Математическая модель медицинского страхования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы математического моделирования

1.1 Классификация моделей

1.2 Математические модели

1.3 Основные этапы моделирования

Глава 2. Медицинское страхование при заболевании туберкулезом

2.1 Математическая модель заболевания туберкулезом

Заключение

Список литературы



Введение

математический моделирование заболевание туберкулез

Степень разработанности математических методов в научной дисциплине служит объективной характеристикой глубины знаний об изучаемом предмете. Явления в физики и химии описываются математическими моделями достаточно полно, в результате эти науки достигли высокой степени теоретических обобщений.

Математическое моделирование как нормальных физиологических, так и патологических процессов является в настоящее время одним из самых актуальных направлений в научных исследованиях. Дело в том, что современная медицина представляет собой в основном экспериментальную науку с огромным эмпирическим опытом воздействия на ход тех или иных болезней различными средствами. Выбор тех или иных математических моделей при описании и исследовании биологических и медицинских объектов зависит как от индивидуальных знаний специалиста, так и от особенностей решаемых задач. Например, статистические методы дают полное решение задачи во всех случаях, когда исследователя не интересует внутренняя сущность процессов, лежащих в основе изучаемых явлений. Когда знания о структуре системы, механизмах ее функционирования, протекающих в ней процессах и возникающих явлениях, могут существенно повлиять на решения исследователя, прибегают к методам математического моделирования систем. При математическом моделировании выделяют два независимых круга задач, в которых используют модели. Первый носит теоретический характер и направлен на расшифровку структуры систем, принципов ее функционирования, оценку роли и потенциальных возможностей конкретных регуляторных механизмов.

Другой круг задач имеет практическую направленность. В медицине они применяются, например, с целью получения конкретных рекомендаций определение оптимальной суточной дозы препарата для данного больного при различных режимах питания и физической нагрузки.

Глава 1. Теоретические основы математического моделирования

Слово «модель» произошло от латинского слова «modulus», означает «мера», «образец». Его первоначальное значение было связано со строительным искусством и почти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования XX век. Постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом, и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

В самом общем случае при построении модели исследователь отбрасывает те характеристики, параметры объекта-оригинала, которые несущественны для изучения объекта. Выбор характеристик объекта-оригинала, которые при этом сохраняются и войдут в модель, определяется целями моделирования. Обычно такой процесс абстрагирования от несущественных параметров объекта называют формализацией. Более точно, формализация - это замена реального объекта или процесса его формальным описанием.

Практически во всех науках о природе, живой и неживой, об обществе, построение и использование моделей является мощным орудием познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим (а иногда и единственным) способом их изучения часто является построение и исследование модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому многократно более простой, чем эта реальность.

1.1 Классификация моделей

Границы между моделями различных типов или классов, а также отнесение модели к какому-то типу или классу чаще всего условны. Рассмотрим наиболее распространенные признаки, по которым классифицируются модели.

Классификация моделей по области использования:

Учебные модели - используются при обучении.

Опытные - это уменьшенные или увеличенные копии проектируемого объекта. Используют для исследования и прогнозирования его будущих характеристик.

Научно-технические - создаются для исследования процессов и явлений.

Игровые - репетиция поведения объекта в различных условиях

Имитационные - отражение реальности в той или иной степени (это метод проб и ошибок).

2) Классификация моделей по фактору времени:

Статические - модели, описывающие состояние системы в определенный момент времени (единовременный срез информации по данному объекту). Примеры моделей: классификация животных, строение молекул, список посаженных деревьев, отчет об обследовании состояния зубов в школе и т.д.

Динамические - модели, описывающие процессы изменения и развития системы (изменения объекта во времени). Примеры: описание движения тел, развития организмов, процесс химических реакций.

3) Классификация моделей по отрасли знаний - это классификация по отрасли деятельности человека:

Математические, биологические, химические, социальные, экономические, исторические и т.д..

4) Классификация моделей по форме представления:

Материальные - это предметные (физические) модели. Они всегда имеют реальное воплощение. Отражают внешнее свойство и внутреннее устройство исходных объектов, суть процессов и явлений объекта-оригинала. Это экспериментальный метод познания окружающей среды. Примеры: детские игрушки, скелет человека, чучело, макет солнечной системы, школьные пособия, физические и химические опыты

Абстрактные (нематериальные) - не имеют реального воплощения. Их основу составляет информация. Это теоретический метод познания окружающей среды. По признаку реализации они бывают: мысленные и вербальные; информационные.

Мысленные модели формируются в воображении человека в результате раздумий, умозаключений, иногда в виде некоторого образа. Это модель сопутствует сознательной деятельности человека.

Вербальные - мысленные модели, выраженные в разговорной форме. Используются для передачи мыслей.

Информационные модели - целенаправленно отобранная информация об объекте, которая отражает наиболее существенные для исследователя свойств этого объекта.

По степени формализации информационные модели бывают:

Образно-знаковые: геометрические (рисунок, пиктограмма, чертеж, карта, план, объемное изображение); структурные (таблица, граф, схема, диаграмма); словесные (описание естественными языками); алгоритмические (нумерованный список, пошаговое перечисление, блок-схема).

Знаковые модели: математические - представлены математическими формулами, отображающими связь параметров; специальные - представлены на спец. Языках (ноты, химические формулы); алгоритмические - программы.

1.2 Математические модели

Широко распространенным видом моделирования является математическое моделирование. Математическая модель отражает существенные свойства объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Математическое моделирование стало чрезвычайно мощным средством познания в естественных, технических и социальных науках, экономике, многих видах практической деятельности, и заслуживает углубленного изучения.

Нужно отметить, что математическое моделирование, являющееся основой компьютерного моделирования, появилось задолго до создания компьютеров. Однако возможности компьютеров позволили ученым моделировать сложные динамические явления природы, а также сложные экономические и социальные процессы. Цель создания компьютерной математической модели -- проведение численного эксперимента, позволяющего исследовать моделируемую систему, спрогнозировать ее поведение, подобрать оптимальные параметры и пр.

Характерные признаки компьютерной математической модели:

* наличие реального объекта моделирования;

* наличие количественных характеристик объекта: входных и выходных параметров;

* наличие математической связи между входными и выходными параметрами;

* реализация модели с помощью определенных компьютерных средств.

1.3 Основные этапы моделирования

Моделирование -- творческий процесс. Заключить его в формальные рамки очень трудно. В наиболее общем виде его можно представить поэтапно в следующем виде.

Каждый раз при решении конкретной задачи такая схема может подвергаться некоторым изменениям: какой-то блок может быть убран или усовершенствован. Все этапы определяются поставленной задачей и целями моделирования.

I этап. Постановка задачи

Под задачей в самом общем смысле понимается некая проблема, которую надо решить. Главное -- определить объект моделирования и понять, что собой должен представлять результат.

По характеру постановки все задачи можно разделить на две основные группы. К первой группе можно отнести задачи, в которых требуется исследовать, как изменяется характеристика объекта при некотором воздействии на него. Такую постановку задачи принято называть “что будет, если…”. Вторая группа задач имеет такую обобщенную формулировку: какое надо произвести воздействие на объект, чтобы его параметры удовлетворяли некоторому заданному условию? Такая постановка задачи часто называется “как сделать, чтобы…”.

Цели моделирования определяются расчетными параметрами модели. Чаще всего это поиск ответа на вопрос, поставленный в формулировке задачи.

Далее переходят к описанию объекта или процесса. Иногда задача может быть уже сформулирована в упрощенном виде, и в ней четко поставлены цели и определены параметры модели, которые надо учесть.

При анализе объекта необходимо ответить на следующий вопрос: можно ли исследуемый объект или процесс рассматривать как единое целое или же это система, состоящая из более простых объектов? Если это единое целое, то можно перейти к построению информационной модели. Если система -- надо перейти к анализу объектов, ее составляющих, определить связи между ними.

II этап. Разработка модели

По результатам анализа объекта составляется информационная модель. В ней детально описываются все свойства объекта, их параметры, действия и взаимосвязи.

Далее информационная модель должна быть выражена в одной из знаковых форм. Учитывая, что мы будем работать в среде электронных таблиц, то информационную модель необходимо преобразовать в математическую. На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель в форме таблиц, в которой выделяются три области данных: исходные данные, промежуточные расчеты, результаты. Исходные данные вводятся “вручную”. Расчеты, как промежуточные, так и окончательные, проводятся по формулам, записанным по правилам электронных таблиц.

III этап. Компьютерный эксперимент

Чтобы дать жизнь новым конструкторским разработкам, внедрить новые технические решения в производство или проверить новые идеи, нужен эксперимент. В недалеком прошлом такой эксперимент можно было провести либо в лабораторных условиях на специально создаваемых для него установках, либо на натуре, т.е. на настоящем образце изделия, подвергая его всяческим испытаниям. Это требует больших материальных затрат и времени. В помощь пришли компьютерные исследования моделей. При проведении компьютерного эксперимента проверяют правильность построения моделей. Изучают поведение модели при различных параметрах объекта. Каждый эксперимент сопровождается осмыслением результатов. Если результаты компьютерного эксперимента противоречат смыслу решаемой задачи, то ошибку надо искать в неправильно выбранной модели или в алгоритме и методе ее решения. После выявления и устранения ошибок компьютерный эксперимент повторяется.

IV этап. Анализ результатов моделирования

Заключительный этап моделирования -- анализ модели. По полученным расчетным данным проверяется, насколько расчеты отвечают нашему представлению и целям моделирования. На этом этапе определяются рекомендации по совершенствованию принятой модели и, если возможно, объекта или процесса.



Глава 2. Медицинское страхование при заболевании туберкулезом

2.1 Математическая модель заболевания туберкулезом

При рассмотрении Марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем будем считать, что все переходы некоторой системы из одного состояния в другое происходят под действием потоков событий. Если все потоки простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет Марковским. На графе состояний системы у каждой стрелки будем проставлять интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния в состояние .

Здесь - интенсивность потока отказов первого узла;= ( - среднее время безотказной работы первого узла). Для размеченного графа показанного на рис. Определим вероятности состояний системы ,,…, ( - вероятность i-ого состояния системы, ).

Для этого составим систему уравнений Колмогорова для конкретной системы, Размеченный граф состояний которой показан на рисунке. Найдем вероятность , что в момент t система будет находиться в состоянии .

Придадим t приращение и найдем вероятность того, что в момент t+ система будет находиться в состоянии . Это событие может осуществиться двумя способами:

1. В момент t система была в состоянии и за время из него не вышла;

2. В момент t система была в состоянии и за перешла в .

Вероятность первого варианта равна произведению на условную вероятность того, что за не произойдет перехода . Эта вероятность равна 1- . В итоге имеем (1- ) . Вероятность второго варианта равна ( - вероятность условного перехода ). В итоге )= (1- )+ .

Деля обе части на и переходя к пределу при найдем

Аналогично можно найти еще три уравнения

Эти уравнения называются уравнениями Колмогорова.

Интегрируя эту систему уравнений, найдем вероятности состояний, как функции времени. Для этого необходимо задать начальные условия при t=0.

Например - это означает, что при t=0 система находится в состоянии .

Сформулируем правило составления дифференциальных уравнений:

В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак «-«, если в состояние знак «+». Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующему данной стрелке, умноженной на вероятность состояния, из которого исходит стрелка.

В качестве примера построения математической модели рассмотрим процесс заболевания туберкулезом.

Для процесса заболевания туберкулезом рассмотрим четыре состояния системы: - «здоров», -«инфицирован туберкулезом»,- «смерть», - «болен туберкулезом», где - интенсивности переходов из одного состояния в другое. Ниже представлен граф состояний соответствующей системы.

Для нахождения вероятностей присутствия индивида в том или ином состоянии составим уравнения Колмогорова. Для нашей схемы, система имеет вид:

Здесь - вероятность состояния .

При задании начальных условий для системы учитываем, что на учете больных туберкулезом на 2010 год состоят 4879 человек, инфицированных - 1910 человек. Считая, что население Республики Башкортостан составляет 4072292 человека, имеем в начальный момент времени здоровых 4065022 человек. Таким образом, эти условия имеют следующий вид:

Кроме того, для любого момента времени t выполняется нормировочное условие: .

Когда интенсивности переходов известны, случай сводится к прямой задаче - решению уравнений Колмогорова.

Решаем систему Колмогорова для ,,, с краевыми условиями, и получаем решение вида:

= 1-

Приведем основные показатели по туберкулезу по Республике Башкортостан за 2009-2012 гг. по данным Республиканского противотуберкулезного диспансера.

Таблица 1.1 - Количество человек находящихся в соответствующих состояниях

	2010	2011	2012
Время	0	1	2
Здоров	4065022	4064983	4057157
Инфицирован	1910	1898	1894
Болен	4879	4817	4808
Умер	481	387	386

Таблица 1.2 - Вероятности нахождения системы в соответствующих состояниях

	2010	2011	2012
t	0	1	2
	0,99821	0,998255	0,998256
	4,7639Е-4	4,6610Е-4	4,6601Е-4
	0,001198	0,001182	0,001182
	1,1811Е-4	9,5037Е-5	9,4974Е-5



Найдем интенсивности переходов для математической модели. Из решения системы Колмогорова для вероятности можем выразить интенсивность перехода

Интенсивности переходов определялись как среднее значение интенсивности.

Таблица 1.3 - Значение интенсивностей переходов

t	1	2	Среднее значение
	4,6691Е-4	4,6682Е-4	4,6786Е-4
	0,203898	0,203801	0,219843
	0,391473	0,394021	0,393926
	0,080340	0,080282	0,086402

На основании средних значений показателей ,,, получаем расчетные значения вероятностей нахождения системы в состояниях - «здоров», -«инфицирован туберкулезом»,- «смерть», - «болен туберкулезом»

Таблица 1.4 - Вероятности нахождения системы в соответствующих состояниях (расчет)

	2010	2011	2012
t	0	1	2
	1,001788	0,999534	0,999067
	4,7639Е-4
	0,001198
	1,1811Е-4

Графическое сравнение экспериментальных и расчетных данных приведено на рис.1.1-1.4. Видно, что расчет хорошо совпадает с экспериментом. Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными дает основание утверждать, что модель, описываемая системой, адекватна реальным данным и может быть использована при практических расчетах определения интервалов необходимых средств при лечении и профилактики больных туберкулезом, с последующим расчетом тарифных ставок.

Рис.1.1 Сравнение расчетных и экспериментальных значений вероятностей для состояния «здоров»

Рис.1.2 Сравнение расчетных и экспериментальных значений вероятностей для состояния «инфицирован туберкулезом»



Рис.1.3 Сравнение расчетных и экспериментальных значений вероятностей для состояния «болен туберкулезом»

Рис.1.4 Сравнение расчетных и экспериментальных значений вероятностей для состояния «смерть»



Заключение

В данной работе построена математическая модель заболевания туберкулеза, используя четыре состояния болезни. Поставленные задачи решены с использованием теории Марковских процессов и теории графов. При решении задачи использовались труды отечественных ученых, посвященные актуарной математике, математическому моделированию.

Рассмотрен процесс заболевания туберкулезом, для которого построен граф состояний, математическая модель, решена система Колмогорова. Были сверены графически экспериментальные и расчетные данные. Построенная модель является адекватной, и может быть использована при практических расчетах.

Список литературы

1. Спивак С.И., Райманова Г.К. Математические модели медицинского страхования.Уфа:РИЦ БашГУ,2011.

2. Советов Б.А., Яковлев С.А. Моделирование систем. М: Высшая школа, 1985.

3. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения, пер. с англ. М.: Наука, 1969.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Высш. Шк. 2002.

5. Спивак С.И., Райманова Г.К. Математическая модель процесса заболевания туберкулезом// Системы управления и информационные технологии, 2009, 2.2(36). - с. 293-297

6. Panjer H., Willmot G. Insurance Risk Models. Schaumberg IL: Society of Actuaries, 1992

Размещено на Allbest.ru

...