Несобственные интегралы и их приложения
Определение несобственного интеграла по неограниченному промежутку. Формула Ньютона-Лейбница для интегралов первого рода. Признаки сравнения Абеляра и Дирихле для функций. Особенность на левом конце промежутка интегрирования. Простейшие теоремы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.10.2014 |
| Размер файла | 475,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Курсовая работа
по дисциплине: "Математический анализ"
на тему: "Несобственные интегралы и их приложения"
План
Введение
1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода)
1.1 Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку
1.2 Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов
1.3 Признаки сравнения Абеляра и Дирихле для неотрицательных функций
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
2.1 Особенность на левом конце промежутка интегрирования
2.2 Признаки сравнения для неотрицательных функций
2.3 Свойства и преобразования несобственных интегралов
2.4 Простейшие теоремы о несобственных интегралах
Заключение
Список литературы
Введение
В математическом анализе существует несколько видов интегралов. Это определенные, неопределенные, собственные, несобственные и другие.
Термин интеграл (от лат. целый) был предложен учеником и сподвижником Лейбница Иоганном Бернулли.
В этой курсовой работе рассмотрен один из видов интегралов имеющий большое значение в математическом анализе - несобственные интегралы.
Несобственные интегралы, обобщение классического понятия интеграла на случай неограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежутке интегрирования. Определённый интеграл как предел интегральных сумм Римана может существовать (иметь определённое конечное значение) лишь для ограниченных функций, заданных на конечном интервале. Поэтому, если интервал интегрирования или подынтегральная функция не ограничены, для определения интеграла требуется ещё один предельный переход: получающиеся при этом интегралы называются несобственными интегралами.
Если функция f (x) интегрируема на любом конечном отрезке [a, N] и если существует то его называют неопределенной функции f (x) на интервале [а, ?] и обозначают
В этом случае говорят, что несобственый интеграл сходится. Когда этот предел, а значит и несобственный интеграл, не существует, то иногда говорят, что несобственный интеграл расходится. Например, сходится при г > 1 и расходится при г ? 1. Аналогично определяют несобственный интеграл на интервалах [-?, b] и [-?, ?].
Если функция f (x), заданная на отрезке [a, b], не ограничена в окрестности точки a, но интегрируема на любом отрезке [а + е, b], 0 < е < b - a и если существует то его называют несобственный интеграл функции f (x) на [а, b] и записывают обычным образом
Аналогично поступают, если f (x) не ограничена в окрестности точки b.
Если существует несобственный интеграл или то говорят, что несобственный интеграл или абсолютно сходится: если же последние интегралы сходятся (но первые расходятся), то несобственный интеграл или называются условно сходящимися.
Задачи, приводящие к несобственным интегралам, рассматривались в геометрической форме Э. Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные определения Н. и. даны О. Коши в 1823. Различие условно и абсолютно сходящихся интеграл установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле (1854). Ряд работ математиков 19 в. посвящен вычислению несобственных интегралов в случаях, когда соответствующая первообразная не выражается через элементарные функции. Основными приемами вычисления несобственных интегралов являются дифференцирование и интегрирование по параметру, разложение в ряды, применение теории вычетов. Значения многих несобственных интегралов приводятся в различных таблицах.
Несобственные интегралы имеют важное значение во многих областях математического анализа и его приложений. В теории специальных функций (цилиндрических функций, ортогональных многочленов и др.) одним из основных способов изучения является изображение функций в виде несобственного интеграла, зависящих от параметра, например:
.
К несобственным интегралам относится и Фурье интеграл, а также интегралы, встречающиеся при др. интегральных преобразованиях. Решения краевых задач математической физики записываются кратными несобственных интегралов с неограниченной подынтегральной функцией. В теории вероятностей важное значение имеет несобственный интеграл:
в теории дифракции света - несобственный интеграл:
В ряде случаев расходящимся несобственный интеграл можно приписать определённое значение. В частности, если интеграл расходится, но существует:
то А называется главным значением несобственного интеграла и обозначают .
Аналогично вводится главное значение несобственного интеграла от неограниченных функций. В работах Н.И. Мусхелишвили и его учеников построена теория интегральных уравнений, содержащих несобственных интегралов, понимаемые в смысле главного значения.
При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a,b]) для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на [a,b]. Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограниченна либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными.
1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода)
1.1 Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку
Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается .
Итак, по определению,
.
Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.
Пример 1:
этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.
Пример 2:
следовательно, интеграл сходится и равен .
Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до b:
и в пределах от до :
.
В последнем случае f(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c.
Пример 3:
.
Интеграл сходится.
Пример 4:
следовательно, интеграл сходится и равен .
Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом: сходится тогда и только тогда, когда для любого c, удовлетворяющего неравенству c > a, сходится интеграл .
Док-во: так как при a < c < b по свойству аддитивности:
,
и от b не зависит, то конечный предел при для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства.
1.2 Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов
В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле. Символом будем обозначать ; символом - соответственно, ; тогда можно записать
, , ,
подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов. Теперь решения примеров выглядят более просто:
- интеграл сходится;
- интеграл расходится.
Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной:
;
при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный. Так, например, вычислим интеграл:
.
Пусть
, ;
если , то ; если то ;
(это уже собственный интеграл) =
.
1.3 Признаки сравнения Абеляра и Дирихле для неотрицательных функций
В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении ( или ), то интеграл сходится, в противном случае - расходится. При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная часто не выражается через элементарные функции). Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их.
Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a,b]и при удовлетворяют неравенствам . Тогда, если сходится интеграл , то сходится интеграл ; если расходится интеграл , то расходится интеграл (эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя).
Доказательство: если , , то функции
,
- монотонно возрастающие функции верхнего предела b (следствие свойств аддитивности и интегрирования неравенств). Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Пусть сходится. G(b) ограничена
,
F(b) ограничена, т.е. сходится. Пусть расходится F(b) неограничена G(b) неограничена, т.е. расходится.
Примеры. Исследовать на сходимость интегралы:
1. . Функция не имеет первообразной, выражающейся через элементарные функции, поэтому исследовать сходимость с помощью предельного перехода невозможно. При имеет место ; интеграл
сходится сходится.
2. . При
;
интеграл расходится расходится расходится.
В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, обычно берётся интеграл типа , часто называемый интегралом Дирихле. Этот интеграл сходится, если p > 1, и расходится, если :
Примеры:
1. . На всём промежутке интегрирования
;
интеграл сходится (p = 7 > 1), поэтому исходный интеграл сходится;
2. . Здесь
, ,
расходится (p = 2/3 < 1), поэтому исходный интеграл расходится;
3. . Здесь сравнить подынтегральную функцию с какой-либо степенью x невозможно, так как числитель - неограниченная функция, поэтому рассуждаем по-другому. При ln x - бесконечно большая низшего порядка по сравнению с любой положительной степенью x, поэтому
ограниченная функция, поэтому
,
интеграл от большей функции сходится, следовательно, исходный интеграл тоже сходится;
4. . На всём промежутке интегрирования
(отбросив бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе, мы увеличили числитель и уменьшили знаменатель); интеграл сходится, поэтому исходный интеграл сходится.
Теперь рассмотрим . Понятно, что бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе не влияют на сходимость интеграла; в то же время, отбросив их, мы уменьшим подынтегральную функцию, а из сходимости интеграла от меньшей функции не следует сходимость интеграла от большей функции. Можно рассуждать так: при достаточно больших x выполняются неравенства
,
и т.д., однако при решении таких задач проще применить другой признак сравнения - предельный.
Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку [a, b]и пусть существует конечный
.
Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Док-во. Так как функции неотрицательны, то K > 0. По определению предела для существует такое значение x0, что при x > x0 выполняется:
.
Дальше рассуждения простые: пусть a1 = min{a, x0}; если сходится , то сходится , тогда, по теореме сравнения, сходится
сходится сходится. Если расходится , то расходится , тогда, по теореме сравнения, расходится
расходится расходится.
Сравнение интеграла со "стандартным" интегралом в предельной форме позволяет сформулировать такое правило: если при неотрицательная функция f(x) - бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с , то сходится; если f(x) не является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то интеграл расходится.
Примеры:
1. . При
эквивалентна функции , поэтому интеграл сходится.
2. . При
эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.
3. . При
эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.
4. .
При
эквивалентна функции , поэтому интеграл расходится.
Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку.
В предыдущем разделе рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости. Естественен вопрос: нельзя ли свести исследование интеграла от произвольной функции f(x) к исследованию интеграла от положительной функции | f(x)|? Можно показать, что если сходится интеграл , то обязательно сходится интеграл (идея доказательства: разобьем отрезок Xb = [a, b]на два множества,
и
,
т.е. к первому множеству отнесены точки, в которых функция неотрицательна, ко второму - в которых функция отрицательна. Тогда
, .
В последней сумме оба слагаемые - монотонно возрастающие с ростом b, ограниченные сверху, следовательно, имеющие конечный предел при . Отсюда следует, что имеет конечный предел и предыдущая сумма). Обратное утверждение неверно, т.е. при сходимости интеграла интеграл может расходиться. Введём важное понятие абсолютной сходимости.
Определение: Если сходится интеграл , то интеграл называется сходящимся абсолютно. Если сходится интеграл , а интеграл расходится, то интеграл называется сходящимся условно.
Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:
1. .
;
интеграл от большей функции сходится, следовательно, сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
2. .
,
первый множитель, , стремится к нулю при , следовательно, ограничен:
,
интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно. Приведённые примеры показывают, что переход от к и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости (притом, абсолютной) исходного интеграла. Если же интеграл от | f(x)| расходится, решение задач значительно усложняется.
Пример: исследовать на сходимость интеграл:
.
1. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям:
.
Для последнего интеграла , т.е. он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится.
2. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится. Так как
,
,
для последнего интеграла, по доказанному выше, существует конечный предел при , для предыдущего - нет, следовательно, расходится. несобственный интеграл неограниченный теорема
Вывод - исходный интеграл сходится условно.
Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака:
Признак сходимости Абеляра для несобственного интеграла:
1. Пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке , причём f(x) интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл сходится (условно или абсолютно);
2. g(x) монотонна и ограничена: .
Тогда интеграл сходится.
Признак сходимости Дирихле для несобственного интеграла:
1. Пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b):
;
2. g(x) монотонно стремится к нулю при : .
Тогда интеграл сходится.
Применим, например, признак Дирихле к
.
f(x) = cos x, g(x) = 1/x,
условия признака выполнены, поэтому интеграл сходится условно.
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
2.1 Особенность на левом конце промежутка интегрирования
Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b]называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.
Пример 1. 1:
- интеграл расходится;
Пример 2. 2:
- интеграл сходится.
Применение формулы Ньютона-Лейбница. Если для функции f(x) на полуинтервале (a, b] существует первообразная F(x), то
,
и сходимость интеграла определяется наличием или отсутствием конечного предела . Будем писать просто
,
имея в виду, что если соответствующий предел конечен, то интеграл сходится, в противном случае-расходится.
1. (интеграл сходится).
2. (интеграл расходится).
В следующих дальше случаях неограниченности функции будем поступать аналогично.
Особенность на правом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале [a, b), интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b]называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.
Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b], имеет бесконечный предел при стремлении аргумента к какой-либо внутренней точке c этого отрезка: , интегрируема по любому отрезку, не содержащему точку c. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется . Интеграл сходится, если оба эти пределы существуют и конечны, в противном случае интеграл расходится.
Несколько особенностей на промежутке интегрирования. Этот случай сводится к предыдущим. Пусть, например, функция имеет бесконечные пределы при стремлении аргумента к внутренним точкам c1, c2, c3 отрезка [a, b](a < c1 < c2 < c3 < b) и правому концу b, и интегрируема по любому отрезку, не содержащему эти точки. Тогда несобственный интеграл определяется как
.
Здесь d1, d2, d3 - произвольные точки, удовлетворяющие неравенствам a < c1 < d1 < c2 < d2 < c3 < d3 < b.
Пример 1:
,
и интеграл расходится, так как все три предела бесконечны. Решение с применением формулы Ньютона-Лейбница:
- расходится, так как первообразная обращается в бесконечность в точке x = -1.
2.2 Признаки сравнения для неотрицательных функций
Как и для несобственных интегралов первого рода, для интегралов второго рода вводится понятие абсолютной сходимости, позволяющее в ряде случаев свести исследование сходимости интегралов от произвольных функций к исследованию сходимости интегралов от неотрицательных функции, и рассматриваются признаки сравнения для таких интегралов. Ввиду того, что принципиальная сторона вопроса изучена на случае интегралов первого рода, кратко перечислим основные факты. Будем предполагать, что подынтегральная функция имеет особенность на левом конце промежутка интегрирования.
Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку и при x > a удовлетворяют неравенствам . Тогда:
если сходится интеграл , то сходится интеграл ; если расходится интеграл , то расходится интеграл .
В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, и в этом случае обычно берётся интеграл от степенной функции типа . Этот интеграл сходится, если p < 1, и расходится, если :
.
Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f(x) и g(x) интегрируемы по любому отрезку и пусть существует конечный
.
Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
Сравнение интеграла со "стандартным" интегралом в предельной форме даёт правило: если при неотрицательная функция f(x) - бесконечно большая порядка роста ниже первого по сравнению с , то сходится; если f(x) имеет порядок роста единица или выше, то интеграл расходится.
Пример 1: . Так как при
,
и интеграл от большей функции сходится, то данный интеграл сходится;
Пример 2: . При
,
p = 1, интеграл расходится;
Пример 4: . При
,
, интеграл расходится;
Пример 5: . При
,
интеграл расходится.
Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (12.1.4), а именно: несобственный интеграл от неограниченной функций называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл , и условно сходящимся, если интеграл сходится, а интеграл расходится (если сходится , то тоже обязательно сходится).
Пример 1: Исследовать на сходимость интеграл:
,
то исходный интеграл сходится абсолютно.
При отсутствии абсолютной сходимости установить условную сходимость можно с помощью признаков Абеля и Дирихле:
Признак Дирихле. Интеграл сходится, если:
1) функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную на (a, b];
2) функция g(x) непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], причём
.
Признак Абеля. Интеграл сходится, если:
1) функция f(x) непрерывна на (a, b]и интеграл сходится;
2) функция g(x) ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], то есть имеет конечный предел:
.
2.3 Свойства и преобразования несобственных интегралов
Мы будем рассматривать функции, интегрируемые в конечном или бесконечном промежутке.Таким образом,a и b могут означать не только конечные числа, но также и ±?. Простейшие свойства несобственных интегралов, которые мы лишь перечислим, вполне аналогичны свойствам собственных интегралов и получаются из них единообразным приемом. Так как несобственные интегралы суть пределы собственных, то обычно достаточно написать для этих последних равенство или неравенство, выражающее требуемое свойство, и перейти к пределам.
Здесь, прежде всего, также можно ввести понятие об интеграле по ориентированному промежутку и установить:
Свойства не собственных интегралов. 1. Если ѓ(х) интегрируема в промежутке , то она интегрируема в промежутке , причем
= - .
2. Пусть ѓ(x) интегрируема в наибольшем из промежутков , и . Тогда она интегрируема в двух других, и имеет место равенство
= + .
3. Если ѓ(х) интегрируема в и с=const,то и с*ѓ(х) также интегрируема, и
с* .
4. Пусть функции ѓ(х) и g(x) - обе интегрируемы в промежутке ; тогда интегрируема и функция ѓ(х) ± g(x), и
=.
5. Если для двух интегрируемых в функций ѓ(х) и g(x) выполняется неравенство ѓ(х)?g(x), то при a<b:
.
6. Если функция ѓ(х) в промежутке абсолютно интегрируема, то (при a<b)
?.
7. Если функция ѓ(х) интегрируема в , то при любом х из этого промежутка существует интеграл:
Ц(х)=
и представляет собой непрерывную функцию от х.
8. При тех же предположениях, если в точке х =х 0 функция ѓ(х) непрерывна, существует производная для функции Ц'(x0) = ѓ(x0).
Теоремы о среднем значении несобственных интегралов. Первая теорема о среднем значении. Пусть функции ѓ(х) и g(x) обе интегрируемы в промежутке , причем ѓ(х) ограничена m ?ѓ(x)?M, а g(x) не меняет знака; тогда и функция ѓ(х)*g(x) интегрируема и
=м,
где m ?м?М.
Если функция ѓ(х) непрерывна в замкнутом промежутке , то за m, М можно зять наименьшее и наибольшее значение ѓ(х) в , и множитель м оказывается равным одному из значений функции ѓ(х):
= ѓ(с)*,
где с содержится в . Это верно в том случае, если промежуток бесконечен, ибо теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши для этого случая также справедливы.
Вторая теорема о среднем значении. Пусть функция f(х) монотонна и ограничена в промежутке ,а функция g(x) интегрируема в этом промежутке. Тогда и функция f(х)*g(x) также интегрируема, и
=f(а)+f(b) (ab).
Остановимся для определенности на случае, когда а конечно, b=+? и других особых точек для g(x) нет. Существование интеграла вытекает из признака Абеля. Функцию f(х) можно считать убывающей. Ввиду ограниченности ее, существует конечный предел
f(+?)=lim f(х).
f*(х)=f(х)-f(+?)0.
Для конечного промежутка имеем:
=f(а) (а).
Непрерывная в промежутке функция от А имеет конечные границы m,М, так что:
m·f*(а) M·f*(a)
и, в пределе при А+?,
m ·f*(a) M·f*(a).
=µ·f*(а) (mµM). (1)
Полагая в (1):
f*(х)= f(х)-f(+?)
и подставляя только что найденное выражение для µ, и придем к доказываемой формуле.
Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов. Пусть функция u=u(x) и определены и непрерывны вместе со своими первыми производными во всех точках промежутка , исключая точку b (которая может быть равна и +?).Тогда имеет место равенство:
u - ,
Если под двойной подстановкой понимать разность lim u(x)(x)-u(a)(a).
При этом предполагается, что из трех входящих в равенство выражений (два интеграла и двойная подстановка) имеют смысл два: существование третьего отсюда уже вытекает.
В самом деле, взяв a<x0<b, напишем обычную формулу интегрирования по частям для промежутка [а, х 0], где все интегралы - собственные:
= [u(x0)х(x0)-u(a)х]-.
Пусть теперь в этом равенстве х 0 стремится к b. По условию, два из входящих в него выражений имеют конечные пределы при х>х 0 *. Следовательно, имеет конечный предел также третье выражение, и доказываемое равенство оправдывается с помощью предельного перехода.
Примеры:
1. = x ln sinx - = -
- интегрирование по частям здесь удалось свести несобственный интеграл к собственному и тем доказать существование несобственного интеграла.
2. = - = - - (а<0).
Так как и двойная подстановка и интеграл справа имеют смысл, то этим снова доказано существование интеграла слева.
Замена переменных в несобственных интегралов. Пусть функция ѓ(х) определена и непрерывна в конечном или бесконечном промежутке [а,b? и, следовательно, интегрируема в собственном смысле в каждой его части точки b, которая может быть +?; это точка, по предложению, является единственной особой точкой для функции ѓ(х).
Рассмотрим теперь монотонно возрастающую функцию х=ц(t), непрерывную вместе со своей производной ц'(t) в промежутке [б,в?, где в может быть +?, и допустим, что ц(б) =б и ц(в)=b. Последнее равенство надлежит понимать в том смысле, что ц(t)=b.
При этих условиях имеет место равенство:
ц'(t) dt,
в предположении, что существует один из этих интегралов. Второй интеграл будет либо собственным, либо несобственным - с единственной особой точкой в.
Пример: Вычислим интеграл разобьем его на два:. Во втором из них сделаем подстановку:
(a=1, b=?, б=1, в=0) b
придем к результату
откуда следует, что предложенный интеграл равен 0.
Применение основной формулы интегрального исчисления. В приведенных примерах интеграл по конечному промежутку вычислялся с помощью первообразной функции, затем осуществлялся переход к пределу.
Пусть, например функция f(х) определена в промежутке [а, +?) и интегрируема в каждой конечной его части [а,А]. Если для f(х) при этом существует первообразная функция F(x) во всем промежутке [а, +?), то основной формуле интегрального исчисления
Отсюда ясно, что несобственный интеграл
существует в том и только в том случае, если существует конечный предел
если под F(-?) разуметь предел F(A?).Самая возможность вычисления двойной подстановки, связанная с существованием и конечностью фигурирующего в ней предела, свидетельствует уже о сходимости интеграла.
2.4 Простейшие теоремы о несобственных интегралах
10. Если сходится интеграл , то сходится также интеграл (А>а), и на оборот. При этом
20. В случае сходимости интеграла имеем
.
30. Из сходимости интеграла вытекает и сходимость интеграла (с =const), причем
40.Если сходится оба интеграла и , то сходится интеграл
, и .
Сходимость интеграла в случае положительной функции.
Если функция f(х) положительна, то интеграл
представляет собой монотонно возрастающую функцию от переменной А. Для сходимости несобственного интеграла- в случае положительной функции f(х) - необходимо и достаточно, чтобы интеграл при возрастании А оставался ограниченным сверху:
(L =const).
Если же это условие не выполнено, то интеграл имеет значение .
На этом основана следующая "теорема сравнения" для интегралов от положительных функций:
Теорема 1. Если хотя бы при х=А (А имеет место неравенство f(х) , то из сходимости интегралов следует сходимость интеграла или, что то же, из расходимости следует расходимость .
Теорема 2. Если существует предел
(0),
то из сходимости интеграла , при K< +, вытекает сходимость интеграла , а из расходимости первого интеграла, при К> 0, вытекает расходимость второго. [Таким образом, при 0< K<+ оба интеграла или оба расходятся одновременно]
Сходимость интеграла в общем случае. Вопрос о существовании несобственного интеграла,согласно определению, приводится к вопросу о существовании конечного предела при А для функции от А:
.
Применяя к этой функции признак Больцмана - Коши, можно условие существование несобственного интеграла представить в следующей форме:
Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы каждому числу > 0 отвечало такое число > а, чтобы при А> и > выполнялось неравенство
<.
Если сходится интеграл , то и подавно сходится .
В самом деле, применяя изложенный критерий к интегралу ,который предполагаем сходящимся, видим, что для любого > 0 найдется такое >a что <, лишь только > А> . Но, очевидно,
и, следовательно, для тех же А, тем более выполняется неравенство <, откуда, в силу нашего критерия, вытекает сходимость интеграла .
Отметим, что из сходимости последнего интеграла, вообще говоря, не следует сходимость интеграла . Это обстоятельство дает основание особо отличать следующий случай. Если наряду с интегралом сходится и интеграл, то интеграл называют абсолютно сходящимся, а функцию (х) - абсолютно интегрируемой в промежутке [а, +].
В заключении отметим, что каждый из изложенных методов вычисления несобственных интегралов содержит свой алгоритм. Приближенное значение широко применяются для вычислений на ЭВМ.
Важно подчеркнуть, что все интегралы реально существуют, но они лишь представляют собой совершенно новые функции и не приводятся к тем функциям, которые мы называем элементарными.
Список литературы
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: 1,2,3 том. - М., 1980.
2. Никольский С.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: 1,2 том. - М., 1980.
3. Пискунов Н.С. Курс дифференциального и интегрального исчисления для вузов. - М., Наука, 1981.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Наука, 1984.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Несобственные интегралы первого рода. Понятие абсолютно и условно сходящегося интеграла. Несобственные интегралы второго рода. Определение непрерывности функции и равномерной сходимости. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.
курсовая работа [240,1 K], добавлен 23.03.2011Интегралы, у которых один или оба предела интегрирования бесконечны, и у которых функция не ограничена на отрезке интегрирования. Понятие несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования. Геометрический смысл несобственного интеграла.
презентация [104,1 K], добавлен 18.09.2013Несобственные интегралы первого, второго и третьего рода. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов. Несобственные интегралы, содержащие параметр. Гамма-функция и бета-функция Эйлера. Критерий Коши и эквивалентные условия сходимости.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 20.09.2013Свойства и характеристика интегралов с бесконечными пределами, признаки их сходимости. Расчет несобственных интегралов с бесконечными пределами. Определение несобственного интеграла от разрывной функции с аналитической и геометрической точки зрения.
реферат [144,5 K], добавлен 23.08.2009Понятие и геометрический смысл определенного интеграла, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Объем тела вращения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
курс лекций [514,0 K], добавлен 31.05.2010Расчет неопределенных интегралов по частям и по формуле Ньютона-Лейбница. Вычисление несобственного интеграла или доказательство его расходимости. Расчет площади фигуры, ограниченной кардиоидой. Расстановка пределов двумя альтернативными способами.
контрольная работа [251,2 K], добавлен 28.03.2014Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных по кривой АВ. Определение понятия криволинейного интеграла второго рода. Представление суммы интегралов двух функций вдоль кривой АВ как криволинейного интеграла общего вида.
презентация [69,4 K], добавлен 17.09.2013Постановка задачи вычисления значения определённых интегралов от заданных функций. Классификация методов численного интегрирования и изучение некоторых из них: методы Ньютона-Котеса (формула трапеций, формула Симпсона), квадратурные формулы Гаусса.
реферат [99,0 K], добавлен 05.09.2010Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011Понятие двойного и тройного интеграла. Кратные интегралы в криволинейных координатах. Геометрические и физические приложения кратных интегралов. Криволинейные и поверхностные интегралы: понятия и способы вычисления. Геометрические и физические приложения.
дипломная работа [237,7 K], добавлен 27.02.2009Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.
курсовая работа [232,5 K], добавлен 21.10.2011Понятие интеграла Римана, анализ его определений. Интеграл как предела интегральных сумм Римана, единственное число, разделяющее верхние и нижние суммы Дарбу. Интеграл от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона-Лейбница).
курсовая работа [2,2 M], добавлен 30.10.2015Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический и механический смысл определенного интеграла.
реферат [576,4 K], добавлен 30.10.2010Сущность и методы определения первообразной в математическом анализе. Особенности вычисления первообразной как нахождение неопределённого интеграла. Анализ техники интегрирования. Формула Ньютона–Лейбница. Основные положения дифференциальной теории Галуа.
контрольная работа [71,8 K], добавлен 05.11.2011Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, его компоненты, свойства. Вычисление определённого интеграла; формула Ньютона-Лейбница. Геометрические приложения: площадь, длина дуги, объем тела вращения.
презентация [308,0 K], добавлен 30.05.2013Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных f(x, y) по плоской кривой АВ. Ознакомление с понятием криволинейного интеграла первого рода. Представление формулы расчета криволинейного интеграла по пространственной кривой.
презентация [306,9 K], добавлен 17.09.2013Непосредственное (элементарное) интегрирование, вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов. Метод замены переменной (метод подстановки). Интегрирование по частям, определение точности интегралов.
презентация [117,8 K], добавлен 18.09.2013Определение двойного интеграла, его геометрический смысл, свойства, область интегрирования. Условия существования двойного интеграла, его сведения к повторному; формула преобразования при замене переменных, геометрические и физические приложения.
презентация [1,5 M], добавлен 18.03.2014Рассмотрение основных способов решения задач на вычисление неопределенных и определенных интегралов по формулам Ньютона-Лейбница и Симпсона. Ознакомление с примерами нахождения области, ограниченной линиями, и объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [194,2 K], добавлен 28.03.2014
