Визначення площі та параметрів об'ємних фігур

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача № 1.

Основою піраміди є рівобедрений трикутний з бічною стороною b і кутом при основі. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють .Визначити бічну поверхню конуса, вписаного в дану піраміду.

Дано:

АВСК-піраміда

?АВС-рівнобедрений, АВ=АС=b

-лінійний кут двогранного кута

DLK-конус вписаний в піраміду

Знайти: SбічDKL

Розв'язання

Якщо конус DLK вписано в піраміду значить основа конуса круг з центром О і радіусом ОD вписано в ?АВС.

Висота піраміди і конуса співпадають.

1.Розглянемо ?АВС - рівнобедренний:

АВ-основа, ВС=АС=b

Проведемо СD-висота ?АВС; СDАВ.

Значить СD-медіана і бісектриса. Утворюються ?АDС і ?ВDС- прямокутні

; ; ;

одже

;

; ;

,

де p - півпериметр ?АВС, r - радіус вписаного в трикутник кола; звідки

.

Таким чином

2. - є лінійним кутом двогранного кута KO(АВC), DO є (АВС). Значить ?KOD - прямокутний

;

3. ,

де r = DO l=KD

Відповідь:

Задача № 2.

В основі піраміди лежить ромб з гострим кутом б .Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють г.Відрізок,що сполучає основу висоти піраміди з серединою сторони ромба дорівнює b. Визначити об'єм конуса вписаного в дану піраміду.

Дано:

АВСDК-піраміда

АВСD-ромб

ОМ=b

КМ1О=г

Знайти:VLKF

площа сфера куб піраміда

Розв'язання

1. Розглянемо комбінацію геометричних тіл. Якщо конус вписано в піраміду, значить основа конуса вписана в основу піраміди, а їх висоти співпадають.

АВСD - ромб.М є АВ,М - середина АВ.

Якщо всі двогранн кути при основі піраміди утворилися рівними повершині, то вершина піраміди проектуеться на площину основи в центр вписаного кола.

Так як КМ1О - лінійний кут двогранного кута ,то ОМ1 + АВ.

ОМ1-радіус,вписаного в ромб кола.

В ромбі АВСD проведемо діагональ АС. Таким чином відрізок відрізок МО сполучає середини сторін АВ та АС ,значить є середньою лінією .

Якщо МО=b,то ВС=2 b.

Тоді

Діагоналі ромба ділять його на 4 рівних прямокутних трикутника.

Отже

З іншого боку

Значить

2. КО(АВС) ОМ1 є (АВС) значить ?КОМ1 - прямокутний

3.

Відповідь:

Задача № 3

Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з основою а і кутом б при вершині.Усі бічні ребра піраміди утворююють з площиною основи кут г. Визначити бічну поверхню конуса, описаного навколо данної піраміди

Дано:

АВСМ-піраміда,вписана в конус

DMK-конус

? ABC-рівнобедрений

АВ=ВС,АС=а,АС-основа

Знайти: Sбіч DMK

Розв'язання

1. Якщо конус DMK описаний навколо піраміди АВСМ ,значить основа конуса описана навколо ? ABC ,а висоти конуса і піраміди співпадають. Якщо всі бічні ребра піраміди утворюють з площиною основи рівні кути г , то вершина піраміди проектується на площину основи в центр описаного кола. Отже т.О - центр описаного навколо ? ABC кола.

2. Розглянемо ? ABC -рівнобедрений. BFAC, BF - висота,проведена до основи рівнобедреного трикутника.

BF-бісектриса і медіана

AF=FC, ;

; ; ;

;

3. МО(АВС), СО є (АВС), МООС Значить ?МОС - прямокутний

;

Довжина твірної конуса співпадає з довжиною бічного ребра вписаної призми

Відповідь:

Задача № 4

В основі піраміди лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною кут б. Усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом г. Відрізок, що сполучає середину більшої сторони прямокутника з основою висоти піраміди дорівнює а. Визначити об'єм конуса, описаного навколо даної піраміди

Дано:

АВСDМ-піраміда вписана в конус

АВСD-прямокутник

АD>АВ, АN=ND, N-середина АD

ОN= а,

Знайти: Vk FMK

Розв'язання

1.Якщо конус описано навколо даної піраміди,значить основа конуса прямокутник АВСD вписані в круг (О;ОD)

2.Так як усі бічні ребра нахилені до площини основи під одним кутом,то вершина піраміди проектуєтьсяна площину основи в центр описаного кола.

3.Розглянемо АВСD-прямокутник

АС-діагональ, , N-середина АD; ОN-сполучає середини сторін АС і АD, значить ОN-середня лінія ?АОС.

Якщо ОN=а, то СD=2а.

Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл

4. МО(АВС), АО є (АВС), МОАО і ? МОА - прямокутний.

5.

Відповідь:

Задача № 5

Основою прямої призми є прямокутний трикутник ?АВС(С=90 0) з гострим кутом б. Діагональ бічної грані,що містить гіпотенузу дорівнює а і нахилена до площини основи під кутом в. Визначити об'єм циліндра, вписаного в дану призму

Дано:

АВСС1В1А1-трикутна призма

?АВС-прямокутний

А1В- діагональ бічної грані,

що містить гіпотенузу АВ ?АВС

А1В=а

А1ВА= в

Знайти: Vцил

Розв'язання

Якщо циліндр вписаний в призму, то це значить, що круг в основі циліндра вписаний в прямокутний ?АВС. Висота циліндра співпадає з довжиною бічного ребра призми. Так як призма пряма, то її бічне ребро перпендикулярне площині основи АА1 + (АВС), АВ є (АВС), А1АВ= 90 0

1.Розглянемо ?АА1В - прямокутний

2.Розглянемо ?АСВ-прямокутний

3.Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутний трикутник має вид:

де а і b катети, c - гіпотенуза

4.

Відповідь:

Задача № 6

Основою прямої призми є ромб з гострим кутом б . Діагональ бічної грані призми дорівнює

l і утворює з площиною основи кут в. Визначити бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.

Дано:

АВСDD1С1В1А1-пряма призма

АВСD-ромб, АВС=б

А1D-діагональ бічної грані

А1DА= в

Знайти: Sб.цил.

Розв'язання

Якщо циліндр вписано в призму, значить основа циліндра вписана в ромб АВСD, а висота циліндра і призми співпадають.

1.Розглянемо ? А1А D-прямокутний А А1 + (АВС)

2.Розглянемо ромб АВСD

де а сторона ромба

Радіус кола, вписаного в ромб дорівнює половині висоти

3.

Відповідь:

Задача №7

Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гострим кутом кутом в. Діагональ бічної грані, що містить прилеглий до цього кута катет дорівнює b і нахилена до площини основи під кутом б .Знайти об'єм циліндра, описаного навколо данох призми.

Дано:

АВСА1В1С1-трикутна призма вписана в циліндр

?АВС-прямокутний

АВС= в; А1В= b; АВА1=б

Знайти: Vцил.

Розв'язання

1.Якщо трикутна призма вписана в циліндр, значить основа призми вписана в основу циліндра, а твірна циліндра циліндра співпадає з довжиною бічного ребра призми.

АВСА1В1С1-пряма трикутна призма АА1 + (АВС), АВ є АВС

Значить ?АА1В-прямокутний.

2.Розглянемо ?ВАС-прямокутний

Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи.

3.

Відповідь:

Задача № 8

В основі прямої призми лежить прямокутник,діагональ якого утворює з більшою стороною кут г.Діагональ бічної грані призми, що містить тельну сторону прямокутника дорівнює d і утворює з площиною основи кут б. Знайти бічну поверхню циліндра описаного навколо даної призми.

Дано:

АВСDD1С1В1А1-прямокутна призма

АВСD-пряиокутник

А D > DС

D1С D= б

С D1= d

Знайти: Sб.цил.

Розв'язання

Якщо призма вписана в циліндр значить основа призми вписана в основу циліндра, а висота призми і циліндра співпадають.

Так як призма пряма значить бічне ребро перпендикулярне площині основи СС1 + (АВС). Аналогічно D1D + DС

1.Розглянемо ? D1DС-прямокутний

2.Так як в основі прямокутник АВСD, то ?АDС-прямокутний

3.Радіус круга, описаного навколо прямокутника дорівнює половині діагоналі

4.

Відповідь:

Задача №9

У правильну трикутну піраміду вписано кулю радіусом R. Бічна грань піраміди нахилена до площини основи під кутом г. Визначити об 'єм піраміди.

Дано:

АВСМ-правильна трикутна піраміда;

куля (О; R)

МКВ= г

Знайти:Vпір

Розв'язання

1.Центр вписаної в піраміду кулі лежить в точці перетину перпендикуляра,проведеного до площини основи, що проходить через центр вписаного кола з бісекторною площиною двогранного кута при основі піраміди.

МКD - лінійний кут двогранного кута

ОКD - (MKD:2)=1/2 МКD= г/2

2. З ? ОDК-прямокутного

КD - радіус вписаного в ? АВС кола

де а - сторона ? АВС ,

3. З ? МDК- прямокутного

4.

Відповідь:

Задача №10

Сторона основи правильної гострокутної піраміди дорівнює а;бічна грань утворює з площиною основи кут б .Знайти радіус описаної кулі

Дано:

ABCDS-правильна чотирикутна піраміда

ABCD-квадрат

АD=а

SКО= б

Знайти: Rк

Розв'язання

Центр кулі описаної навколо чотирикутної призми лежить в точці перетину перпендикуляра проведеного до площини основи, що проходить через центр описаного навколо основи кола з площиною перпендикулярною до бічного ребра, що проходить через його середину

1.Розглянемо ?АDВ-прямокутний АD=а, ВD=аv2

Кут нахилу бічної грані до площини основи є кут між апофемою SК і її проекцією в площину основи.

SКО= б; ОК=1/2AD

З ?SOK -прямокутного (SO(АBC) OK є (АBC)

Осьовим перерізом комбінації геометричних тіл рівнобедрений трикутник ВSD, писаний в коло.

Розглянемо ?SOD - прямокутний

SD2=SO2+OD2;

Відповідь:

Задача №11

Кут між висотою правильної трикутної піраміди і бічним ребром дорівнює б (/4 )

В якому відношені ділить висоту піраміди центр описаної сфери

Дано:

АВСS-правильна трикутна піраміда

ОSС= б; /4

Куля,описана навколо піраміди

Знайти:

Розв'язання

В піраміді АВСS проведено висоту SО

SO(АBC) OС є (АBC) значить SOОС

Нехай сторона правильного ?АВС АВ=а,тоді

Центр описаної навколо піраміди кулі лежить в точці перетину перпендикуляра, що проходить через центр оисаного навколо ?АВС круга і бісекторної площини трьохгранного кута.т.О1-центр описаної кулі. SO1 і О1С - радіуси.

Нехай SO1= х; SO=h; OO1=h-x

З ?О1ОС: О1С2=ОО12+ ОС2

, рахуючи від основи.

Відповідь:

Задача №12

У правильну чотирикутну піраміду вписано кулю радіусом R. Двограний кут при основі піраміди дорівнює б. Визначити повну поверхню піраміди.

Дано:

АВСDМ-правильна чотирикутна піраміда

Куля(О; R),вписана в піраміду

МРК-лінійний кут двогранного кута при основі піраміди

Знайти: Sпов.пір

Розв'язання

Центр кулі вписаної в піраміду лежить в точці перетину перпендикуляру , проведеного до площини основи через центр вписаного кола з бісекторною площиною двогранного кута при основі піраміди

МРК-лінійний кут двогранного кута

ОР-бісектриса лінійного кута двогранного кута

ОРК=/2

1.Розглянемо ?ОКР-прямокутний; ОРК=/2

2.АВСD-квадрат;

3. З ?МКР:

4.

5.

Відповідь:

Задача №13

Навколо конуса, осьовим перерізом якого є рівнобедрений гострокутний трикутник, описано кулю радіусом R.Радіус кулі проведений до точки кола, основи конуса, утворює з площиною цієї основи кут г.Знайти об'єм конуса.

Дано:

АВС-конус,вписаний в кулю

?АВС-рівнобедрений, гострокутний

К(О; R)

ОАD= г

Знайти:об 'єм конуса

Розв'язання

Центр кулі описаної навколо конуса в точці перетину перпендикуляра проведеного через центр основи конуса і бісектриси кута нахилу твірної конуса до площини основи

1.Розглянемо ?АOD - прямокутний.

2. Висота конуса

BD=BO+OD; BD=R+Rsin=R(1+sin)

3.

Відповідь:

Задача №14

В сферу радіусом R вписано циліндр. Діагональ осьового перерізу утворює з площиною основи кут б. Знайти об'єм циліндра

Дано:

АВСD-циліндр,вписаний в кулю

САD= б

Сфера(О; R)

Знайти: Vцил.

Розв'язання

Для того, щоб вписати циліндр в кулю достатньо вписати в круг (коло) прямокутник, що є діагональним перерізом.

Точки А і С -є діаметрально протилежними АС=2R

CDAD

Відповідь:

Задача № 15

Знайти відношення площ поверхні і об'ємів кулі відповідно площі повної поверхні і об'єму описаного навколо неї конуса з рівностороннім осьовим перерізом.

Дано

АВС-конус

Куля (О:ОF),вписана в конус

Знайти :

Розв'язання

1.Розглянемо вісьовий переріз комбінації двох тіл. Він є правильним трикутником з вписаним в нього кругом. Нехай

Нехай OF-радіус вписаного в ?АВС круга

Тоді

Для конуса:

Бігла поверхня кулі є сфера

Площа повної поверхні конуса складається з площі бічної поверхні і площі основи

Відповідь:

Задача №16

Осьовий переріз посудини циліндричної форми є квадрат. В посудину помістили кулю, що дотикається циліндрчної поверхні, дна і верхнього рівня води, що наповнює посудину доверху. Після того,як кулю витягли з води, її рівень знизився на 10 см. Знайти об 'єм кулі

Дано:

АВСD-квадрат

?h=10см

Знайти:Vкулі

Розв'язання

В циліндр можна вписати кулі лише тоді коли осьовий переріз є квадрат.

Нехай сторона квадрата буде (2х)см.Тоді радіус основи циліндра (х)см ,а висота (2х)см.

Значить

Відповідь:

Задача №17

Навколо правильної трикутної призми описано кулю. Радіус кулі, проведений до вершини призми, утворює з її бічним ребром кут г .Знайти об 'єм кулі, якщо бічне ребро призми дорівнює b.

Дано:

АВСА1В1С1-правильна трикутна призма

?АВС-правильний

ВВ1 +(АВС)

ВВ1= b

С1СО= г

Знайти: об 'єм кулі

Розв'язання

1.Центр описаної кулі лежить в середині відрізка, що сполучає центри вписаних(описаних) кіл.

OO2=CC1=b; OO1=b/2

OO1(ABC) O1C є (АВС) ?ОО1С- прямокутний

ОС- радіус описаної кулі

Відповідь:

Задача №18

Знайти відношення поверхні і об'єму кулі відповідно до поверхні і об'єму вписаного куба.

Дано:

Куля (О; R)

ABCDА1В1С1D1-куб,вписаний в кулю

Знайти:

Розв'язання

Нехай сторона куба АD=а, АВ=а, DС=а, тоді з ? АDС прямокутного АС=аv3.

Точки А і С1 лежать на поверхні кулі. Середина діагоналі є центром симетрії куба, а значить і центром кулі, одже АС1-діаметр кулі,

Відповідь:

Задача №19

В куб вписано кулю. Знайти площу поверхні обмежуючої сфери, якщо площа поверхні куба S.

Дано:

ABCDА1В1С1D1-куб

Сфера(О; R)

Знайти :S сфери-?

Розв'язання

В куб можна вписати кулю, якщо її діаметр дорівнює довжині ребра куба

де а - довжина ребра

Відповідь:

Размещено на Allbest.ru

...