Скінченні ланцюгові дроби та їх застосування

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

1. Основні етапи вчення про ланцюгові дроби

2. Ланцюгові дроби. Підхідні дроби ланцюгового дробу

2.1 Запис раціональних чисел у вигляді скінченних ланцюгових дробів

2.2 Властивості ланцюгових дробів

2.3 Підхідні дроби

3. Застосування ланцюгових дробів

3.1 Розв'язування в цілих числах рівняння з двома невідомими

3.2 Ланцюговий дріб числа

3.3 Застосування ланцюгових дробів у астрономії

3.4 Застосування ланцюгових дробів до шкільного курсу математики

3.5 Розв'язування конгруенцій 1-го степеня за допомогою неперервних дробів

Висновки

Список використаної літератури

Вступ

Ланцюгові дроби зручні тим, що вони не зв'язані з жодною системою числення. Кожне раціональне число можна єдиним чином представити у вигляді скінченного ланцюгового дробу. До того ж ланцюгові дроби дають найкращі наближення. А незначне використання неперервних дробів пояснюється тим, що для них не існує зручних правил арифметичних дій. На практиці ланцюгові дроби використовуються для розв'язування задач, пов'язаних із неперервними схемами в електротехніці, автоматиці та обчислювальній техніці. ланцюговий дріб арифметичний

Теорія ланцюгових (або, як їх іще називають, неперервних) дробів вивчає спеціальний алгоритм, який є одним із найважливіших засобів аналізу, теорії ймовірностей, механіки і загалом теорії чисел.

Мета роботи полягає у вивченні ланцюгових дробів, визначенні їх властивостей та дослідженні застосування неперервних дробів. Також розглянемо підхідні дроби та запис раціональних чисел у вигляді скінченних ланцюгових дробів.

У шкільному курсі завдання, які містять ланцюгові дроби розглядаються у 8 класі (підвищений рівень складності), у темі „Приклади на дії з дробами”. Також застосувати неперервні дроби можна до теми „Рівняння з двома змінними”, яка вивчається у 7 класі. Завдання, які приводять до використання ланцюгових дробів зустрічаються у завданнях учнівських математичних олімпіадах для 8-9 класів.

Робота складається із вступу, 3 розділів та висновків. Загальний обсяг роботи 41 сторінка. У першому розділі простежені основні етапи розвитку вчення про ланцюгові дроби і названо прізвища вчених, які досліджували дане питання. У другому розділі введено основні основні означення, розглянуто властивості ланцюгових дробів, наведено алгоритм запису раціональних чисел у вигляді скінченних ланцюгових дробів. Особливої уваги заслуговує 3 розділ, де розглянуте питання про застосування лянцюгових дробів. Питання про застосування неперервних дробів до розв'язування діафантових рівнянь має безпосуруднє відношення до шкільного курсу математики.

1. Основні етапи вчення про ланцюгові дроби

Вчення про неперервні (ланцюгові) дроби бере свій початок від Теета і Евкліда. Окремі стародавні римляни також використовували дроби, чисельник яких теж був дробом. Таким чином, у стародавньому світі ідея неперервних дробів була зрозуміла й доступна: чисельник дробу може бути не тільки цілим числом, але й мішаним.

Алгоритм утворення скінченних ланцюгових дробів був відкритий ще в Індії. Про це свідчить праця „Вінець системи” індійського математика БхаскараЙЙ.

У арабського математика ЧV ст. Ал-Каласаді зустрічаються висхідні ланцюгові дроби. Він застосовував їх до ділення з остачею і позначав ними дробову частку. Розкладав дійсні числа в неперервні дроби, використовуючи алгоритм Евкліда, у XI ст. Омар Хаям та його наступники у країнах Сходу.

Пошуки наближених значень , де N- будь-яке натуральне число, яке є неповним квадратом, почалися давно. Такі обчислення і наштовхнули математиків на поняття ланцюгового дробу. Але тільки у 1672р. Р.Бомбеллі розширив уявлення про неперервні дроби („Алгебра”). Повторне використання дробової риски вперше запропонував П.Катальді у 1613 році.

Скінченні ланцюгові дроби розглядав німецький математик Д.Швентер- він застосовував сучасні схеми для обчислення чисельників і знаменників підхідних дробів. Видатний голандський математик Х.Гюйгенс у 1682р. Дав докладне пояснення того, як за допомогою ланцюгових дробів можна зводити до менших чисел громіздкі нескоротні дроби. У 1680р. Він працював над „планетною машиною”, хотів відтворити рух планат навколо Сонця. Зіткнувшись із відношеннями дуже великих чисел Х.Гюйгенс намагався виразити ці відношення дробами з мешими чисельниками та знаменниками. Так він і дійшов до ланцюгових дробів.

Повну систематичну теорію ланцюгових дробів дали Л.Ойлер та Ж.Лагранж. Останньому належить спосіб наближеного обчислення дійсних коренів алгебраїчного рівняння за допомогою ланцюгових дробів, а також і відома теорема про те, що дійсний ірраціональний корінь квадратний корінь квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами розкладається в періодичний неперервний дріб. Правильне і обернене твердження.Сам термін „неперервні дроби” ввів Ойлер у 1737 році. Він видав ряд праць із цієї теми. Ойлер розглядав дві форми неперервних дробів:

і

Вчення про ланцюгові дроби розвивалось протягом століть у зв'язку з практичними і теоретичними запитами. До поняття ланцюгових дробів приводили такі задачі:

1) заміна громіздких дробів простішими дробами;

2) заміна ірраціональних чисел близькими до них раціональними числами.

Найважливіші результати в галузі найкращого наближення ірраціональних чисел належить французькому математику Ж.Ліувіллю та російським математикам П.Чебишеву, А.Маркову та іншим.

У 1895р. Ф.Клейн склав наочну геометричну модель ланцюгових дробів ірраціональних чисел.

2. Ланцюгові дроби.підхідні дроби ланцюгового дробу

2.1 Запис раціональних чисел у вигляді скінченних ланцюгових дробів

У теорії чисел, математичному аналізі, теорії ймовірностей і в обчислювальній математиці широко використовують так звані ланцюгові дроби.

Нехай б- деяке дійсне число і нехай - найбільший з цілих чисел, не більший ніж б. Тоді

де .

Аналогічно можна записати

де ,

де ,

....................................................

де ,

де і т.д.

Якщо число б раціональне, то,як буде доведено нижче, для деякого натурального n матимемо , отже, записи, про які щойно йшла мова,обірвуться; якщо ж число б ірраціональне,то їх, очевидно, можна буде продовжувати нескінченно.

У першому випадку матимемо:

у другому випадку

Означення 1. Вираз вигляду

де - деякі цілі числа - називають елементарним ланцюговим, або елементарним неперервним, дробом.

Числа називають елементами даного ланцюгового дробу, а правильні дроби - відповідно першою, другою, третьою і т.д. ланкою ланцюгового дробу. Число ланок у ланцюговому дробі може бути як скінченним, так і нескінченним. Ланцюговий дріб, у якого число ланок скінченне, записують у вигляді

(1)

і називають скінченним, точніше n-членним ланцюговим дробом, дріб у якого число ланок нескінченне, записують у вигляді

і називають нескінченним ланцюговим дробом.

Ми обмежимося розглядом скінченних елементарних ланцюгових дробів і називатимемо їх просто скінченними ланцюговими дробами. Крім того, вважатимемо, що в ланцюговому дробі (1) , може бути будь-яким цілим числом. Так дроби становлять найбільш важливий і разом з тим найбільш вивчений клас ланцюгових дробів; вони лежать в основі майже всіх арифметичних і багатьох аналітичних застосувань теорії ланцюгових дробів.

Умовимося, для зручності, n-членний ланцюговий дріб

позначати символом . Значення кожного скінченного ланцюгового дробу знаходимо в результаті виконання скінченної кількості разів раціональних операцій над елементами цього дробу. Отже, за нашими припущеннями відносно елементів ланцюгового дробу кожен скінченний ланцюговий дріб, очевидно, виражає собою деяке раціональне число . Покажемо, що справедливе також і обернене твердження.

Теорема 1. Кожне раціональне число можна подати у вигляді деякого скінченного ланцюгового дробу.

Доведення. Нехай z- довільно вибране раціональне число. Тоді , де a і b -деякі цілі числа, причому .

Застосувавши до чисел a і b алгоритм Евкліда, дістанемо рівності:

(2)

де З рівностей (2) випливають відповідно рівності

Звідси

або скорочено (3)

Теорему доведено.

У тому разі, коли z - ціле число, тобто коли b=1, у рівностях (2) матимемо лише одну рівність: a=1·a+0 і ланцюговий дріб обірветься на .

Запис (3) називають зображенням раціонального числа скінченним ланцюговим дробом або розкладом числа у скінченний ланцюговий дріб.

Теорема 2. Кожне раціональне число зображується тільки одним скінченним ланцюговим дробом.

Доведення. Справді, якщо

, (4)

(5) то

(6)

Не втрачаючи загальності міркувань, вважатимемо, що .Оскільки дроби

і

менші від 1, то кожне з чисел і дорівнює цілій частині чмсла і тому =.Віднявши почастинно від рівності (6) рівність =, дістанемо

=. (7)

Дроби, що стоять у лівій і правій частинах рівності (7), мають однакові чисельники: кожен з чисельників дорівнює 1. Тому знаменники цих дробів також рівні між собою, тобто

=

Міркуваннями, аналогічними викладеним вище, доведемо, що =, =, = і т.д.

Через n кроків ми прийдемо до рівності

де . Звідси випливає, що s=n і, отже, =, бо при s>n ціле число мало б дорівнювати дробовому числу чого не може бути.

Отже, ми довели, що в зображеннях (4) і (5) n=s і =,=, =, =,..., =, тобто ці зображення нічим не відрізняються одне від одного. Теорему доведено.

Зауваження. Теорему 2 доведено в припущенні,що останній елемент скінченного ланцюгового дробу . Якщо ж не вимагати цього, то для раціонального числа існуватиме два розклади в скінченний ланцюговий дріб:

= ( і=

Приклад 1. Розкласти у неперервний дріб число . Маємо =.

Виконаємо послідовне ділення

						367	132
						264	2
					132	103
					103	1
				103	29
				87	3
			29	16
			16	1
		16	13
		13	1
	13	3
	12	4
3	1
	3

Отже, =.

2.2 Властивості ланцюгових дробів

1) Будь-яке раціональне число може бути представлене в виді скінченного ланцюгового дробу двома способами, більш довгий з яких завжди закінчується одиницею, а коротший відрізняється від нього тим, що останньої одиниці немає, а елемент перед одиницею на 1 більший. Наприклад:

2) Число представляється в виді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розв'зком квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами .(Теорема Лагранжа). Наприклад

3) Для майже всіх дійсних чисел ''x'',середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівний константі Хітчіна (K ? 2.6854520010...)

4) Парні наближені дроби утворюють зростаючу послідовність, а непарні -спадну. Обидві послідовності збігаються до ''x.''

5) Для довільного s > 0, дріб P s / Q s - нескоротний.

Доведення. Нехай найбільший спільний дільник ( P s , Q s ) =d і

d > 1. Тоді d Ділить рівність P s Q s -1 - Q s P s -1 = (-1) s , що неможливо.

і ця рівність досягається лише при q 1 = q 2 =...= q s = 1.

Доведення. Нам уже відомо,що

Q 0 = 0, Q 1 = 1, q i N , Q s = q s Q s -1 + Q s -2 Q s -1 + Q s -2 .

Найповільніше знаменник буде рости при Q s = Q s -1 + Q s -2 , тобто при q 1 = q 2 = ... = q s = 1. Це рекурентне співвідношення разом із початковою умовою та при Q 0 = 0, Q 1 = 1 задає послідовність Фібоначі. Характерне рівняння для рекурентного співвідношення Фібоначі:

x 2 = x + 1;

- корені рівняння

Загальний розв'язок:

Підстановка початкових умов у загальний розв'язок дає

Звідки C 1 = - C 2 = 1/ ??5.

Таким чином, знаменники ланцюгових дробів збільшуються не повільніше послідовності Фібоначі: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...

2.3 Підхідні дроби

Нехай (8)

є деякий ланцюговий дріб. Значенням цього ланцюгового дробу є деякий звичайний дріб Отже, ланцюговий дріб (8) зображується звичайним дробом Проте таке зображення не є єдиним, бо якщо , то й , де l- будь-яке відмінне від нуля ціле число. Всюди далі нам потрібно буде мати деяке цілком певне зображення скінченного ланцюгового дробу у вигляді звичайного дробу - зображення, яке ми називатимемо канонічним. Це зображення ми визначимо індуктивно.

Канонічним зображенням нуль-членного ланцюгового дробу вважатимемо дріб . Припустимо тепер, що канонічне зображення визначене для кожного ланцюгового дробу, у якого число ланок менше ніж n, і визначимо його для n-членного ланцюгового дробу.

Розглянемо n-членний ланцюговий дріб . Як випливає з означення ланцюгового дробу, справедливе співвідношення

Дріб - (n-1)-членний, отже, для нього канонічне зображення за припущенням уже визначене. Нехай цим зображенням є звичайний дріб , тоді

Дріб ми і вважатимемо канонічним зображенням ланцюгового дробу Таким чином, тепер канонічне зображення однозначно визначене для будь-якого скінченного ланцюгового дробу. Позначимо канонічне зображення дробу символом Тоді для чисельників і знаменників канонічнихзображень ланцюгових дробів і матимемо співвідношення

(9)

Умовимося називати ланцюговий дріб

, (10)

де , відрізком ланцюгового дробу (8).

Означимо. Канонічне зображення відрізка (10) називають s-м підхідним дробом або підхідним дробом порядку s ланцюгового дробу (8).

Ланцюговий дріб (8) має n+1 підхідних дробів:

(11)

За означеннями підхідного дробу й канонічного зображення нуль-членного ланцюгового дробу

За формулами (9) ,, отже,

, (12)

Теорема 3. (Правило утворення підхідних дробів). Для будь-якого

, . (13)

Доведення. При s=2, як показують співвідношення (12), формули (13) правильні. Припустимо, що вони правильні для s=m-1 (m>2), і доведемо, що тоді вони правильні й для s=m. Розглянемо відрізок

(2<m?n) (14)

ланцюгового дробу (8). Підхідний дріб порядку m-1 дробу (14) позначатимемо символом

За формулами (9)

і . (15)

Але оскільки за припущенням формули (13) правильні для s=m-1, то, застосувавши їх до дробу , дістаємо:

, (16)

(тут стоїть , а не , оскільки дріб починається з , а не з ).

Із співвідношень (15), (16) і за формулами (9)

тобто і

Цим теорему доведено.

Формула (13) виражає чисельник і знаменник підхідного дробу порядку s через елемент і через чисельники і знаменники двох попередніх підхідних дробів і, отже, дає можливість за відомими підхідними дробами порядку s-2 і s-1 знайти підхідний дріб порядку s. Зауважимо, що на формулі (13) грунтується вся теорія ланцюгових дробів.

Обчислення чисельників і знаменників підхідних дробів за допомогою формули (13) зручно подавати за такою схемою:

Щоб обчислити за цією схемою, потрібно число , що стоїть над , помножити на число , яке передує , і до одержаного добутку додати число , що передує . За аналогічним правилом обчислюють .

Приклад 1. Знайти підхідні дроби ланцюгового дробу .

За наведеною вище схемою:

	-2	2	1	3	1	1	4	3
	-2	-3	-5	-18	-23	-41	-187	-602
	1	2	3	11	14	25	114	367

S=0,1,2,...,8).

Розглянемо деякі властивості підхідних дробів.

Теорема 4. При s=1,2,3,...,n справджується співвідношення

. (17)

Доведення.При s=1 рівність (17) справедлива, бо , , , , і тому . Припустимо, що рівність (17) справедлива при s=m (1?m?n-1), і доведемо, що тоді вона правильна й при s=m+1. Це справді так:

тобто .

Отже, за принципом математичної індукції, рівність (17) правильна при будь-якому s (1? s ?n). Теорему доведено. З теореми 4 випливає справедливість наступного твердження.

Наслідок. Кожний підхідний дріб - нескоротний.

Доведення. Дріб нескоротний, оскільки .

Нескоротний також і кожен з дробів (s=1,2,...,n). Справді, припустимо, що деякий дріб скоротний, тобто ()=d>1 (1?m?n). Тоді ліва частина рівності ділитиметься на число d, а тому і права її частина також має ділитися на d, що неможливо. Отже, наше припущення неправильне. Твердження доведено.

Цей висновок дає змогу застосувати розклад раціональних чисел у ланцюгові дроби для скорочення звичайних дробів. Справді, якщо звичайний дріб розкласти у ланцюговий дріб, то останній підхідний дріб цього ланцюгового дробу буде нескоротним дробом і дорівнюватиме .

Приклад 2. Скоротити дріб .

Розклавши цей дріб у скінченний ланцюговий дріб, матимемо .

Знаходимо підхідні дроби

	0	4	3	1	10	1	2
	0	1	3	4	43	47	137
	1	4	13	17	183	200	583

Як відомо, , де - нескоротний дріб.

Теорема 5. При s?2 справджується співвідношення

. (18)

Доведення. Справді, за формулою (13)

,

Тому

Але оскільки за теоремою 4 то . Цим теорему доведено.

Теорема 6. Підхідні дроби парного порядку даного ланцюгового дробу утворюють зростаючу, а підхідні дроби непарного порядку - спадну послідовність.

Доведення. Поділимо обидві частини співвідношення (18) на Тоді матимемо:

Звідси випливає, що при s парному справджується нерівність

а при s непарному - нерівність

Цим теорему доведено.

Теорема 7. Із двох підхідних дробів і даного ланцюгового дробу дріб парного порядку завжди менший від дробу непарного порядку.

Доведення. Поділимо обидві частини співвідношення (17) на ; тоді матимемо:

Звідси випливає, що при парному s справджується нерівність

а при непарному s - нерівність

.

Отже, з двох дробів і менший той, порядок якого парний. Теорему доведено.

Із цієї теореми випливає справедливість такого твердження.

Наслідок. Кожен підхідний дріб парного порядку даного ланцюгового дробу менший від будь-якого підхідного дробу непарного порядку цього ланцюгового дробу.

Справді, якщо б принаймні один підхідний дріб парного порядку був не менший від деякого підхідного дробу непарного порядку, то за теоремою 6 останній підхідний дріб парного порядку був би більший від останнього підхідного дробу непарного порядку, а це суперечило б теоремі 7.

Нехай - деяке раціональне число, задане у вигляді скінченного ланцюгового дробу:

,

а - підхідні дроби цього ланцюгового дробу. Тоді на основі щойно доведених теорем, враховуючи, що можна записати

Таким чином, підхідні дроби парного порядку є наближеними значеннями з недостачею, а непарного порядку - з надлишком. Оцінка похибки при цьому визначається нерівністю

Справді, за теоремою 4)= за теоремою 3)=

3. Застосування ланцюгових дробів

3.1 Розв'язування в цілих числах лінійного рівняння з двома невідомими

Розглянемо, як застосовують ланцюгові дроби для знаходження цілих розв'язків лінійного рівняння з двома невідомими, коефіцієнти і вільний член якого- цілі числа. Нехай

ax+by=c (19)

є довільне рівняння. Якщо a?0 і b?0, то рівняння (19) неозначене: воно має безліч розв'язків. Загальним розв'язком цього рівняння є

або

Припустимо, що в рівнянні (19) a, b і c- цілі числа і що потрібно знайти цілі розв'язки цього рівняння, тобто розв'язки, які складаються з цілих чисел. У цьому разі при будь-якому цілому значенні y число буде цілим, а число при цьому, взагалі кажучи, не буде цілим, оскільки ціле число може і не ділитися на ціле число a. Про те, як знайти цілі розв'язки рівняння (19), у якого a, b і c- цілі числа, і йтиме далі мова. Якщо вільний член c рівняння (19) не ділиться на найбільший спільний дільник його коефіцієнтів a і b, то воно не має цілих розв'язків, бо в притивному разі c повинно було б ділитися на . Якщо ж c ділиться на , то, поділивши обидві частини рівняння (19) на , дістанемо рівняння, рівносильне даному, коефіцієнти якого є взаємно прості числа. Має місце така теорема.

Теорема 8. Якщо пара цілих чисел задовольняє рівняння

ax+by=c, (20)

де a, b і c- цілі числа й , то

(21)

де t- будь-яке ціле число, є загальним розв'язком цього рівняння в цілих числах.

Доведення. За умовою теореми

(22)

Віднявши почастинно від рівняння (20) рівність (22), дістанемо рівняння

(23)

рівносильне рівнянню (20). Покажемо, що формули (21) задають множину всіх цілих розв'язків рівняння (23), а отже, і рівняння (20). Очевидно, що кожна пара цілих чисел задовольняє рівняння (23), тобто , то Звідси, оскільки , випливає, що ділиться на b, тобто де t- деяке ціле число. Тому

Із співвідношень де t- деяке ціле число, дістаємо де t- деяке ціле число. Отже, кожна пара цілих чисел , що задовольняє рівняння (23), задається формулами (21). Цим теорему доведено.

Таким чином , щоб розвязати рівняння (20) в цілих числах, потрібно знайти який-небудь окремий розвязок () цього рівняння.

Зробити це можна, скориставшись розкладом числа у ланцюговий дріб. Справді, нехай = розклад числа у ланцюговий дріб, а є підхідні дроби цього розкладу. Тоді За умовою дріб - нескоротний і дріб за висновком із теореми 4 також нескоротний; тому За теоремою 4

, тобто .

Помноживши обидві частини останньої рівності на , дістанемо рівність

.

Ця рівність означає, що пара чисел є цілий розв'язок рівняння (20).

Теорема 9. Загальний розв'язок у цілих числах рівняння ax+by=c, де a, b і c- цілі числа й , можна подати у вигляді

, (24)

де t- довільне ціле число, а - чисельник і знаменник передостаннього підхідного дробу розкладу числа у ланцюговий дріб.

Приклад. Розв'язати в цілих числах рівняння 61x+48y=3.

Розклавши у ланцюговий дріб, матимемо:

Підхідними дробами для ланцюгового дробу є

Передостаннім підхідним дробом є

Отже, за формулами (24) загальним розв'язком у цілих числах заданого рівняння є

(25)

У цьому загальному розв'язку . Узявши у формулах (25) t=1, дістанемо частинний розв'язок , і загальний розв'язок заданого рівняння за теоремою 8 можна записати так:

3.2 Ланцюговий діб числа

У доповідях Академії наук за 1935 рік було дві статті, де згадувалося число . Одна стаття називалася „ О долбящей деятельности дятлов”, інша- „О фонтанирующей деятельности китов”. У останній описувалася така задача із практики китоловів. Припустимо, ви помітили вдалині фонтан кита і хочете визначити, чи варто відправлятись на полювання за цим китом, чи кількість м'яса, яку ви здобудете, буде незначною. Для цього потрібно було вивести залежність між фонтануючою діяльністю та об'ємом кита. Для цього в статті була наведена формула для об'єму кита: , де r-оцінка половини ширини кита, l- його довжина (кит вважався циліндричним). Трудність виникала лише у тому, щоб пояснити китоловам, що таке . У статті було таке пояснення: „...де -константа, яка для гренландських китів рівна 3”. Але для китів інших порід, ймовірно, потрібно використовувати інші значення.

Наближення числа знали уже досить давно. Ось, наприклад, досить хороше наближення, яке пов'язують з ім'ям Архімеда, але яке було відомим і до того: . Насправді, це лише початок ланцюгового дробу, в який можна розкласти число . Цей дріб нескінченний, і, беручи все більші початкові куски цього дробу, можна отримати більш точне наближення.

Помітимо, що чисельник дробу - лише двозначне число, знаменник- однозначне, а точність наближення, яке дає цей дріб,- три десяті знаку (a). Шість правильних десяткових знаків можна отримати, обірвавши цей ланцюговий дріб далі (в). Нове наближення- це відношення двох тризначних чисел. Ось правило, за яким можна запам'ятати цей дріб: нада записати длінне число 113355, розбити його на два тризначні числа і поділити більше на менше. Отримаємо:

	Раціональне наближення числа	Кількість цифр, які співпали
а)		2
б)		4
в)		6
г)		9
д)		9
е)		9
є)		9
ж)		11

3.3 Застосування ланцюгових дробів у астрономії

Розрахунки, які ми наводили вище, виникли при створенні календаря. Так при розробці сонячного календаря необхідно знайти відношення сонячного року і періоду Місяця, тобто раціональне наближення для числа 365,2421988... За допомогою ланцюгових дробів одержуємо послідовність

Найближче наближення до цього відношення- 12 (як 3 для числа ). Перший із цих дробів є основою юліанського календаря. При створенні календарів ми маємо виправлення: високосні роки; у григоріанській системі, яка виправляє юліанську, не лише високосні роки, а й раз на сто років іще одне виправлення, і ще раз у чотириста років- іще одне...

Ці виправлення у співставленнях виявилися особливо корисні, коли почали розиватися небесна механіка та астрономія. Наприклад, співставлення періодів обертання Юпітера і Сатурна навколо Сонця (відношення ?2:5) призводить до дуже сильної протидії, яка збиває ці планети з їх орбіт. Це так звані нерівності в русі Юпітера і Сатурна, які мають період близько 800 років.У розрахунку таких періодів ланцюгові дроби і пов'язані з ними наближення мали величезне значення і потребували розвитку математичного апарату.

3.4 Застосування ланцюгових дробів до шкільного курсу математики

Розвязання діафантових рівнянь за допомогою ланцюгових дробів.

Діафантові рівняння- це алгебраїчні рівняння з цілими коефіцієнтами від двох чи більше змінних, причому знаходять лише цілі або раціональні його розв'язки.

Найпростішими з діафантових рівнянь є лінійні рівняння з двома змінними ax+by=с, де a, b, с- дані цілі числа.

Множина розв'язків цього рівняння або порожня, або нескінченна. Щоб розв'язати його, скористаємося властивостями найбільшого спільного дільника двох чисел.

Нехай . Ліва частина рівняння ділиться на d, бо на d ділиться кожен з доданків. Тоді на d повинна ділитись й права частина. Отже, це рівняння може мати розв'язки лише тоді, коли с ділиться на d.

При розв'язуванні діафантових рівнянь використовують ланцюгові дроби.

Приклад. Знайти всі цілі числа, які задовольняють рівняння

7(x+z+xyz)=10(1+yz).

Розв'язання.

Запишемо рівняння у вигляді:

Запишемо раціональне число у вигляді ланцюгового дробу:

Маємо: x=1, y=2, z=3. Де числа 1, 2, 3- ланки ланцюгового дробу.

Оскільки дріб можна записати ще й так: то x=2, y=-2, z=4.

Перевіркою можна переконатися, що трійки чисел (1,2,3), (2,-2,4) задовольняють задане рівняння.

Інших зображень звичайного дробу у вигляді ланцюгового, який містить у своєму складі три ланки, не існує.

Приклад 2. Розв'язати у цілих числах рівняння 108x+84y=60

Розв'язання. Знайдемо найбільший спільний дільник чисел коефіцієнтів при x та y. (108,84)=12.

Оскільки с=60 ділиться на 12, то задане рівняння має розв'язки. Поділимо обидві частини рівняння на 12.

Маємо, 9x+7y=5; (.

Розклавши у ланцюговий дріб, матимемо

Підхідними дробами для ланцюгового дробу є

Передостаннім підхідним дробом є

Отже, за формулами (24) загальним розв'язком у цілих числах заданого рівняння є

У цьому загальному розв'язку . Узявши t=2, дістанемо частинний розв'язок , і загальний розв'язок заданого рівняння за теоремою 8 можна так:

Наведемо приклади таких розв'язків:

t	-3	-2	-1	0	1	2	3
x	-36	-29	-22	-15	-8	-1	6
y	47	38	29	20	11	2	-7

Приклад 3 [9 №12.2].Розв'язати рівняння у цілих числах 5x+7y=19

Розв'язання. Розклавши у ланцюговий дріб, матимемо

Підхідними дробами для ланцюгового дробу є

Передостаннім підхідним дробом є

Отже, за формулами (24) загальним розв'язком у цілих числах заданого рівняння є

У цьому загальному розв'язку . Узявши t=-8, дістанемо частинний розв'язок , і загальний розв'язок заданого рівняння за теоремою 8 можна так:

Наведемо приклади таких розв'язків:

t	-3	-2	-1	0	1	2	3
x	36	43	50	57	64	71	78
y	-23	-28	-33	-38	-42	-47	-52

Приклад 4 [10 №908]. Розв'язати рівняння у натуральних числах 5x+6y=57

Розв'язання. Розклавши у ланцюговий дріб, матимемо

Підхідними дробами для ланцюгового дробу є

Передостаннім підхідним дробом є

Отже, за формулами (24) загальним розв'язком у цілих числах заданого рівняння є

У цьому загальному розв'язку . Узявши t=10, дістанемо частинний розв'язок , і загальний розв'язок заданого рівняння за теоремою 8 можна так:

Очевидно, щоб задане рівняння мало натуральні корені необхідно щоб виконувалася умова для t

або , тобто

.

При t=10 дістали розв'язок .

Знайдемо корені рівняння при t=9. Маємо , оскільки -3 не належить до множини натутальних чисел, то цей корінь не може бути розвязком.

Нехай t=11. Тоді .

Відповідь: (3,7) і (9,2) є розвязками заданого рівняння у натуральних числах.

Задача 1. За 9 кг горіхів та 2 кг мандаринів заплатили стільки скільки за 6 кг граната. А за 6 кг горіхів, 5 кг мандаринів та 4 кг гранат заплатили 43 грн. Скільки коштує один кг граната, горіхів, мандаринів?

Розвязання. Нехай x-вартість горіхів; y-вартість мандарин; z-вартість гранат

перше рівняння домножимо на 2, друге - на 3.

почленно додавши отримаємо лінійне рівняння з двома невідомими.

Розклавши у ланцюговий дріб, матимемо

Підхідними дробами для ланцюгового дробу є

Передостаннім підхідним дробом є

Отже, за формулами (24) загальним розв'язком у цілих числах заданого рівняння є

У цьому загальному розв'язку . Узявши t=61, дістанемо частинний розв'язок , і загальний розв'язок заданого рівняння за теоремою 8 можна так:

, де , тобто t=0.

Тоді із рівняння :

6z=18+6

z=4.

Відповідь: вартість кілограма горіхів 2 грн, мандаринів- 3 грн, гранатів- 4грн.

Приклад. Розв'язати систему в цілих додатніх числах.

Розв'язання. Домножимо перше рівняння системи на 2 і додамо до другої. Отримаємо:

5x+3y=17

Розклавши у ланцюговий дріб, матимемо

Підхідними дробами для ланцюгового дробу є

Передостаннім підхідним дробом є

Отже, за формулами (24) загальним розв'язком у цілих числах заданого рівняння є

У цьому загальному розв'язку . Для того щоб знайти цілі додатні корені розглянемо систему:

або після перетворення

, тобто

, тобто, таких цілих t не існує.

Відповідь: Дана система не має цілих додатніх коренів.

3.5 Розв'язування конгруенцій 1-го степеня за допомогою неперервних дробів

Означення 1. Нехай m- деяке натуральне число. Цілі числа a і b називаються конгруентними за модулем m, якщо (a-b) m. Пишуть

або

Означення 2. Нехай . Конгруенція виду

(26)

де , називається конгруенцією з одним невідомим.

Розв'язком конгруенції (26) називається клас лишків за модулем m, кожне число яке задовольняє дану конгруенцію. Якщо число задовольняє конгруенцію (26), причому , то розв'язок записують у вигляді: або . Розв'язати конгруенцію (26) означає знайти всі її розв'язки або показати, що їх немає.

Конгруенції з одним невідомим називають рівносильними або еквівалентними, якщо множини їхніх розв'язків співпадають. Операції, що не порушують множину розв'язків конгруенцій з одним невідомим (їх називають елементарними перетвореннями):

1) додавання до обох частин конгруенції довільного многочлена з цілими коефіцієнтами;

2) додавання до однієї з частин конгруенції многочлена з коефіцієнтами, кратними модулю m;

3) множення і ділення обох частин конгруенції на число, взаємно просте з модулем;

4) множення і ділення обох частин конгруенції і модуля на одне й те саме додатне ціле число.

Конгруенція виду

, (27)

де , називається лінійною конгруенцією або конгруенцією першого степеня з одним невідомим.

Розв'язування конгруенцій 1-го степеня за допомогою ланцюгових дробів.

Нехай знову дано конгруенцію , де (a,m)=1. Розкладемо в ланцюговий дріб. Якщо і є останні підхідні дроби, то на основі теореми 4 маємо

, тобто

.

Враховуючи, що перший член кратний модулю m, дістанемо далі

або

і, нарешті,

Порівнюючи цей результат з конгруенцією (27), дістаємо

(28)

що й є розв'язком конгруенції (27).

Приклад 1. Конгруенція

(29)

має три розв'язки, бо (192,327)=3 і 93. Скорочуючи всі члени і модуль конгруенції на 3, дістанемо конгруенцію

(30)

рівносильну заданій. Розкладемо число в ланцюговий дріб. За алгоритмом Евкліда маємо

						109	64
						64	1
					64	45
					45	1
				45	19
				38	2
			19	7
			14	2
		7	5
		5	1
	5	2
	4	2
2	1
2	2
0

Неповними частками є числа 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2. Очевидно, тут n=6. Обчислимо тепер число за схемою.

	1	1	2	2	1	2	2
	1	2	5	12	17	46	109

Отже, чисельник передостаннього підхідного дробу дорівнює 46. Тому за формулою (28) маємо

або

Таким чином, клас чисел є розв'язком конгруенції (30) і заданої конгруенції (29). Але при модулі m=327 цей клас лишків розпадається на три класи

,

які й є розв'язками конгруенції (29).

Приклад 2. Використовуючи ланцюгові дроби, розв'язати конгруенцію

Розв'язання. Знаходимо (220,348)=4. Оскільки 284, то задана конгруенція має чотири розв'язки. Поділимо обидві частини і модуль заданої конгруенції на 4:

Розв'яжемо цю конгруенцію за допомогою ланцюгових дробів. Розкладемо у ланцюговий дріб і обчислимо його підхідні дроби. Дістанемо таблицю елементів та чисельників .

	0	1	2	3	4	5	6
	1	1	1	2	1	1	4
	1	2	3	8	11	19	87

Отже, n=6, . Оскільки b=7, m=87, то за формулою (28)

є розв'язком конгруенції . Тоді задана конгруенція має розв'язки:

Висновки

В ході виконання роботи було вивчено основні теоретичні відомості про ланцюгові дроби, досліджено історичний аспект проблеми, розглянуто основні застосування неперервних дробів. Автором було самостійно дібрано приклади для ілюстрації теоретичних положень та здійснено їх розв'язання.

Отримані результати можна використовувати у шкільному курсі при проведенні підготовки до математичних конкурсів, учнівських олімпіад, а також при організації роботи гуртків та факультативних занять.

Із даного дослідження можна зробити такі висновки:

· Ланцюгові дроби виникли досить давно для задоволення практичних цілей;

· Знання неперервних дробів дало можливість розв'язувати лінійні рівняння з двома невідомими, розв'язування задач, пов'язаних із неперервними схемами в електротехніці, автоматиці та обчислювальній техніці;

· Ланцюгові дроби розглядаються у шкільному курсі математики, як завдання підвищеної складності, а також при підготовці та проведенні учнівських олімпіад;

· Будь-яке раціональне число може бути представлене в вигляді скінченного ланцюгового дробу, а отже дає можливість зводити до менших чисел громіздкі нескоротні доби;

· Можливість заміни ірраціональних чисел близькими до них раціональними числами.

Список використаної літератури

1. С.Т. Завало, В.Н. Костарчук, Б.И. Хацет. Алгебра і теорія чисел: В 2-х ч. - К.:Вища школа, 1976. - 384 с.

2. В.И. Арнольд. Цепные дроби.- М.: МЦНМО, 2000.-Т.14. - 40 с.

3. А.А. Бухштаб. Теория чисел.- М.: Просвещение, 1966. -384 с.

4. А.Я. Хинчин. Цепные дроби, изд.3. - М.: Физмагтиз., 1961. -112с.

5. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. -Гос. изд. технико-теретической литературы, 1952. -180 с.

6. И.Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. -М.: Просвещение, 1965. -138 с.

7. В.Г. Бевз. Практикум з історії математики: Навчальний посібник для студентів фізико-математичних факультетів педагогічних університетів. -К.: НПУ імені М.П. драгоманова, 2008. -312 с.

8. Математическая энциклопедия Т.4. - С.804-806.

9. О.А Сарана. Математичні олімпіади: просте і складне поруч. Навчальний посібник. -К.: А.С.К., 2005.- 344 с.

10. В. Кравчук, Г. Янченко. Алгебра: Підручник для 7 класу.- Тернопіль: Підручники і посібники, 2007.- 224 с.

Размещено на Allbest.ru

...