подставив в формулу (4) соответствующие координаты точек А и Е, получим длину стороны АС:

Длину высоты BD найдем по формуле расстояния от точки до прямой

(5)

Подставив в формулу (5) координаты точки В(-1; 8) и уравнение прямой АС , получим длину высоты BD:

.

Площадь треугольника ABC найдем по формуле

.

Имеем

Задача №2

Проверьте совместность системы линейных алгебраических уравнений и в случае совместности решить ее:

1) по формулам Крамера;

2) с помощью обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

Решение.

С помощью элементарных преобразований расширенную матрицу приведем к ступенчатому виду и найдем ранги основной матрицы и расширенной матрицы:

Отсюда видно, что rang A =3, а rang=3, т.е. rangA = rang, то по теореме Кронекера-Капелли система совместна и имеет единственное решение.

1) Решим систему по формулам Крамера.

Формулы Крамера имеют вид:

.

Найдем определитель матрицы системы:

Данные определители подставим в формулы Крамера:

Итак,

2) Решим систему с помощью обратной матрицы.

Решение ищем в виде:

где - матрица обратная к матрице А, В- столбец свободных членов.

Обратную матрицу найдем по формуле:

Решение системы:



То есть

3) Методом Гаусса.

Прямой ход Гаусса совершен при нахождении рангов матриц А и . Поэтому наша данная система эквивалентна системе:

Тогда х3=-1, х2=(-х3+17)/-3= -6, х1=-2-х2+х3=3.

Задача № 3

Даны четыре точки А1 (4, 7, 8), А2 (-1, 13, 0), А3(2, 4, 9), А4(1, 8, 9). Составить уравнения:

а) плоскости А1А2А3;

б) прямой А1А2;

в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;

г)прямой А4N, параллельной прямой А1А2.

Решение.

а) Используя формулу , составляем уравнение плоскости А1А2А3:

; ,

откуда 6x - 7y - 9z + 97 = 0;

б) Используя формулу составляем уравнение прямой А1А2:

; .

в) Из условия перпендикулярности прямой А4М и плоскости А1А2А3 следует, что в качестве направляющего вектора прямой sможно взять нормальный вектор n = (6, -7, -9) плоскости А1А2А3. Тогда уравнение прямой А4М с учётом уравненийзапишем в виде

;

г) Так как прямая А4N параллельна прямой А1А2, то их направляющие векторы s1 и s2 можно считать совпадающими: s1 = s2 = (-5, 6, -8). Следовательно, уравнение прямой А4N имеет вид

Задача № 4

Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:

а)

Решение. Имеем неопределенность:

Разложим числитель и знаменатель на множители, получим:

б)

Решение. Имеем неопределенность:

Чтобы найти предел дробной рациональной функции, необходимо предварительно числитель и знаменатель дроби разделить на наивысшую степень многочленов.

в)

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом

г)

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом

Задача № 5

Вычислить производную:

а) .

Решение

.

б)

Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования: .

в)

Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования: .

г)

Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции

.

Задача № 7

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить её график

Решение. Приведём схему полного исследования функции

1. Область определения функции.

2. Четность, нечётность, периодичность.

3. Точки разрыва функции; приделы при x к концам промежутков области определения; асимптоты.

4. Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума; вычислить значения экстремумов.

5. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

6. Точки пересечения графика с осями координат.

7. График.

1. Функция f(х) определена, если , ,значит

2. Т.к. область определения функции D(f) не является симметричным множеством относительно начала координат, то функция f(x) не может быть чётной, нечётной и периодической.

3. Найдём пределы функций при x к концам промежутков области определения

Аналогично, получаем что

Поскольку , то точка x = -1 -точка разрыва второго рода, а х = -1 - вертикальная асимптота.

Найдём наклонные асимптоты

y = kx + b

где

Следовательно, - уравнение наклонной асимптоты.

4. Производная

определена на D (f)

Поскольку при x = -3, x = 0, то это критические точки функции. Так как

Т.о. на промежутках функция возрастает, а на (-3;-1) - убывает.

В точке х = - 3 функция имеет максимум, т.к. при переходе через эту точку меняет знак с «+» на «-».

5. Находим вторую производную

Она определена для . Поскольку при x = 0, то определив знак на каждом из интервалов , получим, что для , график выпуклый; для график вогнутый.

При переходе через точку х = 0 производная у" меняет знак, поэтому х = 0 - точка перегиба, причём .

6. График функции пересекает координатные оси в т. (0;0).

Задача № 8

Вычислить указанные интегралы.

а) .

Решение. Применим метод непосредственного интегрирования.

б)

Решение. Применим метод интегрирования по частям.

в)

Решение. Применим метод интегрирования подстановкой.

г)

Решение. При вычислении определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница



Введем новую переменную по формуле . Определим и . Возводя в квадрат обе части равенства , получим, откуда и . Находим новые пределы интегрирования. Подставляя старые пределы в формулу, получаем: , откуда и ; , откуда,. Таким образом,

Задача № 9

Найти решение дифференциального уравнения с начальными условиями: .

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим

.

Интегрируя это уравнение, находим

, откуда получаем общее решение .

Чтобы найти искомое частное решение, достаточно определить значение С по начальным условиям:

Следовательно, частное решение имеет вид

Задача № 10

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Решение: Данное уравнение является линейным. Решение ищем в виде

Поскольку то подставив выражения для у и в условие, получим

, или

(1)

В качестве v выберем одну из функций, обращающих в нуль коэффициенты при u в уравнении (1), т.е. решение уравнения

 (2)

Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными v и х. Переписав его в дифференциалах и разделив переменные, получим

Уравнение (1) с учетом (2) сводится к уравнению

, или .

Из которого определяется

По формуле находим общее решение

Задача № 11

а) Исследовать на сходимость числовой ряд.

.

Решение. Исследуем данный ряд по признаку Даламбера, зная n-ый член ряда, находим следующий за ним (n+1) -ый член. Затем ищем предел отношения последующего члена аn+1 к пределу аn при неограниченном возрастании n.

Поэтому согласно признаку Даламбера данный ряд сходится.

б) Исследовать характер сходимости знакочередующегося ряда

.

Решение. Применим к данному знакочередующемуся ряду признак Лейбница. Условия признака Лейбница выполнены:

.

Следовательно, этот ряд сходится.

Определим характер сходимости данного ряда. Поскольку ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. ряд , расходится (ряд Дирихле; ), то данный знакочередующийся ряд сходится условно.

Задача № 12

Найти область сходимости степенного ряда:.

Решение

Здесь , имеем .

Следовательно, ряд сходится, если , т.е. .

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка.

Если , то получаем ряд , который сходится (ряд Дирихле; ).

Если , то получаем знакочередующийся ряд , который сходится (и притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов.

Итак, степенной ряд сходится для значений , удовлетворяющих двойному неравенству, т.е. область сходимости отрезок .

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

№ 1. Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения а) стороны АС; б) высоты ВD; в) медианы АЕ. Найти длину стороны АС и высоты ВD. Вычислить площадь данного треугольника.

1.1. А(-5;1), В(1;0), С(0;-3).

1.2. А(-2;0), В(0;5), С(3;-2).

1.3. А(-2;-2), В(0;3), С(5;1).

1.4. А(-2;0), В(3;1), С(2;-3).

1.5. А(-3;-3), В(0;2), С(2;-2).

1.6. А(-5;2), В(0;5), С(2;1).

1.7. А(-2;-2), В(3;1), С(5;-3).

1.8. А(-3;-3), В(-1;2), С(0;3).

1.9. А(-2;3), В(3;1), С(0;-3).

1.10. А(-1;0), В(2;9), С(3;5).

1.11. А(-2;1), В(-1;9), С(3;5).

1.12. А(-3;-3), В(0;1), С(5;-1).

1.13. А(-3;1), В(0;5), С(2;3).

1.14. А(-5;-1), В(-2;2), С(3;0).

1.15. А(-2;0), В(1;3), С(5;-1).

1.16. А(-1;2), В(2;0), С(0;-3).

1.17. А(-5;1), В(-1;3), С(-3;2).

1.18. А(-2;1), В(0;4), С(3;-2).

1.19. А(-1;1), В(2;3), С(5;-2).

1.20. А(1;1), В(3;6), С(5;0).

1.21. А(3;5), В(2;1), С(-1;8).

1.22. А(-1;2), В(5;-3), С(3;-5).

1.23. А(-1;2), В(5;-1), С(3;-3).

1.24. А(-3;-1), В(0;1), С(3;-3).

1.25. А(-3;3), В(5;1), С(2;-3).

1.26. А(-4;-1), В(-1;5), С(2;2).

1.27. А(-2;1), В(3;2), С(4;-3).

1.28. А(1;-2), В(3;0), С(-1;1).

1.29. А(-2;-3), В(0;7), С(8;3).

1.30. А(1;2), В(3;12), С(11;8).

№ 2. Проверить совместность системы и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом, в) методом Гаусса.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15. 2.16.

2.17. 2.18.

2.19. 2.20.

2.21. 2.22.

2.23. 2.24.

2.25. 2.26.

2.27. 2.28.

2.29. 2.30.

№ 3. Даны четыре точки . Составить уравнения: а) плоскости ; б) прямой; в) прямой перпендикулярной плоскости; г) прямой параллельной прямой.

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.

3.20.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

3.26.

3.27.

3.28.

3.29.

3.30.

№ 4. Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:

4.1. а) , б) ,

в) , г)

4.2. а) , б) ,

в) , г)

4.3. а) , б) ,

в) , г)

4.4. а) , б) ,

в) , г)

4.5 а) , б) ,

в) , г)

4.6. а) , б) ,

в) , г)

4.7. а) , б) ,

в) , г)

4.8. а) , б) ,

в) , г) .

4.9. а) , б) ,

в) , г) .

4.10. а) , б),

в) , г) .

4.11. а) , б) ,

в) , г) .

4.12. а) , б) ,

в) , г) .

4.13. а) , б) ,

в) , г)

4.14. а) , б) ,

в) , г) .

4.15. а) , б) ,

в) , г) .

4.16. а) , б),

в), г) .

4.17. а) , б) ,

в) , г) .

4.18. а) , б) ,

в) , г) .

4.19. а) , б),

в), г) .

4.20. а) , б) ,

в) , г) .

4.21. . а) , б) ,

в) г)

4.22. а) , б) ,

в) , г) .

4.23. а) б) ,

в) , г)

4.24. а) б) ,

в) г)

4.25. а) , б) ,

в) г)

4.26 а) , б)

в) г)

4.27. а) , б)

в) г)

4.28. а) , б) ,

в) г)

4.29. а) , б) ,

в) г) .

4.30. а) , б)

в) г) .

№ 5. Вычислить производную:

5.1. а) б) в)

5.2. а) б) в)

5.3. а) б) в)

5.4. а) б) в)

5.5. а) б) в)

5.6. а) б) в)

5.7. а)б) в)

5.8. а) б) в)

5.9. а) б) в)

5.10.а)б)

в)

5.11. а) б) в)

5.12. а) б) в)

5.13. а)б) в)

5.14.а)б)

в)

5.15. а) б) в)

5.16. а) б)

в)

5.17. а) б)

в)

5.18. а) б)

в)

5.19. а) б) в)

5.20. а) б) в)

5.21. а) б) в)

5.22. а) б) в)

5.23.а) б) в)

5.24. а) б) в)

5.25. а) б)

в)

5.26. а) б) в)

5.27. а) б) в)

5.28. а) б) в)

5.29. а)б)

в)

5.30. а) б)

в)

№ 6. Вычислить пределы а), б) задачи № 4 применив правило Лопиталя.

№ 7. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить её график:

7.1.

7.3.

7.5.

7.7.

7.9.

7.11.

7.13.

7.15.

7.2.

7.4.

7.6.

7.8.

7.10.

7.12.

7.14.

7.16.

7.17.

7.19.

7.21.

7.23.

7.25.

7.27.

7.29.

7.16.

7.18.

7.20.

7.22.

7.24.

7.26.

7.28.

7.30.

№8. Вычислить:

8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

8.5.

8.6.

8.7.

8.8.

8.9.

8.10.

8.11.

8.12.

8.13.

8.14.

8.15.

8.16.

8.17.

8.18.

8.19.

8.20.

8.21.

8.22.

8.23.

8.24.

8.25.

8.26.

8.27.

8.28.

8.29.

8.30.

№ 9. Найти решение дифференциального уравнения с начальными условиями:

9.1. .

9.2.

9.3.

9.4.

9.5.

9.6.

9.7.

9.8.

9.9. .

9.10.

9.11.

9.12.

9.13.

9.14.

9.15. .

9.16.

9.17.

9.18.

9.19.

9.20.

9.21. .

9.22.

9.23.

9.24.

9.25.

9.26.

9.27.

9.28.

9.29. .

9.30.

№ 10. Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

10.1.

10.3.

10.5.

10.7.

10.9.

10.11.

10.13. 10.15.

10.2. 10.4.

10.6.

10.8.

10.10. 10.12.

10.14. 10.16.

10.17. 10.19.

10.21. 10.23.

10.25. 10.27.

10.29.

10.18. 10.20. .

10.22. 10.24.

10.26. 10.28.

10.30.

№ 11. Определить сходимость рядов:

11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

11.5.

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10.

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

11.15.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.

11.20.

11.21.

11.22.

11.23.

11.24.

11.25.

11.26.

11.27.

11.28.

11.29.

11.30.

№ 12. Найти область сходимости степенного ряда:

12.1. . 12.2. .

12.3. . 12.4. .

12.5. . 12.6. .

12.7. . 12.8. .

12.9. . 12.10. .

12.11. . 12.12. .

12.13. . 12.14. .

12.15. . 12.16. .

12.17. . 12.18. .

12.19. . 12.20. .

12.21. . 12.22. .

12.23. . 12.24.

12.25. . 12.26. .

11.27. . 12.28. .

12.29. . 12.30. .

Размещено на Allbest.ur

...