Информационные характеристики случайных погрешностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Информационные характеристики случайных погрешностей

Очевидно, что в процессе измерения получают определенную информацию об измеряемой величине, иначе говоря, уменьшается дезинформированность о ней. Если бы результат измерения вполне определенно соответствовал истинному значению измеряемой величины, можно было бы считать, что в результате измерения дезинформация полностью устранена. Однако погрешность измерения приводит к тому, что определенная степень дезинформации остается и после измерения.

Количественно дезинформация об измеряемой величине X (которую следует рассматривать как случайную) определяется ее энтропией:

(1)

В (1) -- это плотность распределения измеряемой величины.

Рис. 1

Допустим, перед измерением известно, что значения измеряемой величины X лежат в диапазоне от до , причем все значения в этом диапазоне равновероятны, т.е. имеет место равномерное распределение значений X.

По формуле (1) найдем энтропию до измерения: 

(2)

Если погрешность измерения имеет равномерное распределение с граничными значениями (см. рис. 1), то по той же формуле энтропия после измерения определяется как

(3)

Количество информации , получаемой в результате измерения, равно разности энтропий до и после измерения:

(4)

(5)

Отношение (5) определят число различимых градаций (делений) в диапазоне измеряемой величины и называется разрешающей способностью. С учетом (5) выражение (4) преобразуется в вид:

(6)

Выразим из (3) эквивалентную границу погрешности в виде

(7)

Соотношение (7) можно представить в виде:

(8)

(9)

Выражения (4) и (5) можно распространить и на случаи других распределений погрешности, если заменить в них интервал равномерно распределенной погрешности на некоторый эквивалентный в отношении энтропии интервал погрешности . Такая замена фактически означает замену произвольного распределения погрешности на равномерное распределение в интервале с таким же значением энтропии.

Эквивалентную границу погрешности называют энтропийным значением погрешности. Ее удвоенное значение определяет интервал неопределенности измерений при любой форме распределения погрешности.

(10)

Выражение (10) характеризует ширину зоны неопределенности (рис. 1) измеряемой величины. В частности, для нормального распределения, используя выражения (7), (1), ((17) лекции 5), можно найти энтропийное значение погрешности: . Отметим, что такое значение погрешности практически совпадает с доверительной границей погрешности при доверительной вероятности 0,95.

Выполняя аналогичные действия, ширину зоны неопределенности можно найти и для треугольного распределения .

Очевидно, что для равномерного распределения .

Важным достоинством понятия энтропийного значения погрешности является то, что оно вполне строго определяет границы интервала неопределенности измерения в отличие от понятия доверительных границ погрешности, которые зависят от произвольно выбранной доверительной вероятности.

Оценка характеристик случайных погрешностей по экспериментальным данным.

Для выявления и определения характеристик случайных погрешностей необходимо провести многократные наблюдения измеряемой величины. Получаемые результаты наблюдения в общем случае будут отличаться друг от друга. Поскольку число наблюдений n всегда ограничено, то на практике можно получить лишь приближенные, оценочные значения характеристик случайных величин, которые называются оценками этих характеристик. В отличие от самих характеристик их оценки являются случайными величинами и зависят от числа n.

Известно, что оценки характеристик случайных величин, получаемые по статистическим данным, имеют наибольшую достоверность, если они удовлетворяют требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка числовой характеристики случайной величины считается состоятельной, если при значение ; несмещенной, если математическое ожидание этой оценки ; эффективной, если дисперсия оценки .

Равноточные измерения

Будем считать, что все наблюдения проводятся в одинаковых (равноточных) условиях, т.е. одними и теми же средствами измерения, одним оператором и т.д. Имеем ряд равноточных измерений: (11)

Ряд (11) можно назвать многократным измерением, а - однократным измерением.

Порядок действий при обработке результатов измерений:

Нужно исключить систематическую погрешность:

(12)

(13)

Из соотношения (13) следует, что (14) -- исправленный ряд измерений.

По исправленным результатам измерений определить их среднее арифметическое значение

(15)

Отметим: если известно, что систематическая погрешность во всех наблюдениях оставалась неизменной, то ее можно исключить из (а не из ).

Найденное по формуле (15) среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой математического ожидания при нормальном распределении результатов наблюдений, а также состоятельной и несмещенной оценкой при любых симметричных (относительно ) распределениях, т.е. .

Оценить случайную погрешность каждого отдельного измерения:

(16)

Если выполняется условие , то пункты 2 и 3 вычислены правильно.

Найти СКО однократных измерений:

, (17)

где -- оценочное значение СКО. Представим (17) в виде

(18)

Очевидно, что с увеличением числа наблюдений n возрастает точность оценок и . Разность характеризует случайную погрешность определения математического ожидания, т.е. случайную погрешность результата n-кратного измерения. Очевидно, что случайная погрешность также имеет некоторое среднеквадратическое отклонение . Его оценка определяется соотношением

, (19)

из которого следует, что результат n-кратного измерения имеет в раз меньше СКО по сравнению с результатом единичного измерения .

Оценки СКО единичного и n-кратного измерения называются точечными оценками случайной погрешности. Кроме них используют интервальные оценки погрешности, определяющие границы интервала, внутри которого находятся значения случайной погрешности. При симметричных законах распределения, которые чаще всего имеют место, эти границы располагаются симметрично относительно нулевого значения случайной погрешности. В таких случаях интервал погрешности определяется одним граничным значением . Таким образом, после вычисления оценки СКО определение интервальной оценки фактически сводится к установлению коэффициента пропорциональности между оценкой СКО и интервальной оценкой . Однако значение зависит, прежде всего, от закона распределения погрешности. Поэтому выбору коэффициента должно предшествовать заключение (или хотя бы обоснованное предположение) об имеющем место законе распределения. По таблице 1 можно определить коэффициент t доверительного или энтропийного интервала погрешности для трех видов ее распределения.

погрешность интервал измерение

Таблица 1

При нормальном распределении доверительную вероятность, как правило, принимают равной 0,95. При этом доверительный интервал совпадает с энтропийным интервалом (энтропийным значением) погрешности. В тех случаях, когда измерение нельзя повторить или когда велика цена риска выхода погрешности за пределы интервала (например, если при этом может быть причинен ущерб здоровью), выбирают или даже 0,997.

Необходимо отметить, что при малом числе наблюдений , коэффициент подчиняется распределению Стьюдента (см. табл.2).

Таблица 2

Следует иметь в виду, что если среди результатов измерений имеются отдельные измерения, резко отличающиеся от остальных в большую или меньшую сторону, прежде всего следует проверить, не являются ли эти результаты или промахами, связанными с опиской, ошибкой в снятии показаний и т. п. Если промахи не установлены, следует проверить, не являются ли эти результаты грубыми погрешностями. Проверка проводится статистическим методом и сводится к сравнению нормированного отклонения или с максимальным маловероятным нормированным отклонением результата наблюдения , которое могло бы иметь место при данном распределении и числе наблюдений . Малая вероятность такого отклонения задается уровнем значимости , определяющим вероятность нахождения случайной величины между %-ным квантилем и . Значение обычно выбирают от 1 до 10%. Значения для нормального распределения при заданных и приведены в таблице 3

Таблица 3

Если указанной отклонение проверяемого результата наблюдения оказывается больше , его следует считать грубой погрешностью, которая, как и промах, должна быть исключена их полученной совокупности результатов наблюдения. После этого следует повторить их обработку с учетом меньшего числа .

Размещено на Allbest.ru