Матрицы и определители

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

по линейной алгебре

Преподаватель:

Коржавина Н.В.

Студент:

Губин М.В.

группа: УК-13П

г. Пермь 2013

Тема 1. Матрицы и определители

1.1 Вычислить определитель матрица линейный алгебра

A=

Разложим определитель по четвертому столбцу:

A= = = 7*A24+7*A34

где A12 и А22 - алгебраические дополнения:

A24= (-1)2+4* = 2*4*0 - 7*2*7 - 10*5*6 - 7*4*10 - 6*7*2 - 0*2*5 = -762

A34= (-1)3+4* = (-1)7 *(2*2*0 - 7*8*7 - 4*5*10 - 10*2*7 - 7*4*2 - 8*5*0) = 788

тогдаA= 7*A24+7*A34 = 7(-762+788) = 182

Ответ: A = 182.

1.2 Найти обратную матрицу и сделать проверку

A =

Матрица квадратная, следовательно обратная к ней матрица существует.

Находим определитель исходной матрицы:

A= = -4*1*2 - 3*1*6 - 2*3*0 - 0*2*6 - 1*1*3 - 2*4*3 = - 53

Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:

A11= (-1)1+1* = -11 A12= (-1)1+2* = 12 A13= (-1)1+3* = 3	A21= (-1)2+1* = -14 A22= (-1)2+2* = -4 A23= (-1)2+3* = -1	A31= (-1)3+1* = 6 A32= (-1)3+2* = -21 A33= (-1)3+3* = 8

Таким образом, получаем матрицу:

Полученную матрицу транспонируем

=

Находим обратную матрицу:

A-1 = -

Проверка: А*А-1 = Е:

=

Ответ: A-1= - .

Тема 2. Системы линейных уравнений

Решить систему уравнений тремя способами

Метод обратной матрицы:

В матричной форме система имеет вид AX=B, тогда решением матричного уравнения будет матрица-столбец X, который находится по правилу: X=A-1*B.

A = и B =

Найдем обратную матрицу A-1

Находим определитель матрицы А:

A= = -63

Находим обратную матрицу:

A-1 = -

Тогда

X=A-1*B = - .

Следовательно

x =

y =

z =

Метод Гаусса:

Составим расширенную матрицу, в которую входят коэффициенты при переменных и свободные члены:

A =

Чтобы исключить переменную x из второго уравнения умножим первую строку на (-4) и сложим ее со второй строкой. Чтобы исключить переменную x из третьего уравнения умножим первую строку на (-2) и сложим ее с третьей строкой. В итоге получим:

Чтобы исключить переменную z из третьего уравнения, умножим третью строку на (-2) и сложим ее со второй строкой, получим:

Получим систему уравнений, равносильную исходной системе, в которой первое уравнение содержит три переменных, второе - две, третье - одну переменную:

Отсюда последовательно находим:

y =

z =

x =

Метод Крамера:

Составляем матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

A = и B =

Находим определитель матрицы А:

A= = -63

Находим определители 1, 2, 3, которые получаются из исходного определителя заменой соответственно первого, второго и третьего столбца столбцом свободных членов В.

1= = -126

1= = 189

1= = -252

Решение системы уравнений находим по следующим формулам:

x = =

y = =

z = =

Ответ: x = , y = z =4.

Тема 3. Уравнение плоскости

Даны точки М1 (2; -1; 3) и М2 (-2; 1; 3).

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору =

Найдем координаты вектора = :

= {x2-x1; y2-y1; z2-z1} = {-4; 2; -2}

Уравнение плоскости, проходящей через точку М1(x0; y0; z0) и перпендикулярно вектору =(A; B; C):

A*(x-x0)+ B*(y-y0)+ C*(z-z0) = 0 -4* (x-2) + 2*(y + 1) - 2*(z - 5) = 0

Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: 2*x - y + z - 10 = 0

2. Найти отрезки, отсекаемые данной плоскостью на осях координат

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:

Приведем уравнение плоскости 2*x - y + z - 10 = 0 к виду в отрезках, поделив на 10: a = 5; b = -10; c = 10

3. Начертить плоскость

Отменить на координатных осях отрезки, отсекаемые плоскостью и построим плоскость:

Тема 4. Пределы функций

1. Вычислить предел = = = .

Ответ: lim =

2. Вычислить предел

= = {так как }=

Ответ: lim =

3. Вычислить предел

= = {так как } = = {так как } =

Ответ: lim =

Тема 5. Исследовать функцию и построить график

y = x2 +

1. Область определения функции

Функция y = x2 + определена на всем множестве x = .

2. Исследуем функцию на четность

f(-x) = (-x)2 += = x2 + f(x)функция является четной, график функции симметричен относительно оси Оу

3. Вертикальные асимптоты

= ? следовательно х=0 - вертикальная асимптота.

4. Горизонтальные и наклонные асимптоты

= - следовательно горизонтальные асимптоты отсутствуют

= ? - следовательно наклонные асимптоты отсутствуют

5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции

Вычислим первую производную функции y':

y' = ()' = 2*x -

Найдем значения х, при которых первая производная обращается в нуль:

2*x - = 0 x = ± и x?0.

На промежутке (-?; (0;1] первая производнаяy' < 0, следовательно, функция у на этом промежутке убывает.

На промежутке [первая производнаяy' > 0, следовательно, функция у на этом промежутке возрастает.

Так как первая производная y' в точках х =1 и х= - 1 меняет значение с отрицательного на положительное, то в этой точке функция у имеет минимум:

у(-1) = 2

у(1) = 2

Точка минимума функции у (-1; 2) и (1;2).

6. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба функции

Вычислим вторую производную функции y':

y'' = ()'' = =0.

Таким образом, вторая производная функции у положительная при всех значения х, следовательно, знак не меняет точек перегиба нет;

Так как y'' >0, следовательно первая производная функции у монотонно возрастает, а значит функция у имеет выпуклость вниз.

7. Найдем точки пересечения функции ус осями координат

Точки пересечения с осью х:

y = = 0.

Корней нет, следовательно, точки пересечения с осью х отсутствуют

Точки пересечения с осью у также отсутствуют, так как x?0.

8. Построим график

Тема 6. Неопределенный интеграл

1. Вычислить

2. Вычислить

Используем интегрирование по частям:

u = x, du=dx

dv = , v=2*

=

3. Вычислить

= -

4. Вычислить

= + C=

= + C

Тема 7. Определенный интеграл

1. Вычислить

Используем интегрирование по частям:

u = lnx, du=

dv = , v=

2. Вычислить

Пусть x = 11sint, тогда dx = 11costdt

При х=0, t=0

При х=11, t=р/2.

= = 121 = {так как } = 121 =

3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

,

Найдем точки пересечения графиков, решив систему уравнений:

,

Ответ: S =

Тема 8. Несобственный интеграл

1. Вычислить

= = =

Ответ:

2. Вычислить

= =

Ответ:

Тема 9. Ряды

9.1 Исследовать ряд на сходимость

Воспользуемся признаком Даламбера:

Un =

Un+1 =

ряд сходится

9.2 Исследовать рядна сходимость

следовательно -2<x-3<2, таким образом ряд сходится при x (1;5).

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка:

Если х=1, то получаем ряд -1+1-1+1…. - конечный предел частичных сумм не вычисляется, следовательно ряд расходится.

Если х=5, то получаем ряд 1+1+1+1…. - конечный предел частичных сумм не вычисляется, следовательно ряд расходится.

Ответ: ряд сходится при x (1;5).

Тема 10. Функции нескольких переменных

10.1 Исследовать функцию z =на экстремум

Найдем частные производные первого порядка:

Решим систему уравнений и найдем критические точки:

Найдем частные производные второго порядка:

экстремума нет

Тема 11. Решение дифференциальных уравнений

11.1 Найти общее и частное решение дифференциального уравнения

Сделаем замену

p(x)

q(x)

- общее решение

Так как y(e) = 0y(e) = =0 c= -1 и тогда:

- частное решение

11.2 Найти общее решение дифференциального уравнения

Общее решение данного дифференциального уравнения можно представить в виде:

Y = yодн+yч

где yодн- общее решение однородного уравнения

yч- частное решение неоднородного уравнения

Найдем общее решение однородного уравнения=0

Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид:

D = -36 и находим, что k1 = 1+3i, k2 =1-3i.

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

yодн=

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

yч=

тогда

Подставим эти выражения в неоднородное уравнение:

получим систему для вычисления коэффициентов А. B и С :

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

yч=

и тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Y = +

Размещено на Allbest.ru

...