Класичні та квантові гіпергрупи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 517.98

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Класичні та квантові гіпергрупи

01.01.01 -- математичний аналіз

Калюжний Олександр Олексійович

Київ 2007

Загальна характеристика роботи

rласична квантова гіпергрупа

Актуальність теми. Абстрактний гармонічний аналіз виник як перенесення класичного гармонічного аналізу, коли замість прямої або кола розглядається та чи інша топологічна група (або, більш загально, однорідний простір цієї групи). Основи цього напрямку сучасної математики, важливого не тільки своєю внутрішньою красою, а й істотніми застосуваннями в функціональному аналізі, математичній фізиці, теорії диференціальних рівнянь, теорії ймовірності, було закладено в роботах А.Хаара, А.Вейля, Г.Вейля, А.Картана, Л.С.Понтрягіна, А.І.Мальцева, І.М.Гельфанда, М.Г.Крейна, Д.А.Райкова, М.А.Наймарка та ін.

Починаючи з середини минулого сторіччя було з'ясовано, що ряд результатів гармонічного аналізу можна перенести на інші, відмінні від груп та однорідних просторів, об'єкти. Так, І.М.Гельфанд, М.Г.Крейн та Р.Годеман побудовали гармонічний аналіз на парах Гельфанда та на центрі групової алгебри компактної групи. Одночасно Ж. Дельсартом та Б.М.Левітаном було розпочато вивчення операторів узагальненого зсуву, а останнім за певних умов перенесено основні теореми гармонічного аналізу на випадок таких операторів.

Це привело до того, що, з подачі І.М.Гельфанда, Ю.М.Березанський та С.Г.Крейн у 1950 р. почали вивчати властивості a priori заданої згортки функцій на компактному або дискретному просторі, яка забезпечувала б змістовний гармонічний аналіз. В результаті з'явилось поняття комутативної гіперкомплексної системи з континуальним базисом, на яку було перенесено велику кількість результатів гармонічного аналізу, включаючи теорію майже періодичних функцій. У 1973 р. Ч.Данклом, Р.Джуетом та Р.Спектором було введено так зване поняття DJS-гіпергрупи, яка, по суті, є перевідкриттям та узагальненням на некомутативний випадок гіперкомплексної системи з континуальним базисом. З іншого боку, комутативні DJS-гіпергрупи вкладаються до класу гіперкомплексних систем завдяки наявності певних непрозорих умов топологічного характеру. Після появи DJS-гіпергруп з'явилось дуже багато робіт з цієї тематики.

Таким чином, природною є задача перенесення поняття гіперкомплексної системи на локально компактний (неунімодулярний) випадок та вивчення отриманого об'єкту. Крім того, цікавим є вивчення квантових гіпергруп, про що свідчить інтерес до цієї тематики таких відомих спеціалістів з теорії квантових груп, як Л.І.Вайнерман та Ван Даеле.

Дисертаційна робота присвячена вивченню локально компактних гіпергруп, які узагальнюють DJS-гіпергрупи і є природним перенесенням гіперкомплексних систем з континуальним базисом на локально компактний (неунімодулярний) випадок. Зокрема, на такі гіпергрупи перенесено основні теореми гармонічного аналізу, побудовано елементи теорії Лі та досліджено квантові гіпергрупи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що складають основу дисертації, проводились у відділі функціонального аналізу Інституту математики НАН України в рамках теми "Спектральна теорія операторів та її застосування", номер державної реєстрації 0101U000321.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка методів вивчення локально компактних (у тому числі, квантових) гіпергруп та застосування одержаних методів для опису структури конкретних прикладів (квантових) гіпергруп.

Об'єктом дослідженя є локально компактні (квантові) гіпергрупи. Предметом дослідження є перенесення методів гармонічного аналізу та елементів теорії Лі для локально компактних груп на локально компактні (квантові) гіпергрупи, а також вивчення важливих з точки зору застосувань прикладів таких гіпергруп.

При вивченні локально компактних (квантових) гіпергруп застосовуються поняття та методи теорії нормованих алгебр, абстрактного гармонічного аналізу, теорії груп та алгебр Лі, теорії квантових груп.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації одержані такі основні результати:

Для локально компактних гіпергруп доведено основні теореми гармонічного аналізу.

Розроблено спектральну теорію ортогональних поліномів декількох змінних і встановлено її зв'язок з багатовимірною проблемою моментів.

Описано інфінітезимальні об'єкти до гіпергруп, що походять від груп Лі за допомогою конструкції унітальних орбітальних морфізмів.

На одновимірні гіпергрупи перенесено теорію Лі.

Запропоновано загальний метод побудови квантових гіпергруп за допомогою умовних сподівань на квантових групах, що задовольняють певні умови, та побудовано декілька серій нових прикладів нетривіальних квантових гіпергруп; також доведено теорему про розклад довільного умовного сподівання у добуток умовного сподівання, яке відповідає квантовим подвійним класам суміжності, та коунітального умовного сподівання.

Для узгодженої пари груп Лі одержано явну формулу для знаходження пари коциклів за допомогою пари коциклів на відповідній парі узгоджених алгебр Лі, та за допомогою подвійного схрещеного добутку груп Лі з коциклами побудовано ряд нових прикладів локально компактних груп.

Знайдено розмірності фон Неймана просторів квадратично інтегрованих гармонічних форм (-Бетті числа) на просторах N-точкових конфігурацій ріманового многовиду з нескінченною дискретною групою ізометрій.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути застосовані при вивченні конкретних прикладів гіпергруп, що виникають в математичних моделях теоретичної фізики та ін.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержано автором особисто та самостійно. З результатів робіт, що виконані в співавторстві, на захист виносяться лише положення, які одержано автором дисертації особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації неодноразово доповідалася на засіданнях Київського міського семінару з функціонального аналізу (Інститут математики НАН України, керівники академік НАН України Ю.М.Березанський, член-кореспондент НАН України М.Л.Горбачук, член-кореспондент НАН України Ю.С.Самойленко) та семінару "Алгебраїчні питання функціонального аналізу" (Інститут математики НАН України, керівник член-кореспондент НАН України Ю.С.Самойленко), та таких міжнародних математичних конференціях і школах:

Міжнародні конференції ``Lie--Lobachevsky Colloquium'' (Тарту, Естонія, 1992; Москва, Росія, 1996);

Міжнародна конференція ``Hypergroups and Related Measure Algebras'' (Сіетл, США, 1995);

International Workshop ``Minisemester on Quantum Groups'' (Варшава, Польща, 1995);

Український математичний конгрес, конференція з функціонального аналізу (Київ, 2001);

Міжнародні конференції ``Симетрія в нелінійній математичній фізиці'' (Київ, Ін-т математики, 2003 р., 2005 р.);

International Workshop "Algebraic versus analytic representations", {Kiev, Institute of Mathematics, December, 2005;}

Кримські осінні математичні школи зі спектральних та еволюційних задач (Крим, Ласпі, 2001, 2003, 2004).

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 1 монографії [1], 19 статтях [2-20], які опубліковані в провідних наукових фахових виданнях, серед яких 5 робіт без співавторів, та у роботах [21-28].

Основний зміст

У першому розділі дисертації вивчається гармонічний аналіз на локально компактних гіпергрупах. Під локально компактною гіпергрупою розуміємо локально компактний простір Q, на якому задано інволютивний гомеоморфізм (інволюція) та фіксована точка e = e*, яку ми називатимемо одиницею, такі, що виконануються такі аксіоми:

* існує неперервне лінійне відображення (тут та - відповідно простори неперервних обмежених функцій та неперервних функцій, що прямують до нуля на безмежності), яке задовольняє наступним умовам

- при фіксованих p є Q, функції , належать до простору ;

- , тобто є комноженням (це означає, що оператори є операторами узагальненого зсуву);

- комноження є додатнім, тобто якщо f > 0;

- комноження зберігає фінітність, а саме, для кожних передкомпактних борелевських множин існує компакт F такий, що для всіх p є A, q є B, як тільки .

Завдяки умові фінітності (H1)(d) можна продовжити комноження на довільні неперервні функції f є C(Q). Дійсно, для кожної функції f є та достатньо малих передкомпактних околів V, W довільних точок p, q є Q виберемо множину F з умови (H1)(d) та покладемо , де функція дорівнює f(r), якщо r є F та зовні F продовжена певним чином до функції з . Неважко бачити, що не залежить від поведінки функції зовні множини F.

- комноження зберігає одиницю, тобто .

* Гомоморфізм , що визначений рівністю , є коодиницею для комноження, тобто, виконана рівність .

* Для кожної функції справедлива рівність

(1)

де функція визначена рівністю .

* Існує сильно лівоінвариатна міра (ліва міра Хаара), тобто існує регулярна борелівська міра m, яка додатна на відкритих множинах та така, що для кожних неперервних функцій f, g з компактними носіями справедлива рівність

(2)

(відмітимо, що в силу (H1)(d) обидва інтеграла в (2) існують).

Відмітимо, що локально компактні гіпергрупи узагальнюють звичайні групи. Так, для локально компактної групи G з комноженням , та інволютивним гомоморфізмом легко перевіряються умови (H1) - (H4). Очевидно, що у цьому випадку комноження є гомоморфізмом алгебри C(G). Проте у загальному випадку комноження не є гомоморфізмом алгебри C(G), а лише додатнім оператором. Крім того, як це робиться для локально компактних квантових груп, в аксіоматику локально компактної гіпергрупи включена наявність міри Хаара. Це виправдовується тим, що навіть для локально компактних DJS-гіпергруп, які було введено ще на початку 70-х років минулого сторіччя, в загальному випадку не доведено існування міри Хаара. З іншого боку, постулювання існування міри Хаара значно спрощує аксіоматику (а саме, вдалося відмовитись від певних аксіом DJS-гіпергрупи, які носять суто топологічний характер і використовуються для доведення існування міри Хаара в компактному і комутативному випадках) і дозволяє розширити клас прикладів локально компактних гіпергруп.

В розділі 1.1 встановлено зв'язки локально компактних гіпергруп з відомими об'єктами: так, локально компактні гіпергрупи значно узагальнюють DJS-гіпергрупи; крім того, завдяки теоремі 1.1.6, яка характеризує гіперкомплексні системи у термінах операторів узагальненого зсуву, унімодулярні локально компактні гіпергрупи належать до класу нормальних гіперкомплексних систем з базисною одиницею і є досить близькими до таких систем (зокрема, локально компактні гіпергрупи на відміну від DJS-гіпергруп охоплюють всі відомі приклади гіперкомплексних систем). Тому локально компактні гіпергрупи є природнім узагальненням нормальних гіперкомплексних систем з базисною одиницею на неунімодулярний випадок.

Доведена єдиність лівої (правої) міри Хаара з точністю до постійного множника (Твердження 1.1.9) та показано, що модулярна функція є неперервним характером гіпергрупи Q (Твердження 1.1.10).

Теорема 1.1.13. Простір відносно згортки

(3)

та інволюції є *-банаховою алгеброю.

Теорема 1.1.16. Банахова алгебра має апроксимативну одиницю.

В розділі 1.2 досліджені представлення гіпергруп та доведені основні теореми гармонічного аналізу. Обмеженим представленням гіпергрупи Q називається слабко неперервне відображення гіпергрупи Q в алгебру L(H) обмежених операторів в гільбертовому просторі H таке, що

* (тут під 1 розуміється тотожній оператор в H);

* ;

* для кожних справедлива рівність

(4)

* функція обмежена.

Теорема 1.2.1 Існує бієктивне відображення між обмеженими представленнями локально компактної гіпергрупи Q та невиродженими *-представленнями банахової *-алгебри . Це відображення задається наступним чином:

(5)

де , а останній інтеграл розуміється як інтеграл Бохнера.

Неперервну функцію , на гіпергрупі Q, назвемо додатно визначеною, якщо для кожних , виконується нерівність

Доведено, що обмежені представлення гіпергрупи Q розділяють точки гіпергрупи (теорема 1.2.2) та встановлено стандартний зв'язок між незвідними представленнями та елементарними додатно визначеними функціями на гіпергрупі Q (теорема 1.2.6).

Теорема 1.2.10. Кожна неперервна на локально компактній гіпергрупі Q функція може бути наближена рівномірно на кожному компакті лінійними комбінаціями елементарних додатно визначених функцій.

З кожною локально компактною гіпергрупою на гільбертовому просторі можна пов'язати структуру лівої гільбертової алгебри (твердження 1.2.13). Застосовуючи центральний розклад лівої W*-алгебри L, що пов'язана з гільбертовою алгеброю, з природною вагою , можна ввести наступний аналог перетворення Фур'є

де - компонента в центральному розкладі лівого оператора узагальненого зсуву, та довести наступну теорему Планшереля і формулу обертання.

Теорема 1.2.15. Для перетворення Фур'є справедливі наступні формули:

де - компонента центрального розкладу оператора лівої згортки з f є D, а - компонента ваги . При цьому міра Планшереля визначається однозначно з точністю до еквівалентності, а перетворення Фур'є встановлює унітарний ізоморфізм між простором та гільбертовим простором, що породжується слідом на W*-алгебрі L за допомогою ГНС-конструкції.

Також в цьому розділі досліджено підгіпергрупи та гомоморфізми локально компактних гіпергруп.

Теорема 1.2.24. Кожний епіморфізм з гіпергрупи на гіпергрупу можна продовжити до ізометричного *-гомоморфізма банахової алгебри в , де - ліва міра Хаара на гіпергрупі .

Також запропоновано конструкцію напівпрямого добутку гіпергрупи на групу.

В розділі 1.3 описані основні джерела появи прикладів гіпергруп, а також наведені конкретні приклади. Так, описані гіпергрупи подвійних класів суміжності Q = H\G/H локально компактної групи G по компактній підгрупі H, комноження в яких задається формулою

де dh - ліва міра Хаара підгрупи H, а f(g) - біінвариантна функція. Показано, що основні теореми гармонічного аналізу на парах Гельфанда випливають із відповідних теорем для загальних гіпергруп (теорема 1.3.2). Також наведено приклад гіпергрупи Дельсарта, яка складається з орбіт компактної підгрупи Г групи автоморфізмів Aut(G) локально компактної групи G з комноженням

де - ліва міра Хаара групи Г, f - постійна на Г-орбітах функція. Крім того, коротко описано гіпергрупи Q = [0, \infty), пов'язані з оператором Штурма--Ліувілля на піввісі

(6)

комноження в якій задається формулою

де u(t, s) - розв'язок рівняння

(7)

що задовольняє початковим умовам та , де - розв'язок рівняння Штурма--Ліувілля з початковими умовами y(0) = 1, y'(0) = 0, що відповідає значенню \lambda = 0, а .

Особливо детально вивчено дискретні та компактні гіпергрупи, які пов'язані з ортогональними поліномами однієї та декількох змінних. За умови

для всіх дискретна гіпергрупа , що пов'язана з системою , n є Q ортогональних відносно міри поліномів однієї змінної, визначається комноженням

де . Аналогічно визначаються дискретні гіпергрупи, пов'язані з ортогональними поліномами декількох змінних. Дано опис компактної гіпергрупи, двоїстої по Понтрягіну до гіпергрупи Q (теорема 1.3.8). Наведено приклад компактної гіпергрупи, пов'язаної з узагальненими поліномами Чебишева, яка не є DJS-гіпергрупою.

Відмітимо, що для вивчення дискретних гіпергруп, які пов'язані з ортогональними поліномами декількох змінних, розроблено спектральну теорію таких поліномів. Зокрема, показано, що задача вивчення пар , ермітових операторів в сепарабельному гільбертовому просторі H, які мають загальний циклічний вектор , причому для кожних виконуються наступні умови

* справедлива рівність ,

* вектори лінійно незалежні та замикання їх лінійної оболонки співпадає з H,

звелася до вивчення пари формально комутуючих ермітових операторів , що діють в гільбертовому просторі просторі і породжені різницевими виразами вигляду

(8)

де i = 1, 2, та . При цьому спільним циклічним вектором для цих операторів є вектор . Такі пари операторів є природнім аналогом напівнескінченних якобієвих матриць, до яких би ми прийшли, якщо б застосували викладену вище процедуру до одного ермітового оператора з простим спектром.

Теорема 1.3.9. Для різницевих виразів існує єдиний ненулевий розв'язок задачі .

При цьому , де ) - поліноми від двох змінних зі старшими членами , , які утворюють базис у просторі поліномів двох змінних.

Теорема 1.3.10. Нехай оператори допускають комутуючі самоспряжені розширення (можливо, з виходом з простору). Тоді поліноми ортогональні відносно міри , де , E(.) - взагалі кажучи, узагальнений розклад одиниці, що відповідає і .

Навпаки, застосовуючи процедуру ортогоналізації послідовності , яка впорядкована лексикографічним чином, в просторі (ми припускаємо, що міра містить нескінченну кількість точок та має всі моменти) отримаємо послідовність , n = 0, 1, …, , ортогональних поліномів двох змінних зі старшим позитивним коефіцієнтом. Позначимо

,.

Тоді

і можна означити оператори як замикання операторів, дія яких на щільному лінеалі D фінітних послідовностях з H задається рівністю (8).

Теорема 1.3.12.

* Оператори допускають розширення до комутуючих самоспряжених операторів, можливо, у більшому гільбертовому просторі.

* Існує звичайний або узагальнений спільний розклад одиниці E(A), , такий, що , тобто, - спектральна міра для .

* Сукупність всіх поліномів від щільна в тоді і тільки тоді, коли E(.) - звичайний розклад одиниці.

Також встановлено зв'язок цієї проблематики з двовимірною проблемою моментів. Слід відмітити, що пізніше Ю.М.Березанським було побудовано загальну теорію якобієвих полів, яка включає в себе, зокрема, спектральну теорію операторів, що відповідають ортогональним поліномам декількох змінних.

У другому розділі дисертації для гіпергруп побудовані елементи теорії Лі. Побудова теорії Лі для операторів узагальненого зсуву почалась з робіт Ж. Дельсарта та Б.М.Левітана. Слід відмітити, що в роботах Б.М.Левітана вивчався лише випадок, коли інфінітезимальні генератори пов'язані виключно лієвськими співвідношеннями. Акуратне визначення інфінітезимального об'єкта до гіпергрупи вперше з'явилось в статтях Г. Л. Литвинова. Інфінітезимальні алгебри з нелієвськими співвідношеннями між генераторами були досліджені в роботах Д. І. Гуревича, Г. Б. Подколзіна та автора цієї дисертації [7].

На відміну від груп Лі для гіпергруп не існує аналога алгебри Лі. Інфінітезимальним об'єктом до гіпергрупи слід вважати алгебру, породжену усіма правими генераторами. Тут правий генератор гіпергрупи Q порядку визначається за формулою

(9)

Таким чином, інфінітезимальний об'єкт до гіпергрупи є аналогом універсальної обгортуючої алгебри алгебри Лі групи Лі.

В розділі 2.1 наведені основні означення та властивості генераторів гіпергрупи. В розділі 2.2 описано інфінітезимальні об'єкти до гіпергруп, які побудовані з груп Лі за допомогою конструкції коунітальних орбітальних морфізмів, тобто, таких відкритих неперервних відображень групи Лі G в локально компактну гіпергрупу Q, що для кожного t є Q множина (так звана -орбіта) є компактом для кожного t є Q та виконуються наступні властивості:

* існує таке відображення , що

(10)

* та , t, s є Q, де відображення задається рівністю ;

* , t є Q;

* , де - одиниця гіпергрупи Q.

З кожним таким орбітальним морфізмом можна пов'язати умовне сподівання P на алгебрі неперервних функцій, що зникають на безмежності, а саме . Ядро P є коідеалом, тобто , де - звичайне комноження на групі G. За природної умови дію умовного сподівання P можна перенести на універсальну обгортуючу алгебру алгебри Лі групи G.

Теорема 2.2.2. Алгебра ізоморфна алгебрі R, породженій усіма правими генераторами.

У випадку гіпергруп Дельсарта умовне сподівання має вигляд

де через позначено природню приєднану дію групи Г автоморфізмів групи G на універсальній обгортуючій алгебрі , а відповідна інфінітезімальна алгебра A співпадає з множиною всіх Г-інвариантних елементів .

Теорема 2.2.5. Нехай Г - редуктивна алгебраїчна група. Тоді алгебра є скінченно породженою. Якщо група Г скінчена, то алгебра породжується елементами , де , а через позначено результат симетризації монома (тут - певний фіксований базис алгебри Лі ).

Крім того, доведено, що алгебра має поліноміальний зріст.

Особливо досліджений найбільш простий випадок гіпергруп Дельсарта, коли відповідна група автоморфізмів ізоморфна . У цьому випадку співвідношення між твірними квадратичні. Побудовано лінійний базис відповідної інфінітезимальної алгебри (теорема 2.2.8).

У розділі 2.3 для одновимірних гіпергруп побудовано повний аналог теорії Лі. А саме, нехай Q = [a, b] - компактна ермітова гіпергрупа, а - дуальна дискретна гіпергрупа, Занумеруємо характери компактної гіпергрупи Q за допомогою множини так, щоб та позначимо , тобто, будемо розуміти характери гіпергруп Q та як функцію двох змінних t є [a, b] та . Нехай також виконана наступна умова: існує таке число , що кожний розв'язок задачі , f(0) = 0, K є [-1, 1], є тривіальним.

Назвемо генераторами гіпергруп Q та самоспряжені оператори X та , які визначаються формулами

де F - відповідне перетворення Фур'є, та оператори множення на функції та відповідно в просторах та , а функції та визначаються за характерами наступним чином

Теорема 2.3.4.

* Для кожного фіксованого n характер (як функція змінної t) є власною функцією оператора X, яка відповідає власному значенню ;

* Для кожного фіксованого t характер (як функція змінної n) є узагальненим власним вектором оператора відносно оснащення

(11)

причому кожний узагальнений власний вектор оператора є кратним до при певному t є [a, b].

Теорема 2.3.5. За самспряженими операторами X та однозначно встановлюються комноження та гіпергруп Q = [a, b] та за формулами

Наступне твердження встановлює зв'язок між X та .

Теорема 2.3.6.

* та є єдиним розв'язком задачі

* та є єдиним розв'язком задачі

де - оператор, спряжений до відносно ланцюжка (11).

Наступна теорема виправдовує визначення генератора гіпергрупи Q за допомогою перетворення Фур'є.

Теорема 2.3.7. Класичний правий генератор гіпергрупи Q є істотно самоспряженим та його замикання співпадає з оператором X.

Аналогічні результати справедливі для одновимірних локально компактних гіпергруп. Також розглянуто питання побудови компактних або дискретних гіпергруп по самоспряженому оператору.

Крім того, вивчено алгебру A породжену неквадратичними співвідношеннями

(12)

яким задовольняють генератор гіпергрупи Бесселя та прообраз відносно перетворення Фур'є-Бесселя генератора двоїстої гіпергрупи. Ця алгебра є у певному сенсі гіпергруповим аналогом алгебри канонічних комутаційних співвідношень (CCR) і спадкує такі гарні властивості алгебри CCR, як представлення лише в необмежених операторах, існування щільної множини спільних для обох генераторів аналітичних векторів та аналог теореми єдиності фон Неймана.

Теорема 2.3.15. Множина мономів утворює лінійний базис алгебри A, і тому алгебра A має поліноміальний зріст.

Теорема 2.3.16. Для співвідношення [[A, B], A] = 8A не має представлень обмеженими операторами в гільбертовому просторі.

Означення 2.3.17. Пара необмежених самоспряжених операторів A, B в сепарабельному гільбертовому просторі H називається представленням співвідношень (12), якщо існує така щільна в H множина D спільних аналітичних векторів A та B, що співвідношення (12) виконуються для кожного .

Теорема 2.3.18. Для кожне незвідне представлення співвідношень (12) в сепарабельному гільбертовому просторі унітарно еквівалентно представленню

та

в гільбертовому просторі .

Також вивчено подібну алгебру з неквадратичними співвідношеннями, але пов'язану з q-бесселевою гіпергрупою.

У третьому розділі дисертації вивчаються квантові гіпергрупи. Перша спроба ввести квантові гіпергрупи була зроблена у скінченному випадку Л.І.Вайнерманом, а у локально компактному випадку - в роботах Л.І. Вайнермана та автора дисертації. Там були введені квантовані гіперкомплексні системи як певний клас гільбертових біалгебр, аксіоми яких простіше, ніж для гільбертових біалгебр, що відповідають алгебрам Каца, та які допускають побудову двоїстості та змістовного гармонічного аналізу. Проте, аксіоматику квантованих гіперкомплексних систем не вдалося переписати у термінах множення-комноження. Відмітимо, що результати по квантованим гіперкомплексним системам не включено до даної дисертації.

Пізніше Ю. А. Чаповський та Л.І. Вайнерман ввели поняття компактної квантової гіпергрупи як унітальної C*-алгебри A з коасоциативним цілком додатнім комноженням , яке зберігає одиницю, коодиницею , коінволюцією , однопараметричною групою автоморфізмів C*-алгебри A та точною лівою мірою Хаара , , які задовольняють наступним аксіомам:

* для всіх a, b є A

(13)

* існують щільні підалгебри і такі, що однопараметричні групи та , можуть бути продовжені до комплексних однопараметричних груп і , , автоморфізмів алгебр и відповідно;

* інваріантна відносно * та , і ;

* для кожного на алгебрі виконуються наступні співвідношення:

* існує таке, що міра Хаара задовольняє наступній умові сильної інваріантності: для виконана рівність

Відмітимо також роботу Ван Даеле, в якій квантові гіпергрупи розглянуто з алгебраїчної точки зору.

З ціллю побудови двоїстості між компактними та дискретними квантовими гіпергрупами Ю.А. Чаповським та автором цієї дисертації [16] були також введені узагальнені гільбертові біалгебри компактного типу, що містять компактні квантові групи та гіпергрупи та мають змістовну теорію представлень. Крім того, на відміну від квантованих гіперкомплексних систем, на таких біалгебрах вдалося побудувати комноження.

Також слід відмітити роботи Л.І.Вайнермана, Ю.А.Чаповського та Т.Корнвіндера, які присвячені побудові теорії квантових пар Гельфанда.

Третій розділ дисертації в основному присвячений побудові прикладів квантових груп та гіпергруп (відмітимо, що до появи відповідних робіт автора дисертації в літературі було відомо лише один конкретний приклад нетривіальної квантової гіпергрупи, що побудований Л.І.Вайнерманом та Г.Б.Подколзіним ).

У розділі 3.1 наведені основні означення та властивості компактної квантової гіпергрупи. У розділі 3.2 запропоновано загальний метод побудови квантових гіпергруп за допомогою умовного сподівання , яке діє з унітальної C*-алгебри A, що наділена структурою квантової групи, в унітальну C*-підалгебру B алгебри A та задовольняє наступним умовам

* щільні підалгебри і , що породжені матричними елементами незвідних копредставлень квантової групи, інваріантні відносно P;

* справедливі наступні співвідношення

де - модулярна група, а - міра Хаара квантової групи A.

Теорема 3.2.1. Покладемо для довільного x є B,

(14)

Тоді є компактною квантовою гіпергрупою.

Вказаний метод узагальнює конструкцію побудови звичайних DJS-гіпергруп за допомогою орбітальних морфізмів (твердження 3.2.4), включає конструкцію подвійних класів суміжності для квантових груп і аналог конструкції Дельсарта для квантових гіпергруп.

За допомогою застосування вказаного методу до нетривіальних скінченновимірних алгебр Каца, що отримані твістингом класичних серій скінченних груп , , , та побудовано декілька серій нових прикладів нетривіальных скінченновимірних квантових гіпергруп. Також побудовані приклади компактних квантових гіпергруп, пов'язані з компактною квантовою групою .

Побудовані приклади компактних квантових гіпергруп мають ту властивість, що відповідні умовні сподівання зберігають коодиницю, тобто, . Такі умовні сподівання називаються коунітальними. Умовні сподівання, що виникають в конструкції квантових подвійних класів суміжності, цією властивістю не володіють. Наступна теорема стверджує, що довільне умовне сподівання на компактній квантовій групі є композицією умовних сподівань двох описаних вище типів, тобто, кожне таке умовне сподівання розкладається у добуток умовного сподівання, яке відповідає квантовим подвійним класам суміжності, та коунітального умовного сподівання.

Теорема 3.2.18. Нехай A - компактна квантова група з неперервною коодиницею . Нехай - умовне сподівання на C*-алгебрі A, що задовольняє умови теореми 3.2.1. Припустимо також, що є слідом на A. Тоді існує компактна квантова група C і епіморфізм . Позначимо через через умовне сподівання, яке відповідає конструкції подвійних квантових класів суміжності. Тоді існує таке коунітальне умовне сподівання , що наступна діаграма

(15)

є комутативною.

У розділі 3.3 розв'язано задачу побудови нових прикладів локально компактних квантових груп за допомогою подвійного схрещеного добутку груп Лі з коциклами.

Конструкцію подвійного схрещеного добутку груп з коциклами було введено Г. І. Кацем для побудови нетривіальних прикладів скінченних кільцевих груп, зараз відомих як скінченні алгебри Каца. Потім цю конструкцію було узагальнено Л.І.Вайнерманом та С.Ваєсом для побудови прикладів локально компактних квантових груп. Дана конструкція дозволяє побудувати дві некомутативні алгебри фон Неймана, що знаходяться у двоїстості, за допомогою пари узгоджених груп (G, H), що діють одна на одній як на множинах, та відповідні дії групи G на H та групи H на G пов'язані співвідношеннями, і пари функцій функцій (u, v), , , яка називається парою коциклів на (G, H), і задовольняє певні співвідношення.

Відомо, що побудовані за конструкцією подвійного схрещеного добутку локально компактні квантові групи ізоморфні, якщо відповідні пари коциклів пов'язані певним співвідношенням еквівалентності. Множина класів еквівалентності пар коциклів утворює абелеву групу E(G, H) відносно поточкового множення.

Група E(G, H) описана для скінченних груп Г.І. Кацем. У випадку для локально компактних груп група E(G, H) вимірних коциклів описана С. Баажем, Г. Скандалісом та С. Ваєсом у термінах спектральних послідовностей.

У дисертації дано явний опис групи E(G, H) класів еквівалентності пар нетривіальних неперервних коциклів як другої групи когомологій наступного комплексу. Нехай , K = GH. Позначимо через , n = 0, 1, 2, … , множину неперервних функцій таких, що

для всіх g є G, h є H, k_j \in K, j = 1, … , n+1. є абелевою групою відносно поточкового додавання. Визначимо диференціал природним чином та одержимо наступний комплекс:

де, як неважко побачити, - група всіх неперервних функцій на K.

Теорема 3.3.3. Позначимо через H(K) другу групу когомологій побудованого комплексу. Тоді відображення , що визначене рівністю

є ізоморфізмом відповідних груп. Тут - головна гілка логарифма, , j = 1, 2, 3.

Для узгодженої пари груп Лі (G, H) одержано явну формулу для знаходження пари коциклів за допомогою пари коциклів (U, V) на відповідній парі узгоджених алгебр Лі. Нехай група Лі K = G H і - її алгебра Лі. Позначимо через групу класів еквівалентності пар коциклів (U, V) на парі узгоджених алгебр Лі.

Теорема 3.3.15. Нехай (G, H) - пара узгоджених зв'язних груп Лі, - пара відповідних алгебр Лі. Для пари коциклів (U, V), , задамо диференціальну 3-форму на K = G H як

де - 3-коцикл на алгебрі Лі групи Лі K, що побудований певним чином за парою коциклів (U, V), і функції та за допомогою невласних інтегралів

(16)

(тут та - ланцюжки в K, що певним чином побудовані за ланцюжками 1 і 2-симплексів). Тоді інтеграли в (16) збігаються, а відображення , що задане за допомогою

коректно визначено та є гомоморфізмом груп.

За допомогою формули (16) побудовано ряд нових прикладів локально компактних груп.

У доповненні за допомогою теорії W*-алгебр пораховані -Бетті числа просторів N-точкових конфігурацій локально компактного ріманового многовиду з нескінченною дискретною групою ізометрій.

Теорема A.0.4. Нехай M - фактор типу II та H - сепарабельний M-модуль. Нехай - оператор в , що переставляє i-ту та j-ту компоненти. Тоді сім'я операторів визначає зовнішню дію симетричної групи S_n на факторі , та існує ізоморфізм

Нехай P_s та P_a проектори в на симетричний тензорний добуток та антисиметричний тензорний добуток відповідно,

(17)

(18)

Очевидно, що P_s та P_a належать до . Позначимо

Теорема A.0.5. Нехай M фактор типу II. Тоді

(19)

Позначимо через точний нормальний скінченний (відповідно, напівскінченний) слід на II_1- (відповідно, на -) факторі M.

Наслідок A.0.7. Нехай M - фактор типу II. Тоді для кожного A є M маємо

(20)

За допомогою формули (20) знайдено розмірності фон Неймана просторів квадратично інтегрованих гармонічних форм (L^2-Бетті числа) на просторах N-точкових конфігурацій некомпактного ріманового многовиду X, на якому діє нескінченна дискретна ICC-група ізометрій G (теорема A.0.12).

Відмітимо, що доповнення ідейно пов'язане з тематикою дисертації, бо тут також відбувається процес факторизації відносно дії симетричної групи, і відповідні результати про фактори типу II можна проінтерпретувати у термінах підфактора, який складається з нерухомих точок відносно дії симетричної групи.

Висновки

В дисертації вивчено локально компактні гіпергрупи та побудовано ряд нових нетривіальних прикладів квантових груп та гіпергруп. Запропоновано аксіоматику локально компактних гіпергруп, яка значно узагальнює відому аксіоматику DJS-гіпергруп та дозволяє перенести теорію нормальних гіперкомплексних систем з базисною одиницею на неунімодулярний випадок. На локально компактні гіпергрупи перенесено основні теореми гармонічного аналізу на локально компактних групах. Розроблено спектральну теорію ортогональних поліномів кількох змінних. Описано інфінітезимальні об'єкти до гіпергруп, що походять від груп Лі за допомогою конструкції унітальних орбітальних морфізмів, а також виписано лінійний базис інфінітезимальної алгебри до гіпергрупи Дельсарта. На одновимірні гіпергрупи повністю перенесено теорію Лі. Запропоновано загальний метод побудови квантових гіпергруп за допомогою умовних сподівань на квантових групах, що задовольняють певні умови, і побудовано кілька серій нових прикладів нетривіальних квантових гіпергруп. Для узгодженої пари груп Лі одержано явну формулу для знаходження пари коциклів за допомогою пари коциклів на відповідній парі узгоджених алгебр Лі та за допомогою подвійного схрещеного добутку груп Лі з коциклами побудовано ряд нових прикладів локально компактних груп.

Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації

1. Березанский Ю.М., Калюжный А.А. Гармонический анализ в гиперкомплексных системах. - Киев: Наукова думка, 1992. - 351 c. (англійський переклад: Harmonic analysis in hypercomples systems // Dordrecht-Boston-London: Kluwer Acad. Publ., 1998. - 483 p.)

2. Березанский Ю.М., Калюжный А.А. Спектральные разложения представлений гиперкомплексных систем // Спектральная теория операторов и бесконечномерный анализ: Сб. науч. трудов. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. - С. 4-19.

3. Березанский Ю.М., Калюжный А.А. Гиперкомплексные системы, построенные по ортогональным полиномам // Укр. матем. журн. - 1986. - 38, 3. - С. 275-284.

4. Гехтман М.И., Калюжный А.А. Спектральная теория ортогональных полиномов нескольких переменных // Укр. матем. журн. - 1991. - 43, 10. - С. 1437-1440.

5. Калюжный А.А. Двойственность генераторов компактных и дискретных гиперкомплексных систем с одномерным базисом // Докл. АН УССР, сер. А. - 1989. - 4. - С. 20-24.

6. Калюжный А.А. Двойственность генераторов одномерных компактных и дискретных гипергкомплексных систем // Методы функционального анализа в задачах математической физики: Сб. науч. трудов. - Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1990. - С. 79-102. (англійський переклад: Duality of the generators of one-dimensional compact and discrete hypercomplex systems // Selecta Mathematica. - 1993. - 12, 4. - P.373-394.)

7. Калюжный А.А. Инфинитезимальный объект для операторов обобщенного сдвига Дельсарта // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики: Сб. науч. тр. - Киев: Ин-т математики Украины, 1991. - C. 65-70.

8. Калюжный A.A, Качановский Н.А Об ортогональных квазиаппелевых полиномах в негауссовском анализе // Укр. мат. журн. - 2001. - 53, 7. - C. 892-907.

9. Калюжный A.A, Подколзин Г.Б., Чаповский Ю.А. Условные ожидания на компактных квантовых группах и квантовые двойные классы смежности // Укр. матем. журн. - 2005. - 57, 5. - C. 645-654.

10. Калюжный A.A, Подколзин Г.Б., Чаповский Ю.А. Построение коциклов для двойного скрещенного произведения групп Ли // Функ. анал. и его прилож. - 2006. - 40, 2. - C. 70-73.

11. Калюжный A.A, Подколзин Г.Б., Чаповский Ю.А. Нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп Ли // Укр. матем. журн. - 2007. - 59, 11. - C. 1510-1522.

12. Albeverio S., Daletskii A., Kalyuzhnyi A. Traces of semigroups associated with interacting particle systems // J. Func. Anal. - 2007. - 246. - P. 196-216.

13. Berezanskii Yu.M., Kalyuzhnyi A.A. Hypercomplex systems and hypergroups: connections and distinctions // Contemporary Math. - 1995. - 183 - P. 21-44.

14. Chapovsky Yu. A., Kalyuzhnyi A. A., Podkolzin G. B. On the group of extensions for the bicrossed product construction for a locally compact group// Algebra and Discrete Mathematics. - 2004. - 3. - P. 12-20.

15. Chapovsky Yu. A., Kalyuzhnyi A. A. Generalized Hilbert bialgebras of compact type and their representations. // Methods Func. Anal. Topol. - 2005. - 11, 3. - C. 222-233.

16. Daletskii A.Yu., Kalyuzhnyi A.A. Permutations in tensor products of factors, and -cohomology of cofiguration spaces // Methods of Func. Anal. Topol. - 2006. - 12, 4. - P.341-352.

17. Gekhtman M.I., Kalyuzhnyi A.A. On the orthogonal polynomials in several variables // Integr. Equat. Oper. Th. - 1994. - 19. - P. 404-418.

18. Kalyuzhnyi A.A Algebras with nonquadratic relations associated with Bessel hypergroups. // Methods Func. Anal. Topol. - 1997. - 3, 4. - P. 70-76.

19. Kalyuzhnyi A. A. Conditional expectations on compact quantum groups and new examples of quantum hypergroups // Methods of Funct. Anal. Topol. - 2001. - 7, 4. - P. 49-68.

20. Kalyuzhnyi A. A., Chapovsky Yu. A. Factorization of conditional expectations on Kac algebras and quantum double coset hypergroups // Укр. матем. журн. - 2003. - 55, 12. - C. 1669-1677.

21. Chapovsky Yu. A., Kalyuzhnyi A. A., Podkolzin G. B. On locally compact quantum groups // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2004. - 50, 3. - P. 1064-1070.

22. Daletskii A.Yu., Kalyuzhnyi A.A. Permutations in tensor products of factors, and -Betti numbers of configuration spaces // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2004. - 50, 3. - P. 1071-1078.

23. Albeverio S., Daletskii A., Kalyuzhnyi A. Traces of semigroups associated with interacting particle systems // Preprint Bonn. - 2006. - 264. - 27 p.

24. Daletskii A.Yu., Kalyuzhnyi A.A. Permutations in tensor product of factors, and -Betti numbers of cofiguration spaces // Nottingham Trent University, preprint 21/03. - 2003. - 12 p.

25. Калюжный А.А. О построении инвариантного семейства операторов обобщенного сдвига по самосопряженному оператору // Деп. в ВИНИТИ 487-B89. - 1989. - C. 278-282.

26. Калюжный А.А. Генераторы одномерных компактных и дискретных гиперкомплексных систем// 14 Школа по теории операторов: Тезисы докладов, Новгород, 1989. - Ч. 1. - С. 100.

27. Kalyuzhnyi A.A. Hypercomplex systems and their quantization// In: Algebres d'Operateurs 92, Orleans, France. - 1992. - P. 34.

28. Kalyuzhnyi A.A. Induced representations of hypergroups// In: Lie-Lobachevsky Colloquium: Tartu, Estonia, 1992. - P. 78.

Анотація

Калюжний О. О. Класичні та квантові гіпергрупи. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена побудові теорії звичайних та квантових гіпергруп. На локально компактні гіпергрупи перенесено основні теореми гармонічного аналізу для локально компактних груп. Розроблено спектральну теорію ортогональних поліномів кількох змінних. Описано інфінітезимальні об'єкти до гіпергруп, які побудовані з груп Лі за допомогою конструкції унітальних орбітальних морфізмів. На одновимірні гіпергрупи перенесено теорію Лі. Запропоновано метод побудови квантових гіпергруп за допомогою умовних сподівань на квантових групах та побудовано кілька серій нових прикладів нетривіальних квантових гіпергруп. Для узгодженої пари груп Лі одержано явну формулу для знаходження пари коциклів за допомогою пари коциклів на відповідній парі узгоджених алгебр Лі та побудовано ряд нових прикладів локально компактних квантових груп.

Ключові слова: гіпергрупа, ортогональні поліноми, генератор, група Лі, умовне сподівання, квантова група.

Аннотация

Калюжний А. А. Класические и квантовые гипергруппы. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Институт математики НАН Украини, Киев, 2008.

Диссертация посвящена построению теории обычных и квантовых гипергрупп.

Предложена аксиоматика локально компактных гипергрупп в терминах коумножения на алгебре непрерывных функций на локально компактном пространстве. Отметим, что в отличие от групп, коумножение является не гомоморфизмом, а положительным отображением. Установлены связи локально компактных гипергрупп с родственными объектами: локально компактные гипергруппы обобщают локально компактные группы и DJS-гипергруппы; кроме того, локально компактные гипергруппы являются естественным обобщением гиперкомплексных систем с локально компактным базисом на неунимодулярный случай.

На локально компактные гипергруппы перенесены основные теоремы гармонического анализа на локально компактных группах. Разработана спектральна теория ортогональных полиномов нескольких переменных.

Для гипергрупп, построенных по группам Ли при помощи конструкции унитальных орбитальных морфизмов, описаны инфинитезимальные объекты. В этот класс гипергрупп, в частности, входят гипергруппы Дельсарта. Основным инструментом доказательств является условное ожидание на соответствующей группе Ли; в качестве инфинитезимального объекта к такой гипергруппе служит подалгебра универсальной обертывающей алгебры, которая является образом универсальной обертывающей алгебры под действием оператора, двойственного к условному ожиданию. Детально исследован случай гипергрупп Дельсарта, особенно простейший случай, когда соответствующая группа автоморфизмов состоит их двух элементов. В последнем случае соотношения между генераторами являются квадратичными и выписан линейный базис инфинитезимальной алгебры. На одномерные гипергруппы перенесена теория Ли. Также исследована алгебра с неквадратическими соотношениями, которые возникают между генератором гипергруппы Бесселя и Фурбе-образом генератора двойственной гипергруппы.

Предложен общий метод построения квантовых гипергрупп при помощи условных ожиданий на квантовых группах, удовлетворяющих некоторым условиям. Данный метод обобщает конструкцию орбитальных морфизмов для обычних DJS-гипергрупп, включает конструкции квантовых двойных классов смежности и аналог конструкции Дельсарта для квантовых гипергрупп. Применяя данный метод к нетривиальным конечномерным алгебрам Каца, полученным твистингом классических серий конечных групп, построено несколько серий новых примеров нетривиальных конечномерных квантовых гипергрупп. Также построены примеры компактных квантовых гипергрупп, связанные с компактной квантовой группой . Показано, что каждое такое условное ожидание может быть представлено в виде произведения условного ожидания, отвечающего квантовым двойным классам смежности, и коунитального условного ожидания.

В рамках конструкции двойного скрещенного произведения с коциклами для согласованной пары групп Ли получена явная формула для нахождения пары коциклов по паре коциклов на соответствующей паре согласованных алгебр Ли. При помощи этой формулы построен ряд новых примеров локально компактных квантовых групп. Для локально компактных групп дано явное описание группы классов эквивалентности пар нетривиальных непрерывных коциклов как второй группы когомологий некоторого конкретного комплекса.

Подсчитаны размерности фон Неймана пространств квадратично интегрируемых гармонических форм (-Бетти числа) на пространствах N-точечных конфигураций риманового многообразия с бесконечной дискретной группой изометрий.

Ключевые слова: гипергруппа, ортогональные полиномы, генератор, группа Ли, условное ожидание, квантовая группа.

Summary

Kalyuzhnyi A. A. Classic and quantum hypergroups. -- Manuscript.

Thesis for the Doctor degree in physics and mathematics by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Institute of mathematics National Academy of Sciences, Kyiv, 2008.

The dissertation is devoted to the theory of classic and quantum hypergroups. A main theorems of harmonic analysis on locally compact groups transferred to the locally compact hypergroups. The spectral theory of orthogonal polynomials in several variables is established. It is described an infinitesimal objects for hypergroups coming from Lie groups via the construction of unital orbital morphisms. The Lie theory is transferred to the one-dimensional hypergroups. It is proposed a method of construction of quantum hypergroups by conditional expectations on quantum groups, and it is constructed several series of new examples of nontrivial quantum hypergroups. For matched pair of Lie groups it is obtained a formulae for a pair of cocicles on Lie groups by a pair of cocicles of the corresponding matched pair of Lie algebras and it is constructed a new examples of locally compact quantum groups.

Key words: hypergroup, orthogonal polynomials, generator, Lie group, conditional expectation, quantum group.

Размещено на Allbest.ru

...