Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 519.62

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Болеани G - просторів

Протасова Ольга Ігорівна

01.01.08 - математична логіка, теорія алгоритмів і дискретна математика

Київ - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі дослідження операцій Київського національного університету імені Тараса Шевченка, міністерство освіти і науки України

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор

ЗАКУСИЛО Олег Каленикович, кафедра дослідження операцій факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

БАНАХ Тарас Онуфрійович,

кафедра геометрії і топології Львівського національного університету імені Івана Франка

кандидат фізико-математичних наук, доцент ОЛІЙНИК Богдана Віталіївна,

кафедра математики Національного університету “Києво-Могилянська Академія”

Провідна установа: Одеський державний університет імені І.І. Мечникова, МОН України, м. Одеса

Захист відбудеться “ 10 ” квітня 2007р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факультет

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58)

Автореферат розісланий “_7__”_березня__2007р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.В. Плахотник

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Кульова структура Я - це трійка (X,P,B), де X,P - не порожні множини і для всіх x є X та б є P, B(x,б) - підмножина множини X, що називається кулею радіуса б з центром в точці x. При цьому вимагається, щоб x є B(x, б) для всіх x є X, б є P. Множина X називається носієм Я, P - множиною радіусів.

Для довільних x є X, AX, б є P покладемо

B*(x, б)={y є X : x є B(y, б)}, B(A, б)= U a є A B(a, б).

Кульову структуру Я називають болеаном, якщо

для довільних б, в є P існують б', в' є P, такі що для кожного xє X,

B(x, б) B*(x, б'), B*(x, в) B(x, в');

для довільних б, в є P існує г є P, таке що для кожного x є X,

B(B(x,б), в) B(x, г).

Болеани можна розглядати як природну антитезу рівномірним топологічним просторам, якщо, замість рівномірно неперервних відображень, за морфізми між болеанами Я1=(X1,P1,B1) та Я2=(X2,P2,B2) взяти відображення f:X1>X2 з такою властивістю: для довільного радіуса б є P1 знайдеться радіус в є P2, такий що

f(B1(x, б)) B2(f(x),в)

для всіх x є X. Такі відображення називають \prec- відображеннями (борно логічними відображеннями).

Болеани виникли в асимптотичній геометрії і топології під назвою грубі структури (coarse structures J. Roe Lectures on Coarse Geometry // AMS University Lecture Series, 31 (2004)) і незалежно, хоча і дещо пізніше, в комбінаториці під назвою рівномірні кульові структури (uniform ball structures Protasov I., Banakh T. Ball structures and Colorings of Groups and Graphs // Math. Stud. Monogr. Ser. 4 (1999).).

Основи асимптотичної геометрії заклав М. Громов в трактаті Gromov M. Asymptotic invariants of infinite group // London Math. Soc. Lecture Notes Ser. 182 (1993). Асимптотична геометрія або геометрія великих розмірів (large seal geometry) вивчає глобальні властивості метричних просторів, при цьому мілкі (обмежені) деталі цих просторів ігноруються. На разі - це один з основних інструментів досліджень в геометричній теорії груп Harpe P. Topics in Geometrical Group Theory // University Chicago Press, 2000. До загально математичних здобутків асимптотичної геометрії можна віднести поняття гіперболічного метричного простору, метрику Громова-Хаусдорфа, асимптотичну розмірність, границю і кінці групи та ін.

Поштовхом до становлення вказаного асимптотичного підходу в комбінаториці була стаття Bella A., Malyhkin V. Small, large and other subsets of a group // Q and A in General Topology, 17 (1999), 183-197., в якій запропоновано деяку класифікацію підмножин групи за їх розмірами. Ретельний аналіз цієї класифікації показав, що виділені типи підмножин групи (великі, малі, надвеликі та ін.) мають не специфічно групову природу, а є віддзеркаленням відомих типів підмножин топологічних просторів (щільні, ніде не щільні та ін.). На цьому шляху з'явилися стільникові та нормальні болеани, узагальнення корон Хігсона і Фройденталя, такі кардинальні інваріанти болеанів як ентропія, ємність, розкладність, корозкладність. Паралельно було розв'язано кілька проблем про розбиття груп. Докладніше про це можна прочитати в монографії Protasov I., Banakh T. Ball structures and Colorings of Groups and Graphs // Math. Stud. Monogr. Ser. 4 (1999)..

Для того, щоб алгебраїчний об'єкт (скажемо, групу) вивчати з асимптотичної точки зору, необхідно, щоб його асимптотична структура (в даному випадку, болеан на групі) була певним чином узгоджена з його алгебраїчною структурою. Деякі фрагменти такого узгодження вже зустрічалися в перелічених працях, проте систематичних досліджень в цьому напрямку не проводилось.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота пов'язана з науковими розробками кафедри досліджень операцій Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідної теми N01БФ015-01 “Розвиток теорії і програмного забезпечення стохастичних та алгебраїчних систем із застосуванням в економіці, соціології, техніці та освіті”.

Мета і задачі дослідження. Дослідити і формалізувати можливі способи узгодження асимптотичної структури на множині з заданою дією групи на цій множині, зокрема, знайти асимптотичні аналоги топологічної групи.

Методи дослідження. В дисертації адаптовано до асимптотичної ситуації деякі теоретико-множинні, алгебраїчні, комбінаторні та топологічні методи.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації введено такі нові поняття і конструкції: болеани G-просторів, лівоінваріантні і рівномірно лівоінваріантні болеани на групі, групові болеани і групові ідеали, максимальні болеани, конверт-болеани, поняття детектора і асимптотичного детектора гіперграфа. Всі результати дисертації, що виносяться на захист, нові. Вкажемо на основні з них.

- Дано дві характеризації стільникових болеанів, побудовано універсальний болеан в класі зліченних метризованих стільникових болеанів.

- Встановлено основні властивості болеанів фінітарних і універсальних G-просторів. Вказано розбиття довільної нескінченної групи на скінченне число Р-малих підмножин.

- Встановлено зв'язок між болеанами на групах і груповими ідеалами. Доведено, що на кожній зліченій групі існує щонайменше а1 власних групових ідеалів, а на кожній нескінченній абелевій групі G таких ідеалів рівно 22|G|. Доведено теореми про доповнення і ущільнення в решітці групових ідеалів.

- Знайдено ефективний критерій максимальності болеана. Доведено аналог теореми Малихіна для максимальних групових болеанів. В CH побудовано максимальний груповий болеан на зліченній булевій групі.

- Встановлено зв'язок між детекторами гіперграфів і їх числами покриття, що дало змогу обчислити детектори і асимптотичні детектори низки гіперграфів.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані в подальших дослідженнях з асимптології, а також бути включені до відповідних спецкурсів.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що виносяться на захист одержано автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на:

міжнародній конференції “Geometric Topology: Infinite Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications”(Львів, травень 2004р.);

ІІ-ій літній школі з алгебри і топології (Львів - Долина, липень 2004р.);

ІІІ-ій літній школі з алгебри, аналізу і топології (Львів - Козьова, липень 2005р.);

V міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Одеса, липень 2005р.);

міжнародній конференції “Математичний аналіз і суміжні питання” (Львів, листопад 2005р.);

міжнародній конференції “Several Aspects in Biology, Chamistry, Computer Science, Mathematics and Physics” (Орадеа, Румунія, листопад 2005р.);

ІV-ій літній школі “Алгебра, Топологія, Функціональний та Стохастичний Аналіз” (Львів - Козьова, липень 2006р.);

засіданні алгебраїчного семінару Київського національного університету імені Тараса Шевченка;

розширеному засіданні кафедри дослідження операцій.

Публікації. Всі результати дисертації викладено в 6 статтях, опублікованих в журналах, що входять до переліку наукових фахових видань ВАК України, та у 8 тезах доповідей на наукових конференціях. Список публікацій наведено в кінці автореферату.

Спільна стаття [4] - це огляд, до якого включено основні результати дисертації, в [5] та [6] співавтору належать постановки задач, формулювання гіпотез та їх коригування в процесі досліджень.

Об'єм та структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновку і списку використаних джерел з 55 найменувань. Повний обсяг дисертації - 132 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Перший розділ “Болеани як асимптотична альтернатива рівномірних просторів” розбито на дев'ять підрозділів: кульові структури (рівномірні простори і болеани), морфізми, метризовність та апроксимації, стільниковість і псевдодискретність, графові болеани, нормальність, корони болеанів, комбінаторні розміри, кардинальні інваріанти. В цьому розділі наведено необхідні означення і зроблено детальний огляд відомих результатів, з якими в тій чи іншій мірі пов'язана дисертаційна робота. Ми зупинимось лише на четвертому розділі, що містить виключно власні результати.

Нехай Я=(X,P,B) - довільний болеан, x, y є X, б є P. Кажуть, що елементи x, y зв'язані б-шляхом, якщо існує скінченна послідовність x0, x1, …,xn в X, така що x0= x, xn=y і xi+1є B(xi, б) для всіх I є {0, …, n-1}. Для довільних x є X, б є P покладемо

B? (x, б)={yє X: x,y зв'язані б-шляхом}.

Болеан Я? називають стільниковою оболонкою болеана Я. Болеан Я називають стільниковим, якщо Я=Я?. Очевидним прикладом стільникового болеану є болеан будь-якого неархімедового метричного простору. Одержано дві характеризації стільникових болеанів.

Теорема 1.4.1. Для довільного болеана Я=(X,P,B) такі умови рівносильні:

(і) Я стільниковий;

(іі) для довільної рівномірно обмеженої в Я сім'ї F підмножин X і будь-якого б є P сім'я F ? (б)={B?(F, б): Fє F } рівномірно обмежена в Я;

(ііі) Я є індуктивною границею деякої сім'ї {Ял: л є Л} болеанів розбиттів.

Теорема 1.4.2. Болеан Я стільниковий тоді і тільки тоді коли його асимптотична розмірність asdim Я дорівнює нулю.

Нехай Я1=(X1,P1,B1), Я2=(X2,P2,B2) - болеани. Бієкція f : X1> X2 називається асиморфізмом між Я1 і Я2, якщо f і f-1 є prec-відображеннями. Якщо X1=X2 і тотожнє відображення id:X1> X2 є асиморфізмом, ми вважаємо, що Я1=Я2.

Пару prec-відображень f : X1> X2, g : X2> X1 називають квазі-асиморфізмом між Я1 і Я2, якщо існують б є P1, вє P2, такі що для всіх x є X1, y є X2

f2 f1 (x) є B1 (x,б), f1f2 (y)=B2 (y,в).

Нехай K - клас болеанів по відношенню до асиморфізмів. Болеан Я є K називають універсальним в K, якщо кожен болеан з K асиморфно вкладається в Я.

Нехай {Zn: nє щ} - сім'я непорожніх множин. Для кожного n є щ відмітимо деякий елемент en є Zn і розглянемо прямий добуток Z=n є щ (Zn, en). Кожен елемент z є Z - це послідовність (zn) n є щ, така що zn є Zn, n є щ і zn=en для всіх n за винятком скінченого їх числа. Для кожного n є щ покладемо zn=prn z і визначимо метрику с на Z. Покладемо с(z,z)=0 для всіх z є Z, якщо z, z' - різні елементи Z, то с(z, z')=m+1, де m - найменше число з щ, для якого prnz=prnz' для всіх n>m.

Теорема 1.4.3. Нехай {(Zn,en): nє щ} - сім'я зліченних множин з відміченими елементами, Z=nє щ(Zn,en). Болеан метричного простору (Z,с) універсальний в класі зліченних метризовних стільникових болеанів.

За допомогою цієї теореми доведено (теорема 1.4.5), що болеан кожного сепарабельного неархімедового метричного простору квазі-асиморфно вкладається в болеан гільбертового простору l2.

Болеан Я=(X,P,B) називають дискретним, якщо B(x,б)={x} для всіх x є X, б є P. Болеан Я називають псевдодискретним, якщо для кожного бє P існує обмежена підмножина VX, така що B(x,б)={x} для всіх x є X \ V. Кожен псевдодискретний болеан стільниковий.

Нехай X - довільна множина, ц- фільтр на X. Для довільних x є X, Fє ц покладемо

X \ F, if x not in F;

Bц(x,F)=

{x}, if x є F.

Позначимо через Я (X,ц) болеан Я=(X,ц, Bц) і назвемо Я(X,ц) болеаном фільтра ц .

Теорема 1.4.6. Болеан Я=(X,P,B) псевдодискретний тоді і тільки тоді, коли Я обмежений або Я=Я(X,ц) для деякого фільтра ц на X.

Спираючись на цю теорему проведено класифікацію псевдодискретних болеанів з точністю до асиморфізмів (теорема 1.4.7), а також охарактеризовано болеани, що квазі-асиморфно вкладаються в псевдодискретні (теорема 1.4.8). Дано також характеризацію псевдодискретних болеанів за допомогою повільно осцилюючих функцій (теорема 1.4.9) і описано (теорема 1.4.10) болеани, що є одночаснопсевдодискретними і псевдообмеженими (виявилось, що такі болеани існують тоді і тільки тоді, коли існують вимірні кардинали).

В другому розділі “Болеани класичних G-просторів”, що складається з трьох підрозділів, вивчаються болеани G-просторів, в основному універсальних і фінітарних.

Нехай X - G-простір, F e - сім'я всіх скінчених підмножин групи G, що містять одиницю e. Для всіх x є G, Fє F e позначимо

B(x,F) = {g(x): gє F}

і назвемо кульову структуру (X, F e, B) болеаном G-простору X. G-простір X називають універсальним, якщо G-група всіх підстановок множини X, і фінітарним, якщо G - група всіх підстановок X зі скінченними носіями. В теоремах 2.1.1 і 2.1.2 описано підмножини болеанів фінітарних і універсальних G - просторів за їх розмірами: великі, малі, надвеликі, кусково великі, товсті. В другому підрозділі доведено також дві теореми про розбиття G - просторів.

За означенням, підмножина Y G-простору X велика, якщо знайдеться скінчена підмножина FG, така що X=F(Y).

Теорема 2.1.3. Нехай X - G-простір, H - нескінченна скінченно породжена підгрупа групи G. Якщо підмножина H(x)={h(x): h є H} нескінченна для будь-якого елемента xє X, то X можна розбити на зліченне число великих підмножин.

За означенням, підмножина S групи G мала зліва в сенсі Проданова (скорочено, P- мала зліва), якщо існує ін'єктивна послідовність (an) nє щ елементів групи G, така що сім'я підмножин {anS: n є щ} диз'юнктна. Аналогічно визначаються P-малі справа підмножини. Якщо S - P-мала і зліва і справа, кажуть, що S - P-мала. Наступна теорема дає позитивну відповідь на запитання 2в з 7.

Теорема 2.1.5. Кожну нескінчену групу можна розбити на злічене число P-малих підмножин.

В підрозділі 2.2 дано критерії метризовності, графовості і стільниковості болеанів G-просторів, а в підрозділі 2.3 описано корони деяких G-просторів. Результати цих підрозділів свідчать, що болеани фінітарного і універсального G-просторів істотно відрізняються від болеанів регулярних G-просторів (G-простір X регулярний, якщо X = G і g(x)=gx для всіх g є G, x є X).

Третій розділ “Болеани на групах” складається з пяти підрозділів і є серцевиною дисертації. Нехай G - група з одиницею e. Болеан (G,P,B) на групі G ми називаємо

ліво (право) інваріантним, якщо всі відображення x > gx (x>xg), gє G є \prec-відображеннями;

рівномірно ліво (право) інваріантними, якщо для кожного б є P знайдеться в є P, таке що gB(x,б) B(gx, в) (відповідно, B(x,б)g B(xg,б ) для всіх x,g є G;

груповим, якщо (G,P,B) рівномірно ліво і рівномірно право інваріантний.

В підрозділі 3.1 встановлено зв'язок між рівномірно ліво інваріантними болеанами і груповими ідеалами.

Сім'ю I підмножин множини X називають ідеалом, якщо I містить непорожню множину і для довільних підмножин A, B є I, A' A

A U B є I, A' є I

Ідеал I на групі G назвемо груповим ідеалом, якщо для довільних підмножин A,B є I

AB є I, A-1 є I,

де AB={ab: a є A, bє B}, A-1={a-1: a є A}.

Кожен груповий ідеал I на G визначає рівномірно ліво інваріантний болеан (G, I, B), де B(g,A)=gA, gє G, Aє I. Цей болеан позначається (G, I). Навпаки, кожен рівномірно ліво інваріантний болеан на G співпадає з болеаном (G, I) для деякого групового ідеалу I на G. Таким чином, дослідження рівномірно ліво інваріантних, зокрема групових, болеанів зводиться до вивчення групових ідеалів. За теоремою 3.1.1, болеан (G, I) груповий тоді і тільки тоді, коли U{x-1Ax: xє G} є I для всіх Aє I.

Груповий ідеал I на групі G назвемо власним, якщо болеан (G, I) зв'язний і необмежений (еквівалентно, G є I і I містить всі скінченні підмножини групи G). Для довільної групи G і підмножини AG позначимо через I (A) найменший за включенням груповий ідеал на G, такий що A є I і болеан (G, I) зв'язний. Цей ідеал I (A) назвемо моногенним.

В підрозділах 3.2 і 3.3 викладено конструкції групових ідеалів на зліченних і абелевих групах.

Теорема 3.2.1. Для кожної зліченої групи G існує щонайменше а1 власних моногенних групових ідеалів на G.

Теорема 3.3.1. Нехай G - нескінчена абелева група потужності к. Тоді існує 2к власних моногенних групових ідеалів і 22к власних групових ідеалів на G.

В четвертому підрозділі вивчаються ущільнення і доповнення в решітці групових ідеалів. Наведемо дві теореми з цього підрозділу.

Теорема 3.4.2. Нехай G - нескінченна абелева група, I1, I2 - власні групові ідеали на G. Якщо I1 має зліченну базу і I1 I2, то існує власний груповий ідеал I на G, такий що I1 I I2.

Ідеал I2 на групі G назвемо Л-доповненням до ідеалу I1 якщо I1 ? I2= F (G), I2= F (G), де F (G) - ідеал для всіх скінченних підмножин групи G.

Теорема 3.4.3. Нехай G - абелева група, I - власний груповий ідеал зі зліченою базою на G. Ідеал I має - доповнення тоді і тільки тоді, коли болеан (G, I) задовольняє хоча б одну з двох умов:

(і) для кожного простого числа p підгрупа pG={pg : g є G} необмежена в болеані (G, I);

(іі) існує просте число p, таке що підгрупа Sp={g є G : pg=0} необмежена в (G, I).

В заключному п'ятому підрозділі третього розділу вивчаються зв'язки між груповими ідеалами і ультрафільтрами на групах. Зокрема, доведено (теорема 3.5.1), що для кожної нескінченної абелевої групи G кожного вільного ультрафільтра ц на G існує власний груповий ідеал I на G, такий що ц прямує до нескінченності в болеані (G, I).

В четвертому розділі “Екстремальні болеани”, що складається з чотирьох підрозділів, досліджуються максимальні і нерозкладні болеани. На множині болеанів з фіксованим носієм є природний частковий порядок <. Нехай Я1=(X1,P1,B1), Я2=(X2,P2,B2). За означенням, Я1<Я2, якщо для кожного б є P1 знайдеться вє P2, таке що B1 (x,б) B2 (x,в) для всіх xє X. Необмежений зв'язний болеан на множині X називається максимальним, якщо кожен більш сильний за < болеан на X обмежений. За лемою Цорна, кожен необмежений зв'язний болеан можна посилити до максимального.

В першому підрозділі встановлено критерій максимальності, що використовує конверт-болеани. Для довільної кульової структури Я на множині X конверт-болеан env Я - це найменший болеан на X, для якого Я < env Я. Вказано явну конструкцію конверт-болеану. Кульову структуру з одноелементною множиною радіусів назвемо монокульовою.

Теорема 4.1.1. Необмежений зв'язний болеан Я на X максимальний тоді і тільки тоді, коли для довільної монокульової структури Я' на X або Я'<Я, або конверт-болеан env (Я'UЯ) обмежений.

За допомогою цього критерію вказано конкретні приклади максимальних болеанів.

В другому підрозділі встановлено ряд властивостей підмножин максимальних болеанів. Доведено (теорема 4.2.1 та 4.2.2), що в максимальному болеані кожна необмежена підмножина є великою, кожна мала підмножина обмежена, кожна кусково велика підмножина велика.

Максимальні болеани на групах досліджуються в третьому підрозділі. Доведено такий аналог для групових болеанів теореми Малихіна про максимальні топологічні групи.

Теорема 4.3.1. Нехай G - нескінченна група, I - власний груповий ідеал на G. Якщо болеан (G, I) максимальний, то підмножина {g2 : gє G} обмежена в G.

З цієї теореми випливає, наприклад, що на групі цілих чисел максимальних групових болеанів не існує. Основним результатом цього підрозділу є побудова (приклад 4.3.3) за допомогою контануум-гіпотези групового ідеалу I на зліченній абелевій групі експоненти 2, такого що груповий болеан (G, I) максимальний. Невідомо, чи можна побудувати груповий ідеал з цією властивістю без додаткових до ZFC теоретико-множинних аксіом.

Необмежений зв'язний болеан Я на множині X називають нерозкладним, якщо X не можна розбити на дві великі підмножини. В четвертому підрозділі одержано деякий критерій нерозкладності, встановлено зв'язок між нерозкладністю і псевдодискретністю, а також описано болеани, що є одночасно максимальними і нерозкладними.

Теорема 4.4.3. Нехай Я=(X,P,B) - необмежений власний болеан. Тоді наступні твердження рівносильні:

(і) Я максимальний і нерозкладний;

(іі) існує ультрафільтр ц на X, такий що Я=Я(X,ц);

(ііі) існує лише один ультрафільтр на X, що прямує до нескінченості в Я.

Максимальні і нерозкладні болеани можна розглядати як асимптотичні віддзеркалення максимальних і нерозкладних топологічних просторів. Топологічний простір X без ізольованих точок називають максимальним, якщо X має хоча б одну ізольовану точку в кожній більш сильній топології на X. Топологічний простір X нерозкладний, якщо X не можна розбити на дві щільні підмножини. Кожен максимальний простір нерозкладний. На відповідних прикладах показано, що класи максимальних і нерозкладних болеанів неінцидентні (на відміну від відповідних топологічних просторів).

Останній п'ятий розділ “Детектори і асимптотичні детектори” складається з двох підрозділів. В цьому розділі вводяться і вивчаються два нових кардинальних інваріанти гіперграфів, повязані з розфарбуванням їх вершин.

Нехай X - множина, F - деяка сім'я підмножин. Пару H=(X, F) називають гіперграфом з множиною вершин V і множиною гіперребер F. Ми вважаємо, що U F =X.

Нехай л - кардинал, такий що 0<л<к = |X|. Розфарбування ч:X> к назвемо л-допустимим, якщо | ч (F)| ? л для кожного ребра F є F. Покладемо

ж (H,л)= sup {| ч (X)|: л - допустиме розфарбування X}.

Зрозуміло, що ж (H,л) ? л. Якщо ж (H,л)= л, скажемо, що л є детектором гіперграфа H. В першому підрозділі встановлено тісний зв'язок між детекторами гіперграфа H і його числом покриття, що визначається так

cov H = sup{ г: для кожної підмножини YX потужності г існує F є F, таке що, YF },

а також обчислено детектори низки конкретних гіперграфів.

В другому підрозділі розглядаються гіперграфи, множина вершин яких є носієм деякого болеану, а кожне ребро є необмеженою підмножиною в цьому болеані.

Нехай Я=(X,P,B) - болеан, Y - непорожня множина, f : X> Y. Асимптотичну потужність образу f(X) визначимо як

ascard f(X)= min { f(X \ V):V - обмежена підмножина X}.

Якщо Y=X, а f - тотожне відображення, записуємо ascard X замість ascard f(X).

Нехай множиною вершин гіперграфа H=(X, F) є носієм деякого болеана Я, а сім'я F складається з необмежених підмножин. Зафіксуємо кардинал л < ascard X і назвемо розфарбування ч: X> ascard X асимптотично л - допустимим, якщо ascard ч(F) ? л для кожного ребра F є F.

Покладемо

жas (H,л) = sup{ ascard ч(X): ч - асимптотично

л -допустиме розфарбування X}.

Якщо жas(H, л) = л , то кардинал л називаємо асимптотичним детектором гіперграфа H. Запропоновано конструкцію графу асимптотичних перетинів A(H) гіперграфу H, що дозволяє в деяких випадках визначати асимптотичні детектори. Встановлено зв'язок між асимптотичними детекторами і границями відображень f : X> R.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі одержано такі основні результати:

дано характеризації стільникових і псевдодискретних болеанів, побудовано універсальний болеан в класі зліченних метризовних стільникових болеанів;

досліджено болеани універсальних і фінітарних G-просторів, доведено, що кожну нескінченну групу можна розбити на зліченне число Р-малих підмножин;

встановлено зв'язок між болеанами на групах і груповими ідеалами, доведено, що на кожній зліченній групі є щонайменше а1 власних групових ідеалів, а на кожній нескінченній абелевій групі їх число дорівнює 22|G|, доведено теореми про доповнення і ущільнення в решітці групових ідеалів;

знайдено критерії максимальності і нерозкладності болеанів, в припущенні континуум-гіпотези побудовано максимальний груповий болеан, описано болеани, що є одночасно максимальними і нерозкладними;

введено поняття детекторів і асимптотичних детекторів, для деяких гіперграфів обчислено ці кардинальні інваріанти.

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Протасова О.І. Кульові структури G-просторів // Вісник КУ. Сер.фіз.-мат.н. - 2004. - №3. - С.54 - 69.

2. Protasova O.I. Maximal balleans // General Appl. Topology. - 2006. - Vol.7. - №2. - P.151 - 163.

3. Protasova O.I. Cellular balleans // Mat. Stud. - 2006. - T.25, №1. - C.3 - 9.

4. Protasov I.V., Protasova O.I. Survey of Balleans // Analele Universitatii Oradea Fasc. Matematica. - 2005. - Tom XIII. - P.225 - 260.

5. Protasov I.V., Protasova O.I. Sketch of group balleans // Mat. Stud. - 2004. - Т.22, №1. - С. 10 - 20.

6. Protasov I.V., Protasova O.I. Color-detectors of hypergraphs // Algebra and Discrete Math. - 2005.- №1. - C.91 - 98.

7. Protasov I.V., Protasova O.I. The start for group balleans // International Conference "Geometric Topology: Infinite Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications", Book of Abstracts, Lviv 2004, - P.55-56.

8. Protasova O.I. Maximal balleans // II Summer School in Algebra and Topology, Lviv-Dolyna 2004, - P. 31-32.

9. Protasova O.I. On universal cellular balleans // III Summer School in Algebra, Analisis and Topology, Lviv - Kozyova, 2005, - P. 144 - 146.

10. Protasov I.V., Protasova O.I. On closed ideals of вG //

IV Summer School in Algebra, Topology, Functional and Stochastic Analysis, Lviv - Kozyova, 2006, - P. 161 - 162.

11. Protasova O.I. On small and P-small subsets of a group // International Conference "Analysis and Related Topics", Lviv, 2005, - P. 85

12. Protasova O.I. Combinatorial size in G-spaces // Several Aspects in Biology, Chemistry, Computer Science, Mathematics and Physics, Baile Felix, Romania, 2005, - P.27

14. Protasov I.V., Protasova O.I. Balleans: the asymptotic counterparts of uniform topological spaces // Several Aspects in Biology, Chamistry, Computer Science, Mathematics and Physics, Baile Felix, Romania. - 2005. - P.26 - 27.

15. Protasova O.I. Pseudodiscrete balleans // 5th International Algebraic Conference in Ukraine, Odessa, 2005, - P. 164

болеан простір гіперграф

АНОТАЦІЇ

Протасова О.І. Болеани G-просторів. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.08 - математична логіка, теорія алгоритмів і дискретна математика. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Болеан - це множина, наділена деякою сім'єю підмножин, що називаються кулями. Властивості сім'ї куль постулюються так, щоб болеан з відповідними морфізмами був природнім асимптотичним аналогом рівномірного топологічного простору. Охарактеризовано стільникові і псевдодискретні болеани, вивчено болеани фінітарних і універсальних G-просторів, встановлено зв'язок між болеанами на групах і груповими ідеалами, запропоновано конструкції групових ідеалів, в CH побудовано максимальний груповий болеан, описано болеани, що є одночасно максимальними і нерозкладними, обчислено детектори і асимптотичні детектори деяких гіперграфів.

Ключові слова: кульова структура, болеан, асиморфізм, стільниковість, псевдодискретність, болеан G-простору, фінітарний і універсальний G-простори, групові болеани, конверт-болеан, детектор і асимптотичний детектор.

Протасова О.И. Боллеаны G- пространств. Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.08 - математическая логика, теория алгоритмов и дискретная математика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко.

Боллеан - это множество, снабжённое некоторой системой подмножеств, которые называются шарами. Свойства системы шаров постулируются так, чтобы боллеан с соответствующими морфизмами был естественным аналогом равномерных топологических пространств. Охарактеризованы сотовые и псевдодискретные боллеаны, изучены боллеаны финитарных и универсальных G- пространств, установлена взаимосвязь между боллеанами на группах и групповыми идеалами, предложены конструкции групповых идеалов, в CH построен максимальный групповой боллеан, описаны максимальные неразложимые боллеаны, вычислены детекторы и асимптотические детекторы некоторых гиперграфов.

Ключевые слова: шаровая структура, боллеан, асиморфизм, сотовость, псевдодискретность, боллеан G- пространства, финитарное и универсальное G- пространство, групповые боллеаны, конверт-боллеан, детектор и асимптотический детектор.

Protasova O.I. Balleans of G - spaces. Manuscript.

Dissertation for pursuing Ph.D degree in Physics and Mathematics. Kyiv Taras Shevchenko University, Kiyv, 2006.

Ballean is a set endowed with some family of its subsets which are called the balls. We postulate the properties of the family of ball in such a way that a ballean can be considered as a natural counterpart of a uniform topological space. We characterize the cellular and pseudodiscrete balleans, study the balleans of universal and finitary G - spaces, relationships between group balleans and group ideals, give some constructions of group ideals, under CH we construct a maximal group balleans, describe the maximal irresolvable balleans, calculate the detectors and asymptotic detectors of some hypergraphs.

Key words: ball structure, ballean, asymorphism, cellularity, pseudodiscretness, ballean of G - space, finitary and universal G - spaces, group balleans and group ideals, ballean envelope, detector and asymptotic detector.

Размещено на Allbest.ru

...