Размещено на http://www.allbest.ru/

План

Введение

1. Представители Русской алгебраической школы

2. Шафаревич И.Р. Формулировки и эскизы доказательств

Литература

Введение алгебра подстановка множество функция

Теория групп XX - го столетия

Появление и бурное развитие общей алгебры, продолжающееся, непрерывно нарастая, уже около пятидесяти лет, представляет собою одну из самых ярких страниц математики двадцатого века.

На протяжении столетий алгебра была наукой об уравнениях. В девятнадцатом веке поняли, что вместо уравнений (и систем уравнений) можно говорить об их левых частях, т. е. о функциях специального вида (и о системах таких функций), а это привело к тому, что алгебра стала считаться частью математического анализа, частью теории функций. Даже не в очень удаленные от нас времена можно было встретить в некоторых книгах слова «алгебра или алгебраический анализ». Одновременно, однако, в недрах тогдашней алгебры и в связи с ее потребностями возникали некоторые новые теории, в математический анализ никак не укладывавшиеся. Именно, в связи с теорией Галуа возникла теория групп, медленно развивающаяся в девятнадцатом веке в виде теории конечных групп подстановок. Во второй половине девятнадцатого века стала разрабатываться примыкавшая к теории чисел теория полей, а именно -- теория полей алгебраических чисел. В это же время в связи с появлением кватернионов начинают изучаться различные гиперкомплексные числовые системы, т. е., на современном языке, конечномерные линейные алгебры, причем с некоммутативным, а иногда и неассоциативным умножением.

Важным этапом был переход от девятнадцатого к двадцатому веку. Именно в это время было понято, что при изучении перечисленных выше математических объектов на самом деле изучаются свойства заданных в них алгебраических операций и что эти объекты следует определять аксиоматически, указывая исходные свойства операций и игнорируя природу элементов, над которыми операции производятся. Иными словами, появилось понятие изоморфизма. В результате в первые два десятилетия нашего века теория конечных групп развивалась уже как абстрактная теория, было положено начало общей теории бесконечных групп, теории полей, а также теории коммутативно-ассоциативных колец.

История алгебры начинается в двадцатые годы, когда впервые стало понято, что именно изучение алгебраических операций, т. е. изучение таких образований, как группы, поля, кольца, линейные алгебры, является истинной задачей алгебры. В эти годы в центре внимания была теория колец, как ассоциативно-коммутативных, так и любых ассоциативных; в первом случае развитие шло от теории идеалов колец целых алгебраических чисел, во втором -- от теории конечномерных линейных алгебр. Теория бесконечных групп стала разрабатываться как теория групп с операторами, в частности, абелевых групп с операторами, т. е. модулей, как стали говорить позже.

Развитие самой общей алгебры шло исключительно бурно. Все перечисленные выше ветви алгебры продолжали глубоко п всесторонне разрабатываться и вместе с тем возникали новые направления, новые области. В тридцатых годах появилась топологическая алгебра и началась активная деятельность в теории структур, т. е. области, истоки которой можно найти в работах, относящихся еще к началу нашего века.

В сороковых годах развилась теория неассоциативных колец и бесконечномерных неассоциативных линейных алгебр, теория полугрупп, истоки которой можно найти еще в двадцатых годах, теория упорядоченных алгебраических образований, идущая от относящихся к началу века исследований по основаниям геометрии. В пятидесятых годах утвердилась в качестве самостоятельной области теория квазигрупп и началось бурное развитие теории категорий.

Эти же годы явились годами начала систематического изучения универсальных алгебр, хотя основы их теории были заложены еще в тридцатые годы, а в математической логике они появились даже много раньше. Понятие универсальной алгебры долго вызывало у математиков настороженность -- казалось, что понятие множества, в котором задана произвольная система произвольных алгебраических операций, произвольным образом между собою связанных, слишком широко и поэтому слишком бедно содержанием для того, чтобы стать объектом глубокой теории. Развитие теории за последние два десятилетия показало неосновательность этих опасений. Теория универсальных алгебр сейчас не только объединяет то немногое общее, с чего начинаются различные конкретные разделы общей алгебры, но и нашла собственную проблематику и сложилась как самостоятельная ветвь алгебры. При этом ее появление никак не отменяет более конкретных разделов общей алгебры, так же как появление теории колец не отменило теории полей, а появление теории полугрупп не ликвидировало теории групп.

Теория групп -- один из основных разделов современной алгебры. Изучение групп без предположения конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (1916 г). В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения как в самой математике, так и за ее пределами -- в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания. Конечной целью собственно теории групп является описание всех групповых композиций.

Приведем несколько примеров применения групп в алгебре, в математике вообще и в естествознании.

Группы Галуа.

Гомологические группы.

Группы симметрии.

Перечислим теперь некоторые важные классы групп.

Старейшей и по-прежнему интенсивно развивающейся ветвью теории групп является теория конечных групп. Важное место в ней занимает отыскание конечных простых групп, к которым относятся многие классические группы матриц над конечными полями, несколько серий групп автоморфизмов алгебр Ли, а также отдельные «спорадические» группы. На другом полюсе находятся конечные разрешимые группы, в них обычно интересуются специфическими системами подгрупп (холловых, картеровых и пр.), во многом определяющих строение самой группы.

Часто конечные группы возникают в форме групп подстановок или матриц над конечными полями; изучению представлений матрицами и подстановками посвящено большое самостоятельное направление теории конечных групп. Типичным методом исследования бесконечных групп является наложение на них условий конечности. Здесь наибольшее внимание привлекают периодические группы, локально конечные группы, группы с условием максимальности для подгрупп, группы с условием минимальности для подгрупп, конечно порожденные группы, группы конечного ранга, финитно аппроксимируемые группы.

При изучении абелевых групп важную роль играют полные абелевы группы, абелевы группы без кручения и периодические абелевы группы, а в них сервантные и примерные подгруппы. Исследование произвольной абелевой группы во многом сводится к теориям указанных классов с помощью теории расширений абелевых групп, развиваемой в основном гомологическими методами. Более широкими по отношению к классу абелевых групп являются классы нильпотентных и разрешимых групп, теория которых также достаточно развита. Из обобщений нильпотентности и разрешимости отметим локальную нильпотентность, локальную разрешимость, нормализаторное условие, энгелевость, а также многочисленные классы групп, определяемые наличием в них нормальных систем того или иного типа. Наконец, несколько больших самостоятельных разделов теории групп определяются внесением в группу дополнительных структур, согласованных с групповой операцией,-- назовем здесь топологические группы, группы Ли

Представители Русской алгебраической школы

Игорь Ростиславович Шафаревич (род. 3 июня 1923, Житомир) -- советский и российский математик, один из крупнейших математиков XX века, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН (1991). Основные труды посвящены алгебре, теории чисел и алгебраической геометрии. Известен также как диссидент, публицист, общественный деятель.

Родился 3 июня 1923 года в Житомире, затем семья переехала в Москву.

Учась в школе, сдавал экстерном экзамены на механико-математическом факультете МГУ. После окончания школы был принят на последний курс этого факультета и окончил его в 1940 году (в 17 лет).

Научный руководитель -- член-корреспондент АН СССР Борис Делоне -- направил его исследования в русло теории алгебраических чисел. Другой областью, привлекшей в то время внимание учёного, стала теория Галуа. Это определило область его научных интересов на многие годы.

Первым крупным достижением стало решение обратной задачи теории Галуа для конечных p-групп, эта работа была удостоена премии Московского математического общества.

За цикл работ по решению обратной задачи теории Галуа над полями алгебраических чисел (открытие общего закона взаимности и решение обратной задачи Галуа для разрешимых групп) получил Ленинскую премию (1959). Защитил кандидатскую диссертацию в 1942 году (в 19 лет), докторскую -- в 1946 году (в 23 года). В 1944 году, после окончания аспирантуры, становится преподавателем механико-математического факультета МГУ. В 1946 году, после защиты докторской диссертации, становится сотрудником Математического института им. В. А. Стеклова (МИАН). В 1975 году в связи с общественной деятельностью был отстранён от преподавания в МГУ, и с тех пор работает только в отделе алгебры МИАН: в 1960--1995 годах -- в должности заведующего отделом, с 1995 года -- в должности главного научного сотрудника (советника РАН). Семинар Шафаревича также был перенесён из МГУ в МИАН, где он действует по состоянию на начало 2010-х годов, в семинаре постоянно принимает участие значительное количество математиков. Под его руководством защищено более 30 кандидатских диссертаций. Имеет много известных учеников, среди которых Сурен Аракелов, Евгений Голод, Алексей Кострикин, Юрий Манин, Алексей Паршин, Андрей Тюрин.

20 июня 1958 года (в возрасте 35 лет) избран членом-корреспондентом АН СССР по отделению физико-математических наук. Лауреат Ленинской премии (1959). 7 декабря 1991 года избран академиком РАН по Секции математики, механики, информатики (математика). Иностранный член Национальной академии деи Линчеи (Италия), германской академии естествоиспытателей «Леопольдина», член Лондонского Королевского общества, Национальной академии наук США. Почётный доктор университета Париж XI (Орсэ).

В 1955 году подписал «Письмо трёхсот». В 1968 году подписал письмо в защиту Есенина-Вольпина. В сентябре 1973 года написал открытое письмо в защиту Сахарова. Один из участников изданного по инициативе Солженицына сборника статей «Из-под глыб» (ему принадлежат три статьи). После ареста и выдворения за пределы СССР Солженицына в феврале 1974 года написал открытые письма «Арест Солженицына» и «Изгнание Солженицына». В 1990 году подписал «Письмо 74-х».

Сын -- Андрей Шафаревич, физик и математик, доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ.

В теории алгебраических чисел нашёл самый общий закон взаимности степенных вычетов в полях алгебраических чисел, что явилось в известной мере завершающим этапом 150-летней истории арифметических законов взаимности, восходящей к Эйлеру и Гауссу. Внёс фундаментальный вклад в развитие теории Галуа. В 1954 году дал решение обратной задачи теории Галуа для разрешимых групп, то есть доказал, что в том случае, когда основное поле является полем алгебраических чисел конечной степени, существует алгебраическое расширение этого поля с наперёд заданной разрешимой группой Галуа (за эту свою работу он был в 1959 году награждён Ленинской премией). Шафаревич, Фаддеев и их ученики получили в 1970--1980-х годах важные результаты, относящиеся к теории групп, теории целочисленных представлений групп итеории Галуа. В частности, совместно со своим учеником Голодом в 1964 году дал отрицательное решение общей (не ограниченной) проблемы Бернсайда, а именно -- доказал существование бесконечных периодических групп с конечным числом образующих.

С конца 1960-х годов принимает участие в общественной деятельности: пишет заявления и проводит пресс-конференции в защиту Русской православной церкви (РПЦ), против использования психиатрии как средства политических репрессий (совместно с А. Д. Сахаровым) и в защиту жертв гонений по политическим мотивам. Член «Комитета прав человека», много внимания уделял защите свободы религии и прав верующих в СССР. По воспоминаниям Сахарова, проблемы религии заняли значительное место в работе Комитета благодаря обширному и аргументированному докладу о положении религии в СССР.

В 1974 году участвовал вместе с А. И. Солженицыным в издании публицистического сборника «Из-под глыб», написав для него три статьи: «Социализм», «Обособление или сближение?» и «Есть ли у России будущее?». Первая статья представляет собой резюме изданной позже книги «Социализм как явление мировой истории», которая в полном виде была опубликована в 1977 году во Франции. После издания сборника дал пресс-конференцию иностранным корреспондентам в Москве. В 1975 году был уволен из МГУ.

Формулировки и эскизы доказательств

В 1932 году вышла в свет первая работа Куроша по теории прямых произведений групп.

В 1933-1934 годах вышли в свет две работы Куроша, посвященные теории свободных произведений групп. Во второй из этих работ была доказана знаменитая теорема о подгруппах свободного произведения абстрактных групп, вошедшая в науку под именем теоремы Куроша.

Лемма 5. Произведение та является тождественным отображением группы I] на себя.

Справедлива следующая теорема [А. Г. К у р о ш, МаШ. Апп. 109 A934), 647 -- 660; Бэр и Лев и, Сотр. Ма1Ь. 3 A936), 391-398]:

Два любых свободных разложения произвольной группы обладают изоморфными продолжениями.

В другой работе, опубликованной в 1937 году, Александр Геннадиевич положил начало систематическому изучению абелевых групп без кручения, имеющих конечный ранг.

Большим вкладом в науку явилась монография Куроша «Теория групп». Подготовленная к печати еще в 1940 году, она впервые издана в 1944 году. Написанная на последовательной теоретико-множественной основе и включившая в себя самые последние достижения абстрактной теории групп (в том числе многие оригинальные результаты автора), эта монография оказала далеко идущее влияние на развитие современной алгебры. Будучи переиздана рядом иностранных издательств (в США, Венгрии, Германии), она способствовала, кроме того, ознакомлению широких кругов зарубежных математиков с достижениями советской теории групп.

Занимая значительное место в научном творчестве Куроша, абстрактная теория групп далеко не исчерпывает круг его математических интересов. Помимо уже упоминавшейся топологической работы, ему принадлежит также ряд результатов в области топологической алгебры.

Шмидта группа конeчная ненильпотентная группа, все собственные подгруппы к-рой нильпотентны. Ш. г. является разрешимой группой порядка где ри q - различные простые числа. В любой конечной ненильпотентной группе существуют подгруппы, являющиеся Ш. г. Введены О. Ю. Шмидтом (1924).

Лит.:[1] Шмидт О. Ю., Избр. труды, М., 1959, с. 221 - 27. Н. Н. Вилъямс.

Прямые объединения. Теорема Шмидта -- Орэ

Нашей целью является доказательство следующей теоремы [О. Ю. Шмидт, МаШ. 2еИзспг. 29A928), 34--41; Орэ, Апп. о\ МаШ. 37A936), 265--292]:

В дедекиндовой структуре 8, обладающей главными рядами, любые два разложения единичного элемента в прямое объединение неразложимых элементов прямо подобны

Эта теорема вытекает, впрочем, из следующей теоремы:

Если в дедекиндовой структуре 8, обладающей главными рядами, даны два любых разложения единичного элемента в прямое объединение неразложимых элементов, то всякий сомножитель любого из этих разложений может быть замещен некоторым сомножителем из другого разложения.

При этом под возможностью замещения элемента a1 в разложении (16) некоторым сомножителем bi из разложения (17) следует понимать существование прямого разложения 1=bi*a2*…*ak, т.е., в силу (14), 1=bi*a1. (18)

Первая из указанных теорем действительно вытекает из второй. В самом деле, если элемент bi в (17) замещает элемент в (16), то, как показывают равенства (14) (для i=1) и (18), элементы a1 и bi прямо подобны в S. Пусть уже построено прямое разложение

Где 1?m<k, причем являются различными сомножителями из разложения (17) и элементы i=1,2,…,m, прямо подобны в S. Применим вторую теорему к прямым разложениям (19) и (17). Элемент должен замещаться в (19) некоторым сомножителем из (17), а поэтому и прямо подобны. При этом индекс отличен от всех индексов так как из

Следует

Продолжая так далее, мы придем к прямому разложению

Откуда k?l. Сопоставляя с прямым разложением (17), мы получаем, что на самом деле k=l и что прямые разложения (16) и (17) прямо подобны.

Список используемой литературы

1. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп.-М.,Наука, 1982.

2. Магнус В., Каррас Ф., Солитар Д., Комбинаторная теория групп, М., Наука, 1974.

3. Новиков П.С. Избранные труды. Теория множеств и функций. Математическая логика и алгебра, М., Наука, 1979.

4. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. Матем. Фундаментальные направления-1985-11-С.5-238.

5. Шмидт О.Ю. Избранные труды. Математика, М., Наука, 1959.

Размещено на Allbest.ru