Задачі лінійного прогнозу для однорідного та ізотропного випадкового поля, що спостерігається на сфері

Размещено на http://www.allbest.ru

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 519.21

Задачі лінійного прогнозу для однорідного та ізотропного випадкового поля, що спостерігається на сфері

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Семеновська Наталія Вікторівна

Київ 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Захист відбудеться “24” вересня 2007 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ-22, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська , 58).

Автореферат розісланий “20” серпня 2007 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

екстраполяція куля ізотропний

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія випадкових полів - це важлива галузь сучасної теорії ймовірностей та математичної статистики, що інтенсивно розвивається. Одними з актуальних задач теорії випадкових полів є задачі лінійного прогнозу випадкових полів, а саме, задачі екстраполяції, інтерполяції, фільтрації та задача оцінювання коефіцієнтів регресії випадкових полів. В різних галузях природничих наук, таких як геологія, метеорологія, океанологія, геофізика тощо, знаходять широке застосування моделі однорідних та ізотропних випадкових полів.

Над розробкою теорії прогнозування випадкових полів в різний час працювало багато науковців, серед них Колмогоров А.М., Вінер Н., Розанов Ю.А., Яглом А.М., Цзян Цзе-пей, Обухов А.М., Засухін В.Н., Вольд Г., Рамм М.Г., Ядренко М.Й.

Найбільш широко розроблені статистичні методи екстраполяції однорідних та ізотропних випадкових процесів та полів в загальному вигляді. В більшості робіт, присвячених задачам лінійного прогнозу випадкових полів не вивчаються питання про явний вигляд формул для конкретних кореляційних моделей випадкових полів. Вперше такі задачі для однорідних та ізотропних випадкових полів, що спостерігаються на сфері, досліджувались в роботах Ядренка М.Й. та його учнів. Задача інтерполяції однорідного та ізотропного поля в довільній точці всередині сфери за дискретними спостереженнями на сфері була вперше розглянута і розв'язана у двовимірному випадку Карташовим М.В.

Робота присвячена дослідженню статистичних задач для однорідних та ізотропних випадкових полів, що спостерігаються на сфері. Користуючись класичними методами екстраполяції, знайдено явні екстраполяційні формули для конкретних кореляційних моделей однорідних та ізотропних випадкових полів. Отримано явні формули для дисперсії лінійної незміщеної оцінки невідомого середнього однорідних та ізотропних випадкових полів з певних класів. Досліджено задачу інтерполяції однорідного та ізотропного випадкового поля в довільній точці всередині сфери за спостереженнями на скінченній множині точок на сфері. Це і визначає актуальність тематики дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми № 01БФ03806 "Розвиток теорії випадкових полів та динамічних систем на алгебраїчних структурах", яка входить до програми "Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем" (номер державної реєстрації № 0101U002472).

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії екстраполяції однорідних та ізотропних випадкових полів, а також розширення кола теоретичних і практичних застосувань даної теорії. У роботі вивчаються наступні задачі:

екстраполяція однорідних та ізотропних випадкових полів з певних класів в центрі сфери за спостереженнями на сфері;

задача оцінювання невідомого середнього значення для однорідних та ізотропних випадкових полів з певних класів, що спостерігаються на сфері;

задача оцінювання невідомого середнього значення для однорідних та ізотропних випадкових полів з певних класів, що спостерігаються на кулі;

інтерполяція однорідного та ізотропного випадкового поля в довільній точці всередині кола за спостереженнями на скінченній множині точок на колі;

інтерполяція однорідного та ізотропного випадкового поля в довільній точці всередині n-вимірної сфери за спостереженнями на скінченній множині точок на сфері.

Методика дослідженя. В роботі використовується аналітичний апарат спектральної теорії випадкових полів, теорії прогнозування випадкових полів та теорії рядів Фур'є.

Наукова новизна одержаних результатів.

Отримано явні екстраполяційні формули для конкретних кореляційних моделей однорідних та ізотропних випадкових полів та досліджено їх асимптотику.

Одержано розв'язок задачі оцінювання невідомого середнього значення для конкретних кореляційних моделей однорідних та ізотропних випадкових полів, що спостерігаються на сфері, та досліджено його асимптотику.

Встановлено розв'язок задачі оцінювання невідомого середнього значення для конкретних кореляційних моделей однорідних та ізотропних випадкових полів, що спостерігаються на кулі, та виявлено його асимптотику.

Досліджено задачу інтерполяції однорідного та ізотропного випадкового поля в довільній точці всередині кола за спостереженнями на скінченній множині точок на колі; виявлено асимптотичну поведінку похибки інтерполяції при зростанні числа точок спостережень та встановлено умови безпомилковості інтерполювання; отримано оптимальний розподіл вагових коефіцієнтів інтерполяції.

Розглянуто задачу інтерполяції однорідного та ізотропного випадкового поля в довільній точці всередині n-вимірної сфери за спостереженнями на скінченній множині точок на сфері; досліджено асимптотичну поведінку похибки інтерполяції при зростанні числа точок та встановлено умови безпомилковості інтерполювання; отримано оптимальний розподіл вагових коефіцієнтів інтерполяції; виявлено порядок збіжності асимптотичної похибки до нуля у випадку інтерполяції за рівномірно розподіленими на сфері точками спостережень.

Практичне значення одержаних результатів. Всі отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичне значення та практичне застосування в різних галузях природничих наук, таких як геологія, радіофізика, метеорологія, астрономія, геостатистика тощо.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікував 4 роботи, з них 2 разом з проф. Ядренком М.Й., в яких Ядренку М.Й. належить постановка задач та загальне керівництво роботою. Задачі, розв'язані в п'ятому та шостому розділах дисертації, були запропоновані науковим керівником проф. М.В.Карташовим. Автор зі спільних робіт в дисертації використовує лише ті результати, які отримані ним особисто.

Апробація результатів. Результати дисертації доповідались та обговорювались на конференціях і наукових семінарах:

міжнародній конференції "Колмогоров та сучасна математика" (м. Москва, 2003);

IV європейському конгресі математиків "Математика в науці та техніці" (м. Стокгольм, 2004);

науковій конференції "Сучасні проблеми теорії ймовірностей та перспективи її розвитку" (м.Чернівці, 2005);

міжнародній конференції "Сучасна стохастика: теорія та застосування" (м.Київ, 2006);

засіданнях наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м.Київ, 2004, 2005, 2006); засіданнях наукового семінару з теорії випадкових процесів при кафедрі теорії ймовірностей та математичного аналізу Київського національного політехнічного університету ''КПІ'' (м.Київ, 2006). Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано чотири статті у фахових виданнях, що входять до переліку, затвердженого ВАК України, [1]-[4], а також надруковано 4 тези доповідей на конференціях [5]-[8]. Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків та списку використаних джерел. Основний текст дисертації складає 114 сторінок, список використаних джерел займає 17 сторінок і включає в себе 144 найменувань.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Дисертація складається зі вступу, шести розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел.

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою даної роботи та спорідненими питаннями, висвітлені деякі результати щодо схожих проблем, отриманих іншими авторами.

В другому розділі розглядається задача екстраполяції однорідного та ізотропного випадкового поля в центрі сфери за спостереженнями на сфері. Вводяться поняття однорідного та однорідного й ізотропного випадкового поля.

Означення 2.1. Випадкове поле називається однорідним, якщо (надалі будемо припускати), , а кореляційна функція залежить лише від різниці .

Означення 2.2. Випадкове поле називається однорідним та ізотропним випадковим полем, якщо (надалі будемо припускати), , а кореляційна функція залежить лише від відстані між точками та

Означення 2.3. Неперервне в середньому квадратичному, однорідне та ізотропне випадкове поле в Rn допускає так званий спектральний розклад

Якщо є абсолютно неперервною, тобто допускає розклад то функція називається спектральною щільністю однорідного ізотропного випадкового поля.

Для однорідного та ізотропного випадкового поля розглянемо наступну статистичну задачу. Нехай випадкове поле спостерігається на сфері радіуса і необхідно знайти лінійну екстраполяційну формулу для значення в центрі сфери , найкращу в розумінні мінімуму середньоквадратичної помилки.

В підрозділі 2.5 для конкретних кореляційних моделей однорідних та ізотропних випадкових полів, а саме, зі списку Булля та сім'ї Уіттла-Матерна кореляційних функцій, знайдено явні екстраполяційні формули і відповідні середньоквадратичні похибки обчислень, а також досліджено їх асимптотику.

Сім'єю Уіттла-Матерна кореляційних функцій називається клас функцій вигляду

Покладаючи в моделі Уіттла-Матерна отримаємо популярну експоненціальну кореляцію а дає модель Якщо і 5/2, маємо моделі Булля індексу 6, 3a, і 3b, відповідно. Відносно моделі Булля індексу 3, помітимо, що може бути записана як лінійна комбінація моделей Уіттла-Матерна з і 5/2.

Для виведення явних екстраполяційних формул для конкретних кореляційних моделей однорідних та ізотропних випадкових полів, отримано наступне допоміжне твердження.

Наведемо один з основних результатів другого розділу.

Теорема 2.1. Спектральна щільність для кореляційної моделі Уіттла-Матерна

В третьому розділі розглядається задача оцінювання невідомого середнього значення однорідного та ізотропного випадкового поля, що спостерігається на сфері.

Припустимо, що на сфері радіуса r спостерігається випадкове поле, де - однорідне та ізотропне випадкове поле з нульовим математичним сподіванням та відомою кореляційною функцією. Необхідно знайти лінійну незміщену оцінку для з мінімальною дисперсією.

В підрозділі 2.3 розв'язано задачу оцінювання невідомого середнього значення для кореляційних моделей з сім'ї Уіттла-Матерна

Одним з основних результатів третього розділу є наступне твердження.

Теорема 3.1. Для кореляційної моделі Уіттла-Матерна дисперсія оцінки параметра має вигляд

При дисперсія оцінки параметра має асимптотику

В четвертому розділі досліджується задача оцінювання невідомого середнього значення однорідного та ізотропного випадкового поля, що спостерігається на кулі.

Припустимо, що на кулі радіуса спостерігається випадкове поле, де - невідома стала, а - однорідне та ізотропне випадкове поле з нульовим математичним сподіванням та відомою кореляційною функцією. Найпростішою незміщеною оцінкою параметра є оцінка найменших квадратів - середнє по кулі

Ця оцінка одержується з вимоги мінімізації виразу.

Встановлено наступний результат.

Теорема 4.1. Дисперсія оцінки найменших квадратів параметра дорівнює

Ми розв'язуємо задачу оцінювання невідомого середнього значення для кореляційних моделей однорідних та ізотропних випадкових полів зі списку Булля (табл.1, ст.4), а також з класу Уіттла-Матерна кореляційних функцій

Допоміжним є наступний результат.

Лема 4.1. Для n>0 справедлива рівність

Одним з основних результатів четвертого розділу є наступне твердження.

Теорема 4.2. Для кореляційної моделі Уіттла-Матерна

дисперсія оцінки параметра методу найменших квадратів має вигляд

При дисперсія оцінки набуває вигляду

В п'ятому та шостому розділах вивчаються задачі інтерполяції однорідного та ізотропного випадкового поля в довільній точці всередині кола радіуса на площині та всередині сфери радіуса в -вимірному просторі відповідно. Ця задача зводиться до відшукання проекції елементу на підпростір, утворений замиканням в середньому квадратичному лінійних комбінацій випадкових величин Тобто,

Дана задача інтерполяціїї розв'язана Ядренком М.Й. наступним чином

- сферичні координати точки , а - послідовність некорельованих випадкових мір, заданих на борельових множинах з зі спектральною мірою і таких, що для довільних борельових множин з.

Отже, ми бачимо, що ця інтерполяційна формула виражається через послідовність випадкових мір. Для практичного застосування зручніше представити дану формулу за допомогою значень, що безпосередньо спостерігаються.

Найкраща в сенсі середньоквадратичної похибки лінійна незміщена оцінка значення однорідного ізотропного випадкового поля за спостереженнями на сфері отримана Ядренком М.Й. і має вигляд

- міра Лебега на одиничній сфері в, а - площа поверхні цієї сфери.

Відповідна похибка інтерполяції дорівнює

На практиці інтеграл обчислюється за допомогою відповідної інтегральної суми. Тобто, замість інтерполяції на просторі розглядається інтерполяція величини зі спостережень на просторі

Таким чином, інтеграл заміщується скінченною лінійною комбінацією значень в точках з певної множини . Як наслідок, виникає задача точності цього заміщення.

Зафіксуємо множину. Оскільки, то, за властивостями середньоквадратичної проекції, для довільного має місце тотожність

Означення 6.1. Згідно з попередньою тотожністю множина буде ефективною, якщо похибка апроксимації інтеграла інтегральними сумами не перевищить похибки відповідної інтерполяції, тобто,. В цьому випадку загальна похибка інтерполяції не перевищить величини, де значення наводилося раніше.

Похибка є мінімальною. Наша задача - мінімізувати похибку апроксимації.

В підрозділах 5.3 та 6.2 отримано розв'язок задачі інтерполяції однорідного та ізотропного випадкового поля в довільній точці всередині кола за спостереженнями на колі та всередині n-вимірної сфери за спостереженнями на сфері відповідно.

Теорема 5.1. Нехай - фіксована множина зі спостережень на колі, - довільна точка всередині кола. Найкраща в сенсі мінімуму середньоквадратичної похибки інтерполяція величини за допомогою величин з має вигляд

а матриця та вектор визначені наступним чином

Відповідна похибка дорівнює

Теорема 6.1. Нехай - фіксована множина зі спостережень на сфері, Найкраща в сенсі мінімуму середньоквадратичної похибки інтерполяція величини за допомогою величин з має вигляд

Відповідна похибка дорівнює

У випадках, коли точний розв'язок систем рівнянь з теорем 5.1 та 6.1 знайти важко, можна застосувати певну апроксимацію.

Позначимо через кумулятивну функцію розподілу коефіцієнтів у випадку площини.

В випадку вимірного простору дана функція має вигляд

Тут нерівність означає систему поелементних нерівностей

В підрозділах 5.4 та 6.3 отримано наступні результати.

Теорема 5.2. Припустимо, що послідовність функцій на з рівномірно обмеженою варіацією слабко збігається до функції з обмеженою варіацією. Тоді гранична середньоквадратична похибка апроксимації інтегралу дорівнює

Наслідок 5.1. За умов Теореми 5.3, асимптотична похибка дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли для всіх виконується

Наслідок 5.2. Якщо виконується то асимптотична похибка дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли гранична функція задовольняє тотожність для, де

Наслідок 5.3. Для довільної послідовності серій множин

Теорема 6.2. Припустимо, що послідовність функцій на з рівномірно обмеженою варіацією слабко збігається до функції з обмеженою варіацією. Тоді гранична середньоквадратична похибка апроксимації інтегралу дорівнює

Наслідок 6.1. За умов Теореми 6.3, асимптотична похибка дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли для всіх виконується

Наслідок 6.2. Якщо виконується

то асимптотична похибка дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли гранична функція задовольняє тотожність для, де

- кут між векторами та, а - поліноми Гегенбауера.

Наслідок 6.3. Для довільної послідовності серій множин, де, при виконанні умови

якщо коефіцієнти

і при, то середньоквадратична похибка апроксимації прямує до нуля при.

В -вимірному просторі досліджено асимптотику середньоквадратичної похибки інтерполяції у випадку, коли точки множини рівномірно розподілені на сфері. (Дана задача на площині розв'язяна Карташовим М.В.). В підрозділі 6.4 отримано наступні результати.

Теорема 6.3. Нехай сфера рівномірно поділена множиною на точок зі сферичними кутами Нехай коефіцієнти, де Тоді асимптотична середньоквадратична похибка оцінки дорівнює

Наслідок 6.4. Рівномірно розподілена множина спостережень на сфері з інтерполяційними коефіцієнтами є ефективною в сенсі означення 6.1, починаючи з величини

У висновках сформульовано основні результати дисертаційної роботи.

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена задачам лінійного прогнозу для однорідних та ізотропних випадкових полів, що спостерігаються на сфері.

Досліджено задачу екстраполяції однорідного та ізотропного випадкового поля в центрі сфери за спостереженнями на сфері. Отримано явні екстраполяційні формули для конкретних кореляційних моделей однорідних та ізотропних випадкових полів та досліджено їх асимптотику.

Вивчено задачу оцінювання невідомого середнього значення однорідного та ізотропного випадкового поля. Одержано розв'язок даної задачі для конкретних кореляційних моделей однорідних та ізотропних випадкових полів та виявлено його асимптотику. Окремо досліджено випадки спостережень на сфері та на кулі.

Отримано розв'язок задачі інтерполяції однорідного та ізотропного випадкового поля в довільній точці всередині сфери за спостереженнями на скінченній множині точок на сфері. Окремо вивчаються випадки площини та n-вимірного простору. Виявлено асимптотичну поведінку похибки інтерполяції при зростанні числа точок спостережень та встановлено умови безпомилковості інтерполювання. Одержано оптимальний розподіл вагових коефіцієнтів інтерполяції. Досліджено порядок збіжності асимптотичної похибки до нуля у випадку інтерполяції однорідного та ізотропного випадкового поля в центрі n-вимірної сфери за рівномірно розподіленими на сфері точками спостережень.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Семеновська Н., Ядренко М.Й. Явні екстраполяційні формули для деяких кореляційних моделей однорідних та ізотропних випадкових полів// Теорія ймовірн. і матем. статист. - 2003. - №69. - С.162-171.

[2] Семеновська Н. Про одну лінійну задачу для однорідних та ізотропних випадкових полів// Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2004. - 4. - С.55-65.

[3] Семеновська Н., Ядренко М.Й. Задача оцінювання невідомого середнього значення для деяких кореляційних моделей однорідних та ізотропних випадкових полів// Теорія ймовірн. і матем. статист. - 2005. - №72. - С.172-179.

[4] Семеновська Н. Задача інтерполяції однорідного та ізотропного випадкового поля// Теорія ймовірн. і матем. статист. - 2006. - №74. - С.150-158.

[5]Семеновська Н., Ядренко М.Й. Об одной экстраполяционной задаче для однородного и изотропного случайного поля// Тезисы докладов Международной конференции "Колмогоров и современная математика". - Москва, 2003. - С.651.

[6]Semenovska N. Two stochastic problems for some correlation models of homogeneous and isotropic random fields// Abstracts of the Fourth European Congress of Mathematics. - http://www.math.kth.se/4ecm/abstracts/12.4.pdf.

[7]Semenovska N. Intepolation of a homogeneous and isotropic random field// Abstracts of international conference Modern Problems and New Trends in Probability Theory. II. - Chernivtsi, 2005. - P.96

[8] Семеновська Н. Інтерполяція однорідного та ізотропного випадкового поля в центрі сфери за рівномірно розподіленимим спостереженнями на сфері// Тези доповідей міжнародної конференції "Сучасна стохастика: теорія та застосування". - Київ, 2006. - С.77.

Размещено на Allbest.ru