Действия с матрицами

Проведение операции сложения над матрицами одного порядка, операции умножения матрицы на число и операции умножения матриц подходящего порядка. Рассмотрение аксиоматических исходных свойств операций. Характеристика приоритета операций над матрицами.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 09.11.2014
Размер файла 347,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

Введение

Операция сложения двух матриц

Операция умножения матрицы на число

Операция умножения двух матриц

Приоритет операций над матрицами

Введение

матица порядок аксиоматический умножение

Операции над матрицами, свойства операций.

В этой статье мы разберемся как проводится операция сложения над матицами одного порядка, операция умножения матрицы на число и операция умножения матриц подходящего порядка, аксиоматически зададим свойства операций, а также обсудим приоритет операций над матрицами. Параллельно с теорией будем приводить подробные решения примеров, в которых выполняются операции над матрицами.

Сразу заметим, что все нижесказанное относится к матрицам, элементами которых являются действительные (или комплексные) числа.

Операция сложения двух матриц

Определение операции сложения двух матриц.

Операция сложения определена ТОЛЬКО ДЛЯ МАТРИЦ ОДНОГО ПОРЯДКА. Другими словами, нельзя найти сумму матриц разной размерности и вообще нельзя говорить о сложении матриц разной размерности. Также нельзя говорить о сумме матрицы и числа или о сумме матрицы и какого-нибудь другого элемента.

Определение.

Сумма двух матриц и - это матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, то есть, .

Таким образом, результатом операции сложения двух матриц является матрица того же порядка.

Свойства операции сложения матриц.

Какими же свойствами обладает операция сложения матриц? На этот вопрос достаточно легко ответить, отталкиваясь от определения суммы двух матриц данного порядка и вспомнив свойства операции сложения действительных (или комплексных) чисел.

Для матриц А, В и С одного порядка характерно свойство ассоциативности сложения А+(В+С)=(А+В)+С.

Для матриц данного порядка существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевая матрица. То есть, справедливо свойство А+О=А.

Для ненулевой матрицы А данного порядка существует матрица (-А), их суммой является нулевая матрица: А+(-А)=О.

Для матриц А и В данного порядка справедливо свойство коммутативности сложения А+В=В+А.

Следовательно, множество матриц данного порядка порождает аддитивную группу Абеля (абелеву группу относительно алгебраической операции сложения).

Операция умножения матрицы на число

Определение операции умножения матрицы на число.

Операция умножения матрицы на число определена ДЛЯ МАТРИЦ ЛЮБОГО ПОРЯДКА.

Определение.

Произведение матрицы и действительного (или комплексного) числа - это матрица, элементы которой получаются умножением соответствующих элементов исходной матрицы на число , то есть, .

Таким образом, результатом умножения матрицы на число является матрица того же порядка.

Свойства операции умножения матрицы на число.

Для матриц одного порядка А и В, а также произвольного действительного (или комплексного) числа справедливо свойство дистрибутивности умножения относительно сложения .

Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел и выполняется свойство дистрибутивности .

Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел и справедливо свойство ассоциативности умножения .

Нейтральным числом по умножению на произвольную матрицу А является единица, то есть, .

Из свойств операции умножения матрицы на число следует, что умножение нулевой матрицы на число ноль даст нулевую матрицу, а произведение произвольного числа и нулевой матрицы есть нулевая матрица.

Умножение матрицы на число - примеры и их решение.

Разберемся с проведением операция умножения матрицы на число на примерах.

Пример.

Найдите произведение числа 2 и матрицы .

Решение.

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число:

Пример.

Выполните умножение матрицы на число .

Решение.

Умножаем каждый элемент заданной матрицы на данное число:

Операция умножения двух матриц

Определение операции умножения двух матриц.

Операция умножения двух матриц А и В определяется только для случая, когда ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ А РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ В.

Определение. Произведение матрицы А порядка и матрицы В порядка - это такая матрица С порядка , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицыВ, то есть,

Таким образом, результатом операции умножения матрицы порядка на матрицу порядка является матрица порядка .

Умножение матрицы на матрицу - решения примеров.

Разберемся с умножением матриц на примерах, после этого перейдем к перечислению свойств операции умножения матриц.

Пример.

Найдите все элементы матрицы С, которая получается при умножении матриц и .

Решение.

Порядок матрицы А равен p=3 на n=2, порядок матрицы В равен n=2 на q=4, следовательно, порядок порядок произведения этих матриц будет p=3 на q=4. Воспользуемся формулой

Последовательно принимаем значения i от 1 до 3 (так как p=3) для каждого j от 1 до 4(так как q=4), а n=2 в нашем случае, тогда

Так вычислены все элементы матрицы С, и матрица, полученная при умножении двух заданных матриц, имеет вид .

Пример.

Выполните умножение матриц и .

Решение.

Порядки исходных матриц позволяют провести операцию умножения. В результате мы должны получить матрицу порядка 2 на 3.

Пример.

Даны матрицы и . Найдите произведение матриц А и В, а также матриц В и А.

Решение.

Так как порядок матрицы А равен 3 на 1, а матрицы В равен 1 на 3, то А?В будет иметь порядок 3 на 3, а произведение матриц В и A будет иметь порядок 1 на 1.

Как видите, . Это одно из свойств операции умножения матриц.

Свойства операции умножения матриц.

Если матрицы А, В и С подходящих порядков, то справедливы следующие свойства операции умножения матриц.

Свойство ассоциативности умножения матриц .

Два свойства дистрибутивности и .

В общем случае операция умножения матриц некоммутативна .

Единичная матрица Е порядка n на n является нейтральным элементом по умножению, то есть, для произвольной матрицы А порядка p на n справедливо равенство , а для произвольной матрицы А порядка n на p - равенство .

Следует отметить, что при подходящих порядках произведение нулевой матрицы О на матрицу А дает нулевую матрицу. Произведение А на О также дает нулевую матрицу, если порядки позволяют проводить операцию умножения матриц.

Среди квадратных матриц существуют так называемые перестановочные матрицы, операция умножения для них коммутативна, то есть . Примером перестановочных матриц является пара единичной матрицы и любой другой матрицы того же порядка, так как справедливо .

Приоритет операций над матрицами

Операции умножения матрицы на число и умножения матрицы на матрицу наделены равным приоритетом. В то же время эти операции имеют приоритет выше, чем операция сложения двух матриц. Таким образом, сначала выполняется умножение матрицы на число и умножение матриц, а уже потом производится сложение матриц. Однако, порядок выполнения операций над матрицами может быть задан явно с помощью скобок.

Итак, приоритет операций над матрицами аналогичен приоритету, присвоенному операциям сложения и умножения действительных чисел.

Пример.

Даны матрицы . Выполните с заданными матрицами указанные действия .

Решение.

Начинаем с умножения матрицы А на матрицу В:

Теперь умножаем единичную матрицу второго порядка Е на два:

Складываем две полученные матрицы:

Осталось выполнить операцию умножения полученной матрицы на матрицу А:

Следует заметить, что операции вычитания матриц одного порядка А и В как таковой не существует. Разность двух матриц по сути есть сумма матрицы А и матрицы В, предварительно умноженной на минус единицу: .

Операция возведения квадратной матрицы в натуральную степень так же не самостоятельна, так как является последовательным умножением матриц.

Подведем итог.

На множестве матриц определены три операции: сложение матриц одного порядка, умножение матрицы на число и умножение матриц подходящих порядков. Операция сложения на множестве матриц данного порядка порождает группу Абеля.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.

    реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003

  • Система, свойства и модели комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел. Корень четной степени из отрицательного числа. Матрицы второго порядка, действительные числа. Операции сложения и умножения матриц.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 15.06.2011

  • Размеры прямоугольной, квадратной, диагональной, скалярной матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение строки на столбец (скалярное произведение). Транспонирование матрицы, ее элементы. Образование треугольной таблицы, состоящей из строк, столбцов.

    презентация [1,4 M], добавлен 03.12.2016

  • Доказательство линейной независимости системы векторов пирамиды. Расчет длины ребра, угла между ребрами. Составление уравнения прямой и плоскости. Выполнение операций для матриц. Величина главного определителя. Поиск алгебраических дополнений матрицы.

    контрольная работа [156,0 K], добавлен 20.03.2017

  • Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

    учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009

  • Определение, свойства, виды и историческое происхождение матриц. Расчет определителя третьего порядка. Правило Саррюса для треугольников. Алгоритм построения и единственность обратной матрицы. Исследование линейных отображений векторных пространств.

    контрольная работа [308,2 K], добавлен 12.12.2013

  • Понятие матрицы, его источники и развитие в математической науке, основные элементы и их взаимодействие. Описание действий с матрицами: сложение, вычитание, умножение между собой и на число, транспортирование. Свойства транспортированных матриц.

    контрольная работа [92,9 K], добавлен 02.06.2010

  • Изучение понятий, действий (сумма, разность, произведение), свойств квадратной матрицы. Определение и признаки ранга матрицы. Анализ методов окаймляющих миноров и преобразований. Расчет системы линейных уравнений согласно методам Крамера и матричному.

    реферат [178,9 K], добавлен 01.02.2010

  • Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.

    лекция [30,2 K], добавлен 14.12.2010

  • Основные действия над матрицами, операция их умножения. Элементарные преобразования матрицы, матричный метод решения систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, методы решения произвольных систем линейных уравнений, свойства матриц.

    реферат [111,8 K], добавлен 09.06.2011

  • Понятие матрицы и ее основные элементы. Пример нахождения ее ранга путем приведения к ступенчатому виду. Описание действий над матрицами. Разбор умножения их на примере. Особенности алгебраического дополнения. Алгоритм определения обратной матрицы.

    презентация [617,0 K], добавлен 15.09.2014

  • Применение матриц и их виды (равные, квадратные, диагональные, единичные, нулевые, вектор-строка, вектор-столбец). Примеры действий над матрицами (умножение на число, сложение, вычитание, умножение и транспонирование матриц) и свойства полученных матриц.

    презентация [74,7 K], добавлен 21.09.2013

  • Понятие "матрица" в математике. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число. Операция и свойства умножения двух матриц. Транспонированная матрица – матрица, полученная из исходной матрицы с заменой строк на столбцы.

    контрольная работа [26,2 K], добавлен 21.07.2010

  • Понятие и типы матриц. Определители (детерминанты) квадратной матрицы и их свойства. Алгебраические действия над матрицами. Теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие и свойства обратной матрицы, алгоритм ее построения. Единственность обратной матрицы.

    курс лекций [336,5 K], добавлен 27.05.2010

  • Примеры алгебраических групп матриц, классические матричные группы: общая, специальная, симплектическая и ортогональная. Компоненты алгебраической группы. Ранг матрицы, возвращение к уравнениям, совместимость. Линейные отображения, действия с матрицами.

    курсовая работа [303,7 K], добавлен 22.09.2009

  • Операции на графах позволяют образовывать новые графы из нескольких более простых. Операции на графах без параллельных ребер. Объединение графов. Свойства операции объединения т, которые следуют из определения операции и свойств операций на множествах.

    реферат [106,0 K], добавлен 27.11.2008

  • Понятие матрицы и линейные действия над ними. Свойства операции сложения матриц. Определители второго и третьего порядков. Применение правила Саррюса. Основные методы решения определителей. Элементарные преобразования матрицы. Свойства обратной матрицы.

    учебное пособие [223,0 K], добавлен 04.03.2010

  • Понятие равных матриц, их суммы и произведения. Нахождение элемента матрицы, свойства ее произведения. Расположение вне главной диагонали элементов квадратной матрицы. Понятие обратной матрицы, матричные уравнения. Теорема о базисном миноре, ранг матрицы.

    реферат [105,3 K], добавлен 21.08.2009

  • Понятие матрицы, прямоугольная матрица размера m x n - совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Численная характеристика квадратной матрицы - ее определитель. Действия над матрицами, ранг матрицы.

    реферат [87,2 K], добавлен 01.08.2009

  • Определение роли групп, колец и полей в алгебре и ее приложениях. Рассмотрение свойств групп, колец и полей. Определение бинарной алгебраической операции. Простейшие свойства кольца. Обозначение колей при обычных операциях сложения и умножения.

    курсовая работа [634,5 K], добавлен 24.11.2021

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.