Методи лінеаризації для нелінійних матричних рівнянь

Размещено на http://allbest.ru

Размещено на http://allbest.ru

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Методи лінеаризації для нелінійних матричних рівнянь

1.ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

алгебраїчний рівняння лінеаризація матричний

Актуальність теми. Із розвитком систем автоматизованого керування виникла необхідність у розв'язуванні систем матричних рівнянь. Зокрема, у лінійній теорії управління існують два основні підходи до розв'язування задач автоматизованого керування. Перший базується на розгляді систем у часовому проміжку (в просторі станів). У цьому випадку багато задач зводиться до дослідження матричних рівнянь і нерівностей типу Ляпунова та Ріккаті. Другий підхід - частотний, і він базується на використанні передаточних матриць. Тут задачі зводяться до дослідження матричних рівнянь із поліноміальними і дробово-раціональними матрицями, до різноманітних факторизаційних алгоритмів. Розв'язування отриманих рівнянь у обох випадках є дуже складним і актуальним завданням.

Найпростіші матричні рівняння розв'язувались ще у другій половині дев'ятнадцятого століття .

Розв'язуваність та умови існування розв'язків лінійних матричних та найпростіших нелінійних матричних рівнянь досліджували представники львівської школи Казимірський П.С., Урбанович М.М., Уханська В.Д., а також вчені Cayley A., Sylvestr J.J. Значний вклад у розробку методів розв'язування матричних рівнянь внесли Воєводін В.В., Гантмахер Ф.Р., Ікрамов Х.Д., Петков М., Bartels R.H., Golub G.H., Hagander P., Hammarling S.J., Van Loan C. та інші. Ними було побудовано ортогональні методи розв'язування лінійних матричних рівнянь та нелінійних матричних рівнянь типу Ляпунова та Сильвестра, створена техніка знакової функції від матриці та методи типу Ньютона. Однак універсального підходу до відшукання розв'язків поліноміально-нелінійних матричних рівнянь дані методи не дають.

В даній роботі запропоновані алгоритми, які дозволяють звести розв'язування системи поліноміально-нелінійних матричних рівнянь до задач на власні значення, причому власні значення будуть належати множині матриць заданої розмірності. Одержана задача є простішою за розв'язування вихідної системи матричних рівнянь, алгоритм її розв'язування в стадії розробки.

Модифікація методу лінеаризації для систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь, що запропонована у роботі, також є застосовною до розв'язування систем алгебраїчних рівнянь. Необхідність у їх розв'язуванні виникає у багатьох теоретичних та прикладних дисциплінах. Зокрема, у алгебраїчній геометрії, в теорії електромереж, у багатьох задачах фізики ядра, конденсованого середовища та елементарних часток. Вивченням цих систем, а також пошуком схем їх розв'язування займалися Пшеничний Б.М., Пшенічніков С.Б., Семерджієв Х.І., Ямалєєв Р.М., Buchberger B., Florez M., Pueyo L., Seijo L., Shou-Yoan Zhang та інші.

Попри значні успіхи у розробці методів розв'язування систем поліноміально-нелінійних рівнянь чимало проблем все ще залишаються невирішеними: так метод спінорної лінеаризації, запропонований Гєнгварєвим А.А. та Пшенічніковим С.Б., є важким у програмній реалізації на ЕОМ (оскільки попередньо має бути створена бібліотека підпрограм алгебри юніонів (узагальнення алгебри Кліффорда)), а метод побудови супроводжуючої матриці для систем поліноміально-нелінійних алгебраїчних рівнянь, запропонований у одній з робіт Семерджієва Х.І. та Ямалєєва Р.М., є швидше теоретичним: побудова супроводжуючих матриць вимагає громіздких аналітичних обчислень і схему неможливо узагальнити для систем рівнянь довільного степеня.

В роботі запропоновані алгоритми матричної лінеаризації, які дозволяють отримати кортежі розв'язків систем поліноміально-нелінійних алгебраїчних рівнянь та звести відшукання розв'язків систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь до розв'язування задач на власні значення. Алгоритми застосовні до систем рівнянь із багатьма невідомими довільної степені і допускають відносно просту програмну реалізацію.

Зв'язок із науковими програмами, планами, темами. Результати роботи одержані в рамках виконання держбюджетних тем Пм-22 Ф “Розробка нових чисельних методів розв'язування задач математичного аналізу та диференціальних рівнянь”, номер держ. реєстрації 0105U002231, та теми “Ітераційні методи розв'язування нелінійних операторних рівнянь і задач на екстремум”, номер держ. реєстрації 0106U005915 факультету прикладної математики та інформатики Львівського національного університету імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження.

Метою даної дисертаційної роботи є побудова методів розв'язування систем алгебраїчних рівнянь та зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь до задач на власні значення. Для досягнення мети були поставлені такі задачі:

– розробка конструктивного методу розв'язування систем алгебраїчних поліноміально-нелінійних рівнянь над полем комплексних чисел;

– побудова і обґрунтування алгоритму зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь, що задані над множиною некомутуючих матриць, до задач на власні значення;

– розробка та дослідження алгоритму зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь, що розглядаються над множиною перестановочних матриць, до задач на власні значення;

– проведення аналізу похибок заокруглення та ефективності побудованих алгоритмів.

Об'єктом дослідження є системи алгебраїчних рівнянь та системи поліноміально-нелінійних матричних рівнянь.

Предметом дослідження є обчислювальні алгоритми розв'язування систем алгебраїчних рівнянь та систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь.

Методи дослідження. Методи розв'язування систем алгебраїчних рівнянь опирається на ідеї методу матричної лінеаризації, метод невизначених коефіцієнтів, прямі числові методи лінійної алгебри, використовує концепцію та результати зворотнього аналізу похибок заокруглення, алгоритм розв'язування узагальненої задачі на власні значення. В основу розв'язування систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь, заданих над множинами некомутуючих та перестановочних матриць, покладено ідею методу матричної лінеаризації, метод невизначених коефіцієнтів, схему Жордана та підхід зворотнього аналізу похибок заокруглення.

Наукова новизна одержаних результатів.

– Вперше отримано і обґрунтовано конструктивні схеми зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь, заданих над множинами некомутуючих та перестановочних матриць, до задачі на власні значення. Проведено оцінку складності запропонованого методу, виконано аналіз похибок заокруглення, що виникають при реалізації алгоритмів на ЕОМ, встановлено малість відповідних еквівалентних збурень.

– Сформульовано і доведено твердження, яке дозволяє врахувати вплив похибок заокруглення в обчислювальних алгоритмах, що складаються з кількох етапів обчислень.

– Розроблено і обгрунтовано модифікацію методу матричної лінеаризації для розв'язування систем алгебраїчних рівнянь із двома невідомими, що задані над полем комплексних чисел, яка дозволяє за допомогою елементарних перетворень звести вихідну систему до еквівалентної їй лінеаризованої системи матричних рівнянь та знайти кортежі її розв'язків. Дана модифікація, на відміну від існуючих методів матричної лінеаризації, є застосовною до систем рівнянь довільного степеня. Проведено оцінку складності, виконано аналіз похибок заокруглення для запропонованих схем, встановлено малість еквівалентних збурень.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані результати є важливими при розв'язуванні ряду задач аналітичної геометрії. Вони можуть бути застосовані при аналізі та синтезі систем автоматизованого керування, при розв'язуванні задач фізики ядра, конденсованих середовищ та елементарних часток.

На базі побудованих алгоритмів у середовищі Matlab 7.01 створено проект, який призначений для обчислення розв'язку систем алгебраїчних рівнянь із двома невідомими, що задані над полем комплексних чисел.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, що викладені у дисертації, отримані автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на сьомій Всеукраїнській (другій міжнародній) студентській науковій конференції з прикладної математики та інформатики (СНКПМІ-2004) (22-23 квітня 2004 року, Львів), на десятій міжнародній конференції імені академіка М.Кравчука (13-15 травня 2004 року, Київ), на міжнародній математичній конференції імені В.Я. Скоробагатька (27 вересня -1 жовтня 2004 року, Дрогобич), на конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (24-27 травня 2005 року, Львів), на міжнародній конференції „Питання оптимізації обчислень (ПОО-ХХХІІ)”, імені академіка В.С. Михалевича (19-23 вересня 2005 року, Крим, Велика Ялта, смт. Кацивелі), на дванадцятій Всеукраїнській науковій конференції „Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”, присвяченої 70-річчю з дня народження проф. Й.В. Людкевича і 30-річчю факультету прикладної математики та інформатики (4-6 жовтня 2005 року, Львів), на наукових семінарах кафедри математичного моделювання соціально-економічних процесів та кафедри обчислювальної математики Львівського національного університету імені Івана Франка.

Публікації. За результатами проведених досліджень опубліковано 9 друкованих праць, із них 3 статті у фахових наукових виданнях, які входять до переліку видань, затвердженого ВАК України, 6 праць - у матеріалах наукових конференцій.

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновку, додатків та списку використаних джерел. Список використаних джерел включає 121 найменування. Загальний обсяг роботи - 130 сторінок, основний зміст дисертації викладений на 118 сторінках.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність проблеми, що досліджується у роботі, сформульовано мету та задачі досліджень, визначено наукову новизну і практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі праці зроблено огляд стану проблем за тематикою дисертації: проаналізовано методи чисельного розв'язування систем нелінійних рівнянь, деякі відомі прямі алгоритми розв'язування систем поліноміально-нелінійних та матричних рівнянь, у тому числі й метод матричної та спінорної лінеаризації. Обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи.

Другий розділ присвячений побудові нових підходів до розв'язування систем матричних рівнянь - запропоновано метод зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь над множиною некомутуючих та перестановочних матриць до задач на власні значення.

Прирівнявши коефіцієнти при одночленах з однаковими степенями для обчислення невідомих коефіцієнтів матриць із систем (1) та (5) отримаємо систем із лінійних рівнянь, кожна з яких матиме невідомих. У роботі показано (твердження 2.1), що отримані системи є недовизначеними, а отже матимуть безліч ненульових розв'язків, наведено покроковий алгоритм, що дозволяє шляхом елементарних перетворень отримати невідомі коефіцієнти матриць (4).

Твердження 2.2. Cистеми (1) та (2) - еквівалентні.

Для лінеаризованої системи (2) розроблено схему її зведення до систем вигляду

де обчислюється із елементів вихідної системи. Приведення системи (2) до вигляду (6) вимагає елементарних операцій.

Кожна із систем (6) буде мати ненульові розв'язки тоді і тільки тоді, коли

Таким чином, розв'язування системи матричних рівнянь (2) зводиться до розв'язування задач на власні значення (7).

У підрозділі 2.2 даються деякі загальні положення теорії похибок. Окрім того сформульовано та доведено твердження про сумарне еквівалентне збурення, яке можна застосовувати для оцінки похибки алгоритмів, що складаються з кількох етапів.

Твердження 2.3. Нехай вхідні дані опрацьовуються за алгоритмом який складається з етапів так, що Припустимо, що реалізації алгоритму на ЕОМ, , відповідає еквівалентне збурення вхідних даних а еквівалентні збурення, що виникають при реалізації кожного з етапів алгоритму, -тих - Тоді справедлива нерівність: