Фактор-представлення нескінченновимірних матричних груп і інваріанти операторних алгебр

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркина

УДК 517.986.4

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Фактор-представлення нескінченновимірних матричних груп і інваріанти операторних алгебр

01.01.01 математичний аналіз

Нессонов Микола Іванович

Харків 2007

Загальна характеристика роботи

нескінченновимірна група фактор представлення

Актуальність теми. Основними об'єктами класичної теорії представлень є загальна лінійна група GL(n) та її підгрупи, які виділяються певними умовами. Якщо ототожнити GL(n) з підгрупою у GL(n+1) з допомогою природного вкладення, то індуктивна границя (об'єднання) И_n GL(n) дає важливий приклад нескінченновимірної матричної групи GL(Ґ).

У теорії унітарних представлень некомпактних скінченновимірних матричних груп, основи якої були закладені у середині минулого сторіччя у роботах І. М. Гельфанда, М. А. Наймарка, Хариш-Чандри, важливою задачею є побудова достатнього списку незвідних представлень та доведення його повноти. Для групи GL(n) вона розв'язана незалежно Д. Воганом і М. Тадичем (1986). Дослідження, пов'язані з класифікацією незвідних представлень у інших випадках, залишаються актуальними і суттєво впливають на розвиток цієї галузі математики.

Початок одного з найбільш плідних напрямів у теорії представлень нескінченновимірних матричних груп було покладено А.А. Кирилловим (1973). Він побудував класифікацію незвідних представлень групи U(Ґ), які виділяються умовою неперервності у топології операторної норми. Тут потрібно відмітити, що U(Ґ) є "дикою" групою. Зокрема, це означає, що вона має так багато незвідних представлень, що для них не існує будь-якої задовільної класифікації. Таким чином, підхід Кириллова показує, що, наділивши групу певною топологією, можна отримати об'єкт, якій допускає завершену теорію представлень, наближену до класичної. Ця ідея стала відправною точкою для Г.І. Ольшанського при побудові змістовної теорії допустимих представлень у 80-90-х роках минулого сторіччя. Одним з визначних її результатів є класифікація Г.І. Ольшанським та А. Ю. Окуньковим представлень нескінченої бісиметричної групи. Звернемо увагу на те чудове явище, що для великого класу нескінченновимірних матричних груп деколи таланило одержувати повний опис допустимих представлень навіть тоді, коли для аналогічної задачі у скінченновимірному випадку розв'язку ще не знайдено.

Як і U(Ґ), нескінченновимірні матричні групи є "дикими" об'єктами і теорія представлень для них повинна будуватися інакше у порівнянні з класичними групами. Замість незвідних представлень основою теорії стають фактор-представлення у розумінні фон Неймана та відповідні позитивно визначені функції. А той факт, що задачі класифікації фактор-представлень можна успішно розв'язувати, було продемонстровано у важливій роботі Ельмара Тома, де одержано повний опис характерів на нескінченій симетричній групі S(Ґ). Подібна проблема для групи U(Ґ) була розв'язана Д. Войкулеску. Подальший розвиток цієї галузі досліджень пов'язано з роботами А. М. Вершика, С. В. Керова, Г. І. Ольшанського, Р. Бойера, А. Окунькова, А. Бородина. Насамперед у рамках цього підходу у останній час на S(Ґ) та U(Ґ) було розвинено змістовний гармонічний аналіз.

Для класичних груп будь-яке фактор-представлення є кратним незвідному, а теорію представлень можна інтерпретувати як теорію характерів. У випадку нескінченновимірних груп, вивчаючи допустимі представлення, які належать до типу I, ми не віддаляємося далеко від класичних конструкцій, але втрачаємо теорію характерів. З іншої сторони, у реалізаціях фактор-представлень типу II₁ груп S(Ґ) та U(Ґ) складно побачити ознаки класичної дуальності Шура-Вейля. З цієї причини при вивченні у дисертації групи GL(Ґ) поєднуються обидва підходи і у кожному з них вдається одержати вичерпні результати. Розвинені тут методи можуть бути використані у значно більшій загальності, зокрема, при роботі з групами струмів та групами перетворень просторів Лебега. Вельми цікавим подається клас представлень груп дифеоморфізмів кола, які з'являються з наших прикладів з допомогою техніки вкладень Ю. Неретіна.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тему дисертаційної роботи затверджено на засіданні Вченої ради математичного відділення ФТІНТ ім. Б. І. Вєркіна НАН України (протокол №3 від 14 травня 2003 року). Дослідження, що складають основу роботи, проводились у відділі математичної фізики ФТІНТ у рамках тем ''Алгебраїчні та аналітичні методи у теорії операторів і теорії динамічних систем'' (номер державної реєстрації 0100U004485), ''Аналітичні методи у теорії операторних алгебр, динамічних систем і теорії розсіювання'' (номер державної реєстрації 0103U000313).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розвиток методів дослідження допустимих представлень нескінченновимірних аналогів класичних матричних груп нескінченного рангу та побудова для них теорії фактор-представлень.

Об'єктом дослідження є унітарні представлення нескінченновимірних матричних груп.

Предметом дослідження є класи представлень, які при звуженні на унітарну підгрупу мають класичну тензорну структуру, а також фактор-представлення, що побудовані відповідно конструкції Гельфанда-Наймарка-Сигала (ГНС) по унітарно інваріантним позитивно визначеним функціям.

Основними задачами дослідження є:

* побудова повної класифікації допустимих представлень GL(Ґ) та нескінченновимірних ортогональної і симплектичної груп;

* побудова повної класифікації фактор - представлень цих груп, які визначаються унітарно інваріантними позитивно визначеними функціями;

* обчислення інваріантів відповідних факторів фон Неймана.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати дисертації є новими. Побудовано теорію фактор - представлень матричних групп нескінченного рангу та запропоновано підхід до вивчення допустимих представлень.

При цьому вирішені наступні задачі:

* одержано опис сферичних представлень групи GL(Ґ) та відповідної групи рухів;

* побудовано повну класифікацію допустимих представлень GL(Ґ) і нескінченно-вимірних ортогональної і симплектичної груп;

* знайдено повний опис допустимих представлень групи нескінчених матриць з елементами у скінченновимірних комплексних алгебрах;

* одержано повний опис фактор-представлень групи GL(Ґ), які задаються унітарно інваріантними позитивно визначеними функціями;

* знайдено повну класифікацію сферичних представлень групи функцій на скінченій множині зі значеннями у нескінченновимірних ортогональній і симплектичній групах;

* одержано повний опис унітарно інваріантних позитивно визначених функцій на нескінченновимірних ортогональній і симплектичній групах, якім відповідають фактор - представлення типу III;

* запропоновано конструкцію аналогів боголюбівських автоморфізмів на фактор - представленнях нескінченновимірних груп, для яких знайдено явні формули квантової ентропії.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Результати та розвинені методи можуть бути використані при вивченні представлень нескінченновимірних груп та у теорії операторних алгебр.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором особисто та самостійно. З робіт, виконаних у співавторстві, на захист виносяться лише положення, які були одержані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на наукових семінарах механіко-математичного факультету Харківського університету, математичного відділення ФТІНТ НАН, на семінарі “Алгебраїчні методи функціонального аналізу” в ін-ті математики НАНУ (керівник чл. кор. НАНУ Ю.С. Самойленко), на Санкт-Петербургському семінарі по теорії представлень та динамічним системам (керівник чл. кор. РАН А.М. Вершик), на семінарі Добрушинскої математичної лабораторії в ін-ті проблем передачі інформації РАН, а також були представлені на таких наукових конференціях: Теорія представлень та асимптотична комбінаторика (Санкт-Петербург, 2004), Український математичний конгрес (Конференція з функціонального аналізу (Київ, 2001)), Operator algebras and operator theory (Romania, 1989), Теорія операторів у функціональних просторах (Тамбов, 1987).

Публікації. Результати дисертації опубліковані у 22 статтях [1-22] у фахових виданнях, серед яких 14 робіт без співавторів, а також у роботах [23-24].

Структура та обсяг роботи. Робота складається зі вступу, семи розділів, висновків, списку цитованої літератури (151 назва), та списку основних позначень. Основний зміст викладено на 294 стор., повний об'єм дисертації складає 308 стор. тексту.

Основний зміст дисертації

В першому розділі дисертації окреслено сучасний стан теорії представлень нескінченновимірних матричних груп, а також наведені мотивування задач, які розв'язані у роботі. Підрозділ 1.1 присвячено теорії допустимих, за термінологією Г. І. Ольшанського, представлень, які мають тип I. У підрозділі 1.2 викладені основні досягнення у класифікації фактор-представлень типів IІ та IІІ. Крім цього, дається характеристика методів, які розвинені у дисертації для розв'язування класифікаційних задач.

У другому розділі побудовано повну класифікацію сферичних представлень групи GL(Ґ). Нехай U(Ґ) - унітарна підгрупа GL(Ґ). Унітарне фактор-представлення , яке діє у гільбертовому просторі H, називається сферичним, якщо існує одиничний вектор H такий, що (u) = для усіх uU(Ґ). Позитивно визначена функція (п.в.ф.) на GL(Ґ) зі значеннями (g)=((g),) називається сферичною функцією представлення . Можна довести, що у тому випадку, коли вектор є циклічним для , підпростір H^U={H: (u) = для усіх uU(Ґ)}є одновимірним. Таким чином, будь-яке сферичне фактор-представлення з циклічним та (U(Ґ))-нерухомим вектором є незвідним, а ГНС-конструкція встановлює бієкцію між множиною крайніх точок п.в.ф. на GL(Ґ), постійних на двосторонніх класах суміжності по підгрупі U(Ґ), та класами унітарно еквівалентних сферичних незвідних представлень. Наступне твердження показує, що сферичні функції незвідних представлень виділяються алгебраїчними умовами.

Теорема 2.1.3. Нехай - представлення групи GL(Ґ) у гільбертовому просторі H з одиничним циклічним вектором , нерухомим по відношенню до операторів (u) (uU(Ґ)),(g)=((g),) (gGL(n)GL(Ґ)), {₁, ₂, …,_n}- власні значення матриці , - діагональна матриця с елементами

, .

тоді і тільки тоді буде фактор-представленням, коли для усіх g GL(Ґ).

Для реалізації представлень групи GL(Ґ) розглянемо множину _k, яка складається з усіх

комплексних kҐ -матриць. Позначимо через імовірнісну міру на C^k з щільністю ^-k exp(-z²) відносно міри Лебега. На _k =C^kҐ визначимо міру _k=^Ґ, як добуток нескінченої кількості копій міри . Якщо A - самоспряжена kk -матриця, то оператори _A(g), які діють у L²(_k, _k) відповідно співвідношенню

(1)

визначають унітарне представлення групи GL(Ґ). Нехай x₀(l)=1 для усіх l_k. Тоді x₀ L²(_k, _k) і звичайні обчислення показують, що

(_A(g)₀,₀)=[det (I_k Д cosh(ln|g|) - iA Д sinh(ln|g|) )]^-1.

Теорема 2.3.8. Якщо - незвідне сферичне представлення группы GL(Ґ) і - його сферична функція, то існують натуральне и самоспряжена -матриця такі, що для g SL(Ґ) (g)= [det (I_k Д cosh(ln|g|) - iA Д sinh(ln|g|) )]^-1.

Наслідок 2.3.9. Для сферичного незвідного представлення існує дійсне число таке, що унітарно еквівалентно представленню _A,s, яке визначається звуженням операторів _A,s(g)= |det g|^is_A(g) (g GL(Ґ)) на підпростір [_A(GL(Ґ))₀] ¹. При довільних _A и s _A,s розширюється по неперервності до представлення групи GL_K, яка співпадає з множиною обернених операторів виду I+K, де K - ядерний оператор. Якщо s=-Tr(A), то _A,s можна розширити по неперервності на групу GL_HS, яка складається з операторів виду I+H, де H- оператор Гільберта-Шмідта.

Третій розділ присвячений класифікації сферичних фактор-представлень групи GMⁿ⁽Ґ)=GL(Ґ)H₀ⁿ, яка є напівпрямим добутком GL(Ґ) на H₀ⁿ, де H₀ⁿ складається з Ґn-матриць, що мають скінчену кількість ненульових елементів. При цьому GL(Ґ) діє на адитивній групі H₀ⁿ з допомогою матричного множення і природно ототожнюється з підгрупою у GMⁿ⁽Ґ).

П. в. ф. на GMⁿ⁽Ґ) називається сферичною, якщо (ugv)= (g) для усіх g GMⁿ⁽Ґ)та u,v U(Ґ). Сферична функція називається нерозкладною, якщо відповідне ГНС-представлення є фактор-представленням.

Група GMⁿ⁽Ґ), як множина, є прямим добутком GL(Ґ) та H₀ⁿ. Групова операція при цьому визначається співвідношенням (g₁,h₁) (g₂,h₂) = (g₁ g₂, g₁h₂+h₁). Нехай k- натуральне число, z- матриця з k стовпчиків та n рядочків, ранг якої дорівнює qЈ k, _k - множина комплексних матриць з k рядків нескінченної довжини, A- самоспряпря-жений оператор в

C^k, (lО_k, g О GL(Ґ)).

Визначимо в гільбертовому просторі L²(_k, _k) (_k - гаусівська міра на _k з одиничним коваріаційним оператором) представлення p_A,z групи GMⁿ⁽Ґ) операторами p_A,z((g,h)) ((g,h) ОGMⁿ⁽Ґ)), які діють відповідно співвідношенням

(2)

де e- одиниця групи GL(Ґ), h ОH₀ⁿ .

Пропозиція 3.1.1. Нехай p^I_A,z - звуження p_A,z на підпростір H_k^A=[p_A,z(GMⁿ⁽Ґ))x₀]. Тоді p^I_A,z є незвідним і dim{ x О H_k^A: p^I_A,z((u,0)) x = x для усіх uОU(Ґ) } =1.

Означення 3.1.2. Нехай A₁ и A₂- самоспряжені kk-матриці, и - довільні матриці з n рядків і k стовпців, U(k) - група унітарних kk -матриць. Пари (A₁,z₁) і (A₂,z₂) називаються унітарно еквівалентними, якщо існує uОU(k), для якого u A₁u^*= A₂ і z₁u^*=z₂.

Має місце наступне твердження.

Теорема 3.1.3. Сферичні функції та на GMⁿ⁽Ґ) співпадають тоді і лише тоді, коли пари (A₁,z₁) та (A₂,z₂) унітарно еквівалентні.

Головним результатом третього розділу є

Теорема 3.1.17. Для довільного незвідного сферичного представлення p групи GMⁿ⁽Ґ) існує дійсне r таке, що p реалізується операторами p(g)=|det| ^ir p^I_A,z(g) (gО GMⁿ⁽Ґ)).

У четвертому розділі побудовано повну класифікацію допустимих незвідних представлень групи GL(Ґ) та нескінченновимірних ортогональної (O(2Ґ,C)) і симплектичної (Sp(2Ґ,C)) груп. Названі групи зручно розглядати, як підгрупи алгебри усіх обмежених операторів гільбертового простору.

Для відповідної реалізації GL(Ґ) зафіксуємо у просторі H ортонормований базис . Нехай B(H) - множина усіх обмежених операторів, які діють на H. B О B(H) тоді і лише тоді належить до GL(Ґ), коли існує натуральне таке, що Be_n=B^*e_n = e_n для усіх n>N i det B № 0. Важливу роль відіграє далі підгрупа GL(n,Ґ)={g О GL(Ґ): ge_n=g^*e_n = e_n для усіх k Ј n}.

Для визначення O(2Ґ,C) та Sp(2Ґ,C) розглянемо гільбертів простір 2H=H Е H з базисом . Позначимо через GL(2H) підгрупу операторів у B(H) з обмеженим оберненим. Нехай GL(2Ґ) складається з тих g О GL(2H), для яких існує натуральне N таке, що g(0 Е e_l) = g^*(0 Е e_l) = 0 Е e_l і g(e_l Е 0) = g^*(e_l Е 0) = e_l Е 0 при усіх l>N. Розглянемо оператори J_S, J_O О GL(2H), які визначаються співвідношеннями J_S( 0 Е e_l)= - e_l Е 0, J_S (e_l Е 0) = 0 Е e_l; J_O( 0 Е e_l)= e_l Е 0, J_O (e_l Е 0) = 0 Е e_l, для усіх l. Якщо означає звичайне транспонування матриць операторів відносно базису { e₁ Е 0, e₂ Е 0,…, 0 Е e₁, 0 Е e₂,… }, то

Sp(2Ґ,C)={g О GL(2H) | J_S g J_S^-1=(g^-1)^t },

O(2Ґ,C)={g О GL(2H) | J_O g J_O^-1=(g^-1)^t } . (2)

Клас допустимих представлень груп GL(Ґ), GMⁿ⁽Ґ), Sp(2Ґ,C), O(2Ґ,C) виділяється умовою неперервності матричних елементів відносно топології операторної норми при звуженні на відповідні унітарні підгрупи.

Пара (A, z), що параметризує представлення, визначає підгрупу U(k,A,z)={u О U(k)| uA-Au=[u,A]=0 i zu=z}. Нехай - множина класів унітарної еквівалентності незвідних представлень групи , g О , a_lj^g- матричний елемент g і для x О L²(_k, _k) . Тоді P_l^g- ортогональний проектор з алгебри

p_A,z(GMⁿ⁽Ґ))'={a О B (L²(_k, _k))| p_A,z (g) a = a p_A,z (g) для усіх g О GMⁿ⁽Ґ)}

а p_A,z^lg= P_l^g p_A,z є незвідним представленням групи GMⁿ⁽Ґ). Кожне з представлень p_A,z^lg є допустимим. Наступне класифікаційне твердження показує, що вони утворюють майже повний список.

Теорема 4.1.5. Нехай P - допустиме фактор-представлення групи GMⁿ⁽Ґі c_s((g,h))=|det g|^is (s О R). Тоді існують k, A, z, s (див. (Ошибка! Источник ссылки не найден.)) і g О такі, що c_sД P є кратним p_A,z^lg.

Якщо A = A^* і A=- A^t, то оператори P _A^Sp(g) утворюють унітарне допустиме представлення групи Sp(2Ґ,C).

Пропозиція 4.1.8. Нехай k=2m і матриця l=( l⁽¹⁾ l⁽²⁾) , де l⁽¹⁾ складається з перших m рядків l О _k, I_m - одинична mm-матриця, . Якщо A=A^* i A'= -PAP^-1 то оператори P _A^O(g) (g О O(2Ґ,C)), які діють у L_k^A за співвідношеннями:

При не існує нетривіальних стандартних представлень групи O(2Ґ,C).

Висновки

В дисертації запропоновано підхід до побудови класифікації унітарних представлень нескінченновимірних аналогів класичних матричних груп. Наведено повний опис допустимих представлень групи GL(Ґ), симплектичної (Sp(2Ґ,C)) та ортогональної (O(2Ґ,C)) груп. Виявилось, що розроблені методи дозволяють одержати вичерпні результати по класифікації допустимих представлень груп нескінченних матриць, елементи яких належать до скінченновимірної алгебри. Зокрема, незвідні представлення групи G G, де G співпадає з GL(Ґ), Sp(2Ґ,C) чи O(2Ґ,C), при звуженні на компоненту дають приклади фактор-представлень типу III. Побудовано аналог теорії Тома-Войкулеску-Вершика-Керова фактор-представлень типу II₁ для груп GL(Ґ), Sp(2Ґ,C) і O(2Ґ,C). При цьому замість характеру групи основою теорії є поняття унітарно інваріантного КМШ-стану. Одержано повну класифікацію відповідних фактор-представлень типу III.

Список опублікованих праць

1. Boyko M. S., Nessonov N. I., Entropy of Bogoliubov automorphisms on -representations of the group , Methods Funct. Anal. Topology, 9(2003), 4, pp. 317-332.

2. Boyko M. S., Nessonov N. I., Entropy of the Shift on -representations of the Group , Ukr. Math. Bul., 2(2005), 1, p. 15-37.

3. Гефтер С. Л., Голодец В. Я., Нессонов Н. И., Действия T-групп на алгебрах фон Неймана со счетными фундаментальными группами, Функ. ан. прил., 19(1985), 1, c. 64-65.

4. Гефтер С. Л., Голодец В. Я., Нессонов Н. И., Счетные -группы и алгебры Неймана, Теория функций функциональный анализ и их приложения, Харьков, 1986, выпуск 45, с. 5-16.

5. Голодець В. Я., Нессонов М. I., Вільні групи -властивість, -фактори з різними зчисленними фундаментальними групами, Доповіді Академії наук України, Серія "А", фіз.-мат., 1983, 8, с. 7-9.

6. Golodets V. Ya., Nessonov N. I., -Property and Nonisomorphic Full Factors of Types and , Journal of Functional Analysis, vol. 70 (1987), pp. 80-89.

7. Голодец В. Я., Нессонов Н. И., Асимптотическая алгебра и внешнесопряженные классы автоморфизмов факторов, Изв. Академии наук СССР, сер. матем., 44 (1980), 3, c. 510-532.

8. Матвейчук М. С., Нессонов Н. И., Описание конечных мер в факторах фон Неймана типа III, Изв. ВУЗов, сер. матем., 1984, 2, с.68-71.

9. Нессонов Н, И., О структуре факторов типа , Украинский математический журнал, 32 (1980), 3, c. 348-354.

10. Нессонов Н. И., Описание представлений группы обратимых операторов гильбертова пространства, содержащих единичное представление унитарной подгруппы, Функ. ан. и прил., 17 (1983), 1, с. 79-80.

11. Нессонов Н. И., Полная классификация представлений , содержащих единичное представление унитарной подгруппы, Мат. сборник Т.130(172)(1986), №2, с.131-150.

12. Нессонов Н. И., Примеры фактор-представлений группы , Матем. физика, функ. анал., сб. науч. тр. ФТИНТ, Киев: Наук. думка, 1986, с. 48-52.

13. Нессонов Н. И., Полное описание неразложимых сферических функций на бесконечномерной группе движений, Докл. АН УССР, 6(1987), стр. 7-9.

14. Нессонов Н. И., Описание допустимых представлений бесконечномерных матричных групп с коэффициентами в конечномерной алгебре, Функ. ан. и прил., 26 (1992), 2, c. 93-95.

15. Нессонов Н. И., Полная классификация допустимых представлений

16. бесконечномерных классических матричных групп, I, Математическая физика, анализ, геометрия, 8 (2001), 3, с. 282-307.

17. Нессонов Н. И., Полная классификация допустимых представлений бесконечномерных классических матричных групп, II, Математическая физика, анализ, геометрия, 9 (2002), 1, с. 79-94.

18. Нессонов Н. И., Фактор-представления и допустимые представления , I, Математическая физика, анализ, геометрия, 10 (2003), 2, с. 167-187.

19. Нессонов Н. И., Фактор-представления и допустимые представления , II, Математическая физика, анализ, геометрия, 10 (2003), 4, с. 524-556.

20. Нессонов Н. И., Фактор-представления и допустимые представления , III, Математическая физика, анализ, геометрия, 11 (2004), 1, с. 67-86.

21. Нессонов Н. И., КМШ-состояния на группе и допустимые представления , Труды Санкт-Петер. матем. об., 10 (2004) (Английский перевод: Proceedings of the St. Petersburg Mathematical Society, 10 (2005), pp. 109-165.)

22. Нессонов Н. И., Автоморфизмы аппроксимативно конечных факторов типа , Теория операторов в функциональных пространствах и ее приложения, Киев, "Наукова думка", 190 (1981), c. 98-107.

23. Nessonov N. I., Representations of infinite-dimensional matrix groups and associated dynamical systems, Proceedings of the OATE 2 Conference: Romania 1989, Operator algebras and operator theory, Pitman Res. Notes Math. Ser., 271, Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, pp. 157-167.

24. Nessonov N., Classification of KMS-states on Thesis of International Conference on Functional Analysis, Kyiv, August 22-26, 2001, p.69.

25. Nessonov N., The deformation of the Shale-Weil representation of the group , Thesis of International Conference "Representations Theory, Dynamical Systems and Asymtotic Combinatoric", St. Petersburg, June 8-13, 2004, pp. 20-21.

Анотація

Нессонов М. І. Фактор-представлення нескінченновимірних матричних груп та інваріанти операторних алгебр - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2007.

Робота присвячена класифікації унітарних представлень нескінченновимірних матричних груп. Побудовано повну класифікацію допустимих, за термінологією Г. І. Ольшанського, представлень групи , де - одна з груп , чи . За допомогою розвиненої при цьому техніки одержано повний опис допустимих представлень групи нескінчених матриць з елементами у скінченновимірній алгебрі. Зокрема, у випадку групи , допустимість розглядається по відношенню до унітарної підгрупи , яка природно ототожнюється з підгрупою у . Для сферичних представлень знайдено ефективні критерії унітарної еквівалентності. Побудовано аналог теорії Тома-Войкулеску-Вершика-Керова фактор-представлень типу для груп , і . При цьому заміст характеру групи основою теорії є поняття унітарно інваріантного КМШ-стану. Одержано повну класифікацію відповідних фактор-представлень типу .

Ключові слова: нескінченновимірна група, сферичне представлення, фактор-представлення, КМШ-стан.

Аннотация

Нессонов Н. И. Фактор-представления бесконечномерных матричных групп и инварианты операторных алгебр - Рукопись.

Работа посвящена классификации унитарных представлений бесконечномерных матричних групп.

В первой главе изложены мотивировки тех задач, которые рассматриваются в диссертации. В частности, проведен их сравнительный анализ с классической проблематикой теории представлений.

Во второй главе изучаются фактор-представления группы , содержащие единичное подпредставление унитарной подгруппы. Такие представления имеют тип . Главный результат- доказательство полноты списка примеров, предложенного Г. И. Ольшанским. Предлагаемый подход основан на применении идей и приёмов, характерных для теории операторных алгебр и эргодической теории. Ключевым является свойство мультипликативности сферической функции, соответствующей данному представлению. Оно позволило получить важную информацию о структуре представлений на основе анализа динамических систем и соответствующих коциклов, которые канонически строятся по представлению.

В третьей главе задача описания сферических функций решена для группы движений , соответствующей . Группа есть прямое произведение и , где - множество комплексных матриц из бесконечного числа строк и столбцов, у которых все элементы, за исключением конечного их числа, равны нулю. Умножение при этом определяется соотношением . Сферичность понимается по отношению к унитарной подгруппе , которая естественно отождествляется с подгруппой в .

Построены реализации сферических представлений и доказана полнота полученного списка. Найден эффективный критерий унитарной эквивалентности. Эти результаты используются при классификации допустимых представлений , симплектической и ортогональной групп, а также при описании сферических представлений группы бесконечных матриц с элементами из конечномерной алгебры.

В четвертой главе получена полная классификация допустимых представлений , и . Предлагаемый подход существенно использует тот факт, что такие представления расширяются на большую группу . В случае группа . Для и она связана с каноническими коммутационными соотношениями. Это свойство позволяет построить по допустимому представлению систему импримитивности и предъявить для него явную реализацию.

В пятой главе построена полная классификация допустимых представлений группы бесконечных матриц с элементами из конечномерной алгебры c единицей . При этом допустимость понимается по отношению к подгруппе унитарных матриц, элементы которых принадлежат . Построены представления , связанные с ее действиями на пространстве бесконечных матриц с гауссовской мерой. Найдено явное их разложение на неприводимые компоненты. Доказано, что таким образом получаются все допустимые фактор-представления группы . Для сферических представлений найден эффективный критерий унитарной эквивалентности.

Предложен аналог теории Тома-Войкулеску-Вершика-Керова фактор-представлений типа для группы . Так как на нет нетривиальных конечных характеров, то вместо них рассматриваются неразложимые унитарно инвариантные КМШ-состояния, находящиеся во взаимно однозначном соответствии с построенными по ним ГНС-представлениями. В классическом случае группы этот подход охватывает задачу классификации всех унитарных неприводимых представлений.

С помощью аппарата модулярной теории Томита-Такесаки построено вложение множества неразложимых КМШ-состояний на в множество сферических функций пары . Найдено явное описание этого образа. Показано, что ГНС-представления, соответствующие неразложимым КМШ-состояниям имеют по классификации А. Конна тип .

Шестая глава посвящена обобщению результатов пятой главы на группы функций со значениями в и . Построена полная классификация сферических представлений, где сферичность рассматривается по отношению к подгруппе постоянных функций со значениями в унитарной подгруппе. Найдены необходимые и достаточные условия унитарной эквивалентности. Получено полное описание унитарно инвариантных КМШ-состояний на и .

В седьмой главе изучаются инварианты факторов и их автоморфизмов, которые строятся по представлениям групп. С помощью последних достижений в теории представлений бесконечномерных матричных групп, на фактор-представлениях типа группы и на ГНС-представлениях , соответствующих унитарно инвариантным КМШ-состояниям, можно построить действия группы всех унитарных операторов. Идея этой конструкции связана с определением боголюбовских автоморфизмов на алгебрах канонических коммутационных соотношений. Найдена явная формула для квантовой энтропии боголюбовских автоморфизмов на -представлениях группы . Указаны пути дальнейшего развития этих результатов.

Ключевые слова: бесконечномерная группа, сферическое представление, фактор-представление, КМШ-состояние.

Abstract

Nessonov N. I. Factor-representations of infinite dimensional matrix groups and invariants of operator algebras. - Manuscript.

Thesis to acquire a scientific degree of doctor of science in physics and mathematics on speciality 01.01.01 - mathematical analysis.- B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering, NAS of Ukraine, Kharkiv, 2007.

The thesis is devoted to the classification of the unitary representations of infinite dimensional matrix groups. Full classification for admissible representations of the group , where is one of the groups , or , is obtained. A classification is given for the admissible representations of group of infinite matrix with elements from finite dimensional algebra. In particular, in the case of group the admissibility is considered in relation to the subgroup of constant functions with values from unitary subgroups. For the spherical representations the necessary and sufficient conditions of the unitary equivalence is given. Analog of the Toma's-Voiculescu's-Vershik's-Kerov's theory of II₁-factor-representations for the groups , , is developed. We use conception of the unitary invariant KMS-state instead of character in our approach. The full description of corresponding factor-representations is obtained.

Key words: infinite dimensional group, spherical representation, factor-representation, KMS-state.

Размещено на Allbest.ru