Кратные интегралы. Криволинейные интегралы. Ряды

Размещено на http://www.allbest.ru/

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ЗА III СЕМЕМТР ПО ТЕМАМ: Кратные интегралы, Криволинейные интегралы, Ряды

1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Формулы перехода от двойного интеграла к повторному имеют вид:

Рассмотрим следующие вопросы по теме двойные интегралы:

1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле по данной области D.

2. Поменять пределы интегрирования в двойном интеграле.

3. Вычислить двойной интеграл в прямоугольной системе координат.

4. Вычислить двойной интеграл в полярной системе координат.

Остановимся подробно на каждом из указанных пунктов:

1. Расставить пределы интегрирования по данной области D.

Пример 1.1. Область D:

Решение. Построим область в прямоугольной системе координат, ограниченную указанными линиями (см. рис. 1).

Рис. 1

Из рис. 1 очевидно, что . Чтобы расставить пределы по переменной проведем прямую параллельную оси (в любой точке ) и видим, что данная прямая "входит" в область D пересекая прямую , т.о. нижний предел по будет , а верхний .

Ответ: .

Пример 1.2. Область D:

Решение. Проводим рассуждения аналогичные в примере (1.1) и получаем область D₂ (рис. 2). Из рис. 2 очевидно, что , а пределы по : снизу линия ; сверху .

Рис. 2

Ответ: .

Пример 1.3. Область D:

Решение. Область D₃ - это , (рис. 3). Чтобы расставить пределы по переменной , проводим прямую параллельную оси (в любой точке ) и видим, что линия "входа" , линия "выхода" .

Рис. 3

Ответ: .

Пример 1.4. Область D:

Решение. Область D₄ на рис. 4.

Рис. 4

При решении данной задачи найдем точки пересечения параболы и прямой , решив их совместно:

, , .

То есть, - будут пределы по х; в нашем случае линия "входа" прямой проведенной параллельно оси (нижний предел по ), будет линия , а верхний предел, очевидно, .

Ответ: .

Пример 1.5. Область D:

Решение. Область интегрирования D₅ заключена между гиперболой и прямой (см. рис. 5).

Найдем точки пересечения линий

и :

.

Рис. 5

Из рис. 5 очевидно, что нижний предел по : , так как снизу в области D₅ - гипербола, а верхний предел по : , так как сверху прямая.

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения.

Расставить пределы в двойном интеграле, перейдя к повторному интегралу по области D:

	Задания	Ответы
1)	;
2)	;
3)

2. Поменять пределы интегрирования в двойном интеграле.

Данную формулу можно применять справа налево и наоборот.

Пример 2.1. Поменять пределы интегрирования в двойном интеграле

.

Решение. По условию задачи, а именно , а . Строим область D (рис.6): - ось , - прямая, и с учетом пределов по х: .

Рис. 6

Из рис. 6 очевидно, что . Чтобы найти пределы по переменной х, проводим прямую параллельную оси
(в любой точке ) и видим, что линия "входа" в
область D ось , линия "выхода" . Таким образом, нижний предел по переменной х , верхний предел - .

Ответ: .

Пример 2.1. Поменять пределы интегрирования в двойном интеграле .

Решение. Аналогично примеру 2.1, построим область D (рис. 7) опираясь на условие задачи, а затем по данной области расставим пределы интегрирования, сначала по х, а затем по у.

Рис. 7

Имеем , . Найдем :

если , если .

Найдем точки пересечения параболы и прямой , решив их совместно: . С учетом условия задачи искомая область D - это "треугольник" .

Из рис. 7 очевидно, что на интервале , а при . То есть, при пределы по х будут , а при - . Проведенные прямые параллельные оси показывают, что линия "входа" в область D является для всех (нижний предел по ), а линиями "выхода" служат при и при (верхние пределы по у).

Ответ: .

3. Вычислить двойной интеграл в прямоугольной системе координат

Пример 3.1. Вычислить двойной интеграл в прямоугольной системе координат, где : .

Решение.

1) Построим область (рис. 8) опираясь на условие примера 3.1.

Рис. 8

2) Расставим пределы интегрирования перейдя от двойного интеграла к повторному:

.

3) Вначале интегрируем внутренний интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

,

а затем внешний интеграл - по той же формуле. В данном примере во внутреннем интеграле переменной интегрирования является у, следовательно х выступает в качестве постоянной. Таким образом,

Ответ: .

4. Вычислить двойной интеграл в полярной системе координат.

Рассмотрим решение двойных интегралов в полярной системе координат.

Отметим вначале связь между прямоугольной системой координат и полярной системой координат (см. рис. 9):

Рис. 9

,

,

,

,

Можно показать, что область в прямоугольной системе координат выражается в полярной , то есть, и формула перехода от двойного интеграла в прямоугольной системе координат к двойному интегралу полярной системе координат имеет вид:

Рассмотрим типичные примеры, в которых требуется вычислить двойной интеграл в полярной системе координат.

Пример 4.1. Вычислить двойной интеграл в полярной системе координат, где D: .

Решение. Область интегрирования D заключена внутри круга радиуса с центром в начале координат (рис.10).

Рис. 10

Из рис. 10 очевидно, что , .

Ответ: , D: .

Пример 4.2. Вычислить двойной интеграл в полярной системе координат, где D: .

Решение. Построим область D:

,

,

,

.

Область D заключена внутри круга радиуса с центром в точке (рис.11).

Рис. 11

Из рис. 11 очевидно, что . Для нахождения пределов интегрирования по запишем уравнение окружности в полярной системе координат, то есть, и получаем: ,

,

,

.

Ответ: , D: .

Пример 4.3. Вычислить двойной интеграл в полярной системе координат, где D: .

Решение. Построим область D:

,

,

,

.

Область D заключена внутри круга радиуса с центром в точке (рис.12).

Рис. 12

Из рис. 12 очевидно, что . Для нахождения пределов интегрирования по запишем уравнение окружности в полярной системе координат, то есть, и получаем:

,

,

,

.

Ответ: , D: .

ТЕМА 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

5. Криволинейные интегралы по координатам.

Криволинейным интегралом по координатам, является выражение вида:

.

где L - контур интегрирования.

Рассмотрим некоторые примеры, аналогичные тем, что даны в задании 5.

Пример 5.1. Дано: , , . Вычислить двумя способами: 1) непосредственно; 2) по формуле Грина.

Решение.

1) Так как контур интегрирования окружность , возьмем за параметр интегрирования , где . Таким образом,

.

2) 2) Вычислим данный криволинейный интеграл по формуле Грина.

Формула Грина:

Найдем частные производные и . Так как по условию, и .
Таким образом,

.

Ответ: , где .

Пример 5.2. Дано: , , , , . Вычислить двумя способами: 1) непосредственно; 2) по формуле Грина.

Решение.

1) Вычислим данный интеграл непосредственно.

Контур интегрирования L состоит из линий: , , (рис. 13), то есть

.

Рис. 13

Найдем результаты интегрирования по каждому контуру и полученные результаты просуммируем.

: ,

.

: ,

: ,

В результате получаем

.

2) Вычислим данный криволинейный интеграл по формуле Грина

.

Найдем частные производные и . Так как по условию, и . Таким образом,

.

Ответ: , где .

Рассмотрим приложение криволинейного интеграла по координатам, а именно работу силы вдоль пути L.

Пример 6.1. Дано: , от , . Найти работу силы вдоль пути L.

Решение.

Ответ: .

ТЕМА 3. РЯДЫ

7. Рассмотрим числовые ряды.

def Числовым рядом, называется выражение

, (7.1)

где - числа.

def Частичной сума ряда (7.1), называется выражение

, (7.2)

def Ряд (7.1) сходится, если существует конечный предел частичной суммы , то есть ряд (7.1) сходится, если

, (7.3)

где - конечное число.

Если предел (7.3) не существует, то ряд расходится.

Необходимый признак сходимости ряда (7.1) - если ряд (7.1) сходится, то . Необходимый признак не является достаточным, то есть если , то ряд (7.1) может и сходиться и расходиться.

В дальнейшем будет показано, что

ряд расходится, а

ряд сходится, хотя

и .

То есть из того, что - нельзя делать вывод о сходимости (расходимости) ряда (7.1), но если - ряд расходится.

Пример 7.1. Исследовать ряд на сходимость.

Решение.

,

расходится по необходимому признаку.

Рассмотрим достаточные признаки сходимости ряда (7.1).

I. Признак Даламбера.

Пусть дан ряд (1): , обозначим

, если

II. Радикальный признак Коши.

Пусть дан ряд (7.1): , обозначим

, если

III. Интегральный признак Коши.

Пусть члены ряда (7.1): , являются значениями функции при , а функция - положительная, непрерывная, монотонно убывающая , тогда:

если - сходится, то ряд (7.1) тоже сходится;

если - расходится, то ряд (7.1) тоже расходится.

На базе данного признака можно показать, что ряд

В частности:

ряд расходится, так как ;

ряд сходится, так как .

IV. Предельный признак сходимости.

Пусть дано два ряда (7.1): - неизвестный ряд, его нужно исследовать на сходимость и - известный ряд. Если , , то о неизвестном ряде делаем тот же вывод, что и об известном.

Пример 7.2. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Исследуем данный ряд по признаку Даламбера.

,

,

расходится по признаку Даламбера.

Пример 7.3. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Исследуем данный ряд по признаку Даламбера.

, ,

сходится по признаку Даламбера.

Пример 7.3. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Исследуем данный ряд по признаку Даламбера.

,

,

для ряда признак Даламбера не применим.

Однако, расходится по необходимому признаку.

Пример 7.4. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Исследуем данный ряд по радикальному признаку Коши.

,

по радикальному признаку Коши.

интеграл ряд грин коши

Пример 7.5. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Исследуем данный ряд по радикальному признаку Коши.

,

по радикальному признаку Коши.

Пример 7.6. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. , пусть . Очевидно, что , так как , то по предельному признаку сравнения.

Пример 7.7. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. , пусть . Очевидно, что , так как , то по предельному признаку сравнения.

8. Рассмотрим знакочередующиеся ряды:

.

Для исследования данных рядов применяется признак Лейбница.

Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов ряда монотонно убывают, то есть

то знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.

Если ряд

сходится по признаку Лейбница и ряд составленный из абсолютных величин членов ряда сходится, то ряд сходится абсолютно, а если ряд расходится, то ряд сходится условно.

Пример 8.1. Исследовать ряд на сходимость.

Решение.

.

Исследуем вначале ряд составленный из абсолютных величин данного ряда, то есть исследуем ряд , где . Если полученный положительный ряд сходится, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно, если расходится, то ряд нужно исследовать по признаку Лейбница на возможную условную сходимость.

Очевидно, что ряд составленный из абсолютных величин данного ряда сходится, как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия , следовательно, знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 8.2. Исследовать ряд на сходимость.

Решение.

.

Исследуем вначале ряд , составленный из абсолютных величин данного ряда, где . Так как

, где ,

а ряд расходится , то

тоже по предельному признаку сравнения.

Применим признак Лейбница:

сходится условно.

Пример 8.3. Исследовать ряд на сходимость.

Решение.

.

Применяем признак Лейбница:

расходится.

9. Область сходимости функциональных или степенных рядов.

Рассмотрим вопрос о нахождении области сходимости функциональных или степенных рядов.

Пример 9.1. Найти область сходимости ряда .

Решение. Применяем радикальный признак Коши: . По радикальному признаку Коши, если , то ряд сходиться. Следовательно, ряд будет сходится при . Решая полученное неравенство находим область сходимости для данного ряда:

.

Выясним поведение ряда на концах интервала .

: ряд расходится , следовательно, конец интервала не входит в область сходимости ряда.

: ряд расходится , следовательно, конец интервала не входит в область сходимости ряда.

Таким образом, абсолютная область сходимости ряда : .

Пример 9.2. Найти область сходимости ряда .

Решение. Применяем признак Даламбера:

.

По признаку Даламбера, если , то ряд сходиться. Следовательно, ряд будет сходится при . Решая полученное неравенство находим область сходимости для данного ряда:

.

Выясним поведение ряда на концах интервала.

:

ряд сходится , следовательно, конец интервала входит в область сходимости ряда.

: .

Так как ряд , составленный из абсолютных величин данного знакочередующегося ряда, сходится, то сходится абсолютно. Следовательно, конец интервала входит в область сходимости ряда.

Таким образом, абсолютная область сходимости ряда : .

10. Ряды Тейлора и Маклорена.

Формула разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки :

Пусть функция определена в окрестности точки , имеет в этой окрестности производные до -го порядка включительно, и пусть существует . Тогда при

, или короче

, при ,

где - остаточный член n^го порядка формулы Тейлора.

Остаточный член n^го порядка формулы Тейлора в форме Лагранжа:

, где и .

Остаточный член n^го порядка формулы Тейлора в форме Пеано:

.

Формула разложения функции в ряд Маклорена в окрестности точки , при :

,

или короче

, где

- в форме Пеано;

- в форме Лагранжа ( и ).

Формулы Маклорена в окрестности точки для основных элементарных функций имеют вид:

, ; (10.1)

, ; (10.2)

, ; (10.3)

, ; (10.4)

, ; (10.5)

, ; (10.6)

, ; (10.7)

, (10.8)

где , ,, в частности,

, ; (10.9)

, ; (10.10)

, ; (10.11)

, ; (10.12)

, ; (10.13)

, ; (10.14)

, . (10.15)

Пример 10.1. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение. Применяем формулу (10.5) положив ~. Тогда:

,

.

Пример 10.2. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение.

.

Применяем формулу (10.6) положив ~. Тогда, при :

;

.

Пример 10.3. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение. Воспользуемся формулой (10.9) и запишем условие следующим образом: .

, .

Тогда:

, .

Пример 10.4. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение. Применяем формулу Тейлора.

, , ,

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

и так далее. Подставим найденные значения функции и ее производных в точке в ряд Тейлора:

,

.

Пример 10.5. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение. Применяем формулу Тейлора.

, , ,

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

и так далее. Подставим полученные значения функции и ее производных в точке в ряд Тейлора:

,

.

Размещено на Allbest.ru

...