Размещено на http://www.allbest.ru/

План

1. Приближенные числа и оценка погрешностей при вычислениях

1.1 Основные источники погрешностей

1.2 Значащая цифра. Число верных знаков

1.3 Правила округления чисел

1.4 Вычисление погрешности функции от n аргументов

1.5 Вычисления без точного учета погрешностей

1.6 Обратная задача теории погрешностей

1.7 Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей

1. Приближенные числа и оценка погрешностей при вычислениях

В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А - точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а, заменяющее точное значение величины А. Если а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, - то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа р по недостатку, а 3,15 - по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.

Погрешностью Да приближенного числа а называется разность вида

Да = А - а, (1.1)

где А - соответствующее точное число.

Определение. Абсолютной погрешностью А приближенного числа а называется абсолютная величина погрешности этого числа

Д = |А - а|. (1.2)

В силу того, что точное число А, как правило, неизвестно, то пользуются понятием предельной абсолютной погрешности.

Определение. Предельной абсолютной погрешностью Дa приближенного числа а называется число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа, т. е.

Дa ? Д. (1.3)

Из (1.3) имеем

Дa ? |А - а|,

следовательно,

а - Дa А а + Дa, (1.4)

т. е. а - Дa является приближением числа А по недостатку, а а + Дa - приближением числа А по избытку. Формулу (1.4) кратко записывают в виде

А = а ± Дa.

На практике под точностью измерений обычно понимают предельную абсолютную погрешность. Например, если расстояние между двумя пунктами, равное S = 900 м, получено с точностью до 0,5 м, то точное значение величины S заключено в границах 899,5 м S 900,5 м.

Введение абсолютной или предельной абсолютной погрешностей совершенно недостаточно для характеристики степени точности приближенных чисел. Существенным показателем точности приближенных чисел является их относительная погрешность.

Определение. Относительной погрешностью д приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Д этого числа к модулю соответствующего точного числа А (А 0)

. (1.5)

Определение. Предельной относительной погрешностью приближенного числа а называется число да не меньшее относительной погрешности этого числа, т. е.

да ? д. (1.6)

Из (1.6) имеем

Д |А|да

Следовательно, можно считать, что предельная абсолютная погрешность числа а равна

Да |А|да. (1.7)

Если принять А а, то формула (1.7) примет вид

Да |а|да. (1.8)

Следовательно, точное число А лежит в следующих границах:

а(1 - да) А а(1 + да).

Формула (1.8) позволяет определять предельную абсолютную погрешность по заданной предельной относительной погрешности и наоборот.

1.1 Основные источники погрешностей

Погрешности, встречающиеся в математических задачах, могут быть в основном разбиты на пять групп.

1. Погрешности, вязанные с самой постановкой математической задачи. Математические формулировки редко точно отображают реальные явления: обычно они дают лишь более или менее идеализированные модели. Как правило, при изучении тех или иных явлений природы мы вынуждены принять некоторые, упрощающие задачу, условия, что вызывает ряд погрешностей (погрешности задачи).

Иногда бывает и так, что решить задачу в точной постановке трудно или даже невозможно. Тогда ее заменяют близкой по результатам приближенной задачей. При этом возникает погрешность, которую можно назвать погрешностью метода.

2. Погрешности, связанные с наличием бесконечных процессов в математическом анализе. Функции, фигурирующие в математических формулах, часто задаются в виде бесконечных последовательностей или рядов например,

Более того, многие математические уравнения можно решить, лишь описав бесконечные процессы, пределы которых и являются искомыми решениями. погрешность число математический

Так как бесконечный процесс, вообще говоря, не может быть завершен в конечное число шагов, то мы вынуждены остановиться на некотором члене последовательности, считая его приближением к искомому решению. Понятно, что такой обрыв процесса вызывает погрешность, называемую обычно остаточной погрешностью.

3. Погрешности, связанные с наличием в математических формулах числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближенно. Таковы, например, все физические константы. Условно назовем эту погрешность начальной.

4. Погрешности, связанные с системой счисления. При изображении даже рациональных чисел в десятичной системе или другой позиционной системе справа от запятой может быть бесконечное число цифр (например, может получиться бесконечная десятичная периодическая дробь). При вычислениях, очевидно, можно использовать лишь конечное число этих цифр. Так возникает погрешность округления. Например, полагая , получаем погрешность Д = 4 10-4. Приходится так же округлять и конечные числа, имеющие большое количество знаков.

5. Погрешности, связанные с действиями над приближенными числами (погрешности действий). Понятно, что, производя вычисления с приближенными числами, погрешности исходных данных в какой-то мере мы переносим в результат вычислений. В этом отношении погрешности действий являются неустранимыми.

Само собой разумеется, что при решении конкретной задачи те или иные погрешности иногда отсутствуют, или влияние их ничтожно. Но, вообще говоря, для полного анализа погрешностей следует учитывать все их виды.

1.2 Значащая цифра. Число верных знаков

Всякое число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы слагаемых

а = (m10m + m-110m-1 +… + m-n+110m-n+1 + …), (1.9)

где i - цифры числа a (t = 0, 1, 2, . . ., 9), т, - некоторое целое число, называемое старшим десятичным разрядом числа а. Например, число 476,93 может быть представлено в виде

476,93 = 4 102 + 4 10 +6 100 +9 10-1 + 3 10-2.

При проведении реальных вычислений всякое число, имеющее вид бесконечной суммы слагаемых, заменяется на сумму конечного числа слагаемых, т. е. вместо суммы (1.9) записывают сумму

а = (m10m + m-110m-1 +… + m-n+110m-n+1), m 0.

Определение. Значащей цифрой приближенного числа называются всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его, не причисляются к значащим цифрам.

Например, в числе 0,002080 первые три нуля не являются значащими цифрами, так как они служат только для установления десятичных разрядов других цифр. Остальные два нуля являются значащими цифрами, так как первый из них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй, как это отражено в записи, указывает, что в приближенном числе сохранен десятичный разряд 10-6. В случае, если в данном числе 0,002080 последняя цифра не является значащей, то это число должно быть записано в виде 0,00208. С этой точки зрения числа 0,002080 и 0,00208 не равноценны, так как первое из них содержит четыре значащих цифры, а второе - лишь три значащих цифры.

При написании больших чисел нули справа могут служить как для обозначения значащих цифр, так и для определения разрядов остальных цифр. Поэтому при обычной записи чисел могут возникнуть неясности. Например, рассматривая число 689000, мы не имеем возможности по его виду судить о том, сколько в нем значащих цифр. Хотя можно утверждать, что их не меньше трех. Этой неопределенности можно избежать, выявив десятичный порядок числа и записав его в виде 6,89 105, если оно имеет три значащих цифры или 6,8900 105, если число имеет пять значащих цифр, и т. п. Вообще, такого рода запись удобна для чисел, содержащих большое количество незначащих нулей, например 0,000000120 = 1,20 10-7 и т. п.

Первые п значащих цифр приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность этого числа не больше половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой.

Например, для точного числа А = 14,298 число а = 14,300 является приближенным числом с четырьмя верными знаками, так как

Д = |А - а | = 0,002 < 0, 5 0,01 = 0,005.

Число верных знаков приближенного числа связано с относительной погрешностью этого числа. Эта связь выражается формулой

, (1.10)

где д - относительная погрешность приближенного числа а, п - число верных десятичных знаков числа а, m - первая значащая цифра числа а.

Из формулы (1.10) следует, что в качестве предельной относительной погрешности числа а можно взять величину

. (1.11)

Если число верных знаков n ? 2, то справедлива формула

. (1.12)

Пример. Найти предельную относительную погрешность, если точное число 14,298 заменяется приближенным 14,300. Здесь т = 1, п = 4. По формуле (3.5) имеем: да = 5 10-4.

Пример. Определить число десятичных знаков при относительной погрешности да 0,001.

Очевидно, что т = 2; 0,5 101-n 0,001 и п ? 4.

1.3 Правила округления чисел

Определение. Округлением данного числа а (точного или приближенного) называется замена его числом b с меньшим количеством значащих цифр. Эта замена производится таким образом, чтобы погрешность округления а - b была минимальной.

Для округления числа до n-й значащей цифры отбрасывают все его цифры справа, начиная с п+1-й, или, при необходимости сохранения разрядов, заменяют их нулями. Указанное отбрасывание цифр осуществляется по следующим правилам округления:

1. если п+1-я цифра больше 5, то к п-й цифре прибавляется единица;

2. если п+1-я цифра меньше 5, то все оставшиеся цифры сохраняются без изменения;

3. если п+1-я цифра равна 5 и среди отбрасываемых цифр имеются ненулевые, то к п-й цифре прибавляется единица;

4. если п+1-я цифра равна 5, а все остальные отбрасываемые цифры равны нулю, то п-я сохраняется без изменения, если она четная, и к п-й прибавляется единица, если она нечетная.

Иными словами, если при округлении числа отбрасывается меньше половины единицы последнего сохраняемого десятичного разряда, то цифры всех сохраненных разрядов остаются неизменными; если же отброшенная часть числа составляет больше половины единицы последнего сохраненного десятичного разряда, то цифра этого разряда увеличивается на единицу. В исключительном случае, когда отброшенная часть в точности равна половине единицы последнего сохраненного десятичного разряда, то для компенсации знаков ошибок округления используется правило четной цифры.

Очевидно, что при применении правила округления погрешность округления не превосходит 0,5 единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

Пример. Округлить число 7,18342950 до восьми, семи и шести значащих цифр.

Соответствующие округленные числа равны: 7,1834295 (по правилу 2), 7,183430 (по правилу 4), 7,18343 (по правилу 2).

Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. В тех случаях, когда приближенное число содержит излишнее количество неверных значащих цифр, прибегают к округлению. Обычно руководствуются следующим практическим правилом: при выполнении приближенных вычислений число значащих цифр промежуточных результатов не должно превышать числа верных цифр более чем на одну или две единицы. Окончательный результат может содержать не более чем одну излишнюю значащую цифру, по сравнению с верными.

Приведенное правило позволяет без ущерба точности вычислений избегать написания лишних цифр и значительно экономит время вычислений. Сохранение запасных знаков имеет тот смысл, что обычно оценка погрешностей результатов производится для наихудших вариантов, и фактическая погрешность может оказаться значительно меньше максимальной теоретической. Таким образом, во многих случаях те значащие цифры, которые считаются неверными, на самом деле являются верными.

Приходится также иногда округлять и точные числа, содержащие слишком много или бесконечное количество значащих цифр, сообразуясь с общей точностью вычислений.

1.4 Вычисление погрешности функции от n аргументов

Пусть задана некоторая функция у = f(x1, x2, . . ., хn), от n аргументов xl, x2, . . ., хп и пусть значения каждого из аргументов xi, определены с некоторыми погрешностями |Дxi|, i = 1, 2, ... n. Требуется найти погрешность данной функции.

Для решения этой задачи будем предполагать, что функция у = f(x1; xz, . . ., хn) является дифференцируемой в некоторой области D. Абсолютная погрешность (Дy) функции у при заданных абсолютных погрешностях |Дx1|, |Дx2|, …, |Дxn| аргументов x1; x2, . . ., хn равна

. (1.13)

Предполагая, что величины |Дxi|, i = 1, 2, ... n достаточно малы, можно записать приближенные равенства |Дy| |dy|

.

Следовательно, предельная абсолютная погрешность Дy функции y равна

, (1.14)

где |Дxi| - предельная абсолютная погрешность аргумента xi.

Оценка для относительной погрешности функции получается путем деления обеих частей неравенства (1.13) на |у|

. (1.15)

Из формулы (1.15) получаем выражение для предельной относительной погрешности функции у

. (1.16)

Рассмотрим отдельные частные примеры на вычисление погрешностей основных функциональных соотношений. Будем предполагать, что в каждом примере заданы те или иные погрешности аргументов.

Погрешность суммы. Пусть у = x1 + x2 +. . .+ хn. По формуле (1.14) предельная абсолютная погрешность суммы n слагаемых равна

Дy = |Дx1| + |Дx2| +…+ |Дxn|. (1.17)

Из формулы (1.17) следует, что предельная абсолютная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного (в смысле абсолютной погрешности) из слагаемых, т. е. слагаемого, имеющего максимальную абсолютную погрешность. Следовательно, с какой бы степенью точности ни были определены остальные слагаемые, мы не можем за их счет увеличить точность суммы. Поэтому не имеет смысла сохранять излишние знаки и в более точных слагаемых. Отсюда вытекает следующее, обычно применяемое, практическое правило для сложения приближенных чисел.

Правило. Чтобы сложить числа различной абсолютной точности, следует:

1. выделить числа, десятичная запись которых обрывается ранее других, и оставить их без изменения;

2. остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один запасной десятичный знак;

3. произвести сложение данных чисел, учитывая все сохраненные знаки;

4. полученный результат округлить на один знак.

Пример. Найти сумму приближенных чисел: 0,348; 0,1834; 345,4; 235,2; 11,75; 9,27; 0,0849; 0,0214; 0,000354, каждое из которых имеет все верные значащие цифры.

Выделяем числа наименьшей точности 345,4 и 235,2, абсолютная погрешность которых может достигать 0,1. Округляя остальные числа с точностью до 0,01, получим:

345,4 + 235,2 + 11,75 + 9,27 + 0,35 + 0,18 + 0,08 + 0,02 + 0.00 = 602,25.

Округляя результат до 0,1 по правилу четной цифры, получим приближенное значение суммы 602,2.

Полная погрешность Д результата складывается из трех слагаемых:

· суммы предельных погрешностей исходных данных

Д1 = 10-3 + 10-4 + 10-1 + 10-1 + 10-2+ 10-2 + 10-4 + 10-4 + 10-6 = 0,221301 < 0,222;

· абсолютной величины суммы ошибок (с учетом их знаков) округления слагаемых

Д2 = |-0,002 + 0,0034 + 0,0049 + 0,0014+0,000354| = 0,008054 < 0,009;

· заключительной погрешности округления результат: Д3 = 0,050.

Следовательно, Д = Д1 + Д2 + Д3 < 0,222 + 0,009 + 0,050 = 0,281 < 0,3; и, таким образом, искомая сумма есть 602,2 ± 0,3.

Погрешность разности. Пусть

у = x1 - x2.

По формуле (1.14) предельная абсолютная погрешность разности двух чисел равна

Дy = |Дx1| + |Дx2|.

Отсюда предельная относительная погрешность разности

, (1.18)

где А - точное значение абсолютной величины разности чисел xl и х 2.

Замечание. Если приближенные числа х 1 и х 2 достаточно близки друг к другу и имеют малые абсолютные погрешности, то число А мало. Из формулы (1.18) вытекает, что предельная относительная погрешность в этом случае может быть весьма большой, в то время как относительные погрешности уменьшаемого и вычитаемого остаются малыми, т. е. здесь происходит потеря точности.

Пример. Вычислим разность двух чисел: x1 = 47,132 и x2 = 47,111, каждое из которых имеет пять верных знаков. Вычитая, получим y = 47,132 - 47.111=0,021.

Таким образом, разность y имеет лишь две значащие цифры, из которых последняя сомнительна, так как предельная абсолютная погрешность разности

Дy = 0,0005 + 0,0005 = 0,001.

Предельные относительные погрешности вычитаемого, уменьшаемого и разности:

; ; .

Предельная относительная погрешность разности здесь примерно в 5000 раз больше предельных относительных погрешностей исходных данных.

Исходя из вышесказанного, получаем следующее практическое правило: при приближенных вычислениях следует по возможности избегать вычитания двух почти равных приближенных чисел; если же в силу необходимости приходится вычитать такие числа, то следует уменьшаемое и вычитаемое брать с достаточным числом запасных верных знаков.

Погрешность произведения. Пусть

у = ,

причем xi, (i = 1, 2, ... n) положительны. В соответствии с формулой (1.16) проведем преобразования с целью получения выражения для предельной относительной погрешности произведения n сомножителей

, дy = .

Правило. Чтобы найти произведение нескольких приближенных чисел с различным числом верных значащих цифр, достаточно округлить их так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем число верных цифр в наименее точном из сомножителей; в произведении следует сохранить столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из сомножителей.

Пример. Найти произведение приближенных чисел х 1 = 2,5 и x2 = 72,397, верных в написанных знаках.

Применяя правило, после округления имеем х 1 = 2,5 и x2 = 72,4.

Отсюда х 1х 2 = 2,5Ч72,4 = 181 1,8 102.

Погрешность частного. Пусть

у = .

По формуле (1.16) предельная относительная погрешность частного равна:

дy =.

Погрешность степени. Пусть

у = xn. Тогда ln y = n ln x

и относительная погрешность степени равна:

дy = nдx.

Погрешность корня.

Пусть у = . Следовательно, ln у = ln x

и относительная погрешность корня равна:

дy = дx.

1.5 Вычисления без точного учета погрешностей

В предыдущих параграфах мы указали способы оценки предельной абсолютной погрешности действий. При этом предполагалось, что абсолютные погрешности компонент усиливают друг друга, что практически бывает сравнительно редко.

При массовых вычислениях, когда не учитывают погрешность каждого отдельного результата, рекомендуется пользоваться следующими правилами подсчета цифр.

При сложении и вычитании приближенных чисел младший сохраненный десятичный разряд результата должен являться наибольшим среди десятичных разрядов, выражаемых последними верными значащими цифрами искомых данных.

При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом верных значащих цифр.

При возведении в квадрат или куб приближенного числа в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет основание степени.

При извлечении корней из приближенного числа в результате следует брать столько значащих цифр, сколько верных цифр имеет подкоренное число.

Во всех промежуточных результатах следует сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта "запасная цифра" отбрасывается.

6. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с k верными цифрами исходные данные следует брать с таким числом цифр, которые согласно предыдущим правилам обеспечивают k +1 верную цифру в результате.

Если некоторые данные имеют излишние младшие десятичные разряды (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр, чем другие (при умножении, делении, возведении в степень и др.), то их предварительно нужно округлить, сохраняя одну запасную цифру.

1.6 Обратная задача теории погрешностей

На практике важна также обратная задача: каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины.

Эта задача математически неопределенна, так как заданную предельную погрешность Дy функции y = f(xl, х 2, ..., хп) можно обеспечить, устанавливая по-разному предельные абсолютные погрешности Дxi ее аргументов.

Простейшее решение обратной задачи дается так называемым принципом равных влияний. Согласно этому принципу предполагается, что все частные дифференциалы (i = 1, 2, ..., n) одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности Дy функции y = f(xl, х 2, ..., хп).

Пусть величина предельной абсолютной погрешности Дy задана. Тогда на основании формулы (5.3)

.

Предполагая, что все слагаемые равны между собой, будем иметь

.

Отсюда

(i = 1, 2, ..., n). (1.19)

Пример. Радиус основания цилиндра R 2 м; высота цилиндра H 3 м. С какими абсолютными погрешностями нужно определить R и H, чтобы его объем V можно было вычислить с точностью до 0,1 м 3?

Имеем

V = рR2H

и ДV = 0,1 м 3.

Полагая R = 2 м; Н = 3 м;р = 3,14; приближенно получим:

Отсюда, так как n = 3, то на основании формулы (7.1) будем иметь:

Нередко при решении обратной задачи по принципу равных влияний мы можем столкнуться с таким случаем, когда найденные по формуле (1.19) предельные абсолютные погрешности отдельных независимых переменных окажутся настолько малыми, что добиться соответствующей точности при измерении этих величин практически невозможно. В таких случаях следует отступить от принципа равных влияний и за счет разумного уменьшения погрешностей одной части переменных добиться увеличения погрешностей другой части переменных.

1.7 Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей

В вычислительной практике часто возникает необходимость определить аргумент по значению функции, заданной таблицей. Например, постоянно встречается необходимость определить число по его табличному логарифму или угол по табличному значению какой-либо тригонометрической функции и т. п. Понятно, что погрешность функции вызывает погрешность в определении аргумента.

Пусть имеем таблицу с одним входом для функции у = f(x). Если функция f(х) дифференцируема, то для достаточно малых значений |Дx| имеем:

|Дy| = |f' (х)| |Дx|.

Отсюда

,

или в других обозначениях

.

Пример.

Пусть у = ln х, тогда у' = и .

Если же

y = lg x, то у' = , где М = 0,43429, а .

Отсюда, в частности, получаем дx = 2,30Дy, т. е. предельная относительная погрешность числа в таблице десятичных логарифмов равна примерно 2,5-кратной предельной абсолютной погрешности логарифма этого числа.

Размещено на Allbest.ru

...