Наближення функцій тригонометричними поліномами у просторі Lp, 0
Описання класу функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля модуля гладкості. Визначення нової властивості константи найкращого наближення функції із простору Lp, 0
Рубрика
Математика
Вид
автореферат
Язык
украинский
Дата добавления
27.09.2014
Размер файла
114,9 K
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ У ПРОСТОРІ
01.01.01 математичний аналіз
КОЛОМОЙЦЕВ ЮРІЙ СЕРГІЙОВИЧ
Донецьк 2007
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Донецькому національному університеті.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Тригуб Роальд Михайлович, Донецький національний університет, професор кафедри математичного аналізу і теорії функцій
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Стороженко Елеонора Олександрівна, Одеський національний університет, завідувач кафедри математичного аналізу;
кандидат фізико-математичних наук, доцент Двейрін Михайло Захарович, Донецький національний університет, доцент кафедри вищої математики.
Захист відбудеться 17.10. 2007 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург,74.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург,74.
Автореферат розісланий 15.09. 2007 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Довгоший О. А.
АНОТАЦІЇ
Коломойцев Ю.С. Наближення функцій тригонометричними поліномами у просторі , . - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2007 р.
Дисертаційну роботу присвячено дослідженню питань, які пов'язані з наближенням функцій поліномами у просторі Основні результати роботи полягають у наступному: одержано критерій повноти тригонометричної системи з пропусками у класах ; доведено, що у просторі не існує нетривіальних мультиплікаторів Фур'є; доведено, що лінійні диференціальні оператори непорівнювані у метриці простору , одержано повне описання класу функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля модуля гладкості (з фіксованою константою); побудовано продовження функції із простору зі збереженням порядку спадання модуля гладкості; одержано нові двосторонні оцінки наближення функцій тригонометричними поліномами в одержано аналоги теореми типу Джексона у просторі для систем з пропусками; одержано нову властивість константи найкращого наближення функції із простору
Результати мають теоретичний характер і можуть бути застосовані у теорії функцій та гармонічному аналізі.
Ключові слова: простір тригонометрична система, повнота тригономе-тричної системи, мультиплікатори Фур'є, диференціальні оператори, похідна дробового порядку, модулі гладкості, нерівність типу Джексона, найкраще наближення.
Коломойцев Ю.С. Приближение функций полиномами в пространстве , . - Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2007г.
Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов, связанных с приближением функций полиномами в пространстве В пространствах и хорошо известны критерии наилучшего приближения, прямые и обратные теоремы о максимальной скорости сходимости полиномов и сплайнов в зависимости от гладкости функции (С.Н. Бернштейн, Д. Джексон, С.М. Никольский, С.Б. Стечкин, А.Ф. Тиман, М.Ф. Тиман, Н.П. Корнейчук и др.) при этом существенную роль играли операторы свертки (мультипликаторы) и двойственность (линейные непрерывные функционалы). Свойства пространства при во многих случаях существенно отличны от свойств пространства при Например, пространство является квазинормированным пространством, в котором не существует линейных непрерывных функционалов, а единичный шар не является выпуклым множеством.
Интенсивное изучение пространств и вопросов, связанных с приближением функций в этих пространствах, началось с 70-х годов прошлого столетия. Следует отметить работы Э.А. Стороженко, В.Г. Кротова, П. Освальда, В.И. Иванова, А.Б. Александрова, Я. Петре, А.А. Талаляна, Р.А. ДеВора, Д. Левиатана, Ю.А. Брудного, З. Дитциана.
Основные результаты диссертации состоят в следующем: получен критерий полноты тригонометрической системы с пропусками в классах ; доказано, что в пространстве не существует нетривиальных мультипликаторов Фурье; доказано, что линейные дифференциальные операторы не сравнимы в метрике пространства получено полное описание класса функций, имеющих максимальный порядок убывания к нулю модуля гладкости; построено продолжение функции из пространства с сохранением порядка убывания модуля гладкости; получены новые результаты о двустороннем приближении функций тригонометрическими полиномами в получены аналоги теоремы типа Джексона в пространстве для тригонометрических систем с пропусками; получено новое свойство константы наилучшего приближения функции из пространства
Результаты имеют теоретический характер и могут быть использованы в теории приближений функций и гармоническом анализе.
Ключевые слова: пространство тригонометрическая система, полнота тригонометрической системы, мультипликатор Фурье, дифференциальные операторы, производная дробного порядка, модули гладкости, неравенства типа Джексона, наилучшее приближение.
Kolomoitsev Yu. S. Approximation of function by polynomials in the space , . - Manuscript.
Thesis for Candidate of Science (Ph.D.) degree in Physics and Mathematics specialization 01.01.01 - mathematical analysis. Institute of applied mathematics and mechanic of NAS of Ukraine, Donetsk, 2007.
The dissertation is devoted to problems which are concerned with approximation of functions by polynomials in the space The main results of the dissertation are summarized as follows: the criterion of completeness for trigonometric system with gaps in the classes is obtained; it is proved that in the space there exist only trivial Fourier multipliers; it is proved that linear differential operators are not comparable in the -metric the full description for a class of functions that have the maximal order of decrease to zero of the module of smoothness is obtained; the extension of a function in the space with preservation the decrease order of the module of smoothness is presented; new results on two-sided approximation of functions by trigonometric polynomials in are given; the analogues of Jackson type theorem in space for trigonometric system with gaps is obtained; a new property of a constant of the best approximation of function from the space , is obtained. These results allow us to solve some problems of the approximation theory and the harmonic analysis.
Key words: the space trigonometric system, completeness of trigonometric system, Fourier multiplier, differential operator, derivative of fractional order, module of smoothness, Jackson type inequalities, best approximation.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
тригонометричний поліном теорема простір
Актуальність теми. Дисертаційну роботу присвячено дослідженню задач, які пов'язані з наближенням функцій у просторах та більш загальних класах функцій У просторах та добре відомими є критерії найкращого наближення, прямі та обернені теореми про максимальну швидкість збіжності поліномів та сплайнів залежно від гладкості функції (С.Н. Бернштейн, Д. Джексон, С.М. Нікольський, М.П. Корнейчук, С.Б. Стечкін, О.Ф. Тіман, М.Ф. Тіман та ін.). При цьому вагому роль відігравали оператори згортки (мультиплікатори) та подвійність (лінійні неперервні функціонали). Властивості простору при у багатьох випадках суттєво відрізняються від властивостей простору при . Наприклад, простір є лише квазінормованим простором, в якому не існує взагалі ненульових неперервних функціоналів, а одинична куля не є опуклою множиною. Ці та інші властивості простору при дослідженні апроксимації функцій в означених просторах призводять до необхідності розробки нових методів та підходів для розв'язання багатьох задач.
Інтенсивне вивчення просторів і питань, які пов'язані з наближенням функцій у цих просторах почалося з 70-х років минулого століття. Слід зазначити роботи Е.О. Стороженко, В.Г. Кротова, П. Освальда, В.І. Іванова, О.Б. Александрова, Я. Петре, О.А. Талаляна, Р.А. ДеВора, Д. Левіатана, Ю.А. Брудного, З. Дітціана.
Зазначимо також, що властивості просторів застосовуються при розв'язанні деяких питань у теорії функцій на перший погляд ніяк не пов'язаних із означеними просторами. Так, наприклад, за допомогою властивостей простору О.Б. Александровим та Дж. Шапіро було отримано у підсиленій формі багатовимірний аналог класичної теореми братів Рісс. Необхідність вивчення апроксимативних властивостей функцій із виникає при дослідженні наближення функцій сплайнами з вільними вузлами.
Основними задачами, які пов'язані з наближенням функцій у просторах що досліджуються у дисертації, є наступні задачі: 1) повнота тригонометричної системи з пропусками, 2) властивості операторів мультиплікативного типу, 3) властивості модулів гладкості функцій, 4) оцінки наближення функцій тригонометричними поліномами.
1. Тригонометрична система з пропусками є неповною у просторі інтегрованих функцій . У просторі ситуація суттєво відрізняється. О.А. Талалян, ймовірно, вперше довів існування нескінченної множини такої, що система є повною в Різні достатні та необхідні умови повноти та властивості тригонометричної системи з пропусками були одержані у роботах Дж. Шапіро, К. де Леу, О.Б. Александрова, В.І. Іванова та В.О. Юдіна.
2. Мультиплікатори - це оператори перестановочні з оператором зсуву. Теореми про мультиплікатори Фур'є у просторах належать М. Ріссу, М. Марцинкевичу, С.Г. Міхліну та ін. У просторах та є повний опис мультиплікаторів - це інтегральні оператори (згортка функції та міри). Теореми про мультиплікатори мають різні застосування в аналізі Фур'є, теорії функцій та диференціальних рівняннях.
Зазначимо також, що достатні умови для мультиплікаторів степеневих рядів у просторах Харді при та їх застосування були одержані Р.М. Тригубом.
3. Опис класу функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля модуля гладкості у різних функціональних просторах, було одержано в роботах Г.Х. Харді і Дж. Літльвуда, Д.А. Райкова, Ю.А. Брудного та В.Г. Кротова.
У просторах теореми про продовження функцій зі збереженням порядку при модуля гладкості були одержані Х. Уітні, В.К. Дзядиком та О.В. Бесовим.
4. Оцінка найкращого наближення функції тригонометричними поліномами через її модуль неперервності та модуль гладкості (теорема типу Джексона) у просторі вперше була одержана Е.О. Стороженко, В.Г. Кротовим, П. Освальдом та В.І. Івановим незалежно від названих вище авторів. Пізніше К.В. Руновським було запропоновано інший підхід для отримання таких теорем у просторах
Питання про визначення точного порядку спадання послідовності найкращих наближень функції тригонометричними поліномами вивчалося С.М. Лозинським, С.Б. Стечкіним та О.Ф. Тіманом. Р.К.С. Ратхор знайшов необхідну та достатню умову на функцію при виконанні якої порядок спадання до нуля найкращих наближень функцій поліномами збігається з порядком спадання до нуля модуля гладкості визначеного довільного порядку.
Саме цим актуальним питанням і присвячена дисертація.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетної наукової теми Г-02/40 „Теорія функцій та операторів” згідно з планом науково-дослідних робіт кафедри математичного аналізу та теорії функцій Донецького національного університету.
Мета і завдання дослідження. Об'єктом дослідження у дисертаційній роботі є наближення функцій поліномами в та особливості просторів при Предмет дослідження - тригонометричні системи з пропусками та швидкість наближення функцій поліномами, які побудовані за системами з пропусками у просторі властивості операторів мультиплікативного типу в властивості модулів гладкості функцій у просторах оцінки наближення функцій тригонометричними поліномами в константа найкращого наближення функції із
Метою дисертаційної роботи є дослідження питань, які пов'язані з наближенням функцій у просторах Для реалізації поставленої мети у роботі було сформульовано та вирішено такі завдання:
дослідити повноту тригонометричної системи з пропусками у просторі
знайти характеристику мультиплікаторів Фур'є у просторі та одержати нові властивості операторів мультиплікативного типу;
одержати нові властивості модулів гладкості у просторі
дослідити швидкість наближення функцій тригонометричними поліномами;
дослідити поведінку константи найкращого наближення функції із простору
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації одержані такі нові результати:
Знайдено критерій повноти тригонометричної системи з пропусками у класах при деяких умовах на функцію .
Доведено, що мультиплікатором Фур'є у просторі може бути тільки лінійна комбінація зсувів.
Доведено, що лінійні диференціальні оператори непорівнювані у просторі
Одержано нерівність типу Нікольського-Стечкіна-Боаса для дробових похідних у просторі
Одержано повний опис класу функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля модуля гладкості у просторі ( з фіксованою константою).
Побудовано продовження функції з відрізка на всю числову пряму зі збереженням степеневого порядку спадання до нуля модуля гладкості у просторі
Знайдено нові двосторонні оцінки наближення функцій тригонометричними поліномами у просторі
Одержано аналоги теорем типу Джексона у просторі для систем експонент з пропусками.
Одержано нову властивість константи найкращого наближення функції у просторі
Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Одержані результати та методика можуть бути використані для подальших досліджень у теорії функцій.
Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертації доповідались автором на Міжнародній конференції „Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці II”, 1-5 жовтня 2004 р., Київ; Міжнародній конференції „Современные проблемы математики, механики, информатики”, 22-26 листопада 2005 р., Тула; Міжнародній конференції „Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування”, 18-23 вересня 2006 р., Ужгород; Міжнародній конференції „Modern Analysis and Applications - 2007”, 9-14 квітня 2007 р., Одеса.
Загалом результати дисертації доповідались на науковому семінарі кафедри математичного аналізу ОНУ, квітень 2007 р., Одеса (керівник д.ф.-м.н., проф. Е.О. Стороженко), на науковому семінарі відділу теорії функцій ІПММ НАН України, березень 2007 р., Донецьк (керівник д.ф.-м.н., проф. В.І. Рязанов), а також неодноразово на науковому семінарі кафедри математичного аналізу й теорії функцій ДонНУ "Аналіз Фур'є й теорія наближення функцій", 2003-2007 рр., Донецьк (керівник д.ф.-м.н., проф. Р.М. Тригуб).
Публікації і особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації вміщено в 7 наукових публікаціях [1-7] та тезах доповідей міжнародних конференцій [8-11]. Шість наукових статей [1, 3-7] опубліковані у виданнях, затверджених ВАКом України. Всі результати одноосібні. Науковому керівнику д.ф.-м.н., проф. Р.М. Тригубу належить постановка завдань та загальне керівництво роботою.
Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 128 сторінках і містить вступ, основну частину з п'яти розділів, висновки, список літератури. Список використаної літератури містить 116 позицій та становить 12 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та завдання дослідження, окреслено наукову новизну, а також подано інформацію про апробацію результатів дисертації.
У першому розділі подано історію досліджень та огляд робіт математиків, які займалися або займаються вказаною вище тематикою.
У другому розділі одержано критерій повноти тригонометричної системи з пропусками у класах Нехай функція зростає на та при Будемо говорити, що якщо , де . Позначимо .
Теорема 2.1.1. Нехай функція - опукла до верху, та Система є повною в тоді і лише тоді, коли для кожного тригонометричного полінома знайдеться функція така, що коефіцієнти Фур'є для всіх і
.
Теорема 2.1.1 дозволяє звести задачу про повноту тригонометричної системи з пропусками до дослідження спектру деяких спеціальних функцій, зокрема, сингулярних функцій. Використовуючи теорему 2.1.1 і побудову сингулярних функцій за допомогою нескінченних добутків Риса, було отримано наступні нові та вже відомі твердження:
Наслідок 2.2.2. Нехай функція - опукла до верху, та Тоді, якщо для кожного знайдеться таке, що
то система є повною в
Наслідок 2.2.3. Нехай функція - опукла до верху, та послідовність задовольняє наступним умовам
і при
Система є повною в тоді і лише тоді, коли
.
Наслідок 2.2.4. Нехай функція - опукла до верху і Існує послідовність така, що
і система є повною в
Зазначимо, що наслідок 2.2.2 у інший спосіб у просторі було одержано О.Б. Александровим, а наслідок 2.2.4 - В.І. Івановим.
У третьому розділі було досліджено оператори мультиплікативного типу у просторі , У підрозділі 3.1 було розглянуто мультиплікатори Фур'є. Мультиплікатори природно визначити таким чином: числову послідовність назвемо мультиплікатором в , якщо існує константа така, що для кожного і для кожного тригонометричного полінома
, ,
де .
Через повноту простору , й апроксимаційної теореми Вейєрштрасса мультиплікатор може бути продовжений за неперервністю на весь простір , без збільшення квазінорми .
Для формулювання наступного результату нам знадобиться визначення класу - функцій обмеженої -варіації. Говорять, що , на відрізку , якщо
,
де розбивка .
Теорема 3.1.1. Для того щоб послідовність була мультиплікатором в , необхідно і достатньо, щоб на існувала комплекснозначна функція така, що для кожного . При цьому
.
Із властивостей функцій обмеженої р-варіації маємо наступне твердження:
Наслідок 3.1.3. Для того щоб послідовність була мультиплікатором у , необхідно і достатньо, щоб існували кінцеві чи зчисленні набори чисел і такі, що , для всіх і для кожного , тобто .
Нехай або і . Р.М. Тригубом знайдено, зокрема, три різних критерії для існування нерівності
,
де і - алгебраїчні поліноми, а константа не залежить від функції Розглянуто і нерівність з двома і більше поліномами у правій частині.
У підрозділі 3.2 показано, що лінійні диференціальні оператори непорівнювані у метриці простору
Теорема 3.2.2. Нехай або і . Тоді для будь-яких трьох поліномів , та () і для будь-якої константи знайдеться функція така, що , для кожного і
.
У підрозділі 3.3 одержано аналог нерівності Нікольского-Стечкіна-Боаса для дробових похідних у просторі
Нехай - довільний тригонометричний поліном, а . Похідною полінома називають поліном , де .
Нехай також
,
де при при
Теорема 3.3.1. Нехай і . Тоді існують додатні константи та , які залежать від та такі, що
.
У четвертому розділі було розглянуто два питання, які пов'язані з поведінкою модуля гладкості у просторі
Нехай - проміжок. Модуль гладкості функції порядку і шагу визначають за формулою
,
де , якщо , і , якщо .
У підрозділі 4.1 одержано теорему 4.1.1, яка повністю описує клас функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля їх модуля гладкості (з фіксованою константою).
Теорема 4.1.1. Нехай і Нерівність виконується тоді і лише тоді, коли функція може бути виправлена на множині міри нуль таким чином, що є функцією стрибків . Більше того,
,
де
,
.
Теорема 4.1.1 посилює відповідний результат Ю.А. Брудного.
У підрозділі 4.2 досліджено задачу про продовження функції із простору зі збереженням спадання модуля гладкості. Одержано наступні дві теореми.
Теорема 4.2.1. Нехай - два відрізка, і Тоді існує лінійний обмежений оператор такий, що і
, ,
де константа залежить лише від та відношення довжин відрізків .
Теорема 4.2.2. Нехай і - відрізок. Тоді:
якщо при і деякому інтеграл , тоді існує лінійний обмежений оператор продовження функції на такий, що при і виконується нерівність
, ,
де константа залежить лише від та ;
при існує лінійний обмежений оператор такий, що при і виконується нерівність
, ,
де константа залежить тільки від та
Результати теореми 4.2.2 дозволяють побудувати продовження функції з відрізка на всю числову пряму зі збереженням степеневого порядку спадання до нуля модуля гладкості у просторі ( для довільного ).
У п'ятому розділі досліджено питання, які пов'язані зі швидкістю наближення функцій тригонометричними поліномами. У підрозділі 5.1 на випадок просторів поширюються відомі результати, які стосуються двостороннього наближення функцій тригонометричними поліномами.
Надалі через будемо позначати найкраще наближення функції тригонометричними поліномами порядку не вище за . Наступна теорема поширює на випадок просторів , відповідний результат Р.К.С. Ратхора.
Теорема 5.1.1. Нехай і Для того щоб існувала константа така, що для кожного
,
необхідно і достатньо, щоб для деякого існувала константа така, що для кожного
.
Наслідок 5.1.2. Нехай і Відношення
,
виконується тоді і лише тоді, коли для деякого виконується відношення
, ,
( - двостороння нерівність з додатними константами).
Теорема 5.1.3. Нехай і Тоді існує тригонометричний поліном такий, що
.
( - двостороння нерівність з додатними константами, які залежать тільки від і ).
У випадку простору , існують лінійні поліноміальні методи наближення, які дають подібні двосторонні оцінки наближення функцій. У просторі , ситуація суттєво відрізняється.
Пропозиція 5.1.4. Нехай і - лінійний поліноміальний метод наближення такий, що для кожної функції
де - константа, яка не залежить від функції . Тоді .
Звідси випливає, що оператор у теоремі 5.1.3 не може бути лінійним оператором.
У підрозділі 5.2 у зв'язку з результатами щодо повноти тригонометричної системи з пропусками досліджується питання про швидкість наближення функції поліномами, які побудовані за такими системами.
Нехай множина задовольняє умовам наслідку 2.2.2. Для послідовності чисел яка задовольняє цим умовам, можна показати, що для кожних існують числа , такі, що для множини
виконується наступне включення
,
Теорема 5.2.1. Нехай , і Тоді існує тригонометричний поліном такий, що і
,
де , а - константа, яка залежить тільки від
Враховуючи конкретну структуру множини отримано більш точні оцінки наближення. Нехай, наприклад, , де . Далі використовуємо наступне позначення
.
Теорема 5.2.3. Нехай і Тоді
,
де
,
,
а - константа, яка залежить тільки від та
Наслідок 5.2.6. Нехай , і Тоді
,
де - константа, яка залежить тільки від та
Розглянемо класи функцій
і
.
Наступні твердження показують точність теореми 5.2.3.
Наслідок 5.2.7. Нехай і Тоді
якщо , то
, ;
якщо , то
, ;
якщо , то
, ,
де , - абсолютні додатні константи.
У підрозділі 5.3 досліджено властивість обмеженості константи найкращого наближення функції із простору Наступна теорема є аналогом на випадок просторів відповідного результату Р.М. Тригуба, який був застосований для отримання точних норм мультиплікаторів Фур'є.
Теорема 5.3.1. Нехай - множина позитивної міри Лебега, і . Якщо існує підмножина де функція обмежена і при деякому тоді існує константа така, що
і
,
де .
Теорема 5.3.1 є точною. При константа може бути і не обмеженою.
ВИСНОВКИ
У процесі дослідження одержано такі основні результати:
Критерій повноти тригонометричної системи з пропусками у класах .
Критерій мультиплікатора Фур'є. Зокрема доведено, що у просторі мультиплікатором Фур'є може бути тільки лінійна комбінація зсувів.
Доведено, що лінійні диференціальні оператори непорівнювані у метриці простору
Нерівність типу Нікольського-Стечкіна-Боаса для дробової похідної у просторі
Повне описання класу функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля модуля гладкості в (з фіксованою константою).
Продовження функції з відрізка на більш широкий відрізок зі збереженням модуля гладкості. Продовження функції на всю числову пряму зі збереженням степеневого порядку спадання до нуля модуля гладкості у просторі
Двосторонні оцінки наближення функцій тригонометричними поліномами в
Аналоги теореми типу Джексона в для поліномів, які побудовані за тригонометричною системою з пропусками.
Досліджено властивість обмеженості константи найкращого наближення функції із простору
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Коломойцев Ю.С. Описание класса функций с условием при // Вісник Дніпропетр. нац. ун-ту. Математика. - 2003. - Вип. 8. - C. 31-44.
2. Коломойцев Ю.С. Некоторые вопросы приближения функций тригонометрическими полиномами в // Известия ТулГУ. Математика. - 2005. - Т. 11. - Вып. 1. - С. 160-169.
3. Коломойцев Ю.С. О мультипликаторах и модулях гладкости в пространстве при // Доповіді НАН України. - 2006. - № 1. - C. 17-22.
4. Коломойцев Ю.С. О несравнимости линейных дифференциальных операторов в // Вісник Дніпропетр. нац. ун-ту. Математика. - 2006. - Вип. 11. - C. 38-45.
5. Коломойцев Ю.С. О модулях гладкости и мультипликаторах Фурье в // Укр. мат. журн. - 2007. - Т. 59, № 9. - С. 1221-1238.
6. Коломойцев Ю.С. Полнота тригонометрической системы в классах // Матем. заметки. - 2007. - Т. 81, № 5. - C. 707-712.
7. Коломойцев Ю.С. Ограниченность константы наилучшего приближения в // Труды ИПММ НАН Украины. - 2007. - Т. 14. - C. 117-121.
8. Kolomoytsev Yu. S. On approximation of functions in the spaces for // Abstracts. International conference "Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics II", dedicated to the memory of A.Ya. Dorogovtsev (1935-2004), October 1-5, 2004. - Kyiv. - P. 53.
9. Коломойцев Ю.С. Некоторые вопросы приближения функций тригонометрическими полиномами в // Тезисы. Международная конференция. Современные проблемы математики, механики, информатики. Посвященная 85-летию со дня рождения профессора С.Б. Стечкина и 75-летию ТулГу. 22-26 ноября 2005 г. - Тула. - С. 106.
10. Коломойцев Ю.С. О некоторых особенностях пространств // Тези. Міжнародної конференції. Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування, 18-23 вересня 2006 р. - Ужгород. - С. 48.
11. Kolomoytsev Yu. S. On some features of the spaces // Abstracts. International conference "Modern Analysis and Applications -2007", Dedicated to the centenary of Mark Krein, April 9-14, 2007. - Odessa. - P. 73.
Размещено на Allbest.ru
...
Подобные документы
Використання наближення функцій для практичних розрахунків, методи інтерполювання многочленом Лагранжа та Ньютона. Означення ермітових сплайнів з експоненціальними ланками та знаходження аналітичних виразів їх параметрів. Обчислення похибки наближення.
курсовая работа [687,3 K], добавлен 28.01.2011
Інтеграл Фур'є для парної й непарної функції. Приклад розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є. Визначення методів Бернштейна–Рогозинського. Наближення функцій за допомогою сум Бернштейна-Рогозинського. Сума, добуток і частка періодичних функцій.
курсовая работа [765,6 K], добавлен 07.07.2011
Отримання аналогів теореми порівняння Колмогорова для класу функцій, що задаються обмеженнями на несиметричні норми старших похідних. Випадок класів, які задаються обмеженнями на декілька похідних. Означення екстремальної функції, її властивості.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 11.06.2017
Означення та приклади застосування гармонічних функцій. Субгармонічні функції та їх деякі властивості. Розв’язок задачі Діріхле з використанням функції Гріна. Теореми зростання та спадання функції регулярної в нескінченній області (Фрагмена-Ліндельофа).
курсовая работа [349,0 K], добавлен 10.09.2013
Означення модуля неперервності та його властивості. Дослідження поведінки найкращих наближень неперервної функції алгебраїчними многочленами на базі властивостей введених Діціаном і Тотіка. Вирішення оберненої задачі. Узагальнення теореми Джексона.
курсовая работа [1016,1 K], добавлен 09.07.2015
Лінійні методи підсумовування рядів Фур'єю, приклади трикутних та прямокутних методів. Підсумовування методом Абеля. Наближення диференційованих функцій інтегралами Абеля-Пауссона. Оцінка верхніх наближень функцій на класах в рівномірній матриці.
курсовая работа [403,1 K], добавлен 22.01.2013
Теоретичні і прикладні питання математичної фізики й функціонального аналізу. Узагальнена похідна в просторі Соболєва: визначення, гладкі функції; найпростіша теорема вкладення. Доказ існування і одиничності узагальненого рішення рівняння Лапласа.
реферат [231,3 K], добавлен 28.01.2011
Визначення метричного простору. Границя функції у точці. Властивості границь дійсних функцій. Властивості компактних множин. Розв’язок системи лiнiйних рівнянь. Теорема про існування i єдність розв’язку диференціального рівняння. Нумерація формул.
методичка [461,1 K], добавлен 25.04.2014
Визначення гіпергеометричного ряду. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції. Властивості гіпергеометричної функції.
курсовая работа [462,3 K], добавлен 26.01.2011
Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012
Характеристика основних класів математичних функцій. Роль задачі про апроксимацію (наближення) більш складніших об’єктів менш складнішими. Особливості встановлення та розрахунку асимптотичні рівності відхилень найкращих наближень лінійних комбінацій.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 20.10.2013
Модуль неперервності (першого порядку), приклади та властивості. Необхідна і достатня умова рівномірної неперервності. Класи функцій, що визначаються першими модулями неперервності. Властивості і означення модуля неперервності. Аналіз класів функцій.
курсовая работа [396,9 K], добавлен 22.01.2013
Суть інтерполяції - у відшуканні значень функції в деякій проміжній точці. Лінійна інтерполяція, в основі якої лежить наближення кривої на ділянці між заданими точками прямою, що проходить через ті ж точки. Інтерполяція за Лагранжем. Практична формула.
презентация [92,6 K], добавлен 06.02.2014
Поняття нормованого простору: лінійний простір, оператор, безперервний та обмежений оператор. Простір функцій. Інтеграл Лебега-Стилтьеса. Інтерполяція в просторах сумуємих функцій. Теореми Марцинкевича та Рисса-Торина. Простір сумуємих послідовностей.
курсовая работа [407,3 K], добавлен 16.01.2011
Збіжність ряду та базиси в нормованому просторі. Ряд Фур’є за ортонормованою системою. Деякі властивості біортогональних систем. Біортогональні системи в бананових просторах. Властивості базисів та особливості застосування рядів в бананових просторах.
курсовая работа [363,1 K], добавлен 28.11.2014
Визначення коефіцієнтів по методу Ейлера-Фур'є та поняття ортогональних систем функцій. Інтеграл Дирихле та принцип локалізації. Випадки неперіодичної, парної і непарної функції та довільного проміжку. Приклади розкладання рівняння в тригонометричний ряд.
курсовая работа [148,6 K], добавлен 17.01.2011
Просторова декартова прямокутна система координат. Рівняння прямої та площини у просторі. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих, двох площин, прямої та площини у просторі. Доказ координатним методом теореми про три перпендикуляри.
курсовая работа [59,7 K], добавлен 22.09.2003
Теорема Піфагора - важливий інструмент геометричних обчислень, її простота, значення; історичні відомості. Теорема Піфагора на площині та у просторі, її стереометричний аналог; цілочислові прямокутні трикутники. Доведення теореми, класифікація задач.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 16.05.2011
Розгляд методів твірних функцій. Біном Ньютона як найбільш відомий приклад твірної функції. Розгляд задачі про щасливі білети. Аналіз властивостей твірних функцій. Характеристика найважливіших властивостей твірних функцій, особливості застосування.
курсовая работа [428,9 K], добавлен 12.09.2012
Функціональна повнота системи функцій алгебри логіки. Клас самодвоїстих функцій і його замкненість. Леми теореми Поста. Реалізація алгоритму В середовищі програмування С#, який визначає чи є система функцій алгебри логіки функціонально повна, вид повноти.
курсовая работа [388,6 K], добавлен 17.05.2011
Описання класу функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля модуля гладкості. Визначення нової властивості константи найкращого наближення функції із простору Lp, 0
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 27.09.2014 |
| Размер файла | 114,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ У ПРОСТОРІ
01.01.01 математичний аналіз
КОЛОМОЙЦЕВ ЮРІЙ СЕРГІЙОВИЧ
Донецьк 2007
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Донецькому національному університеті.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Тригуб Роальд Михайлович, Донецький національний університет, професор кафедри математичного аналізу і теорії функцій
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Стороженко Елеонора Олександрівна, Одеський національний університет, завідувач кафедри математичного аналізу;
кандидат фізико-математичних наук, доцент Двейрін Михайло Захарович, Донецький національний університет, доцент кафедри вищої математики.
Захист відбудеться 17.10. 2007 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург,74.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург,74.
Автореферат розісланий 15.09. 2007 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Довгоший О. А.
АНОТАЦІЇ
Коломойцев Ю.С. Наближення функцій тригонометричними поліномами у просторі , . - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2007 р.
Дисертаційну роботу присвячено дослідженню питань, які пов'язані з наближенням функцій поліномами у просторі Основні результати роботи полягають у наступному: одержано критерій повноти тригонометричної системи з пропусками у класах ; доведено, що у просторі не існує нетривіальних мультиплікаторів Фур'є; доведено, що лінійні диференціальні оператори непорівнювані у метриці простору , одержано повне описання класу функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля модуля гладкості (з фіксованою константою); побудовано продовження функції із простору зі збереженням порядку спадання модуля гладкості; одержано нові двосторонні оцінки наближення функцій тригонометричними поліномами в одержано аналоги теореми типу Джексона у просторі для систем з пропусками; одержано нову властивість константи найкращого наближення функції із простору
Результати мають теоретичний характер і можуть бути застосовані у теорії функцій та гармонічному аналізі.
Ключові слова: простір тригонометрична система, повнота тригономе-тричної системи, мультиплікатори Фур'є, диференціальні оператори, похідна дробового порядку, модулі гладкості, нерівність типу Джексона, найкраще наближення.
Коломойцев Ю.С. Приближение функций полиномами в пространстве , . - Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2007г.
Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов, связанных с приближением функций полиномами в пространстве В пространствах и хорошо известны критерии наилучшего приближения, прямые и обратные теоремы о максимальной скорости сходимости полиномов и сплайнов в зависимости от гладкости функции (С.Н. Бернштейн, Д. Джексон, С.М. Никольский, С.Б. Стечкин, А.Ф. Тиман, М.Ф. Тиман, Н.П. Корнейчук и др.) при этом существенную роль играли операторы свертки (мультипликаторы) и двойственность (линейные непрерывные функционалы). Свойства пространства при во многих случаях существенно отличны от свойств пространства при Например, пространство является квазинормированным пространством, в котором не существует линейных непрерывных функционалов, а единичный шар не является выпуклым множеством.
Интенсивное изучение пространств и вопросов, связанных с приближением функций в этих пространствах, началось с 70-х годов прошлого столетия. Следует отметить работы Э.А. Стороженко, В.Г. Кротова, П. Освальда, В.И. Иванова, А.Б. Александрова, Я. Петре, А.А. Талаляна, Р.А. ДеВора, Д. Левиатана, Ю.А. Брудного, З. Дитциана.
Основные результаты диссертации состоят в следующем: получен критерий полноты тригонометрической системы с пропусками в классах ; доказано, что в пространстве не существует нетривиальных мультипликаторов Фурье; доказано, что линейные дифференциальные операторы не сравнимы в метрике пространства получено полное описание класса функций, имеющих максимальный порядок убывания к нулю модуля гладкости; построено продолжение функции из пространства с сохранением порядка убывания модуля гладкости; получены новые результаты о двустороннем приближении функций тригонометрическими полиномами в получены аналоги теоремы типа Джексона в пространстве для тригонометрических систем с пропусками; получено новое свойство константы наилучшего приближения функции из пространства
Результаты имеют теоретический характер и могут быть использованы в теории приближений функций и гармоническом анализе.
Ключевые слова: пространство тригонометрическая система, полнота тригонометрической системы, мультипликатор Фурье, дифференциальные операторы, производная дробного порядка, модули гладкости, неравенства типа Джексона, наилучшее приближение.
Kolomoitsev Yu. S. Approximation of function by polynomials in the space , . - Manuscript.
Thesis for Candidate of Science (Ph.D.) degree in Physics and Mathematics specialization 01.01.01 - mathematical analysis. Institute of applied mathematics and mechanic of NAS of Ukraine, Donetsk, 2007.
The dissertation is devoted to problems which are concerned with approximation of functions by polynomials in the space The main results of the dissertation are summarized as follows: the criterion of completeness for trigonometric system with gaps in the classes is obtained; it is proved that in the space there exist only trivial Fourier multipliers; it is proved that linear differential operators are not comparable in the -metric the full description for a class of functions that have the maximal order of decrease to zero of the module of smoothness is obtained; the extension of a function in the space with preservation the decrease order of the module of smoothness is presented; new results on two-sided approximation of functions by trigonometric polynomials in are given; the analogues of Jackson type theorem in space for trigonometric system with gaps is obtained; a new property of a constant of the best approximation of function from the space , is obtained. These results allow us to solve some problems of the approximation theory and the harmonic analysis.
Key words: the space trigonometric system, completeness of trigonometric system, Fourier multiplier, differential operator, derivative of fractional order, module of smoothness, Jackson type inequalities, best approximation.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
тригонометричний поліном теорема простір
Актуальність теми. Дисертаційну роботу присвячено дослідженню задач, які пов'язані з наближенням функцій у просторах та більш загальних класах функцій У просторах та добре відомими є критерії найкращого наближення, прямі та обернені теореми про максимальну швидкість збіжності поліномів та сплайнів залежно від гладкості функції (С.Н. Бернштейн, Д. Джексон, С.М. Нікольський, М.П. Корнейчук, С.Б. Стечкін, О.Ф. Тіман, М.Ф. Тіман та ін.). При цьому вагому роль відігравали оператори згортки (мультиплікатори) та подвійність (лінійні неперервні функціонали). Властивості простору при у багатьох випадках суттєво відрізняються від властивостей простору при . Наприклад, простір є лише квазінормованим простором, в якому не існує взагалі ненульових неперервних функціоналів, а одинична куля не є опуклою множиною. Ці та інші властивості простору при дослідженні апроксимації функцій в означених просторах призводять до необхідності розробки нових методів та підходів для розв'язання багатьох задач.
Інтенсивне вивчення просторів і питань, які пов'язані з наближенням функцій у цих просторах почалося з 70-х років минулого століття. Слід зазначити роботи Е.О. Стороженко, В.Г. Кротова, П. Освальда, В.І. Іванова, О.Б. Александрова, Я. Петре, О.А. Талаляна, Р.А. ДеВора, Д. Левіатана, Ю.А. Брудного, З. Дітціана.
Зазначимо також, що властивості просторів застосовуються при розв'язанні деяких питань у теорії функцій на перший погляд ніяк не пов'язаних із означеними просторами. Так, наприклад, за допомогою властивостей простору О.Б. Александровим та Дж. Шапіро було отримано у підсиленій формі багатовимірний аналог класичної теореми братів Рісс. Необхідність вивчення апроксимативних властивостей функцій із виникає при дослідженні наближення функцій сплайнами з вільними вузлами.
Основними задачами, які пов'язані з наближенням функцій у просторах що досліджуються у дисертації, є наступні задачі: 1) повнота тригонометричної системи з пропусками, 2) властивості операторів мультиплікативного типу, 3) властивості модулів гладкості функцій, 4) оцінки наближення функцій тригонометричними поліномами.
1. Тригонометрична система з пропусками є неповною у просторі інтегрованих функцій . У просторі ситуація суттєво відрізняється. О.А. Талалян, ймовірно, вперше довів існування нескінченної множини такої, що система є повною в Різні достатні та необхідні умови повноти та властивості тригонометричної системи з пропусками були одержані у роботах Дж. Шапіро, К. де Леу, О.Б. Александрова, В.І. Іванова та В.О. Юдіна.
2. Мультиплікатори - це оператори перестановочні з оператором зсуву. Теореми про мультиплікатори Фур'є у просторах належать М. Ріссу, М. Марцинкевичу, С.Г. Міхліну та ін. У просторах та є повний опис мультиплікаторів - це інтегральні оператори (згортка функції та міри). Теореми про мультиплікатори мають різні застосування в аналізі Фур'є, теорії функцій та диференціальних рівняннях.
Зазначимо також, що достатні умови для мультиплікаторів степеневих рядів у просторах Харді при та їх застосування були одержані Р.М. Тригубом.
3. Опис класу функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля модуля гладкості у різних функціональних просторах, було одержано в роботах Г.Х. Харді і Дж. Літльвуда, Д.А. Райкова, Ю.А. Брудного та В.Г. Кротова.
У просторах теореми про продовження функцій зі збереженням порядку при модуля гладкості були одержані Х. Уітні, В.К. Дзядиком та О.В. Бесовим.
4. Оцінка найкращого наближення функції тригонометричними поліномами через її модуль неперервності та модуль гладкості (теорема типу Джексона) у просторі вперше була одержана Е.О. Стороженко, В.Г. Кротовим, П. Освальдом та В.І. Івановим незалежно від названих вище авторів. Пізніше К.В. Руновським було запропоновано інший підхід для отримання таких теорем у просторах
Питання про визначення точного порядку спадання послідовності найкращих наближень функції тригонометричними поліномами вивчалося С.М. Лозинським, С.Б. Стечкіним та О.Ф. Тіманом. Р.К.С. Ратхор знайшов необхідну та достатню умову на функцію при виконанні якої порядок спадання до нуля найкращих наближень функцій поліномами збігається з порядком спадання до нуля модуля гладкості визначеного довільного порядку.
Саме цим актуальним питанням і присвячена дисертація.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетної наукової теми Г-02/40 „Теорія функцій та операторів” згідно з планом науково-дослідних робіт кафедри математичного аналізу та теорії функцій Донецького національного університету.
Мета і завдання дослідження. Об'єктом дослідження у дисертаційній роботі є наближення функцій поліномами в та особливості просторів при Предмет дослідження - тригонометричні системи з пропусками та швидкість наближення функцій поліномами, які побудовані за системами з пропусками у просторі властивості операторів мультиплікативного типу в властивості модулів гладкості функцій у просторах оцінки наближення функцій тригонометричними поліномами в константа найкращого наближення функції із
Метою дисертаційної роботи є дослідження питань, які пов'язані з наближенням функцій у просторах Для реалізації поставленої мети у роботі було сформульовано та вирішено такі завдання:
дослідити повноту тригонометричної системи з пропусками у просторі
знайти характеристику мультиплікаторів Фур'є у просторі та одержати нові властивості операторів мультиплікативного типу;
одержати нові властивості модулів гладкості у просторі
дослідити швидкість наближення функцій тригонометричними поліномами;
дослідити поведінку константи найкращого наближення функції із простору
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації одержані такі нові результати:
Знайдено критерій повноти тригонометричної системи з пропусками у класах при деяких умовах на функцію .
Доведено, що мультиплікатором Фур'є у просторі може бути тільки лінійна комбінація зсувів.
Доведено, що лінійні диференціальні оператори непорівнювані у просторі
Одержано нерівність типу Нікольського-Стечкіна-Боаса для дробових похідних у просторі
Одержано повний опис класу функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля модуля гладкості у просторі ( з фіксованою константою).
Побудовано продовження функції з відрізка на всю числову пряму зі збереженням степеневого порядку спадання до нуля модуля гладкості у просторі
Знайдено нові двосторонні оцінки наближення функцій тригонометричними поліномами у просторі
Одержано аналоги теорем типу Джексона у просторі для систем експонент з пропусками.
Одержано нову властивість константи найкращого наближення функції у просторі
Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Одержані результати та методика можуть бути використані для подальших досліджень у теорії функцій.
Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертації доповідались автором на Міжнародній конференції „Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці II”, 1-5 жовтня 2004 р., Київ; Міжнародній конференції „Современные проблемы математики, механики, информатики”, 22-26 листопада 2005 р., Тула; Міжнародній конференції „Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування”, 18-23 вересня 2006 р., Ужгород; Міжнародній конференції „Modern Analysis and Applications - 2007”, 9-14 квітня 2007 р., Одеса.
Загалом результати дисертації доповідались на науковому семінарі кафедри математичного аналізу ОНУ, квітень 2007 р., Одеса (керівник д.ф.-м.н., проф. Е.О. Стороженко), на науковому семінарі відділу теорії функцій ІПММ НАН України, березень 2007 р., Донецьк (керівник д.ф.-м.н., проф. В.І. Рязанов), а також неодноразово на науковому семінарі кафедри математичного аналізу й теорії функцій ДонНУ "Аналіз Фур'є й теорія наближення функцій", 2003-2007 рр., Донецьк (керівник д.ф.-м.н., проф. Р.М. Тригуб).
Публікації і особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації вміщено в 7 наукових публікаціях [1-7] та тезах доповідей міжнародних конференцій [8-11]. Шість наукових статей [1, 3-7] опубліковані у виданнях, затверджених ВАКом України. Всі результати одноосібні. Науковому керівнику д.ф.-м.н., проф. Р.М. Тригубу належить постановка завдань та загальне керівництво роботою.
Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 128 сторінках і містить вступ, основну частину з п'яти розділів, висновки, список літератури. Список використаної літератури містить 116 позицій та становить 12 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та завдання дослідження, окреслено наукову новизну, а також подано інформацію про апробацію результатів дисертації.
У першому розділі подано історію досліджень та огляд робіт математиків, які займалися або займаються вказаною вище тематикою.
У другому розділі одержано критерій повноти тригонометричної системи з пропусками у класах Нехай функція зростає на та при Будемо говорити, що якщо , де . Позначимо .
Теорема 2.1.1. Нехай функція - опукла до верху, та Система є повною в тоді і лише тоді, коли для кожного тригонометричного полінома знайдеться функція така, що коефіцієнти Фур'є для всіх і
.
Теорема 2.1.1 дозволяє звести задачу про повноту тригонометричної системи з пропусками до дослідження спектру деяких спеціальних функцій, зокрема, сингулярних функцій. Використовуючи теорему 2.1.1 і побудову сингулярних функцій за допомогою нескінченних добутків Риса, було отримано наступні нові та вже відомі твердження:
Наслідок 2.2.2. Нехай функція - опукла до верху, та Тоді, якщо для кожного знайдеться таке, що
то система є повною в
Наслідок 2.2.3. Нехай функція - опукла до верху, та послідовність задовольняє наступним умовам
і при
Система є повною в тоді і лише тоді, коли
.
Наслідок 2.2.4. Нехай функція - опукла до верху і Існує послідовність така, що
і система є повною в
Зазначимо, що наслідок 2.2.2 у інший спосіб у просторі було одержано О.Б. Александровим, а наслідок 2.2.4 - В.І. Івановим.
У третьому розділі було досліджено оператори мультиплікативного типу у просторі , У підрозділі 3.1 було розглянуто мультиплікатори Фур'є. Мультиплікатори природно визначити таким чином: числову послідовність назвемо мультиплікатором в , якщо існує константа така, що для кожного і для кожного тригонометричного полінома
, ,
де .
Через повноту простору , й апроксимаційної теореми Вейєрштрасса мультиплікатор може бути продовжений за неперервністю на весь простір , без збільшення квазінорми .
Для формулювання наступного результату нам знадобиться визначення класу - функцій обмеженої -варіації. Говорять, що , на відрізку , якщо
,
де розбивка .
Теорема 3.1.1. Для того щоб послідовність була мультиплікатором в , необхідно і достатньо, щоб на існувала комплекснозначна функція така, що для кожного . При цьому
.
Із властивостей функцій обмеженої р-варіації маємо наступне твердження:
Наслідок 3.1.3. Для того щоб послідовність була мультиплікатором у , необхідно і достатньо, щоб існували кінцеві чи зчисленні набори чисел і такі, що , для всіх і для кожного , тобто .
Нехай або і . Р.М. Тригубом знайдено, зокрема, три різних критерії для існування нерівності
,
де і - алгебраїчні поліноми, а константа не залежить від функції Розглянуто і нерівність з двома і більше поліномами у правій частині.
У підрозділі 3.2 показано, що лінійні диференціальні оператори непорівнювані у метриці простору
Теорема 3.2.2. Нехай або і . Тоді для будь-яких трьох поліномів , та () і для будь-якої константи знайдеться функція така, що , для кожного і
.
У підрозділі 3.3 одержано аналог нерівності Нікольского-Стечкіна-Боаса для дробових похідних у просторі
Нехай - довільний тригонометричний поліном, а . Похідною полінома називають поліном , де .
Нехай також
,
де при при
Теорема 3.3.1. Нехай і . Тоді існують додатні константи та , які залежать від та такі, що
.
У четвертому розділі було розглянуто два питання, які пов'язані з поведінкою модуля гладкості у просторі
Нехай - проміжок. Модуль гладкості функції порядку і шагу визначають за формулою
,
де , якщо , і , якщо .
У підрозділі 4.1 одержано теорему 4.1.1, яка повністю описує клас функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля їх модуля гладкості (з фіксованою константою).
Теорема 4.1.1. Нехай і Нерівність виконується тоді і лише тоді, коли функція може бути виправлена на множині міри нуль таким чином, що є функцією стрибків . Більше того,
,
де
,
.
Теорема 4.1.1 посилює відповідний результат Ю.А. Брудного.
У підрозділі 4.2 досліджено задачу про продовження функції із простору зі збереженням спадання модуля гладкості. Одержано наступні дві теореми.
Теорема 4.2.1. Нехай - два відрізка, і Тоді існує лінійний обмежений оператор такий, що і
, ,
де константа залежить лише від та відношення довжин відрізків .
Теорема 4.2.2. Нехай і - відрізок. Тоді:
якщо при і деякому інтеграл , тоді існує лінійний обмежений оператор продовження функції на такий, що при і виконується нерівність
, ,
де константа залежить лише від та ;
при існує лінійний обмежений оператор такий, що при і виконується нерівність
, ,
де константа залежить тільки від та
Результати теореми 4.2.2 дозволяють побудувати продовження функції з відрізка на всю числову пряму зі збереженням степеневого порядку спадання до нуля модуля гладкості у просторі ( для довільного ).
У п'ятому розділі досліджено питання, які пов'язані зі швидкістю наближення функцій тригонометричними поліномами. У підрозділі 5.1 на випадок просторів поширюються відомі результати, які стосуються двостороннього наближення функцій тригонометричними поліномами.
Надалі через будемо позначати найкраще наближення функції тригонометричними поліномами порядку не вище за . Наступна теорема поширює на випадок просторів , відповідний результат Р.К.С. Ратхора.
Теорема 5.1.1. Нехай і Для того щоб існувала константа така, що для кожного
,
необхідно і достатньо, щоб для деякого існувала константа така, що для кожного
.
Наслідок 5.1.2. Нехай і Відношення
,
виконується тоді і лише тоді, коли для деякого виконується відношення
, ,
( - двостороння нерівність з додатними константами).
Теорема 5.1.3. Нехай і Тоді існує тригонометричний поліном такий, що
.
( - двостороння нерівність з додатними константами, які залежать тільки від і ).
У випадку простору , існують лінійні поліноміальні методи наближення, які дають подібні двосторонні оцінки наближення функцій. У просторі , ситуація суттєво відрізняється.
Пропозиція 5.1.4. Нехай і - лінійний поліноміальний метод наближення такий, що для кожної функції
де - константа, яка не залежить від функції . Тоді .
Звідси випливає, що оператор у теоремі 5.1.3 не може бути лінійним оператором.
У підрозділі 5.2 у зв'язку з результатами щодо повноти тригонометричної системи з пропусками досліджується питання про швидкість наближення функції поліномами, які побудовані за такими системами.
Нехай множина задовольняє умовам наслідку 2.2.2. Для послідовності чисел яка задовольняє цим умовам, можна показати, що для кожних існують числа , такі, що для множини
виконується наступне включення
,
Теорема 5.2.1. Нехай , і Тоді існує тригонометричний поліном такий, що і
,
де , а - константа, яка залежить тільки від
Враховуючи конкретну структуру множини отримано більш точні оцінки наближення. Нехай, наприклад, , де . Далі використовуємо наступне позначення
.
Теорема 5.2.3. Нехай і Тоді
,
де
,
,
а - константа, яка залежить тільки від та
Наслідок 5.2.6. Нехай , і Тоді
,
де - константа, яка залежить тільки від та
Розглянемо класи функцій
і
.
Наступні твердження показують точність теореми 5.2.3.
Наслідок 5.2.7. Нехай і Тоді
якщо , то
, ;
якщо , то
, ;
якщо , то
, ,
де , - абсолютні додатні константи.
У підрозділі 5.3 досліджено властивість обмеженості константи найкращого наближення функції із простору Наступна теорема є аналогом на випадок просторів відповідного результату Р.М. Тригуба, який був застосований для отримання точних норм мультиплікаторів Фур'є.
Теорема 5.3.1. Нехай - множина позитивної міри Лебега, і . Якщо існує підмножина де функція обмежена і при деякому тоді існує константа така, що
і
,
де .
Теорема 5.3.1 є точною. При константа може бути і не обмеженою.
ВИСНОВКИ
У процесі дослідження одержано такі основні результати:
Критерій повноти тригонометричної системи з пропусками у класах .
Критерій мультиплікатора Фур'є. Зокрема доведено, що у просторі мультиплікатором Фур'є може бути тільки лінійна комбінація зсувів.
Доведено, що лінійні диференціальні оператори непорівнювані у метриці простору
Нерівність типу Нікольського-Стечкіна-Боаса для дробової похідної у просторі
Повне описання класу функцій, які мають максимальний порядок спадання до нуля модуля гладкості в (з фіксованою константою).
Продовження функції з відрізка на більш широкий відрізок зі збереженням модуля гладкості. Продовження функції на всю числову пряму зі збереженням степеневого порядку спадання до нуля модуля гладкості у просторі
Двосторонні оцінки наближення функцій тригонометричними поліномами в
Аналоги теореми типу Джексона в для поліномів, які побудовані за тригонометричною системою з пропусками.
Досліджено властивість обмеженості константи найкращого наближення функції із простору
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Коломойцев Ю.С. Описание класса функций с условием при // Вісник Дніпропетр. нац. ун-ту. Математика. - 2003. - Вип. 8. - C. 31-44.
2. Коломойцев Ю.С. Некоторые вопросы приближения функций тригонометрическими полиномами в // Известия ТулГУ. Математика. - 2005. - Т. 11. - Вып. 1. - С. 160-169.
3. Коломойцев Ю.С. О мультипликаторах и модулях гладкости в пространстве при // Доповіді НАН України. - 2006. - № 1. - C. 17-22.
4. Коломойцев Ю.С. О несравнимости линейных дифференциальных операторов в // Вісник Дніпропетр. нац. ун-ту. Математика. - 2006. - Вип. 11. - C. 38-45.
5. Коломойцев Ю.С. О модулях гладкости и мультипликаторах Фурье в // Укр. мат. журн. - 2007. - Т. 59, № 9. - С. 1221-1238.
6. Коломойцев Ю.С. Полнота тригонометрической системы в классах // Матем. заметки. - 2007. - Т. 81, № 5. - C. 707-712.
7. Коломойцев Ю.С. Ограниченность константы наилучшего приближения в // Труды ИПММ НАН Украины. - 2007. - Т. 14. - C. 117-121.
8. Kolomoytsev Yu. S. On approximation of functions in the spaces for // Abstracts. International conference "Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics II", dedicated to the memory of A.Ya. Dorogovtsev (1935-2004), October 1-5, 2004. - Kyiv. - P. 53.
9. Коломойцев Ю.С. Некоторые вопросы приближения функций тригонометрическими полиномами в // Тезисы. Международная конференция. Современные проблемы математики, механики, информатики. Посвященная 85-летию со дня рождения профессора С.Б. Стечкина и 75-летию ТулГу. 22-26 ноября 2005 г. - Тула. - С. 106.
10. Коломойцев Ю.С. О некоторых особенностях пространств // Тези. Міжнародної конференції. Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування, 18-23 вересня 2006 р. - Ужгород. - С. 48.
11. Kolomoytsev Yu. S. On some features of the spaces // Abstracts. International conference "Modern Analysis and Applications -2007", Dedicated to the centenary of Mark Krein, April 9-14, 2007. - Odessa. - P. 73.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Використання наближення функцій для практичних розрахунків, методи інтерполювання многочленом Лагранжа та Ньютона. Означення ермітових сплайнів з експоненціальними ланками та знаходження аналітичних виразів їх параметрів. Обчислення похибки наближення.
курсовая работа [687,3 K], добавлен 28.01.2011Інтеграл Фур'є для парної й непарної функції. Приклад розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є. Визначення методів Бернштейна–Рогозинського. Наближення функцій за допомогою сум Бернштейна-Рогозинського. Сума, добуток і частка періодичних функцій.
курсовая работа [765,6 K], добавлен 07.07.2011Отримання аналогів теореми порівняння Колмогорова для класу функцій, що задаються обмеженнями на несиметричні норми старших похідних. Випадок класів, які задаються обмеженнями на декілька похідних. Означення екстремальної функції, її властивості.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 11.06.2017Означення та приклади застосування гармонічних функцій. Субгармонічні функції та їх деякі властивості. Розв’язок задачі Діріхле з використанням функції Гріна. Теореми зростання та спадання функції регулярної в нескінченній області (Фрагмена-Ліндельофа).
курсовая работа [349,0 K], добавлен 10.09.2013Означення модуля неперервності та його властивості. Дослідження поведінки найкращих наближень неперервної функції алгебраїчними многочленами на базі властивостей введених Діціаном і Тотіка. Вирішення оберненої задачі. Узагальнення теореми Джексона.
курсовая работа [1016,1 K], добавлен 09.07.2015Лінійні методи підсумовування рядів Фур'єю, приклади трикутних та прямокутних методів. Підсумовування методом Абеля. Наближення диференційованих функцій інтегралами Абеля-Пауссона. Оцінка верхніх наближень функцій на класах в рівномірній матриці.
курсовая работа [403,1 K], добавлен 22.01.2013Теоретичні і прикладні питання математичної фізики й функціонального аналізу. Узагальнена похідна в просторі Соболєва: визначення, гладкі функції; найпростіша теорема вкладення. Доказ існування і одиничності узагальненого рішення рівняння Лапласа.
реферат [231,3 K], добавлен 28.01.2011Визначення метричного простору. Границя функції у точці. Властивості границь дійсних функцій. Властивості компактних множин. Розв’язок системи лiнiйних рівнянь. Теорема про існування i єдність розв’язку диференціального рівняння. Нумерація формул.
методичка [461,1 K], добавлен 25.04.2014Визначення гіпергеометричного ряду. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції. Властивості гіпергеометричної функції.
курсовая работа [462,3 K], добавлен 26.01.2011Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012Характеристика основних класів математичних функцій. Роль задачі про апроксимацію (наближення) більш складніших об’єктів менш складнішими. Особливості встановлення та розрахунку асимптотичні рівності відхилень найкращих наближень лінійних комбінацій.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 20.10.2013Модуль неперервності (першого порядку), приклади та властивості. Необхідна і достатня умова рівномірної неперервності. Класи функцій, що визначаються першими модулями неперервності. Властивості і означення модуля неперервності. Аналіз класів функцій.
курсовая работа [396,9 K], добавлен 22.01.2013Суть інтерполяції - у відшуканні значень функції в деякій проміжній точці. Лінійна інтерполяція, в основі якої лежить наближення кривої на ділянці між заданими точками прямою, що проходить через ті ж точки. Інтерполяція за Лагранжем. Практична формула.
презентация [92,6 K], добавлен 06.02.2014Поняття нормованого простору: лінійний простір, оператор, безперервний та обмежений оператор. Простір функцій. Інтеграл Лебега-Стилтьеса. Інтерполяція в просторах сумуємих функцій. Теореми Марцинкевича та Рисса-Торина. Простір сумуємих послідовностей.
курсовая работа [407,3 K], добавлен 16.01.2011Збіжність ряду та базиси в нормованому просторі. Ряд Фур’є за ортонормованою системою. Деякі властивості біортогональних систем. Біортогональні системи в бананових просторах. Властивості базисів та особливості застосування рядів в бананових просторах.
курсовая работа [363,1 K], добавлен 28.11.2014Визначення коефіцієнтів по методу Ейлера-Фур'є та поняття ортогональних систем функцій. Інтеграл Дирихле та принцип локалізації. Випадки неперіодичної, парної і непарної функції та довільного проміжку. Приклади розкладання рівняння в тригонометричний ряд.
курсовая работа [148,6 K], добавлен 17.01.2011Просторова декартова прямокутна система координат. Рівняння прямої та площини у просторі. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих, двох площин, прямої та площини у просторі. Доказ координатним методом теореми про три перпендикуляри.
курсовая работа [59,7 K], добавлен 22.09.2003Теорема Піфагора - важливий інструмент геометричних обчислень, її простота, значення; історичні відомості. Теорема Піфагора на площині та у просторі, її стереометричний аналог; цілочислові прямокутні трикутники. Доведення теореми, класифікація задач.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 16.05.2011Розгляд методів твірних функцій. Біном Ньютона як найбільш відомий приклад твірної функції. Розгляд задачі про щасливі білети. Аналіз властивостей твірних функцій. Характеристика найважливіших властивостей твірних функцій, особливості застосування.
курсовая работа [428,9 K], добавлен 12.09.2012Функціональна повнота системи функцій алгебри логіки. Клас самодвоїстих функцій і його замкненість. Леми теореми Поста. Реалізація алгоритму В середовищі програмування С#, який визначає чи є система функцій алгебри логіки функціонально повна, вид повноти.
курсовая работа [388,6 K], добавлен 17.05.2011