Определение матрицы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Челябинский государственный университет

Институт экономики отраслей, бизнеса и администрирования

Кафедра экономики отраслей и рынка

Контрольная работа

по экономической математике

Челябинск 2014

Определение матрицы

Пусть m и n два произвольных натуральных числа. Матрицей размера m на n (записывается так ) называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i, j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

Определение квадратной матрицы

Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение единичной матрицы

Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной.

= E,

Определение треугольной матрицы

Квадратная матрица все элементы которой расположенные над главной диагональю или под ней равны нулю, называется треугольной.

где является верхней треугольной матрицей, а матрица

где является нижней треугольной матрицей.

Операции над матрицами

Ш Умножение матрицы на число

Умножение матрицы на число (обозначение: ) заключается в построении матрицы , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы на это число, то есть каждый элемент матрицы равен

Свойства умножения матриц на число:

1. 1A = A;

2. (лв)A = л(вA)

3. (л+в)A = лA + вA

4. л(A+B) = лA + лB

Ш Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Сложение матриц есть операция нахождения матрицы , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц и , то есть каждый элемент матрицы равен

Свойства сложения матриц:

1. коммутативность: A+B = B+A;

2. ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);

3. сложение с нулевой матрицей: A + И = A;

4. существование противоположной матрицы: A + (-A) = И;

Ш Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: , реже со знаком умножения ) -- есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность , -- , то размерность их произведения есть .

Определение обратной матрицы

Обратная матрица -- такая матрица A^?1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Определение определителя

Определитель -- одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Д(A).

Свойства определителя

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

.

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

, ,

, ,

, .

Методы вычисления определителя третьего порядка.

Для вычисления определителей третьего порядка существует следующие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Определение предела функции

Предел функции -- одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел L в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к L.

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Предел функции обозначается как

или через символ предела функции:

Свойства предела функции

Ш Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Ш Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

Ш Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

Ш Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

Ш Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Определение бесконечно малой величины

Бесконечно малая (величина) -- числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел -- бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .

Определение бесконечно большой величины

Бесконечно большая (величина) -- числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Раскрытие неопределенностей предела функции

Далеко не всякая подстановка предельного значения в функцию вместе с независимой переменной может сразу привести к нахождению предела. Случаи, в которых подстановка предельного значения в функцию не дает значения предела называют неопределенностями. Неопределенности бывают следующих видов:

по к-рым нельзя судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют. Основным инструментом для раскрытия неопределенностей служит Тейлора формула, с помощью к-рой выделяется главная часть функции. Так, в случае неопределенности типа 0/0, для того чтобы найти предел

Где

функции fи g представляют по формуле Тейлора в окрестности точки х ₀ (если это возможно) до первого не равного нулю члена:

в результате получается, что

В случае неопределенности типа для нахождения предела

Где

применяют преобразование

сводящее задачу к раскрытию неопределенности типа 0/0.

Неопределенности типа и также целесообразно приводить к виду 0/0 следующими преобразованиями:

соответственно.

Для раскрытия неопределенностей типа целесообразно первоначально прологарифмировать выражения, предел к-рых требуется найти.

Определение производной

Производная (функции в точке) -- основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс -- нахождение первообразной -- интегрирование.

Определение дифференциала

Дифференциалом функции (обозначается через ) называется следующее выражение:

где dx -- дифференциал x при условии, что функция имеет производную.

Предположим, что существует следующее равенство функций:

тогда дифференциал от равенства есть

Правила дифференцирования

При дифференцировании константу можно выносить за производную:

Правило дифференцирования суммы функций:

дифференцирование матрица умножение величина

Правило дифференцирования разности функций:

Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):

Правило дифференцирования частного функций:

Правило дифференцирования функции в степени другой функции:

Правило дифференцирования сложной функции:

Правило логарифма при дифференцировании функции:

Таблица производных некоторых основных элементарных функций

Определение первообразной функции

Первообразной или примитивной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ? = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Определение неопределенного интеграла

Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x)dx, т.е. или Функцию называют первообразной функции Первообразная функции определяется с точностью до постоянной величины.

Таблица интегралов

Определение определенного интеграла

Пусть определена на . Разобьём на части с несколькими произвольными точками . Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произвольную точку , ,

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , то есть

Формула Ньютона-Лейбница

Если непрерывна на отрезке и Ф-- её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Вычислить произведение матриц

С11 = а11* b11 + a12 * b21 = 3*0 + (-1)*2 = -2

C12 = a11 * b12 + a12 * b 22 = 3*5 + (-1)*4 = 11

C21 = a21 * b11 + a22 * b21 = 6*0 + (-4)*2 = -8

C22 = a21 * b12 + a22 * b22 = 6*5 + (-4)*4 = 1

2) Найти матрицу обратную данной

1.Обратную матрицу найдем по формуле

,

где - транспортированная матрица

Обратная матрица существует.

3. Находим матрицу миноров

Таким образом, матрица найдена правильно.

3) Найти матрицу С=В^t+А, если А=, В=

4) Вычислить определитель

1*0*2 + 1*1*4 + 2*1*3 - 3*0*4 - 1*1*1 - 2*1*2= 5

5) Найти предел функции

Найти предел функции

В данном примере приведен пример нахождения предела с неоднородностью вида

1. Находим в числителе х в старшей степени

,, старшая степень в числителе = 4

2. Находим в знаменателе х в старшей степени,

, старшая степень в знаменателе = 4

3. Чтобы найти неопределенность числитель и знаменатель делим на х старшей степени на х⁴

6) Найти производную функции

7) Найти дифференциал функции

8) Вычислить интеграл

? (x І + 5)\ (x І- 1) dx

(x І + 5)\ (x І- 1) = 1 + 6 (x І - 1)^-1

? 1 + 6 ( x І - 1)^-1 dx

Интеграл суммы есть сумма интегралов:

? 1dx + ? 6 ( x І - 1)^-1 dx

Проинтегрировали константу:

x + ? 6 ( x І - 1)^-1 dx

Вынесли константу из-под знака интеграла:

x + 6 ?( x І - 1)^-1 dx

Разбиваем на сумму элементарных дробей:

x + 6 ? Ѕ ( x - 1)^-1 - Ѕ ( x + 1 )^-1 dx

Интеграл суммы есть сумма интегралов:

x + 6 ? Ѕ ( x - 1)^-1 dx + 6 ? - Ѕ ( x + 1 )^-1 dx

Вынесли константу из-под знака интеграла:

x + 3 ? ( x - 1)^-1 dx + 6 ? - Ѕ ( x + 1 )^-1 dx

Делаем замену переменных:

И = x - 1

Получим:

x + 3 ? и ^-1 dи + 6 ? - Ѕ ( x + 1 )^-1 dx

Проинтегрировали степенную функцию:

x + 3 ln ( и ) + 6 ? - Ѕ ( x + 1 )^-1 dx

Сделали обратную замену:

x + 3 ln ( x - 1) + 6 ? - Ѕ ( x + 1 )^-1 dx

Вынесли константу из-под знака интеграла:

x + 3 ln ( x - 1) - 3 ? ( x + 1 )^-1 dx

Делаем замену переменных:

и = x +1

получим:

x + 3 ln ( x - 1) - 3 ? и ^-1 dи

Проинтегрировали степенную функцию:

x + 3 ln ( x - 1) - 3 In ( и )

Сделаем обратную замену:

x + 3 ln (x - 1 ) - 3 In ( x + 1 )

Ответ: ? (x І + 5)\ (x І- 1) dx = x + 3 ln (x - 1 ) - 3 ln ( x + 1 ) + Const.

Размещено на Allbest.ru

...