Интеграл в области физики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Интеграл в области физики

Вступление

Символ интеграла введен с 1675 г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696 г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые-математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение в физике.

Введение

интеграл криволинейный трапеция

Как известно, эффективному обучению во многом способствует решение задач с практическим содержанием. Потребность в использовании практических материалов математики диктуется тем, что возникновение, формирование и развитие математических понятий имеют своим источником ощущения и восприятия, а также и тем, что в познавательной деятельности имеет место тесная связь логических процессов мышления и чувственных восприятий. Поэтому обращение к примерам из жизни, окружающей обстановке облегчает возможность организовать учебную деятельность обучающихся и поддерживать их интерес к обучению. В то же время, бурное развитие математики и физики не могло не наложить определенного отпечатка на уровень развития и направление интересов учащихся. Интерес молодежи к технике, физике и математике растет с каждым днем.

Математика использует физические задачи для иллюстрации некоторых процессов, явлений и их исследования. Физики же не могут обойтись без аппарата математики. Интеграл - не исключение. Определенный класс задач решается с его использованием. Поэтому довольно актуальным становится обучение математике (в частности изучение темы «Интеграл») через прикладные задачи физики.

Понятие интеграла является одним из основных в математике. Изучение этой темы завершает курс математического анализа, знакомит обучающихся с новым инструментом познания мира, а рассмотрение применения интегрального исчисления к важнейшим разделам физики показывает обучающимся значение и силу высшей математики.

Понятие интеграла не на много сложнее таких понятий, как «неизвестная величина» или «подобие треугольников». Давно пора сделать понятие интеграла достоянием всякого культурного человека, чем бы он ни занимался.

Анализ учебников и учебных пособий, содержащих материал по данной теме, показывает наличие разных мнений по поводу изложения этого достаточно сложного материала в определении содержания, необходимого для успешного усвоения и понимания основ интегрального исчисления.

Таким образом, актуальность темы работы обусловлена:

· необходимостью полноценного изучения важнейших элементов интегрального исчисления.

· недостаточной разработанностью методики преподавания этого материала с помощью использования физических моделей в курсе математики.

Исходя из вышесказанного, для исследования была выбрана тема «Физические модели при изучении интеграла в курсе алгебры и начал анализа».

Проблемой исследования является поиск путей методически грамотного применения физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники вычисления интегралов и изучении приложений с учетом психолого-педагогических основ изучения данной темы.

Объект исследования - процесс изучения основ интегрального исчисления с использованием физических моделей в курсе математики.

Предмет исследования - физические модели при изучении темы «Интеграл».

Основные цели данной работы - изучить различные подходы к введению понятия интеграла, изучению его свойств и приложений, определить достоинства и недостатки этих подходов, разработать методику изучения интеграла с использованием физических моделей, проанализировать и сделать выводы о правильности и целесообразности разработанной методики.

Гипотеза: изучение основ интегрального исчисления с помощью разработанной методики способствует осознанному качественному усвоению обучающимися этого материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в физике.

Задачи исследования:

1. изучить и проанализировать научную, учебно-методическую и психолого-педагогическую литературу по теме исследования;

2. на основе анализа литературы разработать методику изучения некоторых вопросов интегрального исчисления в курсе математики;

Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных задач были использованы следующие методы:

1. изучение учебных пособий и методической литературы, содержащей этот материал;

2. анализ психологической, педагогической и методической литературы по данной теме.

1. История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как «придание квадратной формы». Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача «о квадратуре круга»

круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Б е р н у л л и (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики-интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = f(x) dx - начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.

_b

А f(x) dx

^a

называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т.е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа (3.10/71<<3.1/7), нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т.д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра).

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х) dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

S = f(x) dx

^a<x<b

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях «Новая астрономия».



Рис. 1.

(1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э. Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях.

Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1, б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения

y = f(x) и y=f(x)+c.

Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е.

S = S₁ = c (b - а).

Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф₁ и Ф₂ по отрезкам равной длины (рис. 1, в). Тогда площади фигур Ф₁ и Ф₂ равны.

Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.

В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хⁿ, где п - целое (т.е. по существу вывел формулу хⁿdx = (1/n+1) хⁿ⁺¹), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т.п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В. Остроградский (1801-1862), В.Я. Буняковский (1804-1889), П.Л. Чебышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б. Римана (1826-1866), французского математика Г. Дарбу (1842-1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), советским математиком А.Я. Хинчинчиным (1894-1959).

2. Определение и свойства интеграла

Если F(x) - одна из первообразных функции f(x) на промежутке J, то первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где CR.

Определение. Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке J называется определенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается f(x) dx.

f(x) dx = F(x)+C, где F(x) - некоторая первообразная на промежутке J.

f - подынтегральная функция, f(x) - подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования, C - постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла

( f(x) dx) = f(x) dx,

f(x) dx = F(x)+C, где F (x) = f(x)

( f(x) dx) = (F(x)+C) = f(x)

f (x) dx = f(x)+C - из определения.

k f (x) dx = k f(x) dx

если k - постоянная и F (x)=f(x),

k f (x) dx = k F(x) dx = k (F(x) dx+C₁)= k f(x) dx

(f(x)+g(x)+ … +h(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx + … + h(x) dx

(f(x)+g(x)+ … +h(x)) dx = [F (x)+G (x)+ … +H (x)] dx =

= [F(x)+G(x)+ … +H(x)] dx = F(x)+G(x)+ … +H(x)+C=

= f(x) dx + g(x) dx + … + h(x) dx, где C=C₁+C₂+C₃+ … +C_n.

Интегрирование

Табличный способ.

Способ подстановки.

Если подынтегральная функция не является табличным интегралом, то возможно (не всегда) применить этот способ. Для этого надо:

разбить подынтегральную функцию на два множителя;

обозначить один из множителей новой переменной;

выразить второй множитель через новую переменную;

составить интеграл, найти его значение и выполнить обратную подстановку.

Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.

Примеры:

1. x(3x²-1) dx;

Пусть 3x²-1=t (t0), возьмем производную от обеих частей:

6xdx = dt

xdx=dt/6

₃

dt ₁ 1 ₁ 1 t ² 2 1 ---

- t ² = - t ²dt = - - + C = - 3x²-1 +C

6 6 6 3 9

2. t

sin x cos ³x dx = - t³dt = - - + C

4

Пусть cos x = t

- sin x dx = dt

Метод преобразования подынтегральной функции в сумму или разность:

Примеры:

sin 3x cos x dx = 1/2 (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x - ј cos 2x + C

x⁴+3x²+1 1 1

- dx = (x²+2 - -) dx = - x² + 2x - arctg x + C

x²+1 x²+1 3

Примечание: при решении этого примера хорошо делать многочлены «углом».

По частям

Если в заданном виде взять интеграл невозможно, а в то же время, очень легко находится первообразная одного множителя и производная другого, то можно использовать формулу.

(u(x) v(x))'=u' (x) v(x)+u(x) v(x)

u' (x) v(x)=(u(x) v(x)+u(x) v' (x)

Проинтегрируем обе части

u' (x) v(x) dx= (u(x) v(x))'dx - u(x) v' (x) dx

u' (x) v(x) dx=u(x) v(x) dx - u(x) v' (x) dx

Примеры:

x cos (x) dx = x dsin x = x sin x - sin x dx = x sin x + cos x + C

x = u(x)

cos x = v' (x)

3. Криволинейная трапеция

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a; b], то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x) - непрерывная неопр. функция, x[a; b].

Доказать: S = F(b) - F(a), где F(x) - первообразная f(x).

Доказательство:



1) Рассмотрим вспомогательную функцию S(x). Каждому x[a; b] поставим в соответствие ту часть криволинейной трапеции, которая лежит левее прямой, проходящей через точку с этой абциссой и параллельно оси ординат.

Следовательно S(a)=0 и S(b)=S_тр

Докажем, что S(a) - первообразная f(x).

D(f) = D(S) = [a; b]

S' (x₀)= lim (S(x₀+x) - S(x₀) / x), при x0 S - прямоугольник

^x0 со сторонами x и f(x₀)

S' (x₀) = lim (x f(x₀) /x) = lim f(x₀)=f(x₀): т.к. x0 точка, то S(x) -

^{x0 x0} первообразная f(x).

Следовательно по теореме об общем виде первообразной S(x)=F(x)+C.

Т.к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C

C = - Fa

S = S(b)=F(b)+C = F(b) - F(a)

II.

1). Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей. Шаг разбиения

x=(b-a)/n. При этом S_тр=lim (f(x₀)x+f(x₁)x+ … +f(x_n))x=

ⁿ

= lim x (f(x₀)+f(x₁)+ … +f(x_n))

При n получим, что S_тр= x (f(x₀)+f(x₁)+ … +f(x_n))

Предел этой суммы называют определенным интегралом.

_b

S_тр= f(x) dx

^a

Сумма стоящая под пределом, называется интегральной суммой.

Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке [a; b] при n. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.

a - нижний предел интегрирования;

b - верхний.

Формула Ньютона-Лейбница

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод:

если F - первообразная для b на [a; b], то

_b

f(x) dx = F(b) - F(a)

^a

_{b b}

f(x) dx = F(x) = F(b) - F(a)

^{a a}

4. Свойства определенного интеграла

1. _{b b}

f(x) dx = f(z) dz

^{a a}

2.

_a

f(x) dx = 0

^a

_a

f(x) dx = F(a) - F(a) = 0

^a

3.

_{b a}

f(x) dx = - f(x) dx

^{a b}

_{b a}

f(x) dx = F(a) - F(b) f(x) dx = F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b))

^{a b}

Если a, b и c любые точки промежутка I, на котором непрерывная функция f(x) имеет первообразную, то

_{b c b}

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx

^{a a c}

F(b) - F(a) = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)

(это свойство аддитивности определенного интеграла)

Если и постоянные величины, то

_{b b b}

(f(x) + (x)) dx = f(x) dx + (x)) dx -

^{a a c}

- это свойство линейности определенного интеграла.

6.

_{b b b b}

(f(x)+g(x)+ … +h(x)) dx = f(x) dx+ g(x) dx+ … + h(x) dx

^{a a a a}

_b

(f(x)+g(x)+ … +h(x)) dx = (F(b) + G(b) + … + H(b)) -

^a

- (F(a) + G(a) + … + H(a)) +C =

= F(b) - F(a)+C₁ +G(b) - G(a)+C₂+ … +H(b) - H(a)+C_n=

_{b b b}

= f(x) dx+ g(x) dx+ … + h(x) dx

^{a a a}

5. Набор стандартных картинок

Т.к. f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)0.

Надо:

рассмотреть симметрию функции относительно оси OX. ABCDA'B'CD _b

S(ABCD)=S(A'B'CD) = - f(x) dx

^a

_{b b}

S= f(x) dx = g(x) dx

^{a a}



_{c b}

S = (f(x) - g(x)) dx+(g(x) - f(x)) dx

^{a c}

f(x) f(x)+m

g(x)g(x)+m

_b

S= (f(x)+m-g(x) - m) dx =

^a

_b

= (f(x) - g(x)) dx

^a

Если на отрезке [a; b] f(x)g(x), то площадь между этими графиками равна

_b

((f(x) - g(x)) dx

^a

Функции f(x) и g(x) произвольные и неотрицательные

_{b b b}

S= f(x) dx - g(x) dx = (f(x) - g(x)) dx

^{a a a}

_{b b}

S= f(x) dx + g(x) dx

^{a a}

6. Применение интеграла

I. В физике.

Работа силы (A=FScos, cos 1)

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно

d (m²/2) = Fds

приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds - перемещение частицы за время dt. Величина

dA=Fds

называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f-непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S₁(a) в S₂(b). Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков, одинаковой длины x = (b - a)/n. Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) - непрерывна, то при малом [a; x₁] работа силы на этом отрезке равна f(a) (x₁-a). Аналогично на втором отрезке f(x₁) (x₂-x₁), на n-ом отрезке - f(x_n-₁) (b-x_n-₁). Следовательно работа на [a; b] равна:

А A_n = f(a)x +f(x₁)x+ … +f(x_n-₁)x=

= ((b-a)/n) (f(a)+f(x₁)+ … +f(x_n-1))

Приблизительное равенство переходит в точное при n

_b

А = lim [(b-a)/n] (f(a)+ … +f(x_n-₁))= f(x) dx (по определению)

^{n a}

Пример.

Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой - F(s) упругость пружины при её сжатии, то

_l/2

E_п = A= - (-F(s)) dx

⁰

Из курса механики известно, что F(s)= - Cs.

Отсюда находим

_{l/2 l/2}

Е_п= - (-Cs) ds = CS²/2 | = C/2 l²/4

^{0 0}

Ответ: Cl²/8.

Координаты центра масс

Центр масс - точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x; y |axb; 0yf(x)} и функция y=f(x) непрерывна на [a; b], а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

_{b b}

x₀ = (1/S) x f(x) dx; y₀ = (1/2S) f ²(x) dx;

^{a a}

Примеры.

Центр масс.

Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.

Изобразим полукруг в системе координат OXY.

Из соображений симметрии и однородности замечаем, что абсцисса точки M

x_m=0

Функция, описывающая полукруг имеет вид:

y = (R²-x²)

Пусть S = R²/2 - площадь полукруга, тогда

_{R R}

y = (1/2S) (R²-x²) dx = (1/R²) (R²-x²) dx =

-^R -^R

_R

= (1/R²) (R²x-x³/3)|= 4R/3

-^R

Ответ: M (0; 4R/3)

Путь, пройденный материальной точкой

Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью =(t) и за время T= t₂-t₁ (t₂>t₁) прошла путь S, то

_t2

S= (t) dt.

^t1

Заключение

Интеграл, который мы рассмотрели в данной работе, был введен Стилтьесом. Новое понятие ему было нужно, как мы уже говорили в первой главе, в разрабатывавшейся им теории цепных дробей; он ввел его и применил в интересовавших его вопросах. Разработка же выпала на доли других математиков, таких, как Кёниг, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, Г.Ф. Вороной, Рисс, Гильберт, Хеллингер, причем каждый из них пришел к понятию интеграла Стилтьеса, отправляясь от разных задач. В теории цепных дробей применяли его сам Стилтьес и А.А. Марков, в теории R-интеграла - Кёниг, в теории чисел - Г.Ф. Вороной, в небесной механике - А.М. Ляпунов, в теории интегральных уравнений - Гильберт, Хеллингер, в теории линейных функционалов - Рисс. В дальнейшем разработкой интеграла занимались также У.Г. Юнг и Радон. Юнг использовал интеграл Стилтьеса в теории тригонометрических рядов, Радон применял также в теории линейных функционалов, в теории интегральных уравнений.

Очень велико число работ, посвященных изучению различных свойств интеграла Стилтьеса. Это работы Хелли, Брэй, Гильдебрандт, Р. Юнг, Г.М. Шварц, Яджи и др.

Совершенно необозримо поле приложений различных типов интеграла Стилтьеса. Разумеется, та исходная проблема, из которой родилось само понятие интеграла Стилтьеса, - проблема моментов, - не перестала быть связанной с этим понятием. После работ Стилтьеса, Маркова, Юнга и других ученых, о которых сказано выше, поток применений интеграла Стилтьеса вырос в трудно обозримый комплекс. Многие разделы математики невозможно представить без использования интеграла Стилтьеса.

Идея стилтьесовского интегрирования использовалась и продолжает использоваться при изучении различных вопросов математики, физики, квантовой механики. Поэтому данная работа может быть использована в качестве пособия для студентов физико-математичсеких факультетов.

Список литературы

М.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд, «Алгебра и математический анализ», Москва, 1993 г.

«Сборник задач по математическому анализу», Москва, 1996 г.

И.В. Савельев, «Курс общей физики», том 1, Москва, 1982 г.

Гохман Э.Х. Интеграл Стилтьеса и его приложения. Государственное издательство физ. - мат. литературы, М., 1958

Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. - М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. - 160 с.

Камке Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Перевод с немецкого Г.П. Сафроновой. Под ред. И.П. Натансона. - М.: Государственное издательство физ. - мат. литературы, 1959 г.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учебник для вузов. - 6-е изд., испр. - М.: Наука, Главная редакция физ. - мат. Литературы, 1989. - 624 с.

Леонтьева Т.А. и др. Задачи по теории функций действительного переменного: Учеб. Пособие по спец. «Математика»/ Панферов В.С., Серов В.С. - М.: Изд-во МГУ, 1997 - 208 с.

Макаров И.П. Теория функций действительной переменной. Под ред. И.Я. Верченко - М.: Государственное издательство «Высшая школа» - 1965

Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. - М., «Наука», 1974 г.

Песин И.Н. Развитие понятия интеграла, М., «Наука», 1966. - 207 с.

Самородницкий А.А. Теория меры/ Сыктывкар. Гос. Университет. - Л.: Издательство ЛГУ, 1990. - 267 с.

Теория функций вещественной переменной. И.П. Натансон. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974

Теория функций и функциональный анализ: [Сборник статей/ Науч. ред. проф. Б.М. Гагаев]. - Казань: Издательство Казанского университета, 1976 г. - 98 с.

Тимофеев А.Ф. Интегрирование функций. М. - Л. Издательство технико-теоретической литературы, 1948

Толстов Г.П. Мера и интеграл. Главная редакция физ. - мат. Литературы, «Наука», 1976 г.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трех томах. Том III/ - СПб.: Издательство Лань, 1997. - 672 с.

Размещено на Allbest.ru

...