Елементарні перетворення матриці
Методи знаходження визначників матриць при розв’язувані системи лінійних рівнянь матричним способом. Обчислення рангу оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень. Використання елементарних перетворень для спрощення обчислення детермінанта.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 17.10.2014 |
| Размер файла | 80,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Міністерство освіти і науки молоді та спорту України
Східноєвропейський національний університет ім. Лесі Українки
Фізичний факультет
Реферат
на тему: "Елементарні перетворення матриці"
Виконавець:
студент 12 гр. Оксентюк С.В.
Науковий керівник:
старший викладач Жуковська Т.Г.
Зміст
- Вступ
- 1. Означення елементарних перетворень матриці
- 2. Елементарні перетворення
- 3. Обчислення оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень
- 4. Елементарні матриці
- Висновки
- Література
Вступ
При знаходженні визначників матриць, при розв'язувані системи лінійних рівнянь матричним способом, при знаходженні оберненої матриці нам часто приходиться стикатися із складностями. Це може бути велика розмірність матриці, чи елементи матриці великі числа, які важко обчислити без допомоги калькулятора. Для спрощення таких матриць до таких що краще і зручніше буде обчислювати використовують елементарні перетворення матриць, які не змінюють значення її визначника, рангу. За допомогою цих перетворень ми отримуємо матрицю еквівалентну даній.
1. Означення елементарних перетворень матриці
Елементарні перетворення матриці - перетворення матриці, в результаті яких зберігається еквівалентність матриць. Таким чином, елементарні перетворення не змінюють множину розв'язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь, яку представляє ця матриця.
Нехай задана матриця А, що складається з m рядків та n стовпців:
елементарними перетвореннями називаються такі перетворення:
До них належать:
1. Транспонування матриці.
2. Множення будь-якого рядка (стовпця) матриці на будь-яке число, відмінне від нуля.
3. Прибавлення до будь-якого рядка (стовпця) будь-якого рядка (стовпця), помноженого на будь-яке число.
4. Лінійне комбінування рядків (стовпців).
5. Перестановка місцями будь-яких рядків (стовпців).
Ранг матриці при елементарних перетвореннях не змінюється.
Доведення. При будь-якому елементарному перетворенні детермінант або не змінює свого значення, або міняє знак. Так що всі нульові мінори матриці будуть залишатися нульовими. Всі ненульові мінори при будь-яких елементарних перетвореннях залишаться ненульовими. Отже ранг не зміниться.
2. Елементарні перетворення
Нехай дано матрицю
Будь якому елементарному перетворенню рядків матриці можна поставити у відповідність множення її зліва на спеціальну матрицю. Наприклад, перестановці місцями першого і другого рядків відповідає множення на матрицю
Дійсно перемножуючи цю матрицю зліва на матрицю будемо мати:
Другий приклад. Легко перевірити, що додаванню до останнього рядка першого, помноженого на число с, відповідає така матриця.
Таким же чином можна показати, що елементарним перетворенням стовпців відповідає множення на спеціальні матриці справа. Таким же чином можна показати, що елементарним перетворенням стовпців відповідає множення на спеціальні матриці справа.
· Якщо i-ий рядок матриці A домножити на число б, то А буде виглядати так:
· Якщо до i-го рядка матриці додати k-ий рядок(домножений на число б), то A буде виглядати так:
3. Обчислення оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень
Елементарні перетворення дають ще один шлях одержання оберненої матриці. Розглянемо квадратну систему рівнянь, яка має єдиний розв"язок. Запишемо її у матричному виді
Будемо робити такі елементарні перетворення рівнянь цієї системи, а тим самим і рядків матриці , щоб перетворити її в одиничну матрицю. Це рівносильно множенню матричного рівняння на спеціальні матриці :
Хай ці матриці будуть такі, що
.
Позначимо добуток цих матриць як :
.
Тоді із матричного рівняння одержимо
З цього витікає, що є матриця, обернена до матриці , .
Практично роблять так. Записують матриці і рядом. Над рядками роблять елементарні перетворення до тих пір, поки не одержать одиничну матрицю. Ті ж самі перетворення і в тій же послідовності роблять над одиничною матрицею , в результаті одержують обернену матрицю.
Приклад:
Для практики особливо важливою є наступна теорема.
4. Елементарні матриці
матриця рівняння детермінант обчислення
Елементарні перетворення матриці можна одержати домноженням зліва на елементарні матриці, що відрізняються від одиничної лише одним елементом. Так матриця, що відповідає множенню i-го рядка на має вигляд:
Матриця, що відповідає додаванню до i-го рядка матриці j-го рядка домноженого на число має вигляд:
Висновки
Можна зробити висновок що елементарні перетворення допомагають нам в розрахунках рангу матриці. Адже щоб знайти ранг матриці без використання елементарних перетворень потрібно багато часу. Також елементарні перетворення дають змогу спростити обчислення детермінанта.
Література
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов.
2. А.Г. Курош "курс высшей алгебры", "наука", Москва 1975
3. С.Т. Завало, В.М. Костарчук, Б.И. Хацет "алгебра и теория чисел", Том 1,"высшая школа", Киев 1974
4. С.Т. Завало, В.М. Костарчук, Б.И. Хацет "алгебра и теория чисел", Том 2, "высшая школа", Киев 1976
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.
контрольная работа [115,2 K], добавлен 16.07.2010Основні поняття чисельних методів розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Алгоритм Гаусса зведення системи до східчастого виду послідовним застосуванням елементарних перетворень. Зворотній хід методу Жордана-Гаусса. Метод оберненої матриці.
курсовая работа [165,1 K], добавлен 18.06.2015Теорія обернених матриць та їх знаходження за формулою. Оберненні матриці на основі яких складається написання програми обчислення оберненої матриці до заданої. Побудова матриць та їх характеристика. Приклади проведення розрахунків при обчисленні матриць.
курсовая работа [96,8 K], добавлен 06.12.2008Вироджена (особлива) або не вироджена (не особлива) квадратна матриця та вироджене або не вироджене лінійне перетворення невідомих. Добуток матриці, асоціативності множення матриць. Опис програми Matrtest, містить початкову матрицю та її розмірність.
курсовая работа [95,0 K], добавлен 16.03.2009Огляд складання програми на мові програмування С++ для обчислення чотирьох лінійної системи рівнянь матричним методом. Обчислення алгебраїчних доповнень до елементів матриці. Аналіз ітераційних методів, заснованих на використанні повторюваного процесу.
практическая работа [422,7 K], добавлен 28.05.2012Застосування методу Гауса (або методу послідовного виключення невідомих) для розв'язання систем лінійних рівнянь. Економний спосіб запису за допомогою компактної схеми Гауса. Алгоритм знаходження рангу матриці, метод Гауса з вибором головного елемента.
курсовая работа [879,9 K], добавлен 02.10.2010Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.
курсовая работа [86,0 K], добавлен 15.09.2008Класифікація та типи чисельних методів розв’язування систем лінійних рівнянь і обернення звернення матриць точні, ітераційні та комбіновані. Їх порівняльна характеристика та умови використання в окремих випадках. Вектори та операції над ними, норми.
презентация [85,6 K], добавлен 06.02.2014Основні поняття і теореми. Обчислення визначників методом зміни елементів, представлення їх у вигляді суми, виділення лінійних множників, методом рекурентних співвідношень, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами рядка або стовпця.
контрольная работа [137,9 K], добавлен 25.03.2011Обчислення визначника матриці методом Гаусса. Розгорнення характеристичного визначника заданої матриці методом Крилова. Обчислення наближеного значення визначеного інтегралу за допомогою формули Сімпсона. Мінімум функції і суть методу золотого перерізу.
контрольная работа [45,7 K], добавлен 04.10.2009Розв'язання системи рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера. Знаходження власних значень і векторів матриці, косинуса кута між векторами. Визначення з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у магазині. Диференціювання функцій.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 06.03.2013Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Дослідження системи лінійних алгебраїчних рівнянь на стійкість. Одержання характеристичного многочлена методом Левур’є, в основу якого покладено обчислювання слідів степенів матриці А. Приклад перевірки на стійкість систему Аx=B за допомогою програми.
курсовая работа [33,0 K], добавлен 29.08.2010Метод простої ітерації Якобі і метод Зейделя. Необхідна і достатня умова збіжності методу простої ітерації для розв’язання системи лінейних рівнянь. Оцінка похибки. Діагональне домінування матриці як умова збіжності ітерації. Основні переваги цих методів.
презентация [79,9 K], добавлен 06.02.2014Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010Власні числа і побудова фундаментальної системи рішень. Однорідна лінійна система диференціальних рівнянь. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду. Рішення неоднорідної системи.
курсовая работа [378,9 K], добавлен 26.12.2010Етапи розв'язування інженерних задач на ЕОМ. Цілі, засоби й методи моделювання. Створення математичної моделі. Побудова обчислювальної моделі. Реалізація методу обчислень. Розв’язання нелінійних рівнянь методом дихотомії. Алгоритм метода дихотомії.
контрольная работа [86,1 K], добавлен 06.08.2010Методи зведення до канонічної форми задач лінійного програмування. Визначення шляхів знаходження екстремумів функцій графічним способом. Побудова початкового опорного плану методом "північно-західного" напрямку. Складання двоїстої системи матриць.
контрольная работа [262,0 K], добавлен 08.02.2010
